mostel
Πολύ δραστήριο μέλος
![Ημερομηνία Ημερομηνία](images/general/calendar.png)
![Ώρα Ώρα](images/general/clock.png)
civilara, χαρα στην υπομονη σου.. :p
Δωστε μια βοηθεια εδω ρε παιδια.
Εχω να ακουμπησω μιγαδικους κατι μηνες και εχω ξεχασει αρκετα πραγματα, και σημερα που ειπα να κανω επαναληψη μου πεσαν τα μουτρα.
αν εχουμε |z-1-3i|=2ρίζα10
να βρεθουν οι μιγαδικοι για τους οποιους
α) |z| ελαχιστο
β) |z| μεγιστο
Τι κανω εδω;
Και επισης να λυθει η εξισωση z^4 - |z|=0
Τι να ξαναδιαβασω για να θυμηθω πως λυνεται αυτο το πραγμα.
Απελπιζομαι. Βζζζτουν.
Ο μιγαδικός κινείται σε κύκλο με κέντρο
Όσο για το δεύτερο πρόβλημα, έχω:
Μετρώνω και τελικά προκύπτει ότι
Για
Οι λύσεις αυτής τελικά είναι οι :
Στέλιος
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 14 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
mostel
Πολύ δραστήριο μέλος
![Ημερομηνία Ημερομηνία](images/general/calendar.png)
![Ώρα Ώρα](images/general/clock.png)
Στέλιος
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 14 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
mostel
Πολύ δραστήριο μέλος
![Ημερομηνία Ημερομηνία](images/general/calendar.png)
![Ώρα Ώρα](images/general/clock.png)
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 14 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
mostel
Πολύ δραστήριο μέλος
![Ημερομηνία Ημερομηνία](images/general/calendar.png)
![Ώρα Ώρα](images/general/clock.png)
Άρα
Επομένως
Λόγω της ισοδυναμίας , θα έχουμε:
Στέλιος
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 14 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
mostel
Πολύ δραστήριο μέλος
![Ημερομηνία Ημερομηνία](images/general/calendar.png)
![Ώρα Ώρα](images/general/clock.png)
νβ εξισωση γραμμής για
z= ημθ + i(2-συνθ)
πάω κανονικά με χ,y αλλά δεν μου βγαινει το σωστο..help!!
(μπαρλας σελ 34 ασκ 56 ιιι)
Άρα:
Στέλιος
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 14 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
mostel
Πολύ δραστήριο μέλος
![Ημερομηνία Ημερομηνία](images/general/calendar.png)
![Ώρα Ώρα](images/general/clock.png)
γεια σας.. ειχα ρωτησει και πιο πριν αλλα κανεις δεν μ απαντησε. ριξτε μια ματια pleaseeee ολο και καποιος θα την καταφερει:
"Αν ισχύουν z1+z2+z3=0 και |z1|+|z2|+|z3|=ρ>0 να δείξετε ότι,ν ανήκει
"![]()
ευχαριστω~
Μήπως εννοείς να δειχθεί ότι
Στέλιος
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 14 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
mostel
Πολύ δραστήριο μέλος
![Ημερομηνία Ημερομηνία](images/general/calendar.png)
![Ώρα Ώρα](images/general/clock.png)
να ρωτησω και εγω κατι για το οποιο δεν ειμαι καθολου σιγουρη αυτη τη στιγμη... το πεδιο ορισμου του e εις την -χ ποιο ειναι ακριβως? ευχαριστω εκ των προτερων!
Το πεδίο ορισμού της
![Χαμόγελο :) :)](https://www.e-steki.gr/images/smilies/smilenew.png)
Στέλιος
-----------------------------------------
2.Εστω οι συναρτησεις f,g ωστε
ι)ειναι συνεχεις στο [α,β]
ιι)g(x) διαφορο του 0 για καθε xε[α,β]
Νδο υπαρχει τουλαχιστον ενα ξ(α,β) ωστε
Εδω τι συναρτηση θα θεωρησω;
h(x)= f(x)(x-α)(ξ-β)-g(x)(x-β)-f(x)(x-α) ;;;
και πως θα βγαλω σχεση για το h(α)h(β) ;
-----------------------------------------
Η 3 με μπερδευει ομως...
Σε αυτές τις περιπτώσεις ακουλουθούμε την εξής διαδικασία:
1) Θα τη λύσουμε με Bolzano , αφού μας ζητάει για ύπαρξη ξ μέσα σε ένα διάστημα.
2) Όπου ξ θα βάλουμε x και θα διώξουμε απ' την παράσταση τα κλάσματα.
Έτσι θα έχουμε:
Άρα η συνάρτηση που θα θεωρήσουμε θα είναι η:
Έχουμε λοιπόν:
Όμως , μας δίνεται ότι η g είναι συνεχής και διάφορη του μηδενός , άρα διατηρεί πρόσημο !!! ( Θέλει να προσέχουμε τις εκφωνήσεις πολύ )
Επομένως
Όμως
Άρα θα είναι :
Στέλιος
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 14 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
mostel
Πολύ δραστήριο μέλος
![Ημερομηνία Ημερομηνία](images/general/calendar.png)
![Ώρα Ώρα](images/general/clock.png)
δώσε από την αρχή την υπόθεση και γράψτην όσο μπορείς πιο καλά ,χωρίς ',-,κλπ
-----------------------------------------
δεν υπάρχει τέτοια συνάρτηση
γιατί;;; βρείτε το
Έδωσα μια σύντομη λύση πιο πάνω. Αν ισχύει για κάθε x,y , ύστερα από μερικά απλά τεχνάσματα , καταλήγουμε ότι θα πρέπει να ισχύει και για την
Στέλιος
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 14 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
mostel
Πολύ δραστήριο μέλος
![Ημερομηνία Ημερομηνία](images/general/calendar.png)
![Ώρα Ώρα](images/general/clock.png)
Δείτε και μια απλή άσκηση
Υπάρχουν συναρτήσεις ώστε?
Έχουμε:
κλπ
Στέλιος
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 14 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
mostel
Πολύ δραστήριο μέλος
![Ημερομηνία Ημερομηνία](images/general/calendar.png)
![Ώρα Ώρα](images/general/clock.png)
Η συνάρτηση g η οποία έχει το ίδιο πεδίο ορισμού με την f, έστω Α, και για κάθε x ανήκει Α ισχύει g(x)=-f(x) ονομάζεται αντίθετη συνάρτηση της f και συμβολίζεται με -f : (-f)(x)=-f(x) για κάθε x ανήκει Α.
Σε κανένα σοβαρό βιβλίο ανάλυσης δεν υπάρχει τέτοιος ορισμός περί "αντίθετης" συνάρτησης...
Αυτή απλώς είναι η συνάρτησή μας με ένα μείον μπροστά :p
Γενικώς αυτά είναι κουλά τεχνάσματα των φροντιστηριάρχων για να μπερδεύουν τον κοσμάκη που δίνει πανελλαδικές.. Λες και δε φτάνουν οι ασάφειες του βιβλίου....
Στέλιος
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 14 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
mostel
Πολύ δραστήριο μέλος
![Ημερομηνία Ημερομηνία](images/general/calendar.png)
![Ώρα Ώρα](images/general/clock.png)
μπορει καποιος να μου δωσει τον ορισμο?
ευχαριστω
Μήπως εννοείς αντίστροφη ;
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 14 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
mostel
Πολύ δραστήριο μέλος
![Ημερομηνία Ημερομηνία](images/general/calendar.png)
![Ώρα Ώρα](images/general/clock.png)
Πως βρισκουμε ορια σαν αυτο (με e εις την 1 προς χ)
και ενα ακομη:
![]()
Έτσι πάει:
Στέλιος
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 14 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
mostel
Πολύ δραστήριο μέλος
![Ημερομηνία Ημερομηνία](images/general/calendar.png)
![Ώρα Ώρα](images/general/clock.png)
Άρα:
Έτσι:
ή
Στέλιος
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 14 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
mostel
Πολύ δραστήριο μέλος
![Ημερομηνία Ημερομηνία](images/general/calendar.png)
![Ώρα Ώρα](images/general/clock.png)
Στέλιος
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 14 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
mostel
Πολύ δραστήριο μέλος
![Ημερομηνία Ημερομηνία](images/general/calendar.png)
![Ώρα Ώρα](images/general/clock.png)
x>0 : g(x)=((x^2)/4)+(1/2)lnx+c1
x<0 : g(x)=((x^2)/4)+(1/2)ln(-x)+c2
Γενικά ισχύει c1 διάφορο c2
Ωραίος!
Σχόλιο:
Και η πάνω λύση με απόλυτο μέσα στο ln και μια τυχαία σταθερά, είναι σωστή..!
Στέλιος
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 15 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
mostel
Πολύ δραστήριο μέλος
![Ημερομηνία Ημερομηνία](images/general/calendar.png)
![Ώρα Ώρα](images/general/clock.png)
Κανόνας 1:
Έχουμε μέσα στο ολοκλήρωμα την f, η οποία έχει όρισμα (xt), επομένως, ΔΕΝ μπορούμε να παραγωγίσουμε, γιατί η f ΔΕΝ είναι ανεξάρτητη των ορίων ολοκλήρωσης. Για να αποφύγουμε αυτά τα μπερδέματα, θα θέσουμε αναγκαστικά: xt=u . Παίρνοντας το διαφορικό, θα βρούμε:
Όμως, επειδή ακριβώς θέλουμε να ξεφορτωθούμε το x απ' την αλλαγή μεταβλητής που κάναμε, το αντικαθιστούμε απ' την (1) με
Έτσι, όταν
( Αντιστρέφουμε όρια ολοκλήρωσης, για να μπορούμε να παραγωγίσουμε. Υπενθύμιση: Παραγώγιση επιτρέπεται μόνο όταν το κάτω όριο ολοκλήρωσης είναι στάθερα!! )
Τώρα, μπορούμε να παραγωγίσουμε και θα έχουμε:
Όμως, αν στην αρχική βάλουμε όπου
Επομένως,
Στέλιος
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 15 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
mostel
Πολύ δραστήριο μέλος
![Ημερομηνία Ημερομηνία](images/general/calendar.png)
![Ώρα Ώρα](images/general/clock.png)
αν θέσεις u=lnx δε γίνεται τίποτα?
Όχι, δυστυχώς δε βγαίνει...
![Λυπημένος :( :(](https://www.e-steki.gr/images/smilies/frown.gif)
Όποια αντικατάσταση και να κάνεις σε αυτό το ολοκλήρωμα, είναι χαμένη ώρα...
-----------------------------------------
...
εμείς νομίζαμε πως όλα τα ολοκληρώματα βγαίνουν με τις γνωστές μεθόδους.
...
Γενικώς υπάρχουν πάρα πολλά ολοκληρώματα που δεν υπολογίζονται με στοιχειώδεις μεθόδους. Γύρω απ' αυτά έχει αναπτυχθεί ολόκληρος κλάδος προσεγγιστικής. Παραδεχόμαστε δηλαδή ότι οκ, το πεπερασμένο μας μυαλό δε μπορεί να τα βάλει με το άπειρο, επομένως ψάχνουμε τρόπους να το προσεγγίσουμε και να το κατανοήσουμε, όσο αυτό είναι δυνατόν.
Στέλιος
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 15 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
mostel
Πολύ δραστήριο μέλος
![Ημερομηνία Ημερομηνία](images/general/calendar.png)
![Ώρα Ώρα](images/general/clock.png)
Στέλιο σκέφτηκες μήπως θα μπορούσε να γίνεις ένας άριστος επαιδευτικός?
Σας ευχαριστώ για τα καλά σας λόγια.. :thanks:
Θα μπορούσα ίσως, αν δεν έκανα λάθη όπως το παλέψεις που το έγραψα πιο πάνω παλαίψεις λόγω κεκτημένης ταχύτητας..
![Γλώσσα :P :P](https://www.e-steki.gr/images/smilies/tongue.gif)
Στέλιος
-----------------------------------------
τν εκανα!ας κλεισει το θεμα!
Είδες που τελικά δεν ήταν τόσο δύσκολη; Να την παλεύεις την άσκηση όσο μπορείς και να μην έχεις κατανού ότι αν τη δεις λυμένη, χωρίς να προσπαθήσεις αρκετά, θα την καταλάβεις. Πολλές φορές, ακόμη και αν αποτύχεις να τη λύσεις, μέσα από μια άσκηση καταλαβαίνεις μερικά πράγματα καλύτερα, έστω και αν δε βγεις στο σωστό αποτέλεσμα. Αν κάπου προβληματίζεσαι πολύ, εδώ υπάρχουν πολλοί που θα βοηθήσουν!
Στέλιος
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 15 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
mostel
Πολύ δραστήριο μέλος
![Ημερομηνία Ημερομηνία](images/general/calendar.png)
![Ώρα Ώρα](images/general/clock.png)
να δείξετε οτι f(x)=x/(x^2+4) εχει τρία σημεία καμπής τα οποία ειναι συνευθειακά.
Κ το πεδιο ορισμου της f.
Να την παλαίψεις μόνη σου.
Στέλιος
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 15 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
mostel
Πολύ δραστήριο μέλος
![Ημερομηνία Ημερομηνία](images/general/calendar.png)
![Ώρα Ώρα](images/general/clock.png)
![Γλώσσα :P :P](https://www.e-steki.gr/images/smilies/tongue.gif)
Τώρα, για τη συγκεκριμένη συνάρτηση, για τους περίεργους:
https://en.wikipedia.org/wiki/Exponential_integral
- Στέλιος
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 15 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
mostel
Πολύ δραστήριο μέλος
![Ημερομηνία Ημερομηνία](images/general/calendar.png)
![Ώρα Ώρα](images/general/clock.png)
Στέλιος
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 15 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
mostel
Πολύ δραστήριο μέλος
![Ημερομηνία Ημερομηνία](images/general/calendar.png)
![Ώρα Ώρα](images/general/clock.png)
Από Rolle, υπάρχει ξ στο (α,β), τ.ώ:
Η εξίσωση της εφαπτόμενης σε τυχαίο σημείο x_0 είναι της μορφής:
Για
Και από την (1), προκύπτει τελικά:
Που σημαίνει ότι αυτή η εφαπτόμενη διέρχεται απ' την αρχή των αξόνων.
- Στέλιος
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 15 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
mostel
Πολύ δραστήριο μέλος
![Ημερομηνία Ημερομηνία](images/general/calendar.png)
![Ώρα Ώρα](images/general/clock.png)
Και κάνουμε Rolle σε αυτή στο
Το σημείο ξ που θα πάρουμε είναι και αυτό που μας δίνει την εφαπτομένη που διέρχεται απ' την αρχή των αξόνων....
- Στέλιος
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 15 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
mostel
Πολύ δραστήριο μέλος
![Ημερομηνία Ημερομηνία](images/general/calendar.png)
![Ώρα Ώρα](images/general/clock.png)
- Στέλιος
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 15 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
mostel
Πολύ δραστήριο μέλος
![Ημερομηνία Ημερομηνία](images/general/calendar.png)
![Ώρα Ώρα](images/general/clock.png)
Αν f είναι παραγωγισίμη στο R και ισχύει:
- Στέλιος
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 15 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
mostel
Πολύ δραστήριο μέλος
![Ημερομηνία Ημερομηνία](images/general/calendar.png)
![Ώρα Ώρα](images/general/clock.png)
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 15 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
mostel
Πολύ δραστήριο μέλος
![Ημερομηνία Ημερομηνία](images/general/calendar.png)
![Ώρα Ώρα](images/general/clock.png)
1) Παραγώγιση της πρώτης.
2) Αντικατάσταση της f''(x) από την δεύτερη σε αυτή που παραγώγισες.
3) Αντίκατασταση της f'(x) από την πρώτη ισότητα σε αυτή που παραγώγισες.
Τελικά παίρνουμε:
- Στέλιος
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 15 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
mostel
Πολύ δραστήριο μέλος
![Ημερομηνία Ημερομηνία](images/general/calendar.png)
![Ώρα Ώρα](images/general/clock.png)
Μετά ΘΜΤ ολοκλ. λογισμού στο
- Στέλιος
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 15 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
mostel
Πολύ δραστήριο μέλος
![Ημερομηνία Ημερομηνία](images/general/calendar.png)
![Ώρα Ώρα](images/general/clock.png)
Εγώ προτείνω:
1. Βάλε όπου χ το 2 στην εξίσωση, θα πάρεις ότι f(2)=0.
2. Παραγώγισε την εξίσωση
3. Όπου χ σε αυτή που θα προκύψει βάλε το 2 και χργσιμοποιώντας το βήμα 1 θα βγάλεις αυτό που ζητάς.
Είναι μεγάλο λάθος αυτό !!!
Δε μπορείς να το κάνεις, γιατί δεν έχεις εξασφαλίσει την παραγωγισιμότητα της συνάρτησης σε διάστημα, αλλά σε μοναδικό σημείο!!! Αναγκαστικά δουλεύουμε με τον ορισμό της παραγώγου εδώ!
Στέλιος
Υσ: Το τονίζω για να το προσέξετε όλοι. Κρίμα είναι να χάσετε μονάδες έτσι!
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 15 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
mostel
Πολύ δραστήριο μέλος
![Ημερομηνία Ημερομηνία](images/general/calendar.png)
![Ώρα Ώρα](images/general/clock.png)
Στέλιος
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 15 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
mostel
Πολύ δραστήριο μέλος
![Ημερομηνία Ημερομηνία](images/general/calendar.png)
![Ώρα Ώρα](images/general/clock.png)
1) Κλειστή μορφή (closed form) προφανώς εννοεί ενα τύπο για τοο οποίος να μην είναι αναδρομικός.
3) Το Master Theorem είναι ένα θεώρημα για που χρησιμοποιείται για να βρίσκει λύσεις σε αναδρομικές σχέσης όπως αυτή όπου τοεξαρτάται απο το
και όχι απο το
οπότε μπορεί να χρησιμοποιηθεί και εδώ.
1) Δε ξέρω τι εννοεί, γι' αυτό ζήτησα διευκρίνιση.
2) Πρόσεχε τι έγραψα. Αλγοριθμική διαδικασία. Δεν αποκλειεί κανείς και πουθενά την χρησιμοποίηση του σε maths (δεν είναι computers related αποκλειστικά). Άλλωστε π.χ. απ' τους πρώτους αλγορίθμους ήταν αυτός του Ευκλείδη, ο της διαίρεσης. Διευκρίνιση έκανα στο master theorem, γιατί δε μοιάζει τόσο με τα κλασικά θεωρήματα, παρά είναι ένας μαθηματικός αλγόριθμος.
Στέλιος
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 15 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
mostel
Πολύ δραστήριο μέλος
![Ημερομηνία Ημερομηνία](images/general/calendar.png)
![Ώρα Ώρα](images/general/clock.png)
2) Το φόρουμ είναι σχολικό.
3) To master theorem είναι αλγοριθμική διαδικασία (recursion theory).
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 15 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
mostel
Πολύ δραστήριο μέλος
![Ημερομηνία Ημερομηνία](images/general/calendar.png)
![Ώρα Ώρα](images/general/clock.png)
Αρκεί να υπολογίσουμε το:
Από Del Hospital παίρνουμε:
Δηλαδή:
Άρα τελικώς το όριο που θέλουμε είναι ίσο με:
Στέλιος
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 15 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
mostel
Πολύ δραστήριο μέλος
![Ημερομηνία Ημερομηνία](images/general/calendar.png)
![Ώρα Ώρα](images/general/clock.png)
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 15 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
mostel
Πολύ δραστήριο μέλος
![Ημερομηνία Ημερομηνία](images/general/calendar.png)
![Ώρα Ώρα](images/general/clock.png)
Στέλιος
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 15 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
mostel
Πολύ δραστήριο μέλος
![Ημερομηνία Ημερομηνία](images/general/calendar.png)
![Ώρα Ώρα](images/general/clock.png)
Στέλιος
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 15 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
mostel
Πολύ δραστήριο μέλος
![Ημερομηνία Ημερομηνία](images/general/calendar.png)
![Ώρα Ώρα](images/general/clock.png)
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 15 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
mostel
Πολύ δραστήριο μέλος
![Ημερομηνία Ημερομηνία](images/general/calendar.png)
![Ώρα Ώρα](images/general/clock.png)
Όλο αυτό σε ολοκλήρωμα! Και μετά κάνεις κατά παράγοντες...!![]()
Δεν χρειάζεται κατά παράγοντες... Γιατί ;
![Χαμόγελο :) :)](https://www.e-steki.gr/images/smilies/smilenew.png)
Στέλιος
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 15 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
mostel
Πολύ δραστήριο μέλος
![Ημερομηνία Ημερομηνία](images/general/calendar.png)
![Ώρα Ώρα](images/general/clock.png)
Στέλιος
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 15 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
mostel
Πολύ δραστήριο μέλος
![Ημερομηνία Ημερομηνία](images/general/calendar.png)
![Ώρα Ώρα](images/general/clock.png)
Άρα στο
Στέλιος
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 15 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
mostel
Πολύ δραστήριο μέλος
![Ημερομηνία Ημερομηνία](images/general/calendar.png)
![Ώρα Ώρα](images/general/clock.png)
Αν παρουσίαζε σε ένα σημείο τοπικό ακρότατο, έστω το
Αυτό όμως είναι άτοπο , γιατί δεν υπάρχει τιμή του
Άρα ακριβώς επειδή καταλήξαμε σε άτοπο, αποκλείεται αυτή η συνάρτηση που μας δόθηκε να παρουσιάζει σε οποιοδήποτε πραγματικό σημείο ακρότατο.
Στέλιος
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 15 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
mostel
Πολύ δραστήριο μέλος
![Ημερομηνία Ημερομηνία](images/general/calendar.png)
![Ώρα Ώρα](images/general/clock.png)
(προκύπτει με πολλούς τρόπους αυτή, όπως είναι π.χ. το θεώρημα που λέει πως σε κάθε κυρτή συνάρτηση, η εφαπτομένη στο σημείο αλλαγής κοίλων, αφήνει τη συνάρτηση κάτω απ' αυτή).
Και στη θέση του
Στέλιος
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 15 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
mostel
Πολύ δραστήριο μέλος
![Ημερομηνία Ημερομηνία](images/general/calendar.png)
![Ώρα Ώρα](images/general/clock.png)
χαχαχα μπραβο ρε στελιο.την αποδειξη την εχεις καταλαβει?εγω την παλευω πολυ καιρο τωρα!!
Εκεί που νομίζω ότι την κατάλαβα, εκεί ακριβώς καταλαβαίνω ότι δεν την κατάλαβα.
![Χαμόγελο :) :)](https://www.e-steki.gr/images/smilies/smilenew.png)
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 15 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
mostel
Πολύ δραστήριο μέλος
![Ημερομηνία Ημερομηνία](images/general/calendar.png)
![Ώρα Ώρα](images/general/clock.png)
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 15 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
mostel
Πολύ δραστήριο μέλος
![Ημερομηνία Ημερομηνία](images/general/calendar.png)
![Ώρα Ώρα](images/general/clock.png)
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 15 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
mostel
Πολύ δραστήριο μέλος
![Ημερομηνία Ημερομηνία](images/general/calendar.png)
![Ώρα Ώρα](images/general/clock.png)
Αν είναι η f γν. αύξουσα θα ισχύει για κάθε x1, x2
x1 > x2 =>
f(x1)> f(x2)
Για την αντίστροφη, για κάθε y1 = f(x2) , y2=f(x2) , θα ισχύεi...
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 15 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
mostel
Πολύ δραστήριο μέλος
![Ημερομηνία Ημερομηνία](images/general/calendar.png)
![Ώρα Ώρα](images/general/clock.png)
![Χαμόγελο :) :)](https://www.e-steki.gr/images/smilies/smilenew.png)
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 15 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
mostel
Πολύ δραστήριο μέλος
![Ημερομηνία Ημερομηνία](images/general/calendar.png)
![Ώρα Ώρα](images/general/clock.png)
ουτως η αλλως ειναι ευκολο να αποδειχτει.νομιζω πως προκειται για μια "διαδεδομενη" ασκηση
Η ευκολία δε συζητείται. Το θέμα είναι πως, αν δεν υπάρχει απόδειξη στο βιβλίο, θα πρέπει να γίνει οπωσδήποτε. Όπως και στους μιγαδικούς που υπάρχει η εφαρμογή ,
Υσ: Πότε θα πάμε για καφέ Σαλόνικα;
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 15 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
mostel
Πολύ δραστήριο μέλος
![Ημερομηνία Ημερομηνία](images/general/calendar.png)
![Ώρα Ώρα](images/general/clock.png)
καλα ενταξει.αλλα οταν μια συναρτηση ειναι παραγωγισιμη ειναι και συνεχης.απο την αλλη οταν γραψεις αυτο που λες μπορει να νομισει πως απουκνυεις την παρα/τητα με σω της συνεχειας κατι που ειναι λαθος περα για περα.
Ή και γενικώς ότι δε ξέρεις τι σημαίνει παραγωγισιμότητα μιας συνάρτησης.
Κατ' εμέ, αν γράφεται περί συνέχειας, πρέπει να θεωρείται λάθος.
Στέλιος
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 15 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
mostel
Πολύ δραστήριο μέλος
![Ημερομηνία Ημερομηνία](images/general/calendar.png)
![Ώρα Ώρα](images/general/clock.png)
μια καπως πιο απλη λυση (αν και σχεδον ιδια): απο τη δοθεισα σχεση συμπαιρενουμε οτι η f εχει αντιστροφη την g(x) = x^3 + e^x+1.επειδη η g ειναι γν.αυξουσα θα ειναι και η f γν.αυξουσα διοτι δυο αντιστροφες συναρτησεις εχουν παντα το ιδιο ειδος μονοτονιας!
Χρήστο, αυτό τα παιδιά μπορούν να το χρησιμοποιήσουν έτσι ως έχει ή πρέπει να το αποδείξουν; Δε νομίζω να υπάρχει κάποιο αυτούσιο πόρισμα στο βιβλίο της 3ης. Eπομένως, μάλλον, θα χρειάζεται απόδειξη.
Στέλιος
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 15 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
mostel
Πολύ δραστήριο μέλος
![Ημερομηνία Ημερομηνία](images/general/calendar.png)
![Ώρα Ώρα](images/general/clock.png)
λοιπον κοιτα...η λυση ειναι ετσι οπως στην εδωσα με την εξης παρατηρηση..
δειχνουμε οτι ειναι ενα προς ενα
εστω f(x1)=f(x2)<=>f^3(x1)=f^3(x2) και e^f(x1) + 1=e^f(x2) + 1
με προσθεση κατα μελη των δυο ισοτητων και με την δοθεισα σχεση ειναι:
χ1=χ2
επομενως η συναρτηση ειναι 1-1..αρα δεν μπορει να ειναι σταθερη...
αρα ή γνησιως φθινουσα ή γνησιως αυξουσα ειναι (ή και τα δυο ανα διαστηματα), απορριπτεται το γνησιως φθινουσα με τον τροπο που σου δειξα παραπανω..
επομενως η συναρτηση ειναι γνησιως αυξουσα..
αυτη ειναι η οριστικη απαντηση μου..ελπιζω να βοηθησα
In Flames Gn
Δε σημαίνει πως επειδή είναι 1-1 θα 'ναι και γνησίως μονότονη. Δε γνωρίζεις τίποτα για τη συνέχεια της συνάρτησης.
Στέλιος
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 15 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
mostel
Πολύ δραστήριο μέλος
![Ημερομηνία Ημερομηνία](images/general/calendar.png)
![Ώρα Ώρα](images/general/clock.png)
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 15 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
mostel
Πολύ δραστήριο μέλος
![Ημερομηνία Ημερομηνία](images/general/calendar.png)
![Ώρα Ώρα](images/general/clock.png)
Μα, αν το P άρτιου έχει ρίζες πως γίνεται να μην παραγοντοποιείται; Αν πχ. χ^2-5χ+6, τότε αυτό αναλύεται σε γινόμενο παραγόντων ως (χ-2)(χ-3) αφου προφανείς ρίζες τα 2,3.
Sorry, μαλακία έγραψα.Άλλο εννοούσα.
Γενικά ένα πολυώνυμο αρτίου βαθμού δεν έχει πάντα ρίζα (πραγματική), σε αντίθεση με ένα περιττού.
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 15 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
mostel
Πολύ δραστήριο μέλος
![Ημερομηνία Ημερομηνία](images/general/calendar.png)
![Ώρα Ώρα](images/general/clock.png)
Δεν είπα διάστημα, είπα σύνολο. Για παράδειγμα το σύνολο των πραγματικών αριθμών.
Όχι. Στο R π.χ. δε παραγοντοποιείται κανένα πολυώνυμο άρτιου βαθμού. Γενικά στην ουσία η παραγοντοποίηση είναι η διαδικασία για την έρευση λύσης (ρίζα) σε μια εξίσωση.
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 15 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
mostel
Πολύ δραστήριο μέλος
![Ημερομηνία Ημερομηνία](images/general/calendar.png)
![Ώρα Ώρα](images/general/clock.png)
Γενικά λέω, όχι για την ύλη της Γ' Γυμνασίου.
Εννοώ ότι αν σε ένα σύνολο Α δεν υπάρχει χο ώστε P(χο)=0, με P ν-βάθμιο πολυώνυμο, μπορεί αυτό να παραγοντοποιείται;
Γενικά δε καταλαβαίνω τι θέλεις να πεις.. Δεν υπάρχει παραγοντοποίηση σε "διάστημα" . Μήπως θες να πεις κάτι άλλο ;
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 15 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
mostel
Πολύ δραστήριο μέλος
![Ημερομηνία Ημερομηνία](images/general/calendar.png)
![Ώρα Ώρα](images/general/clock.png)
Στο R.
Αν ένα πολύωνυμο δεν έχει ρίζες σε ένα σύνολο Α, μπορεί σε αυτό να παραγοντοποιείται; (ερώτηση)
Γιατί βλέπεις τα μικρά να γνωρίζουν για μιγαδικούς;
Όταν λες δεν έχει ρίζες, τι είδους ρίζες ;
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 15 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
mostel
Πολύ δραστήριο μέλος
![Ημερομηνία Ημερομηνία](images/general/calendar.png)
![Ώρα Ώρα](images/general/clock.png)
Kάτι τέτοιο είχα στο μυαλό μου και εγώ αλλά δε μίλησα γιατί θα τον μπέρδευα σίγουρα
-----------------------------------------
Ηλία παράδειγμα χρήσης αυτής της μεθόδου είναι η διαδικασία παραγοντοποίησης της παράστασης![]()
Δεν παραγοντοποιείται αυτή η παράσταση που 'να χτυπιέσαι...
![Γλώσσα :P :P](https://www.e-steki.gr/images/smilies/tongue.gif)
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 15 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
mostel
Πολύ δραστήριο μέλος
![Ημερομηνία Ημερομηνία](images/general/calendar.png)
![Ώρα Ώρα](images/general/clock.png)
δεν αμφιβαλλω για την επιστημονικη ορθοτητα της λυσης, αλλα οι πινακες ειναι εκτος υλης...και γενικως πιστευω πως η λυση με κλαδικη συναρτηση με τις κομβικες τιμες 0 και 1 ειναι πιο κατανοητη για τους μαθητες...
μπραβο παντως στελιο για τη γαματη φαντασια σου..πολυ ωραιες εμπνευσεις..
In Flames Gn
Βασικά δεν είναι θέμα έμπνευσης, είναι θέμα ορισμού του γινομένου σε πίνακες. Όταν μπεις με το καλό σε ένα τμήμα που θα 'χεις γραμμική άλγεβρα ως υποχρεωτικό μάθημα, θα τους φας στο κεφάλι και θα λες και ευχαριστώ
![Όλε! :jumpy: :jumpy:](https://www.e-steki.gr/images/smilies/jumpy.gif)
![Γλώσσα :P :P](https://www.e-steki.gr/images/smilies/tongue.gif)
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 15 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
mostel
Πολύ δραστήριο μέλος
![Ημερομηνία Ημερομηνία](images/general/calendar.png)
![Ώρα Ώρα](images/general/clock.png)
εξαλλου οι συναρτησεις του στελιου ικανοποιουν το ζητουμενο αλλα δεν ειναι απο R το στο R!!
Τότε μπορούμε να ορίσουμε το γινόμενο πινάκων σειράς με σειρά ή στήλη με στήλη αντίστοιχα. Εν γένει, δεν ισχύει πως αν Α,Β πίνακες:
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 15 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
mostel
Πολύ δραστήριο μέλος
![Ημερομηνία Ημερομηνία](images/general/calendar.png)
![Ώρα Ώρα](images/general/clock.png)
(όλα σε παραμετρική μορφή του x)
όταν το εσωτερικό γινόμενο είναι μηδέν, δε σημαίνει πως και τα διανύσματα είναι ίσα με το μηδέν
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 15 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
mostel
Πολύ δραστήριο μέλος
![Ημερομηνία Ημερομηνία](images/general/calendar.png)
![Ώρα Ώρα](images/general/clock.png)
Στέλιος
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 15 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
mostel
Πολύ δραστήριο μέλος
![Ημερομηνία Ημερομηνία](images/general/calendar.png)
![Ώρα Ώρα](images/general/clock.png)
-----------------------------------------
Σημείωση:
Το πεδίο ορισμού της f δεν είναι ίδιο με το πεδίο ορισμού της:
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 15 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
mostel
Πολύ δραστήριο μέλος
![Ημερομηνία Ημερομηνία](images/general/calendar.png)
![Ώρα Ώρα](images/general/clock.png)
γιατι για χ=0 δεν οριζεται το οριο? δεν κανει +απειρο?(+απειρο*1)
Βασικά παίζει να 'χεις δίκαιο, γιατί τώρα βλέπω ότι ο ν είναι φυσικός. Ε, θέμα πράξεων είναι, δεν κάθισα να τις κάνω αναλυτικά. Με το μάτι το έκανα, αλλά πρέπει να συμπεριέλαβα και την περίπτωση για 1/ν = υ, με το υ να τείνει στο 0 απ' τα αριστερά.
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 15 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
mostel
Πολύ δραστήριο μέλος
![Ημερομηνία Ημερομηνία](images/general/calendar.png)
![Ώρα Ώρα](images/general/clock.png)
Πρέπει δηλαδή
Για
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 15 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
mostel
Πολύ δραστήριο μέλος
![Ημερομηνία Ημερομηνία](images/general/calendar.png)
![Ώρα Ώρα](images/general/clock.png)
sin = ημίτονο
tan = εφαπτομένη
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 15 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
mostel
Πολύ δραστήριο μέλος
![Ημερομηνία Ημερομηνία](images/general/calendar.png)
![Ώρα Ώρα](images/general/clock.png)
![Χαμόγελο :) :)](https://www.e-steki.gr/images/smilies/smilenew.png)
Άρα:
Όμως
(Μπορούμε να το δείξουμε εύκολα αν θέσουμε
Άρα, μας μένει να υπολογίσουμε το
Όμως από τριγωνομετρία έχουμε:
Έτσι:
Άρα το όριο είναι ίσο με
Στέλιος
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 15 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
mostel
Πολύ δραστήριο μέλος
![Ημερομηνία Ημερομηνία](images/general/calendar.png)
![Ώρα Ώρα](images/general/clock.png)
ευχαριστω...προσπαθησα αλλα δν μ εβγαινε
να σαι καλα
Οκ, δεν πειράζει
![Χαμόγελο :) :)](https://www.e-steki.gr/images/smilies/smilenew.png)
Θέμα εμπειρίας είναι όλα....! Με τον καιρό θα τα συνηθίσεις
![Κλείνω μάτι ;) ;)](https://www.e-steki.gr/images/smilies/wink.gif)
Αν έχεις καμιά άλλη απορία και γενικώς θέλεις να ρωτήσεις ο,τιδήποτε, εδώ είμαστε!
Στέλιος
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 15 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
mostel
Πολύ δραστήριο μέλος
![Ημερομηνία Ημερομηνία](images/general/calendar.png)
![Ώρα Ώρα](images/general/clock.png)
= 128 ειναι δν φαινεται καλα
θα μ εξηγησεις?
Λοιπόν,
καλό θα ήταν να τη παιδέψεις την άσκηση λίγο μόνη σου (μιας και θεωρείται και βασική). Δηλαδή, δεν έχει τόσο νόημα να την αντιγράψεις. Anyway, κάπως έτσι πάει η λύση:
Τώρα , πρέπει να δεις αν όντως για
Πώς θα το κάνεις αυτό; Με πράξεις
![Πολύ χαρούμενος :D :D](https://www.e-steki.gr/images/smilies/biggrin.gif)
Δηλαδή:
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 15 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
mostel
Πολύ δραστήριο μέλος
![Ημερομηνία Ημερομηνία](images/general/calendar.png)
![Ώρα Ώρα](images/general/clock.png)
Μετρώνεις για να βρεις το ν, και στη συνέχεια κάνεις πράξεις για να δεις αν όντως ισχύει.
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 15 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
mostel
Πολύ δραστήριο μέλος
![Ημερομηνία Ημερομηνία](images/general/calendar.png)
![Ώρα Ώρα](images/general/clock.png)
Απλώς αρκεί να σκεφτεί την Minkowski Inequality.
Στέλιος
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 15 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
mostel
Πολύ δραστήριο μέλος
![Ημερομηνία Ημερομηνία](images/general/calendar.png)
![Ώρα Ώρα](images/general/clock.png)
Η δεύτερη είναι λάθος. Αντιπαράδειγμα:
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 15 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
mostel
Πολύ δραστήριο μέλος
![Ημερομηνία Ημερομηνία](images/general/calendar.png)
![Ώρα Ώρα](images/general/clock.png)
Στέλιος
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 15 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
mostel
Πολύ δραστήριο μέλος
![Ημερομηνία Ημερομηνία](images/general/calendar.png)
![Ώρα Ώρα](images/general/clock.png)
Από την αλλή , μπορούμε και με την τριγωνική με μιγάδες και μόνο:
Η ισότητα πραγματοποιείται όταν τα τμήματα είανι αυτά παράλληλα. Δηλαδή έχουμε συγγραμικά διανύσματα, άρα όταν:
Δηλαδή όταν κινούνται στο εύθυγραμμο τμήμα ΑΒ, μιας τα Α και Β κινούνται επί του x'x.
Στέλιος
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 15 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
mostel
Πολύ δραστήριο μέλος
![Ημερομηνία Ημερομηνία](images/general/calendar.png)
![Ώρα Ώρα](images/general/clock.png)
Εύκολα παρατηρούμε ότι ο
Αφού:
Από τριγωνική:
&
QED.
* Iσότητα επιτυγχάνεται για
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 15 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
mostel
Πολύ δραστήριο μέλος
![Ημερομηνία Ημερομηνία](images/general/calendar.png)
![Ώρα Ώρα](images/general/clock.png)
Στέλιος
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 15 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
mostel
Πολύ δραστήριο μέλος
![Ημερομηνία Ημερομηνία](images/general/calendar.png)
![Ώρα Ώρα](images/general/clock.png)
z = w, τότε προφανώς μπορείς να υψώσεις στο τετράγωνο.
Στους μιγαδικούς δε κοιτάμε θετικά - αρνητικά, δε παίζει ρόλο η διάταξη.
Στέλιος
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 15 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
mostel
Πολύ δραστήριο μέλος
![Ημερομηνία Ημερομηνία](images/general/calendar.png)
![Ώρα Ώρα](images/general/clock.png)
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 15 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
mostel
Πολύ δραστήριο μέλος
![Ημερομηνία Ημερομηνία](images/general/calendar.png)
![Ώρα Ώρα](images/general/clock.png)
https://ischool.e-steki.gr/showpost.php?p=1235408&postcount=6
Όπου t, βάλε το 1/2 για τετραγωνική κλπ...
Στέλιος
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 15 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
mostel
Πολύ δραστήριο μέλος
![Ημερομηνία Ημερομηνία](images/general/calendar.png)
![Ώρα Ώρα](images/general/clock.png)
Στέλιος
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 15 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
mostel
Πολύ δραστήριο μέλος
![Ημερομηνία Ημερομηνία](images/general/calendar.png)
![Ώρα Ώρα](images/general/clock.png)
![Χαμόγελο :) :)](https://www.e-steki.gr/images/smilies/smilenew.png)
Στέλιος
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 15 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
mostel
Πολύ δραστήριο μέλος
![Ημερομηνία Ημερομηνία](images/general/calendar.png)
![Ώρα Ώρα](images/general/clock.png)
![Κλείνω μάτι ;) ;)](https://www.e-steki.gr/images/smilies/wink.gif)
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 15 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
mostel
Πολύ δραστήριο μέλος
![Ημερομηνία Ημερομηνία](images/general/calendar.png)
![Ώρα Ώρα](images/general/clock.png)
Επομένως, προφανώς και υφίσταται το σύμβολο ρίζα, άλλα όπως είπε και το Απόστολος, είναι ολόκληρη διαδικασία. Ο μιγαδικός δακτύλιος δεν αναιρεί τον πραγματικό, αλλά αποτελεί μια επέκτασή του.
Στέλιος
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 15 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
mostel
Πολύ δραστήριο μέλος
![Ημερομηνία Ημερομηνία](images/general/calendar.png)
![Ώρα Ώρα](images/general/clock.png)
Στέλιος
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 16 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
mostel
Πολύ δραστήριο μέλος
![Ημερομηνία Ημερομηνία](images/general/calendar.png)
![Ώρα Ώρα](images/general/clock.png)
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 16 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
mostel
Πολύ δραστήριο μέλος
![Ημερομηνία Ημερομηνία](images/general/calendar.png)
![Ώρα Ώρα](images/general/clock.png)
Λύνεται με Bernulli
Προφανώς υπάρχει και λύση ανάλυσης με θεώρηση κατάλληλης συνάρτησης
Στέλιος
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 16 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
mostel
Πολύ δραστήριο μέλος
![Ημερομηνία Ημερομηνία](images/general/calendar.png)
![Ώρα Ώρα](images/general/clock.png)
- Στέλιος
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 16 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
mostel
Πολύ δραστήριο μέλος
![Ημερομηνία Ημερομηνία](images/general/calendar.png)
![Ώρα Ώρα](images/general/clock.png)
Λοιπόν, θα τη δω την άσκηση τότε λίγο ακόμη το βραδάκι και αν δε βρω κάτι θα σου πω να γράψεις λύση!
Στέλιος
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 16 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
mostel
Πολύ δραστήριο μέλος
![Ημερομηνία Ημερομηνία](images/general/calendar.png)
![Ώρα Ώρα](images/general/clock.png)
Πολ/ζω τη μεσαία με 2 και έχω :
Για
Όμως η
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 16 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
mostel
Πολύ δραστήριο μέλος
![Ημερομηνία Ημερομηνία](images/general/calendar.png)
![Ώρα Ώρα](images/general/clock.png)
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 16 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
mostel
Πολύ δραστήριο μέλος
![Ημερομηνία Ημερομηνία](images/general/calendar.png)
![Ώρα Ώρα](images/general/clock.png)
(Αν πολ/σουμε τη μεσαία σχέση με το 2 και πάμε σε τετράγωνα και πάρουμε την f(x)=2/(x+1) ) , νομίζω πως μπορούμε να βρούμε τέτοιο α. Θα το κοιτάξω και αύριο όμως αν βρω χρόνο).
Στέλιος
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 16 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
mostel
Πολύ δραστήριο μέλος
![Ημερομηνία Ημερομηνία](images/general/calendar.png)
![Ώρα Ώρα](images/general/clock.png)
![Χαμόγελο :) :)](https://www.e-steki.gr/images/smilies/smilenew.png)
Xρησιμοποιούμε την
κλπ
Στέλιος
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 16 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
mostel
Πολύ δραστήριο μέλος
![Ημερομηνία Ημερομηνία](images/general/calendar.png)
![Ώρα Ώρα](images/general/clock.png)
Και έχουμε :
Ξεφορτώνομαι τα
Ή
( μπορώ να διαιρέσω με
Άρα κάνω Rolle στην
Στέλιος
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 16 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
mostel
Πολύ δραστήριο μέλος
![Ημερομηνία Ημερομηνία](images/general/calendar.png)
![Ώρα Ώρα](images/general/clock.png)
και κάνε Rolle
Στέλιος
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 16 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
mostel
Πολύ δραστήριο μέλος
![Ημερομηνία Ημερομηνία](images/general/calendar.png)
![Ώρα Ώρα](images/general/clock.png)
Αν είναι κοίλη, ισχύει η αναστροφή αυτής (διαφορειτκή φορά στην ανίσωση).
Π.χ.
Πάρε την lnx που στρέφει τα κοίλα κάτω στο R .
Έχουμε :
Που ισχύει αφού:
Απόδειξη της
που ισχύει .
Άρα η άσκηση είναι λάθος δοσμένη και αφήστε που δεν είναι για Β' Λυκείου !
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 16 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
mostel
Πολύ δραστήριο μέλος
![Ημερομηνία Ημερομηνία](images/general/calendar.png)
![Ώρα Ώρα](images/general/clock.png)
Τα πρώτα δύο είναι σχετικά εύκολα !
Ισχύει :
Άρα :
Άλλο ερώτημα θα μπορούσε να 'ναι να δειχθεί ότι
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 16 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
mostel
Πολύ δραστήριο μέλος
![Ημερομηνία Ημερομηνία](images/general/calendar.png)
![Ώρα Ώρα](images/general/clock.png)
Έχουμε:
Έστω
Γράφεται δηλαδή και :
Ή
Ή
Όμως από Arithmetic - Geometric Mean Inequality ισχύει:
και τελειώσαμε...
Σημείωση: Η ισότητα εδώ ισχύει για
Στέλιος
ΥΣ: Η λύση μου είναι όμως πολύ πιο απλή...
ΥΣ: Πληροφορίες για την ανισότητα που χρησιμοποίησα παραπάνω εδώ !
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 16 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
mostel
Πολύ δραστήριο μέλος
![Ημερομηνία Ημερομηνία](images/general/calendar.png)
![Ώρα Ώρα](images/general/clock.png)
Στέλιος
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 16 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
mostel
Πολύ δραστήριο μέλος
![Ημερομηνία Ημερομηνία](images/general/calendar.png)
![Ώρα Ώρα](images/general/clock.png)
![Χαμόγελο :) :)](https://www.e-steki.gr/images/smilies/smilenew.png)
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 16 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
mostel
Πολύ δραστήριο μέλος
![Ημερομηνία Ημερομηνία](images/general/calendar.png)
![Ώρα Ώρα](images/general/clock.png)
![Θυμωμένο :mad: :mad:](https://www.e-steki.gr/images/smilies/mad.gif)
![Λυπημένος :( :(](https://www.e-steki.gr/images/smilies/frown.gif)
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 16 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
mostel
Πολύ δραστήριο μέλος
![Ημερομηνία Ημερομηνία](images/general/calendar.png)
![Ώρα Ώρα](images/general/clock.png)
![Γλώσσα :P :P](https://www.e-steki.gr/images/smilies/tongue.gif)
Για
Στέλιος
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 16 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
mostel
Πολύ δραστήριο μέλος
![Ημερομηνία Ημερομηνία](images/general/calendar.png)
![Ώρα Ώρα](images/general/clock.png)
Έχουμε:
Έστω ότι ίσχυε
Άτοπο , μιας και δεν είναι σταθερή η συνάρτησή μας .
Άρα ισχύει:
Ή
ή
Όμως
Τη (2) την τοποθετούμε στην (1) και τελειώσαμε .
Στέλιος
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 16 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
mostel
Πολύ δραστήριο μέλος
![Ημερομηνία Ημερομηνία](images/general/calendar.png)
![Ώρα Ώρα](images/general/clock.png)
![Κλείνω μάτι ;) ;)](https://www.e-steki.gr/images/smilies/wink.gif)
Στέλιος
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 16 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
mostel
Πολύ δραστήριο μέλος
![Ημερομηνία Ημερομηνία](images/general/calendar.png)
![Ώρα Ώρα](images/general/clock.png)
Let me try:
Μετά integrate, αντικατάσταση και προκύπτει άμεσα το ζητούμενο .
Στέλιος
ΥΣ: Τι να το κάνεις που 'ναι γνησίως αύξουσα... αυτό είναι εκτός τόπου και χρόνου από το θέμα... Να γράψω αν είναι το πάτερ ημών μπας και πάρω κανά μόριο παραπάνω αν πέσω σε κάναν θρήσκο...
![Γλώσσα :P :P](https://www.e-steki.gr/images/smilies/tongue.gif)
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 16 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
mostel
Πολύ δραστήριο μέλος
![Ημερομηνία Ημερομηνία](images/general/calendar.png)
![Ώρα Ώρα](images/general/clock.png)
(Αν και το αποτέλεσμα θα 'ναι arctan, εκτός ύλης λυκείου!)
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 16 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
mostel
Πολύ δραστήριο μέλος
![Ημερομηνία Ημερομηνία](images/general/calendar.png)
![Ώρα Ώρα](images/general/clock.png)
![Χαμόγελο :) :)](https://www.e-steki.gr/images/smilies/smilenew.png)
Καλή επιτυχία στο διαγώνισμά σου αύριο!
Στέλιος
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 16 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
mostel
Πολύ δραστήριο μέλος
![Ημερομηνία Ημερομηνία](images/general/calendar.png)
![Ώρα Ώρα](images/general/clock.png)
Για το δεύτερο:
Επειδή είναι κυρτή, η πρώτη παράγωγος είναι γνήσια αύξουσα.
Από υπόθεση ισχύει:
Έτσι
Από όπου και προκύπτει ότι το ελάχιστο της
Όμως
Έτσι
Έτσι
Δηλαδή:
Στέλιος
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 16 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
mostel
Πολύ δραστήριο μέλος
![Ημερομηνία Ημερομηνία](images/general/calendar.png)
![Ώρα Ώρα](images/general/clock.png)
Λογικά θέλει να παραγωγίσεις δύο φορές και είσαι εντάξει.
Για το άλλο, για να 'μαι μια συνάρτηση παρ/σιμη σε ένα σημείο , πρέπει να αρχικά να εξασφαλίσεις πως είναι συνεχής .
Την απόδειξη την έχει και το σχολικό βιβλίο !
Στέλιος
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 16 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
mostel
Πολύ δραστήριο μέλος
![Ημερομηνία Ημερομηνία](images/general/calendar.png)
![Ώρα Ώρα](images/general/clock.png)
Έτσι μπορούμε να διαιρέσουμε χωρίς να σπαζοκεφαλιάζουμε .
Σημείο τομής αποκλείεται να 'ναι το 0 δηλαδή
![Χαμόγελο :) :)](https://www.e-steki.gr/images/smilies/smilenew.png)
Στέλιος
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 16 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
mostel
Πολύ δραστήριο μέλος
![Ημερομηνία Ημερομηνία](images/general/calendar.png)
![Ώρα Ώρα](images/general/clock.png)
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 16 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
mostel
Πολύ δραστήριο μέλος
![Ημερομηνία Ημερομηνία](images/general/calendar.png)
![Ώρα Ώρα](images/general/clock.png)
Έστω
Από υπόθεση έχουμε:
Δηλαδή εν τέλει:
Διαιρούμε κατά μέλη και μετά από πράξεις καταλήγουμε στη:
Νομίζω τώρα από εδώ πως είναι προφανές πως πάμε για Rolle στην
στο
Από όπου θα προκύψει και η ζητούμενη.
Στέλιος
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 16 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
mostel
Πολύ δραστήριο μέλος
![Ημερομηνία Ημερομηνία](images/general/calendar.png)
![Ώρα Ώρα](images/general/clock.png)
Έστω η δύο φορές παρ/σιμη συνάρτηση
i)
ii)
α) Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση:
είναι σταθερή.
β) Να βρείτε τον τύπο της συνάρτησης
γ) Να βρείτε τις ασύμπτωτες της γραφικής παράστασης της
δ) Να βρείτε το σύνολο τιμών της
ε) Να αποδείξετε ότι αν
στ) Να βρείτε το εμβαδόν του χωρίου που περικλίεται από τη γραφική παράσταση της
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 16 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
mostel
Πολύ δραστήριο μέλος
![Ημερομηνία Ημερομηνία](images/general/calendar.png)
![Ώρα Ώρα](images/general/clock.png)
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 16 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
mostel
Πολύ δραστήριο μέλος
![Ημερομηνία Ημερομηνία](images/general/calendar.png)
![Ώρα Ώρα](images/general/clock.png)
Έστω συνάρτηση μη σταθερή,
Στέλιος
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 16 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
mostel
Πολύ δραστήριο μέλος
![Ημερομηνία Ημερομηνία](images/general/calendar.png)
![Ώρα Ώρα](images/general/clock.png)
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 16 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
mostel
Πολύ δραστήριο μέλος
![Ημερομηνία Ημερομηνία](images/general/calendar.png)
![Ώρα Ώρα](images/general/clock.png)
Το ανάποδο σίγουρα όχι!
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 16 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
mostel
Πολύ δραστήριο μέλος
![Ημερομηνία Ημερομηνία](images/general/calendar.png)
![Ώρα Ώρα](images/general/clock.png)
![hmmm :hmm: :hmm:](https://www.e-steki.gr/images/smilies/hmmm.gif)
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 16 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
mostel
Πολύ δραστήριο μέλος
![Ημερομηνία Ημερομηνία](images/general/calendar.png)
![Ώρα Ώρα](images/general/clock.png)
Πάντως δε γίνετια να 'ναι σταθερή, γιατί αν δε μου φυγαν πράξεις, η
c = x - xlnx
Δεν έχει λύση στο σύνολο τιμών της f , όπως έχει δοθεί αυτή στην εκφώνηση!
Στέλιος
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 16 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
mostel
Πολύ δραστήριο μέλος
![Ημερομηνία Ημερομηνία](images/general/calendar.png)
![Ώρα Ώρα](images/general/clock.png)
Πάρε τη συνάρτηση x - xlnx . (Π.Ο. (1,e)). Θα δεις ότι μηδενίζει σε σημεία εκτός συνόλου τιμών της f, όπερ άτοπο.
Επίσης, το ότι λες πως είναι γνησίως αύξουσα δε σου εξασφαλίζει πως έχει και ρίζα!
Στέλιος
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 16 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
mostel
Πολύ δραστήριο μέλος
![Ημερομηνία Ημερομηνία](images/general/calendar.png)
![Ώρα Ώρα](images/general/clock.png)
Αυτή που έδωσες γράφεται και:
Ή
κ.λπ.
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 16 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.