Άλλα μηνύματα του μέλους Wilmarth σε αυτό το thread

Wilmarth · 6 Φεβρουαρίου 2008

Αγαπητε Λαμπρο,
αυτο που ξεχωριζει τα μαθηματικα απο την απλη συνομιλια σε μια κοινη γλωσσα ειναι ακριβως το γεγονος οτι καθε εννοια στα μαθηματικα ειναι ειτε ορισμενη βασει αλλων εννοιων (ειτε ηδη ορισμενων ειτε θεμελιωδων) ειτε θεμελιωδης η ιδια. Κατα συνεπεια, οταν μου λες οτι η εννοια 'εφαπτονται' εχει ηδη (κατα τη γνωμη σου τουλαχιστον) μια αναμφιβολη γραμματικη εννοια, θεωρωντας το αυτο ως επαρκη λογο να τη συμπεριλαβουμε σε μαθηματικο λογο, θετεις εαυτον εκτος μαθηματικων ηδη απο τα αποδυτηρια...

Φρονώ ότι και ο Ευκλείδης που χρησιμοποιεί τον όρο αυτό ακριβώς εννοεί γιατί αν εννοούσε κάτι άλλο, θα έπρεπε να το ορίζει. Δεν υπάρχει όμως ορισμός που τον ευκλείδειο όρο «εφάπτονται» να τον ερμηνεύει αλλιώς από την γραμματική του έννοια. Έτσι λοιπόν όποιος τον αρνείται έχει την υποχρέωση να αποδείξει ότι ο Ευκλείδης δεν χρησιμοποιεί τον όρο με τη γραμματική του σημασία ή να υποδείξει αξίωμα που να απαγορεύει τη χρήση του όρου από τον Ευκλείδη γιατί υπάρχει κάποιο άλλο αξίωμα ή άλλος όρος προς τον οποίο αντιφάσκει.

Μα δε μπορουμε καν να αναρωτηθουμε αν αντιφασκει η οχι προς κατι αλλο, αν δεν ξερουμε καν τι σημαινει στα μαθηματικα παρα μονο σε μια νεφελωδη 'γραμματικη' που ο ενας μπορει να την ερμηνευσει ετσι και ο αλλος αλλιως.

Για να δωσω ενα (εντελως ακραιο, φυσικα) παραδειγμα : Που ξερω εγω αν καποιος δε θα ερμηνευσει το 'Σημειον εστι ου μερος ουθεν' ως 'Σημειο ειναι εκει που δεν υπαρχουν τουαλετες' ;

Οσο για τον Ευκλειδη, δε χρειαζεται να του χαριστουμε : Αν τη χρησιμοποιει χωρις να την οριζει, Ευκλειδης-Ξευκλειδης, κακως κανει. Και επειδη δεν ειναι το μονο στραβο στα 'Στοιχεια' του, γι' αυτο επενεβησαν μελλοντικες γενεες μαθηματικων (οπως ο Hilbert) για να θεσουν αυτο το υπεροχο οικοδομημα του Ευκλειδη σε πιο γερα θεμελια.

Η ετυμολογία του είναι η γραμματική ετυμολογία διότι δεν ορίζεται αλλιώς

Οπως εξηγησα προηγουμενως, δεν υπαρχει 'γραμματικη ετυμολογια' στα μαθηματικα. Μια εννοια ειτε ανηκει στις (περιφραστικα η τετριμμενα) ορισμενες εννοιες ειτε οχι. Και αν καποιος χρησιμοποιει μη ορισμενες εννοιες, θεωρωντας οτι το νοημα τους ειναι 'προφανες', ακομα κι αν ειναι ο ιδιος ο Ευκλειδης, σφαλλει.

Στη γεωμετρία ισχύει:
Κάθε έννοια για να οριστεί, δηλαδή να περιγραφεί με πληρότητα, σαφήνεια και ακρίβεια, χρειάζονται λέξεις που αναφέρονται σε άλλες απλούστερες γνωστές έννοιες. Υπάρχουν όμως και έννοιες που δεν μπορούν να περιγραφούν με άλλες απλούστερες. Οι έννοιες αυτές λέγονται αρχικές και είναι οι εξής:
Το σημείο, η ευθεία, το επίπεδο.
Θεωρητική γεωμετρία Α΄ Λυκείου του ΟΕΔΒ, των Αλιμπινίση, Δημάκου, Εξαρχάκου, Κοντογιάννη και Τασσόπουλου σελίδα 13.
Τι να κάνουμε λοιπόν που η έννοια εφάπτονται ή απέχουν μηδενικά ή δεν απέχουν (συνώνυμες εκφράσεις) είναι από τις μη αρχικές έννοιες, αλλά ανήκουν στην κατηγορία των εννοιών που περιγράφονται με πληρότητα σε χρήση άλλων γνωστών εννοιών όπως είναι ο γραμματικός όρος «εφάπτονται»;

Νομιζω οτι εχεις παρανοησει την εννοια των 'αλλων γνωστων εννοιων'. Στον ορισμο του βιβλιου, 'αλλες γνωστες εννοιες' σημαινει ακριβως ειτε 'εννοιες ορισμενες προηγουμενως' ειτε 'θεμελιωδεις εννοιες' και οχι 'εννοιες που απο τη γραμματικη και απο τη χρηση εχουμε μια ιδεα για το τι σημαινουν'.

Δεν απαγορεύει αγαπητέ φίλε τη χρήση της γλώσσας η γεωμετρία ώστε να ζητάς ορισμούς για όλες τις λέξεις.

Της γλωσσας οχι. Της μη ορισμενης γλωσσας, εμφατικοτατα ναι.

Γιατί λοιπόν να πάμε στον Χίλμπερτ;

Γιατι, οπως ειπα προηγουμενως, ο Ευκλειδης εφτιαξε ενα υπεροχο οικοδομημα χωρις να δωσει τη δεουσα σημασια στα θεμελια. Αν θελουμε να χρησιμοποιησουμε μια αξιωματικη μεθοδο, ο Ευκλειδης, παρα το αναμφισβητητο ταλεντο του, παραειναι 'φαφλατας' και χρειαζεται μια πιο αυστηρη μεθοδος διαχωρισμου της ηρας απο το σιταρι.

Για την ευκλείδεια γεωμετρία όμως υπάρχει το αξίωμα των δύο ημιεπιπέδων από ευθεία που το «χωρίζει» και τα ορίζει.

Και στη γεωμετρια Χιλμπερτ υπαρχει το αξιωμα, σε ολη του την ομορφια, χωρις περιττες λεξεις οπως 'χωριζει' κ.λ.π.

'Εστω 3 σημεια Α,Β,Γ και μια ευθεια ε που δε διερχεται απο κανενα απο αυτα. Αν διερχεται απο σημειο Κ αναμεσα στα Α,Β τοτε ειτε θα διερχεται απο σημειο Λ αναμεσα στα Β,Γ ειτε απο σημειο Μ αναμεσα στα Α,Γ.'

Αυτο που 'φαφλαταδικα' θα λεγαμε 'Η ευθεια χωριζει το επιπεδο σε δυο ημιεπιπεδα και, κατα συνεπεια, αν δυο σημεια ανηκουν σε διαφορετικο ημιεπιπεδο απο ενα τριτο τοτε ανηκουν στο ιδιο ημιεπιπεδο.'

Τι να τον κάνουμε τον ειδικό ορισμό;

Εδω δεν τιθεται καν θεμα νεου ορισμου, γιατι καθε περιττη εννοια εχει εξαλειφθει.

Ελπιζω να ειμαι κι εγω σαφης γιατι κι εγω δε μπορω να γινω σαφεστερος. Νομιζω οτι μια απο τις μεγαλυτερες ομορφιες των μαθηματικων ειναι το 'λακωνιζειν' και η πειθαρχια που αυτο επιφερει στην ευκολως καλπαζουσα φαντασια μας...

Φιλικα,
Wilmarth

Wilmarth · 4 Φεβρουαρίου 2008

Καλημερα Λαμπρο και ευχαριστω για την απαντηση.

Στο πρωτο απο αυτα που λες εχεις δικιο, γιατι δεν εκφραστηκα καλα οταν ειπα 'ορισα το ισομηκες'. Αυτο που εννοουσα ειναι οτι το 'ισομηκες', δηλαδη η εννοια 'το σημειο Α απεχει απο το Β οσο το Γ απο το Δ' το θεωρω τετριμμενα ορισμενο, γιατι ειναι απο τις θεμελιωδεις εννοιες της αξιωματοποιησης του Hilbert. (οπως και το 'το Α ειναι αναμεσα στο Β και το Γ').

Κατι τετοιο δεν ισχυει για το 'το Α απεχει μηδενικα απο το Β', ομως...

Εννοείς ότι η έννοια απέχω μηδενικά δεν σου είναι ξεκάθαρη ενώ το απέχουν ισομήκη σου είναι;

Ακριβως. Και ελπιζω να ξεκαθαρισα γιατι.

Εσύ μάλλον πρέπει να μου ορίσεις την έννοια «σχέση» αφού συγκρίνεις δύο ευθύγραμμα τμήματα ΑΒ και ΓΔ και τα βρίσκεις με ίσο μήκος, το ένα ως προς το άλλο. Αυτό που κάνεις εσύ θα πει σχέση, του ενός ως προς το άλλο.

Αυτο που λες ειναι σωστο, αλλα δε χρησιμοποιω την εννοια 'σχεση' ως Ευκλειδιο ορο. Στην Ευκλειδια γεωμετρια λεω απλως 'τα ΑΒ και ΓΔ ειναι ισομηκη'. Εσυ ομως χρησιμοποιεις την εννοια 'σχεση' για να ορισεις κατι αλλο (το 'απεχω μηδενικα') και ετσι τη χρησιμοποιεις ως Ευκλειδιο ορο, τον οποιο πρεπει να ορισεις προηγουμενως.

Αν δεν έχω εγώ το δικαίωμα να χρησιμοποιώ έννοιες με την επίκληση της ανυπαρξίας ορισμών δεν έχεις κι εσύ.

Εχεις απολυτο δικιο και εγω ελπιζω να ξεκαθαρισα τη θεση μου.

Καθολική σχέση:
Όλα τα σχήματα μηδενός εξαιρουμένου, που ευρίσκονται αυτόνομα, μόνα τους ανεξάρτητα από άλλα σχήματα επί του επιπέδου, σχετίζονται με το επίπεδο δια της επαφής τους. Αυτή είναι καθολική σχέση μεταξύ επιπεδου και σχήματος του επιπέδου και επομένως ιδιότητα αφού δεν υπάρχει εξαίρεση.

'Αυτονομα', 'ανεξαρτητα', 'δια της επαφης'... Φιλε Λαμπρο, εισαγοντας διαρκως καινουριους ορους δε βγαινει νοημα. Πρεπει να εκθεσεις πρωτα τις θεμελιωδεις εννοιες, αυτες που δεν εχουν ορισμο και στη συνεχεια να ορισεις τις υπολοιπες (ολες τις υπολοιπες) βασει αυτων. Αλλιως δεν υπαρχει περιπτωση να μπορει να συμμετασχει ο αλλος στο συλλογισμο σου.

Να υπεισέλθεις. Γιατί να μην υπεισέλθεις; Ή μήπως αγαπητέ φίλε έχεις την άποψη ότι καταθέτω δικούς μου ορισμούς και ερμηνείες σχετικά με την έννοια του σχήματος; Εδώ είναι όλα ανοιχτά και θα χαρώ να μου βρεις κάτι άλλο σχετικά με τον ορισμό του σχήματος, από αυτό που υποστηρίζω.

Φυσικα και εχω σκοπο να υπεισελθω. Πριν ομως μπω στα σχηματα, θελω να ξεκαθαρισω στο μυαλο μου την εννοια του 'απεχω μηδενικα' για τα (πιο απλα) σημεια. Αυτο ειναι ολο.

Θα σου πω όμως κάτι. Η προσπάθεια να βρεθώ σε αδυναμία απάντησης από το αίτημα ανάλυσης των εννοιών δεν μπορεί να ευδοκιμήσει γιατί μου είναι πολύ εύκολο να την αντιστρέψω.

Και εχεις καθηκον να το κανεις, οπως καλως το εκανες τωρα με το 'απεχω εξισου' και με εβαλες να το ξεκαθαρισω. Οπως το κανω εγω τωρα με το 'απεχω μηδενικα'.

Όποια σχήματα χωρίζονται μεταξύ τους με ευθεία (ή όποια άλλη γραμμή), αξιωματικά απέχουν μηδενικά ή δεν απέχουν.

Αυτό ΔΕΝ ΕΙΝΑΙ ΟΡΙΣΜΟΣ, αλλά απόδειξη ενός θεωρήματος ή ενός πορίσματος αυτής της διατύπωσης αν προτιμάς, που έχει αξιωματική στήριξη το παραπάνω αξίωμα.
Ελπίζω το αξίωμα να σε υποχρεώσει να κατανοήσεις (ή ακόμα και να μην κατανοήσεις το αξίωμα δεν ενδιαφέρεται) τι σημαίνει «απέχουν μηδενικά»,

Λυπαμαι αλλα δε νομιζω να βοηθησει το αξιωμα απο μονο του, σ'αυτο το σταδιο τουλαχιστον.

Για την περιπτωση που δεν εχεις καταλαβει το προβλημα μου, δεν ειναι οτι 'δεν εχω εικονα στο μυαλο μου' για το 'απεχω μηδενικα'. Το προβλημα μου ειναι οτι δεν εχω ειτε 1.Καποιον ορισμο του 'απεχω μηδενικα' για να μπορω να το αντιπαραβαλλω λογικα με αλλες εννοιες ειτε 2. Τη βεβαιοτητα οτι το 'απεχω μηδενικα' ειναι θεμελιωδης εννοια (δεν οριζεται), ωστε να αναζητησω στα αξιωματα και μονο τις ιδιοτητες του.

Μήπως μπορείς να πάρεις θέση επί του προκειμένου αγαπητέ φίλε Wilmarth;

Βεβαιως, αλλα η θεση μου ειναι προσωρινη (ελπιζω) και μαλλον απογοητευτικη. Δυστυχως το προβλημα μου ειναι παντα το ιδιο - οροι ελλιπως ορισμενοι και κατα συνεπεια ελλιπως θεμελιωμενοι αξιωματικα. Θα με βοηθουσες πολυ αν με πηγαινες στην αρχη (εννοω την αρχη-αρχη, τους θεμελιωδεις ορους που δεν οριζονται) για να μπορεσω να προσανατολιστω.

Σ' ευχαριστω,
Wilmarth

Wilmarth · 1 Φεβρουαρίου 2008

Καλημερα.

Ενα ξεκαθαρισμα :

- Στον ορισμο που παρεθεσα δεν ορισα την εννοια του 'απεχω' αλλα την εννοια του 'ισομηκους', η αλλιως την εννοια του 'απεχω απο το Α οσο το Β απο το Γ'. Αυτο ορισα και οχι το 'απεχω' γενικα. Με αυτη την εννοια, η εννοια του 'απεχω μηδενικα' εξακολουθει να μη μου ειναι ξεκαθαρη.

Παρακατω μου δινεις τον ορισμο:

Σχήματα που έχουν μεταξύ τους την καθολική σχέση (σαν ιδιότητα) που έχει το επίπεδο με το υποεπίπεδά του λέμε ότι εφάπτονται ή απέχουν μηδενικά.

ο οποιος μαλλον με μπερδευει παρα με κατατοπιζει... Πως οριζουμε στο Ευκλειδιο συστημα τη 'σχεση' ; Την 'καθολικη σχεση' ; Την 'ιδιοτητα' ;

Εχοντας ορισει αυτες τις εννοιες, πως ξερουμε (στο Ευκλειδιο παντα συστημα) οτι υπαρχει μια 'σχεση' αναμεσα στο επιπεδο και στα υποεπιπεδα του; Και πως ξερουμε οτι ειναι μοναδικη (ωστε να εχει νοημα να μιλαμε για 'την' σχεση);

Για τον ορισμο του 'σχηματος' προτιμω να μην υπεισελθω γιατι μπορουμε να απλουστευσουμε (προς το παρον) τα πραγματα μενοντας στα σημεια.

Ποτε λεμε οτι δυο σημεια απεχουν μηδενικα μεταξυ τους;

Ελπιζω να μη σε κουραζω και ευχαριστω για την απαντηση.

Wilmarth

Wilmarth · 01-02-08

Ευχαριστω για τη γρηγορη απαντηση. Θα προσπαθησω να ειμαι σαφης ως προς αυτα που γνωριζω/δε γνωριζω (τα οποια βεβαια δεν αποτελουν θεσφατα) και να θεσω μια αλλη ερωτηση.

Φρονω οτι :
- Δυο σημεια στην Ευκλειδια γεωμετρια δε μπορουν να απεχουν 'πολυ' η 'λιγο' μεταξυ τους γιατι δεν υπαρχει απολυτο μετρο. Ομως δυο ευθυγραμμα τμηματα μπορουν να ειναι η οχι 'ισομηκη', με την εννοια οτι (ΑΒ) = (ΓΔ), δηλαδη το Δ απεχει απο το Γ οσο το Β απο το Α.

- Σε δυο ευθυγραμμα τμηματα ΑΒ, ΓΔ ισχυει ακριβως ενα απο τα τρια : Η ειναι ισομηκη, η υπαρχει σημειο Κ αναμεσα στα Α, Β τετοιο ωστε ΑΚ, ΓΔ ισομηκη, η υπαρχει σημειο Λ αναμεσα στα Γ, Δ τετοιο ωστε ΑΒ, ΓΛ ισομηκη. (Σε πιο απλη γλωσσα, η περιπτωση μεγαλυτερου η μικροτερου μηκους του ΑΒ αντιστοιχα).

Ερωτω :
- Ποιος ειναι ο ορισμος του 'απεχουν μηδενικα' μεταξυ τους; (Φυσικα κατανοω τον ορισμο του 'ταυτιζονται').

Ευχαριστω.
Wilmarth

Άλλα μηνύματα του μέλους Wilmarth σε αυτό το thread

Wilmarth

Νεοφερμένος

Wilmarth

Νεοφερμένος

Wilmarth

Νεοφερμένος

Wilmarth

Νεοφερμένος

Λοιπές Σελίδες