03-01-08
15:02
90 . 2^μ = ν(3κ+1) <=>Για ποιους θετικους ακεραιους κ,μ,ν ισχυει η σχεση 90=ν(3κ+1)/2^μ
2 . 3^2 . 5 . 2^μ = ν(3κ+1) <=>
3^2 . 5 . 2^(μ+1) = ν(3κ+1) <=>
Επειδή το 3κ+1 δεν μπορεί να διαιρείται με το 3^2=9, συμπεραίνουμε ότι ν=9λ, για κάποιο λ θετικό ακέραιο
Επαναδιατυπώνω λοιπόν:
Για ποιους θετικους ακεραιους κ,λ,μ ισχυει η σχεση 5 . 2^(μ+1)=λ(3κ+1)
Για συγκεκριμένο μ πρέπει να βρούμε εκείνα τα κ, για τα οποία
ο 3κ+1 διαιρεί το 5 . 2^(μ+1).
Το 3κ+1 δεν μπορεί να είναι 1 αφού ο κ οφείλει να είναι θετικός
Μπορεί όμως να είναι της μορφής 2^Α ή της μορφής 5 . 2^Α
Θεώρημα A περιττός <=> 2^Α = 2 mod 3 και A άρτιος <=> 2^Α = 1 mod 3
Απόδειξη
2^0 = 1 mod 3
2^1 = 2 mod 3
και για κάθε x>=0 ισχύει 2^(χ+2) = (2^2 . 2^χ) mod 3 = 2^x mod 3
α) Το 3κ+1 είναι της μορφής 2^Α
3κ+1 = 2^Α <=>
2^Α = 1 mod 3 <=>
A άρτιος
β) Το 3κ+1 είναι της μορφής 5 . 2^Α
3κ+1 = 5. 2^Α <=>
3κ+1 = 6. 2^Α - 2^Α <=>
2^Α = 6. 2^Α - 3κ - 1 <=>
2^Α = 2 mod 3 <=>
A περιττός
Λύσεις
Έχουμε 2 βαθμούς ελευθερίας:
Επιλέγω αυθαίρετα το μ
Επιλέγω αυθαίρετα ένα Α, τέτοιο ώστε 1<=Α<=μ+1
αν Α άρτιος τότε 3κ+1 = 2^Α <=> κ = (2^Α-1)/3
αν Α περιττός τότε 3κ+1 = 5 . 2^Α <=> κ = (5 . 2^Α-1)/3
Το λ προκύπτει από τη σχέση λ = 5 . 2^(μ+1)/(3κ+1)
Πχ για μ=3 έχουμε:
Α=1 => κ = (5 . 2 -1)/3 => κ = 3 => λ=8
Α=2 => κ = (4 -1)/3 => κ = 1 => λ=20
Α=3 => κ = (5 . 8 -1)/3 => κ = 13 => λ=2
Α=4 => κ = (16 -1)/3 => κ = 5 => λ=5
Και τέλος το ν προκύπτει από τη σχέση ν=9λ
coincidence, έχεις καμιά πιο απλή λύση;
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 16 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.