10-06-08
21:31
Όχι, αυτή είναι η καλύτερη επιλογήΝαι βρε, αυτό το κατάλαβα, απλά αναρωτιόμουν φωναχτά αν υπάρχει κάποια άλλη, καλύτερη λύση εκτός από το να τα βάλει όλα Σ...
Περιγράφω με συντομία τη λύση μου (τη γεωμετρική ερμηνεία)
Σχεδιάζουμε ένα τετράγωνο με πλευρά 1
Στη μία πλευρά βρίσκουμε το σημείο που αντιστοιχεί στο ποσοστό α των Σ στη σωστή απάντηση (το υπόλοιπο είναι το 1-α)
Στην άλλη πλευρά βρίσκουμε το σημείο που αντιστοιχεί στο ποσοστό β των Σ στην απάντηση που δίνει ο μαθητής (το υπόλοιπο είναι το 1-β)
Σχηματίζουμε δύο ορθογώνια:
Το ένα με διαστάσεις α*β
Το άλλο (1-α)(1-β)
Το εμβαδόν των ορθογωνίων δείχνει την αναμενόμενη βαθμολογία (στην κλίμακα 0-1, ή αλλιώς αν τη μετράμε σε ποσοστά)
Τα άλλα όλα είναι απλώς η απόδειξη
Ευχαριστώ προκαταβολικά όποιον θα έχει την όρεξη να διαβάσει τα παρακάτω ...
____________________________________________________________________
Έστω Ν το πλήθος των ερωτήσεων.
Οι Ν απαντήσεις σχηματίζουν μία συμβολοσειρά που αποτελείται από Σ και Λ. Θα ονομάζουμε αυτήν τη συμβολοσειρά "σωστή απάντηση". Ο μαθητής υποβάλλει μία συμβολοσειρά από Σ και Λ, την οποία θα ονομάζουμε "προτεινόμενη απάντηση"
Έστω Α το πλήθος των Σ μέσα στη σωστή απάντηση. Θέτω α = Α/Ν
Έστω Β το πλήθος των Σ μέσα στην προτεινόμενη απάντηση. Θέτω β = Β/Ν
Θεώρημα
Η αναμενόμενη βαθμολογία που θα πάρει ο μαθητής (με άριστα το 1)
είναι ίση με αβ+(1-α)(1-β)
Για ευκολία θα συμβολίζω το Σ με 1 και το Λ με 0
Έστω Μ=C(Ν,Α) , οι συνδυασμοί των Ν ανά Α
Σχηματίζω έναν πίνακα με Μ γραμμές και Ν στήλες. Κάθε γραμμή του πίνακα περιέχει και ένα διαφορετικό συνδυασμό των Ν ανά Α
Πχ για Ν=5 και Α=3 ο πίνακας είναι ο παρακάτω:
Code:
1 1 1 0 0
1 1 0 1 0
1 1 0 0 1
1 0 1 1 0
1 0 1 0 1
1 0 0 1 1
0 1 1 1 0
0 1 1 0 1
0 1 0 1 1
0 0 1 1 1
Κάθε στήλη του πίνακα περιέχει ακριβώς C(N-1, Α-1) μονάδες
Ας υποθέσουμε ότι ο μαθητής μαρκάρει τις Β πρώτες ερωτήσεις σαν Σ(ωστές) και τις υπόλοιπες Ν-Β σαν Λ(ανθασμένες)
Πχ για Β=2 έχουμε
Code:
[COLOR=#ed1c24][B]1 1[/B][/COLOR] 1 0 0
[COLOR=#ed1c24][B]1 1[/B][/COLOR] 0 1 0
[COLOR=#ed1c24][B]1 1[/B][/COLOR] 0 0 1
[COLOR=#ed1c24][B]1 0[/B][/COLOR] 1 1 0
[COLOR=#ed1c24][B]1 0[/B][/COLOR] 1 0 1
[COLOR=#ed1c24][B]1 0[/B][/COLOR] 0 1 1
[COLOR=#ed1c24][B]0 1[/B][/COLOR] 1 1 0
[COLOR=#ed1c24][B]0 1[/B][/COLOR] 1 0 1
[COLOR=#ed1c24][B]0 1[/B][/COLOR] 0 1 1
[COLOR=#ed1c24][B]0 0[/B][/COLOR] 1 1 1
Για να βρούμε τη βαθμολογία του μαθητή, βρίσκουμε τη γραμμή που αντιστοιχεί στη "σωστή απάντηση".
Πχ αν η σωστή απάντηση είναι ΛΣΣΣΛ, η αντίστοιχη γραμμή είναι η
0 1 1 1 0
Στη συνέχεια, μετράμε πόσα κόκκινα 1 έχουμε και πόσα μαύρα 0. Το αποτέλεσμα μας δίνει τη βαθμολογία που πήρε ο μαθητής
_________________________________________________________________________________
Τώρα ας βρούμε την αναμενόμενη βαθμολογία
Κάνουμε την ίδια δουλειά για κάθε γραμμή. Το συνολικό αποτέλεσμα S το διαιρούμε δια του πλήθους Μ των γραμμών
Όμως μπορούμε πολύ εύκολα να βρούμε το σύνολο χωρίς να μετρήσουμε όλα τα 0 και 1
Μας ενδιαφέρει πόσα κόκκινα 1 υπάρχουν και πόσα μαύρα 0
Αλλά όπως είπαμε, υπάρχουν C(N-1, Α-1) μονάδες σε κάθε στήλη. Αρα τα υπόλοιπα είναι μηδενικά.
Επομένως υπάρχουν και C(N, Α) - C(N-1, Α-1) = C(N-1, Α) μηδενικά σε κάθε στήλη
Τώρα όλα είναι εύκολα
Εφόσον έχω Β κόκκινες στήλες και Ν-Β μαύρες, το σύνολο είναι
Β.C(N-1, Α-1) κόκκινα 1 και
(Ν-Β).C(N-1, Α) μαύρα 0
Το συνολικό άθροισμα είναι S = Β * C(N-1, Α-1) + (Ν-Β) * C(N-1, Α)
Το S μετά από πράξεις γράφεται:
S = Ν * C(N-1, Α) + B * C(N,Α) * (2Α-N)/N
Και αναμενόμενη βαθμολογία So = S/M = S : C(N,Α) =
= (N-Α) + B(2Α-N)/N
= N + 2B(Α/N) - A - B
Πχ στο παραπάνω παράδειγμα με Ν=5, Α=3, Β=2 το αναμενόμενο αποτέλεσμα θα είναι 2.4 σωστές ερωτήσεις.
Για να το ανάγουμε στην κλίμακα [0,1] (ή αλλιώς σε ποσοστό) πρέπει να διαιρέσουμε
το So με το Ν
Έτσι παίρνουμε ΕΧ = So/N = 1 + 2(B/N)(A/N) - (A/N) - (B/N) =>
ΕΧ = 1 + 2αβ - α - β =>
EX = αβ+(1-α)(1-β)
Η συνάρτηση y = αχ +(1-α)(1-χ) = (2α-1)χ+(1-α) έχει τις ιδιότητες:
Αν α>0.5 είναι γν. αύξουσα με μέγιστο το α για x=1
Αν α<0.5 είναι γν. φθίνουσα με μέγιστο το 1-α για x=0
Αν α=0.5 είναι σταθερή και ίση με 0.5
Επομένως, συμφέρει το μαθητή να απαντήσει
όλες Σ αν ξέρει ότι οι περισσότερες είναι Σ
όλες Λ αν ξέρει ότι οι περισσότερες είναι Λ
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 15 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
10-06-08
04:49
Βρήκα ότι ο μέσος όρος δίνεται από τη σχέση ΕΧ = λ^2 + (1-λ)^2,
όπου λ η αναλογία των Σ επί του συνόλου.
Δηλ στο παράδειγμα είναι λ=0.8 και ΕΧ=0.68
Ή ισοδύναμα ΕΧ = (μ^2+1)/(μ+1)^2, όπου μ η αναλογία Σ:Λ
όπου λ η αναλογία των Σ επί του συνόλου.
Δηλ στο παράδειγμα είναι λ=0.8 και ΕΧ=0.68
Ή ισοδύναμα ΕΧ = (μ^2+1)/(μ+1)^2, όπου μ η αναλογία Σ:Λ
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 15 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.