Συζήτηση σχετικά με την ορθότητα ή μη του Πυθαγόρειου Θεωρήματος

ipios · 10-02-09

Rempeskes "γνωριζόμαστε" πολλά χρόνια. Μόνο αυτό είναι αρκετό για να σε τιμώ που με τιμάς με τη συνεχή ενασχόλησή σου μαζί μου, παρά τις αμοιβαίες "αβρότητες" κατά το παρελθόν. Γνωρίζω καλά ότι δεν αποδέχεσαι τις απόψεις μου (και δεν επιχειρηματολογώ να σε πείσω, θέλω να με πιστέψεις), αλλά θα πρέπει κι εσύ να συμφωνήσεις ότι η υποκειμενική σου άποψη δεν καλύπτει όλους τους μαθηματικούς. Υπάρχουν άλλοι που και το συζητάνε, ξέρεις που, αλλά και που δεν "κωλώνουν" να τις προβάλλουν στους μαθητές τους σαν μια πιθανότητα, χωρίς να υστερούν από σένα σε μαθηματική παιδεία ή αγάπη για την επιστήμη τους. Εξάλλου γνωρίζεις ελπίζω ότι οι απόψεις μου είναι θέμα τουλάχιστον στο Καποδιστριακό, χωρίς να διεκδικώ καμία συμφωνία από κανέναν. Όμως αν ήταν άσχετες δεν θα τις συζητούσαν ούτε φοιτητές ούτε καθηγητές όπως κάνουν σήμερα. Βλέπεις πόσο γρήγορα κατάφερες να απαλλαγείς από αυτούς που ήθελαν την υπογραφή σου και μπράβο σου που την τίμησες όπως έπρεπε; Εμένα όμως με ποιο επιχείρημα θα με εξοστρακίσεις από τα μαθηματικά; Ούτε υπογραφή σου ζητάω, ούτε το πορτοφόλι σου, ούτε και σε δωροδοκώ. Πες ένα επιχείρημα λοιπόν υπέρ του πυθαγορείου αν επιθυμείς να κάνουμε κουβέντα γιατί ποτέ δεν επιχειρηματολόγησες χωρίς να δεχτείς ανταπάντηση στην οποία να μπορείς κι εσύ να ανταπαντήσεις.
Να (πιο κάτω), μία άλλη μορφή αντίληψης περί των μαθηματικών, από μαθηματικούς και επομένως και μια άλλη αντιμετώπιση εμένα του αιρετικού, χωρίς να με ρίχνουν στην πυρά, σαν αντίθετο με την κρατούσα αντίληψη. Μα και λάθος να κάνω, γιατί κάποιος δεν μου λέει που λανθάνω; Η μόνιμη επωδός είναι: Σου έχουν δοθεί απαντήσεις.
https://www.frontsyn.gr/articles/airetiko.html

1. Το Willis αντί Wiles το έκανα paste από το κείμενο του pateman για να μην αλλάζω γλώσσα στον υπολογιστή, χωρίς να προσέξω και χωρίς να θεωρώ εαυτόν ορθογράφο. Θεωρώ όμως την απόδειξη Wiles σαν εσφαλμένη και αν μου την παραθέσεις θα σου υποδείξω το σφάλμα της. Δεν μένει παρά να την παραθέσεις λοιπόν, χωρίς να μου κάνεις παραπομπές. Εδώ και τώρα και ανεξάρτητα από το πως γράφεται το όνομα.

2. Θέλω να δηλώσω ότι πραγματικά πρώτη φορά με εκπλήσσεις και μάλιστα τόσο ευχάριστα. Το έχεις ξανακάνει βέβαια εδώ σε αυτή την ιστοσελίδα, αλλά όχι σε τέτοιο βαθμό, μιλώντας σαν ένα άνθρωπος προς άλλον άνθρωπο κάτι που καλά και ξέρεις και ξέρω δεν ίσχυε μέχρι τότε. Δεν θα μιλήσω για το περιεχόμενο των όσων αναφέρεις εδώ (δεν με αφορούν εξάλλου πέραν της προσωπικής ερώτησης που μου κάνεις) , αλλά για την εξαιρετική αφηγηματική σου ποιότητα. Αυτό με κάνει να αναθεωρήσω τη στάση μου απέναντί σου και να εκφράσω τη λύπη μου που σε άλλο "γήπεδο" σε είχα πάρει στο ψιλό με αιτία τα μαθηματικά, που εξάλλου δεν είναι και το μοναδικό πράγμα στον κόσμο. Είχα καιρό να διαβάσω τόσο καλό κείμενο που να φτιάχνει τη διάθεση.

3. Με ρωτάς αν θα γράψω βιβλίο. Το ορθόν είναι αν θα γράψω και άλλα βιβλία. Αν με ρωτούσες αν θα εκδώσω είναι άλλο θέμα. Πάντως την υπογραφή ή μάλλον τις υπογραφές (ισοδύναμες, τουλάχιστον, με τη δική σου) που ενδεχομένως θα ζητήσω από ένα τέτοιο βήμα τις έχω, όπως έχω και την προτροπή να αποτελειώσω, για να μπουν έχοντας κοινοποιήσει το θέμα και το περιεχόμενό του και μάλιστα από ανθρώπους που δεν γέρνουν, ούτε κάνουν τους άγιους Παντελεήμονες σε ότι αφορά τα μαθηματικά. Μπορεί να μην το πιστεύεις αλλά αυτό δεν έχει και κάποια σημασία για την πραγματικότητα.

Να είσαι καλά και ευχαριστήθηκα το κείμενό σου.

fandago · 10-02-09

Θα μπορούσα να έχω μια εξήγηση αυτού;

Τα 4 τετράγωνα αδυνατούν να συντεθούν σε 1 ενιαίο που να τα περιέχει, καθώς είναι από τη φύση αδύνατο τα 2 ζεύγη των κατά κορυφή γωνιών να «εφάπτονται» και τα 2 ταυτόχρονα.

ipios · 10-02-09

Τα τετράγωνα όμως fantago, όλως αντιθέτως, πρέπει να μην είσαι τουβλάκι για να καταλάβεις πότε ταιριάζουν και πότε δεν ταιριάζουν, οπότε πάνε για διαζύγιο, όπως στο πυθαγόρειο καλή ώρα. Το διαζύγιο τους τους έβγαλε η ΕΜΕ με τη δική μου μαρτυρία και για το λόγο αυτό βλέπεις ο άλλος ο φίλος πιο πάνω να λέει - το 2009 - ότι δεν ισχύει με σχήματα αλλά με αριθμούς, ενώ όλες οι αποδείξεις μηδέ των Πυθαγόρα και Ευκλείδη εξαιρουμένων, είναι με σχήματα και ενώ με ΠΛΑΚΑΚΙΑ δδάσκεται από τον καθηγητή κύριο Πάρη Πάμφιλκο στο Πανεπιστήμιο Κρήτης. Στο πανεπιστήμιο δεν έχουμε να κάνουμε με μαθητές πρώτης λυκείου που δήθεν δεν καταλαβαίνουν τα βαθιά νοήματα των μαθηματικών και τους δίνουμε μασσημένη τροφή (λες και δεν έχουν δόντια) για να καταπιούν το λάθος των αντιλήψεων.
Να είσαι καλά. https://www.e-steki.gr/member.php?u=1552

epote · 10-02-09

A μιλαμε σοβαρα, οκ

Να κανω μια ερωτηση:

Η ενσταση σου ειναι το πυθαγοριο οπως αποδηκνιεται με την ευκλειδια γεωμετρια οπως αυτη βρισκεται στα "στοιχεια" η γενικοτερα?

Θελω να πω, αν κατασκευασουμε εναν ευκληδιο χωρο, δηλαδη ενα πεδιο πραγματικων αριθμων R τοτε ο χορος οποιαδηποτε διατεταγμενο πληθος αριθμων (x1,x2,...,xn) σχηματισει ενα διανυσματικο πεδιο στο R το εσωτερικο γινομενο του οποιου δινει την νορμα του χωρου που ειναι πρακτικα η ιδια με το πυθαγοριο θεωρημα, οποτε ετσι μπορει να αποδηχθει ας πουμε συνολοθεωριτικα το πυθαγοριο.

Θεωρεις και αυτο εσφαλμενο ας πουμε?

εν παση περιπτοση δεν μπορεις να το δεχθεις ως αξιομα? Αν το δεχθεις ως αξιομα και μεχρι να βρεις ενα αντιπαραδειγμα τοτε τα μαθηματικα στεκουν

(god τι καθομαι και λεω...)

ipios · 10-02-09

epote
A μιλαμε σοβαρα, οκ

Α, τώρα μπορείς να μιλήσεις και σοβαρά με σχιζοφρενή όπως εγώ; Μίλα σοβαρά λοιπόν, αλλά μιας και μιλάς κι εσύ σοβαρά θα σου κάνω στο τέλος μια σοβαρή παράκληση κι εγώ.

epote
Να κανω μια ερωτηση:
Η ενσταση σου ειναι το πυθαγοριο οπως αποδηκνιεται με την ευκλειδια γεωμετρια οπως αυτη βρισκεται στα "στοιχεια" η γενικοτερα?

Αυτό είναι το μυστικό μου.

epote
Θελω να πω, αν κατασκευασουμε εναν ευκληδιο χωρο, δηλαδη ενα πεδιο πραγματικων αριθμων R τοτε ο χορος οποιαδηποτε διατεταγμενο πληθος αριθμων (x1,x2,...,xn) σχηματισει ενα διανυσματικο πεδιο στο R το εσωτερικο γινομενο του οποιου δινει την νορμα του χωρου που ειναι πρακτικα η ιδια με το πυθαγοριο θεωρημα, οποτε ετσι μπορει να αποδηχθει ας πουμε συνολοθεωριτικα το πυθαγοριο.

Στον R ισχύουν τα ευκλείδεια αξιώματα και για να μη με ρωτάς που το είδα γραμμένο και χάνεις τον πολύτιμο χρόνο του διαλογισμού σου, πας, Πάρις Πάμφιλος, Ευκλείδεια γεωμετρία, Κεφάλαιο 1. 4. Ανάλυτική μέθοδος, σελίδα 2. Το θέμα είναι πως έφθασε μέχρι τις μέρες μας το πυθαγόρειο όταν από τότε ήταν λαθεμένο. Αν μπορείς να με εννοήσεις βέβαια γιατί εγώ λέω τα παλαβά σχιζοφερνικά μου μη γνωρίζοντας όσα γνωρίζεις εσύ επί του θέματος.

epote
Θεωρεις και αυτο εσφαλμενο ας πουμε?

Και αυτό είναι μυστικό μου, αν με τα όσα σου λέω πιο πάνω δεν μπορείς να αποκωδικοποιήσεις την απάντηση που ζητάς.

epote
εν παση περιπτοση δεν μπορεις να το δεχθεις ως αξιομα? Αν το δεχθεις ως αξιομα και μεχρι να βρεις ενα αντιπαραδειγμα τοτε τα μαθηματικα στεκουν

Καλά είσαι μαθηματικός εσύ; Να δεχθώ, το εδώ και 2500 χρόνια θεώρημα σαν αξίωμα και μάλιστα διατυπωμένο πριν από το αξιωματικό σύστημα; Και αν το δεχτώ εγώ τι θα σημαίνει; Ότι θα το δεχτούν και οι μαθηματικοί; Μα τι λες άνθρωπέ μου; Επειδή δηλαδή δεν μπορείς (δεν είσαι μαθηματικός σίγουρα) να το αποδείξεις θέλεις να κανω αποδεκτό το θεώρημα αναπόδεικτο; Τι να σου πω

epote
(god τι καθομαι και λεω...)

Τι κάθομαι και ακούω ο άνθρωπος; Αυτός λέγεται μαθηματικός; Rempeskes είναι συνάδελφός σου; Τον ξέρεις τον άνθρωπο ή τώρα θα διαμορφώσεις άποψη;
Epote σε παρακαλώ μη μου απευθυνθείς εκ νέου. Βρες άλλο "συναδέλφό σου" να του προτείνεις το πυθαγόρειο σαν αξίωμα. Περισσότερο σου απάντησα για να μου δοθεί η ευκαιρία να σου επαναλάβω ότι δεν επιθυμώ μαζί σου συζήτηση και μάλιστα τόσο σοβαρή όπως την περιγράφεις.

epote · 10-02-09

Στον R ισχύουν τα ευκλείδεια αξιώματα και για να μη με ρωτάς που το είδα γραμμένο και χάνεις τον πολύτιμο χρόνο του διαλογισμού σου, πας, Πάρις Πάμφιλος, Ευκλείδεια γεωμετρία, Κεφάλαιο 1. 4. Ανάλυτική μέθοδος, σελίδα 2. Το θέμα είναι πως έφθασε μέχρι τις μέρες μας το πυθαγόρειο όταν από τότε ήταν λαθεμένο. Αν μπορείς να με εννοήσεις βέβαια γιατί εγώ λέω τα παλαβά σχιζοφερνικά μου μη γνωρίζοντας όσα γνωρίζεις εσύ επί του θέματος.

Oχι...στον R δεν ισχυει κανενα ευκλειδιο αξιωμα...

Μπορουμε να κατασκευασουμε τους πραγματικους αριθμους χρησημοποιοντας μονο συνολοθεωρια.

Ητοι:

Κατασκευαζεις τους φυσικους ως ενωση του κενου συνολου με τον εαυτο του, και τους πραγματικους ως τομες dedekid των φυσικων.

Ειναι σχετικα τετριμενη ως κατασκευη, μπορεις να την βρεις πολυ ευκολα σε οποιοδηποτε βιβλιο πραγματικης αναλυσης, αν θελεις ομως το κανουμε και εδω δεν ειναι τιποτα.

Ακολουθωντας αυτη τη πορεια εχεις τους φυσικους ως ενα συνολο στο οποιο μπορεις να κανεις εσωτερικη προσθεση, αφαιρεση, πολλαπλασιασμο και διαιρεση, ειναι πυκνο και διατεταγμενο.

Σου ξαναλεω ολα αυτα βρισκονται σε βιβλια πραγματικης αναλυσης (αν θυμαμαι καλα το βιβλιο "απειροστικος λογισμος 1" εχει την θεμελιωση των πραγματικων ως το συνολο πηλικο των ακολουθιων cauchy). Παραυτα αν θελεις μπορουμε να τα κανουμε αναλυτικα εδω.

Σε καθε περιπτοση το πεδιο των πραγματικων αριθμων ΔΕΝ εχει κανενα ευκληδιο αξιωμα.

Ακολουθως στο πεδιο των πραγματικων οριζεις ενα διανυσματικο χωρο η μετρικη του οποιου ειναι το πυθαγοριο θεωρημα. Οποτε μπορεις να το αποδηξεις και ετσι.

ειναι πολυπλοκο και αχρειαστο αλλα γινεται...

fandago · 11-02-09

Αρχική Δημοσίευση από ipios:
Το διαζύγιο τους τους έβγαλε η ΕΜΕ με τη δική μου μαρτυρία

Αδυνατώ να αντιληφθώ τι σημαίνει διαζύγιο τετραγώνων, έχω ελπίδες περαιτέρω εξήγησης;

Επίσης θέλετε να πείτε ότι η ΕΜΕ μετά τη δική σας μαρτυρία τους έβγαλε διαζύγιο;

ipios · 11-02-09

fandago στο δικό μου κείμενο...

ipios
Τα 4 τετράγωνα αδυνατούν να συντεθούν σε 1 ενιαίο που να τα περιέχει, καθώς είναι από τη φύση αδύνατο τα 2 ζεύγη των κατά κορυφή γωνιών να «εφάπτονται» και τα 2 ταυτόχρονα.

απάντησες με τα τουβλάκια και τις αγκαλιές. Τώρα μου λες:

fandago
Αδυνατώ να αντιληφθώ τι σημαίνει διαζύγιο τετραγώνων, έχω ελπίδες περαιτέρω εξήγησης;

Όταν έχεις τη δυνατότητα να υπονοείς με μία εικόνα, πρέπει να έχεις και τη δυνατότητα να αντιληφθείς και την απάντηση με το ίδιο σχεδόν μέσο. Χάρηκα και το εκτίμησα πραγματικά όταν χρησιμοποίησες το "μια εικόνα χίλιες λέξεις", αλλά η αδυναμία σου να αντιληφθείς, όπως λες, το διαζύγιο τετραγώνων (άλλη μεταφορά όμοια με τη δική σου αγκαλιά), δεν δίνει, όχι σε σένα, αλλά σε μένα, ελπίδες ότι μπορείς να καταλάβεις. Δεν είναι όμως και αναγκαίο.

fandago
Επίσης θέλετε να πείτε ότι η ΕΜΕ μετά τη δική σας μαρτυρία τους έβγαλε διαζύγιο;

Οπωσδήποτε. Αφού αποδέχεται ότι δεν στηρίζεται αξιωματικά άθροιση και μάλιστα με την έννοια της ένωσης σχημάτων, ελλείψει αξιώματος στήριξης μιας τέτοιας άθροισης, το διαζύγιο και τα σφιχταγκαλιάσματα μεταξύ των σχημάτων και εν προκειμένω των τετραγώνων είναι γεγονός από την ίδια την ΕΜΕ.
Εκτός και έχεις άλλη άποψη να τη συζητήσουμε.
Να είσαι καλά.

fandago · 11-02-09

ipios, παρεξήγησες. Η φωτογραφία και το κείμενο με τα τουβλάκια δεν ήταν μέρος της απάντησης μου, αλλά η υπογραφή μου ή οποία μπαίνει σε κάθε μου post.

Χωρίς να λάβεις υπόψιν μου την υπογραφή μου λοιπόν, μπορώ να έχω μια εξήγηση γιατί "Τα 4 τετράγωνα αδυνατούν να συντεθούν σε 1 ενιαίο που να τα περιέχει";

από εδώ και κάτω είναι η υπογραφή που καμία σχέση δεν έχει με το κείμενο μου.
-----

peteman · 11-02-09

ξερει κανεις να διατυπωσει το πυθαγορειο θεωρημα στα αγγλικα?

ipios · 11-02-09

fandago να με συγχωρείς. Δεν γνώριζα ότι πρόκειται για την υπογραφή σου και όπως βλέπεις αναφερόμενος στο διαζύγιο το έκανα με αφορμή το σφιχταγκάλιασμα της υπογραφής σου.

fandago
Χωρίς να λάβεις υπόψιν μου την υπογραφή μου λοιπόν, μπορώ να έχω μια εξήγηση γιατί "Τα 4 τετράγωνα αδυνατούν να συντεθούν σε 1 ενιαίο που να τα περιέχει";

Μπορείς. Γιατί το πυθαγόρειο λέει: Το άθροισμα των τετραγώνων των κάθετων πλευρών ορθογωνίου τριγώνου ισούται με το τετράγωνο της υποτείνουσας.
Όμως αθροίσεις σχημάτων δεν προβλέπονται στην ευκλείδεια γεωμετρία, όπως και σε καμία σύγχρονη γεωμετρία. Δεν έχουν αξιωματική στήριξη. Η ΕΜΕ το αποδέχτηκε και ερμηνεύει έκτοτε το πυθαγόρειο με αριθμούς μέσω των εμβαδών. Όμως ξέρεις εσύ κανέναν αριθμό να έχει κάθετη πλευρά (!!!); Εξάλλου αυτό συνεπάγεται εισαγωγή ερμηνείας μετα από 2500 χρόνια (!!!) που σημαίνει νέο ορισμό, που ακόμα δεν υπάρχει και επομένως και νέα διατύπωση του πυθαγορείου, πως αν όμως επισυμβεί (κάποτε), παύουμε να μιλάμε για το πυθαγόρειο το οποίο αναφέρεται σε τετράγωνα και πλευρές τετραγώνων. Οι αριθμοί έχουν τετραγωνική δύναμη, δεν έχουν όμως πλευρές και ούτε σχηματίζουν ορθογώνιο τρίγωνο. Μπάχαλο δηλαδή.
Να είσαι καλά.

epote · 12-02-09

Μπορουμε να κατασκευασουμε τους πραγματικους αριθμους χρησημοποιοντας μονο συνολοθεωρια.

Ητοι:

Κατασκευαζεις τους φυσικους ως ενωση του κενου συνολου με τον εαυτο του, και τους πραγματικους ως τομες dedekid των φυσικων.

Ειναι σχετικα τετριμενη ως κατασκευη, μπορεις να την βρεις πολυ ευκολα σε οποιοδηποτε βιβλιο πραγματικης αναλυσης, αν θελεις ομως το κανουμε και εδω δεν ειναι τιποτα.

Ακολουθωντας αυτη τη πορεια εχεις τους φυσικους ως ενα συνολο στο οποιο μπορεις να κανεις εσωτερικη προσθεση, αφαιρεση, πολλαπλασιασμο και διαιρεση, ειναι πυκνο και διατεταγμενο.

Σου ξαναλεω ολα αυτα βρισκονται σε βιβλια πραγματικης αναλυσης (αν θυμαμαι καλα το βιβλιο "απειροστικος λογισμος 1" εχει την θεμελιωση των πραγματικων ως το συνολο πηλικο των ακολουθιων cauchy). Παραυτα αν θελεις μπορουμε να τα κανουμε αναλυτικα εδω.

Σε καθε περιπτοση το πεδιο των πραγματικων αριθμων ΔΕΝ εχει κανενα ευκληδιο αξιωμα.

Ακολουθως στο πεδιο των πραγματικων οριζεις ενα διανυσματικο χωρο η μετρικη του οποιου ειναι το πυθαγοριο θεωρημα. Οποτε μπορεις να το αποδηξεις και ετσι.

ειναι πολυπλοκο και αχρειαστο αλλα γινεται...

και σιγα μην επαιρνα απαντηση...

"The square of the hypotenuse of a right triangle is equal to the sum of the squares on the other two sides"

καπως ετσι ειναι στα αγγλικα.

1) οι πλευρες εχουν ΜΕΤΡΟ, οποτε μια πιο ενδελεχης διατυποση του ΠΘ θα ηταν:

η δευτερη δυναμη του ΜΕΤΡΟΥ της υποτεινουσας ισουτε με το αθροισμα των δευτερων δυναμεων των ΜΕΤΡΩΝ των καθετων πλευρων ενος ορθογονιου τριγωνου"

2) η ευκλειδια γεωμετρια προφανως επιτρεπει ΠΡΑΞΕΙΣ μεταξυ αριθμων

3) ολα αυτα δεν εχουν νοημα καθοτι το ΠΘ μπορει να αποδιχθει συνολοθεωρητικα κατασκευαζοντας συνολοθεωρητικα ενα ευκληδιο χωρο

4) ακομα καθομαστε και το συζηταμε?

Hilbert · 12-02-09

Ας αναλογιστούμε τι πορίσματα προκύπτουν αν το ΠΘ είναι λάθος. Πως στέκουν όρθιες οι πολυκατοικίες;
Ο nearsighted στέλνει χαιρετισμούς.

''Όμως αθροίσεις σχημάτων δεν προβλέπονται στην ευκλείδεια γεωμετρία, όπως και σε καμία σύγχρονη γεωμετρία.''
Λάθος. Βλ. πχ
''Area is a quantity expressing the two-dimensional size of a defined part of a surface, typically a region bounded by a closed curve. The term surface area refers to the total area of the exposed surface of a 3-dimensional solid, such as the sum of the areas of the exposed sides of a polyhedron. Area is an important invariant in the differential geometry of surfaces.''

ipios · 12-02-09

Epote δεν έχεις καταλάβει γρι από όσα ισχυρίζομαι και κάνεις, μετά από τον υβριστή και τον έξυπνο από πάνω.
Το πυθαγόρειο έχει ιστορία 2500 ετών και μέχρι σήμερα δεν χρειάζονταν ούτε αριθμοί, ούτε εμβαδά για να αποδειχθεί, που ούτε ο Πυθαγόρας τα χρησιμοποιούσε, ούτε ο Ευκλείδης. Κανόνας και διαβήτης ήταν αρκετά σαν μέσα για να αποδειχθεί. Η συνολοθεωρία είναι χθεσινή υπόθεση και εμένα με απασχολεί αν το πυθαγόρειο ισχύει με το αξιωματικό σύστημα του Ευκλείδη. Αν δηλαδή ΤΟΤΕ ήταν ορθό και έφθασε αιτιολογημένα σαν ορθό μέχρι τις μέρες μας. Μπορείς να απαντήσεις σε αυτό; Με κανόνα και διαβήτη ισχύει το πυθαγόρειο ή δεν ισχύει, όπως βεβαιώνει και η ΕΜΕ ότι δεν ισχύει στην πρακτική εποπτική γεωμετρία;

Epote
Μπορουμε να κατασκευασουμε τους πραγματικους αριθμους χρησημοποιοντας μονο συνολοθεωρια.
Ητοι:
Κατασκευαζεις τους φυσικους ως ενωση του κενου συνολου με τον εαυτο του, και τους πραγματικους ως τομες dedekid των φυσικων.

Καλά κάνετε και μπορείτε να τους κατασκευάσετε. Το θέμα είναι ότι αν το πυθαγόρειο δεν είναι ορθό, δεν υπάρχει αιτιολογημένη λ.χ. η τετραγωνική ρίζα του 2 επί του άξονα, όχι συνολοθεωρία να χρησιμοποιήσεις, αλλά ούτε το ραβδάκι του Χάρι Πότερ. Ο R σε αυτή την περίπτωση θα είναι με κενά, δηλαδή ένας «φαφούτης» άξονας και δεν θα μπορεί να ισχύει το αξίωμα της αντιστοίχησης ένα προς ένα και επί με τα σημεία μιας ευθείας το οποίο διατυπώθηκε υπό το πρίσμα της ύπαρξης των άρρητων και εκ του πυθαγορείου και εκ του π, όχι γιατί δεν έχει πληρότητα η ευθεία από σημεία, αλλά γιατί δεν θα έχει ο άξονας τα όποια άρρητα από την εφαρμογή του πυθαγορείου.

Epote
Ειναι σχετικα τετριμενη ως κατασκευη, μπορεις να την βρεις πολυ ευκολα σε οποιοδηποτε βιβλιο πραγματικης αναλυσης, αν θελεις ομως το κανουμε και εδω δεν ειναι τιποτα.

Εξαιρετικό. Όμως πιο τετριμμένη κατασκευή από την απόδειξη του πυθαγορείου με κανόνα και διαβήτη δεν υπάρχει στη μαθηματική ιστορία και επομένως το ότι περιγράφεις την κατασκευή των πραγματικών σαν τετριμμένη υπό την έννοια ότι τετριμμένη σημαίνει ορθή, από πουθενά δεν συνεπάγεται. Απλά είναι εσφαλμένη η τετριμμένη και πιο απλό δεν γίνεται.

Epote
Ακολουθωντας αυτη τη πορεια εχεις τους φυσικους ως ενα συνολο στο οποιο μπορεις να κανεις εσωτερικη προσθεση, αφαιρεση, πολλαπλασιασμο και διαιρεση, ειναι πυκνο και διατεταγμενο. Σου ξαναλεω ολα αυτα βρισκονται σε βιβλια πραγματικης αναλυσης (αν θυμαμαι καλα το βιβλιο "απειροστικος λογισμος 1" εχει την θεμελιωση των πραγματικων ως το συνολο πηλικο των ακολουθιων cauchy). Παραυτα αν θελεις μπορουμε να τα κανουμε αναλυτικα εδω.

Ακολούθησε όποια πορεία θέλεις όταν κάνεις τον κουφό και τον τυφλό και ακούς και βλέπεις μόνο ότι εσύ γράφεις.

Epote
Σε καθε περιπτοση το πεδιο των πραγματικων αριθμων ΔΕΝ εχει κανενα ευκληδιο αξιωμα.

Αυτό να το πεις στον καθηγητή του πανεπιστημίου Κρήτης κύριο Πάρη Πάμφιλο που λέει ότι στον R υποκρύπτονται τα αξιώματα του Ευκλείδειου επιπέδου. Γιατί το λες σε μένα; Για να με πείσεις; Πάρε τον τηλέφωνο και πες του. "Κύριε συνάδελφε γιατί ισχυρίζεστε ότι στον R, υποκρύπτονται τα αξιώματα του ευκλείδειου επιπέδου; Για να μας σπάτε τα νεύρα με τις ανοησίες σας και να μπορεί ο ipios να λέει ότι λέει;" Είμαι βέβαιος ότι θα σου ζητήσει και συγγνώμη που δεν σε ρώτησε νωρίτερα και ενήργησε με αυθαιρεσία, μη γνώστης των μαθηματικών τουλάχιστον του δικού σου επιπέδου.

Epote
Ακολουθως στο πεδιο των πραγματικων οριζεις ενα διανυσματικο χωρο η μετρικη του οποιου ειναι το πυθαγοριο θεωρημα. Οποτε μπορεις να το αποδηξεις και ετσι. ειναι πολυπλοκο και αχρειαστο αλλα γινεται...

Καταλαβαίνεις επιτέλους τι λες παλικάρι μου; Δηλαδή εσύ χρησιμοποιείς το ζητούμενο αν είναι ορθό (πυθαγόρειο), σαν ορθό, για να το αποδείξεις ότι είναι ορθό; (!!!) Μα τι κάθομαι και συζητάω ο άνθρωπος;

Epote
και σιγα μην επαιρνα απαντηση...

Σωστά τοι θέτεις. Δεν ήξερα τι να απαντήσω στις σοφίες σου. Δεν τη δικαιούσαι την απάντηση epote και σου κάνω χάρη. Το ότι δεν θα σου απαντήσω (που τώρα το παραβιάζω με τις εξωφρενικές αιτιάσεις σου - βλέπουν κι άλλοι) το διατύπωσα πριν μου πεις τις εξυπνάδες περί πραγματικών και περί απόδειξης του πυθαγορείου όταν χρησιμοποιήσουμε το πυθαγόρειο και τη μετρική του σαν ορθό για να το αποδείξουμε ορθό!!!!!!!!!

Epote
"The square of the hypotenuse of a right triangle is equal to the sum of the squares on the other two sides"
καπως ετσι ειναι στα αγγλικα.

Καλό κι αυτό! Ιδίως η χρήση του "κάπως έτσι" στα μαθηματικά! Θα μάθουμε τη διατύπωση του πυθαγορείου από τους Άγγλους. Δεν μου λες, η λέξη «hypotenuse» στα αγγλικά πως είναι; Μα τίποτα δεν καταλαβαίνεις; Το πυθαγόρειο στα ελληνικά (αν το ξέρεις μόνο κάπως έτσι στα αγγλικά) είναι: Το άθροισμα των τετραγώνων των κάθετων πλευρών ορθογωνίου τριγώνου ισούται με το τετράγωνο της υποτείνουσας. Μήπως το αμφισβητείς ή μήπως θέλεις να συζητήσουμε στα αγγλικά για το πυθαγόρειο;

Epote
1) οι πλευρες εχουν ΜΕΤΡΟ, οποτε μια πιο ενδελεχης διατυποση του ΠΘ θα ηταν:
η δευτερη δυναμη του ΜΕΤΡΟΥ της υποτεινουσας ισουτε με το αθροισμα των δευτερων δυναμεων των ΜΕΤΡΩΝ των καθετων πλευρων ενος ορθογονιου τριγωνου".

1. Ο Ευκλείδης ούτε μέτρα χρησιμοποιούσε ούτε αριθμούς, ούτε εμβαδά βέβαια. Of
2. Δηλαδή διατυπώνεις αλλιώς το πυθαγόρειο επειδή η μέχρι τώρα γνωστή του διατύπωση είναι ελλειμματική; Of
2. Τι θα πει ενδελεχής διατύπωση μέσα σε ένα αξιωματικό σύστημα; Η ιστορικά γνωστή διατύπωση πάσχει από άκρατη έλλειψη ενδελέχειας και έρχεσαι εσύ μετά από 2500 χρόνια να την διορθώσεις; Of
3. Έχεις κατανοήσει τουλάχιστον ότι ασχολούμαι με την ιστορικά κρατούσα διατύπωση του Πυθαγόρα, για την οποία έκανε εκατόμβες; Of
4. Με την νέα διατύπωση αντιλαμβάνεσαι ότι δεν μιλάμε πια για το πυθαγόρειο αλλά για ένα θεώρημα σαν το πυθαγόρειο που δεν με απασχολεί παρά το ότι και αυτό είναι λάθος, αλλά δεν θα σου κάνω τη χάρη να σου πω γιατί. Έχω ένα μυστικό που λέει και το τραγούδι, αλλά πρέπει να μην είσαι τόσο πρόχειρος για να μπορείς κάποτε να το μάθεις; Of
5. Δηλαδή με αντιμετωπίζεις σχετικά με το πυθαγόρειο με άλλο θεώρημα το οποίο δεν διδάσκεται πουθενά σαν ενδελεχέστερο (!!!) σε όλο τον κόσμο; Of

Epote
2) η ευκλειδια γεωμετρια προφανως επιτρεπει ΠΡΑΞΕΙΣ μεταξυ αριθμων

Και βέβαια επιτρέπει. Δεν επιτρέπει όμως τον κανιβαλισμό και η ένωση αριθμών 1+1=2 όταν το 2 δεν είναι συγκείμενο πλήθος μονάδων είναι κανιβαλισμός. Αυτό ισχύει επί ορθογωνίου ισοσκελούς με μέτρο κάθετων πλευρών 1, όταν δεχθούμε ορθό το πυθαγόρειο. Ο Ευκλείδης απλά αντιφάσκει με τον ορισμό του περί αριθμών, αφού δεν προβλέπι διπλασιο ή άλλο πολλαπλάσιο. Όλοι οι αριθμοί στην ευκλείδεια γεωμετρία ΟΡΙΖΟΝΤΑΙ σαν ΣΥΓΚΕΙΜΕΝΑ ΠΛΗΘΗ ΜΟΝΑΔΩΝ και πουθενά δεν προβλέπεται ΕΝΩΣΗ ΜΟΝΑΔΩΝ ώστε ενδεχομένως να καλύψουν στο ευκλείδειο αξιωματικό σύστημα οι αριθμοί τις αδυναμίες των σχημάτων. Τώρα τι εννοείς εσύ πράξεις αριθμών είναι δικό σου πρόβλημα. Εγώ μιλάω με το τι ορίζεται σαν αριθμός από τον Ευκλείδη και εξ αυτού δεν έχεις καμία αιτιολογία να θεωρήσεις το 2 ακέραιο διπλάσιο του 1 και όχι όπως εξ ορισμού προβλέπεται συγκείμενο πλήθος 1 και 1 μονάδων.

Epote
3) ολα αυτα δεν εχουν νοημα καθοτι το ΠΘ μπορει να αποδιχθει συνολοθεωρητικα κατασκευαζοντας συνολοθεωρητικα ενα ευκληδιο χωρο

Δηλαδή μου λες ότι το πυθαγόρειο άρχισε να είναι ορθό από τον Καντόρ και μετά; Κάτι δεν πάει καλά με σένα και ας βρίσκεις ότι δεν πάει με μένα. Παραδέξου άμεσα ότι δεν ισχύει στον Ευκλείδη, που έμμεσα το παραδέχεσαι αφού πας στη θεωρία συνόλων να στηρίξεις το πυθαγόρειο και η ανταμοιβή σου θα είναι να μάθεις γιατί δεν ισχύει και στη θεωρία συνόλων. Λες πολλά άσχετα πράγματα για να εντυπωσιάσεις, αλλά σε βεβαιώνω αυτό δεν το καταφέρνεις με μένα. Έχω αντιμετωπίσει πραγματικούς μαθηματικούς, δηλονότι εκτός από μαθηματικοί να είναι και άνθρωποι με ήθος και δεν έχω εντυπωσιαστεί. Με σένα μιας και παραβίασα το ότι δεν θα σου απαντήσω, τουλάχιστον το διασκεδάζω. Είναι αμίμητο να χρησιμοποιείς το πυθαγόρειο σαν ορθό για να αποδείξεις ότι είναι ορθό! Δεν αποτυπώνω το γέλιο μου εγγράφως για να μη το πάρουν στραβά οι διαχειριστές της σελίδας - που πιθανόν είναι να μη καταλαβαίνουν οι άνθρωποι τι ισχυρίζεσαι να γελάσουν και οι ίδιοι - και θεωρήσουν ότι σε ειρωνεύομαι. Άλλοι πάλι, από συνήθεια μπορεί να μείνουν με το στόμα ανοιχτό που ξέρεις και τον ΚΟΖΙ και τον ΝΤΕΝΤΕΚΙΝΤ!

Epote
4) ακομα καθομαστε και το συζηταμε?

Έχουμε κοινή την απορία, αλλά όταν δεν σου απάντησα εσύ διατύπωσες παράπονο και νόμισες ότι θα με τσιγκλήσεις για να σου απαντήσω. Το κατάφερες βέβαια, αλλά έχουν τόσο μεγάλη σημασία αυτά που λες και έπρεπε να πάρεις την αμοιβή σου. Θεώρησε σαν ορθό ότι ό ήλιος είναι κύβος και μετά εύκολα θα αποδείξεις ότι ο ήλιος είναι κύβος.

ΥΓ: Η πραγματική αιτία για την οποία σου απάντησα, δεν είναι το παραπάνω κείμενό σου αλλά το παρακάτω που άφησα αναπάντητο. Αποδεικνύει πόσο μαθηματικός είσαι.

epote 10/02/09 19:04
εν παση περιπτοση δεν μπορεις να το δεχθεις ως αξιομα? Αν το δεχθεις ως αξιομα και μεχρι να βρεις ενα αντιπαραδειγμα τοτε τα μαθηματικα στεκουν

Δηλαδή τι θεωρείς αγαπητέ; Μπορείς να πας από θεώρημα σε αξίωμα, όπως λ.χ. πηγαίνεις από την κουζίνα σου στο σαλόνι με γαριδάκια, να δεις τον αγώνα της εθνικής;

Hilbert · 12-02-09

Επιπλέον το αξίωμα συνεχείας του Χίλμπερτ (που όπως είπαμε είναι η αξιωματικοποίηση της αρχής Αρχιμήδη - Εύδοξου) έρχεται σε αντίφαση με τις έννοιες μέσο και μισό.

Η θέση αυτή αποκαλύπτει το λάθος των ισχυρισμών του κ Λάμπρου.

ipios · 12 Φεβρουαρίου 2009

Hilbert
Ας αναλογιστούμε τι πορίσματα προκύπτουν αν το ΠΘ είναι λάθος. Πως στέκουν όρθιες οι πολυκατοικίες;

Φίλε Hilbert η απορία σου δεν είναι αντάξια των δυνατοτήτων σου. Δηλαδή θεωρείς ότι το πυθαγόρειο ισχύει στην φύση, στην καθημερινότητα, στην εποπτική πρακτική γεωμετρία και του αποδίδεις την δυνατότητα να χτίζουν οι αρχιτέκτονες και οι μηχανικοί τις όποιες οικοδομές ή να πλακοστρώνει ο κύριος Πάρης Πάμφιλος όλη την Κρήτη; Θα σε παρακαλέσω να μου απαντήσεις σε αυτό και μετά θα σου εξηγήσω γιατί στέκουν όρθιες οι πολυκατοικίες και κάποιες κολώνες στο Σούνιο. Ουδεμία σχέση φίλε μου. Μου κάνει εντύπωση η απορία σου. Δηλαδή αν το πυθαγόρειο είναι λάθος δεν θα χτίζονται οικοδομές και αν δεν γκρεμίζονται οφείλεται στο πυθαγόρειο;!!!!!

Hilbert
Ο nearsighted στέλνει χαιρετισμούς.

Τους ανταποδίδω με χαρά, γιατί τον θεωρώ πραγματικά καταρτισμένο. Όχι σαν τον άλλον που μου λέει γιατί δεν δέχομαι σαν αξίωμα το πυθαγόρειο θεώρημα, για να μου αποδείξει ότι είναι ορθό! Βλέπεις τι αντιμετωπίζω φίλε Hilbert; Όμως έχει το γούστο της και η τέλεια ασχετοσύνη.

Hilbert

ipios
''Όμως αθροίσεις σχημάτων δεν προβλέπονται στην ευκλείδεια γεωμετρία, όπως και σε καμία σύγχρονη γεωμετρία.''

Click για ανάπτυξη...

Λάθος. Βλ. πχ
''Area is a quantity expressing the two-dimensional size of a defined part of a surface, typically a region bounded by a closed curve. The term surface area refers to the total area of the exposed surface of a 3-dimensional solid, such as the sum of the areas of the exposed sides of a polyhedron. Area is an important invariant in the differential geometry of surfaces.''

Και να γνώριζα αγγλικά που δεν γνωρίζω, ποτέ δεν θα μιλούσα με Έλληνα για μαθηματικά σε άλλη γλώσσα. Δεν περίμενα επίσης να με αντιμετωπίζεις με μια εγκυκλοπαίδεια. Μου κάνει εξαιρετική εντύπωση. Αυτό τι είναι; Αξίωμα; Θεώρημα; Άποψη; Υπόθεση; Απόδειξη; Θα σε παρακαλέσω να μεταφράσεις με την διευκρίνηση περί τίνος πρόκειται και τα λέμε γιατί έχει τεράστια σημασία τι είναι η παράθεσή σου, ποιος την διατυπώνει και πότε την διατυπώνει. Αν υπονοείς κάτι σχετικά με τις αθροίσεις των εμβαδών, ποτέ δεν ισχυρίστηκα ότι δεν προβλέπονται αθροίσεις εμβαδών σύμφωνα με το αξίωμα εμβαδού. Όμως και το αξίωμα του εμβαδού δεν προβλέπει τίποτα άλλο από αθροίσεις σύμφωνα με τις ιδιότητες των μη αρνητικών αριθμών. Ρώτησε όμως τον φίλο nearsighted (αφού έχετε επαφή), που ξέρει τα περί εμβαδού, πότε διατυπώθηκε το πρώτον το αξίωμα του εμβαδού, για να εξετάζουμε σήμερα το πυθαγόρειο με αυτό το αξίωμα. Το έχει αναφέρει αλλού (θα το θυμάται ο ίδιος ασφαλώς) αλλά καλόν είναι να το αναφέρει και σε σένα για να μη μπλέκουμε διάφορα πράγματα μεταξύ τους που δεν μπλέκονται από την ιστορία των μαθηματικών.
Να είσαι καλά.

Hilbert

ipios
Επιπλέον το αξίωμα συνεχείας του Χίλμπερτ (που όπως είπαμε είναι η αξιωματικοποίηση της αρχής Αρχιμήδη - Εύδοξου) έρχεται σε αντίφαση με τις έννοιες μέσο και μισό.

Click για ανάπτυξη...

Η θέση αυτή αποκαλύπτει το λάθος των ισχυρισμών του κ Λάμπρου.

Δεκτό αν μπορείς να επιχειρηματολογήσεις γιτί ασφαλώς δεν μιλάς σαν Θεός να μη μπορώ να αμφισβητήσω το αόριστο και αναιτιολόγητο λάθος μου σύμφωνα με την άποψή σου. Εδώ είμαι βλέπεις. Θα μπορούσα κάλλιστα να σου πω κι εγώ "αυτό που λες είναι λάθος". Θα το δεχόσουνα;

peteman · 12 Φεβρουαρίου 2009

τι ειναι σχημα? τι ειναι εμβαδον ? να απαντησει ο ιπιος

σε καθε μαθηματικο συστημα υπαρχει ενας μαθηματικος τυπος μη αποδειξιμος που η αρνηση του ειναι επισης μη αποδειξιμη , ΣΤΗΝ ΕΥΚΛΕΙΔΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΚΑΙ ΣΤΗΝ ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ παντως δεν ειναι ο τυπος του πυθαγορειου θεωρηματος
GODEL(FATHER OF LOGIC)

ipios · 12-02-09

peteman
τι ειναι σχημα? τι ειναι εμβαδον ? να απαντησει ο ιπιος

Προς τι η προστακτική; Εσύ να απαντήσεις πότε θεμελιώθηκε το αξίωμα του εμβαδού και μετά θα σου πω τι είναι αυτά που ζητάς, αφού ανοίξω κάποια εγκυκλοπαίδεια γιατί δεν μου θυμίζουν κάτι αυτές οι λέξεις. Κάνε μας τη χάρη που θα διατάξεις να σου απαντήσουμε.

peteman
σε καθε μαθηματικο συστημα υπαρχει ενας μαθηματικος τυπος μη αποδειξιμος που η αρνηση του ειναι επισης μη αποδειξιμη , ΣΤΗΝ ΕΥΚΛΕΙΔΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΚΑΙ ΣΤΗΝ ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ παντως δεν ειναι ο τυπος του πυθαγορειου θεωρηματος
GODEL(FATHER OF LOGIC)

Και God να επικαλεστείς και όχι απλά Godel, το πυθαγόρειο είναι εσφαλμένο. Πετάς ένα όνομα και υποθέτεις ότι είμαι έτοιμος να του ανάψω κεράκι. Το πυθαγόρειο είναι ξεκάθαρα αποδείξιμο (υπάρχουν περισσότερες από 500 αποδείξεις της ορθότητάς του), όσο αποδείξιμο είναι πως όλες οι αποδείξεις είναι λαθεμένος. Πάντως θα ήθελα να μου πεις που θα βρω αυτό ακριβώς όπως το έχεις διατυπώσει ειπωμένο από τον Godel.
Είμαι βέβαιος ότι αυτοσχεδιάζεις και δεν θα απαντήσεις.
Πάντως σε βεβαιώνω ότι η άρνηση της ορθότητας του πυθαγορείου είναι αποδείξιμη και άλλο δεν κάνω από να το αποδεικνύω συνεχώς εσφαλμένο.
Θα σε παρακαλέσω να είσαι πιο προσεκτικός όταν μου απευθύνεσαι. Δεν είμαι υποτακτικός σου να με διατάζεις να σου παραθέσω εξηγήσεις, κάτι που έτσι κι αλλιώς το κάνω από μόνος μου. Προς τι η επιταγή; Ελπίζω να είμαι σαφής και λίγη ευγένεια δεν έβλαψε ποτέ.
Να είσαι καλά.

Επιμηθέας · 14-02-09

Ελληνική μαθηματική εταιρεία.
Ο Πυθαγόρας και το γνωστό θεώρημα

https://www.hms.gr/apothema/?s=sa&i=2020&sr=on

ipios · 14-02-09

ΜονοΣ
Ελληνική μαθηματική εταιρεία.
Ο Πυθαγόρας και το γνωστό θεώρημα

https://www.hms.gr/apothema/?s=sa&i=2020&sr=on

Αγαπητέ φίλε ΜόνοΣ συνεισφέρεις εξαιρετικά στον όποιο διάλογο γίνεται (και με όποιον τρόπο γίνεται) σχετικά με το πυθαγόρειο θεώρημα. Η παραπομπή στην κυρία Μαλβίνα Παπαδάκη είναι εξαιρετικά εύστοχη και σε ευχαριστώ.
Στη διεύθυνση που ακολουθεί παραθέτω το εισαγωγικό μου «άρθρο» στο διαδίκτυο και πριν προσκληθώ στην ΕΜΕ σχετικά με αυτό το θεώρημα. Τους μαθηματικούς που το έχουν αναρτήσει, ούτε τους είδα ποτέ, ούτε τους γνωρίζω. Αυτό το λέω γιατί δεν είναι όλοι οι μαθηματικοί της ίδιας εκ προοιμίου αρνητικής στάσης απέναντι σε απόψεις που δεν συμβαδίζουν με την κρατούσα αντίληψη και ιδίως είρωνες και υβριστές από αδυναμία να καταλάβουν τι λέω ή να αντιπαρατεθούν.

https://www.frontsyn.gr/articles/airetiko.html
1. Απόσπασμα εάν δεν επιθυμείς να το διαβάσεις όλο, το οποίο σχετίζεται απόλυτα με τις παραθέσεις της κυρίας Παπαδάκη στο τεύχος του Ευκλείδη Α΄.

[Πρόβλημα (Το απλούστερο δυνατό και της γεωμετρίας και της αριθμητικής):

Το άθροισμα των εμβαδών των 4 τετραγώνων του 1 τετραγωνικού μέτρου, ισούται με το εμβαδόν του 1 ακεραίου τετραγώνου 4 τετραγωνικών μέτρων;
Με άλλα λόγια, διατυπωμένο το ερώτημα χωρίς μαθηματικό ύφος, μπορούμε πρακτικά ή θεωρητικά να ενώσουμε ή συνθέσουμε (άθροιση) 4 ίσα τετράγωνα του 1τ.μ. το καθένα και να έχουμε σαν έργο [FONT=&quot]-[/FONT] αποτέλεσμα της σύνθεσης, 1 νέο τετράγωνο εμβαδού 4 τ.μ., ακριβώς ίδιο με το δοσμένο, ώστε να ισχύσει η ισότητα;

Μέχρι σήμερα, η απάντηση ήταν και εξακολουθεί να είναι καταφατική.
Έρχομαι όμως τώρα, να καταθέσω την άποψη και να την αιτιολογήσω, ότι η απάντηση όχι πρέπει να είναι αρνητική, αλλά είναι αρνητική.
Τα 4 τετράγωνα αδυνατούν να συντεθούν σε 1 ενιαίο που να τα περιέχει, καθώς είναι από τη φύση αδύνατο τα 2 ζεύγη των κατά κορυφή γωνιών να «εφάπτονται» και τα 2 ταυτόχρονα. Ή το ένα ζεύγος θα εφάπτεται ή το άλλο ζεύγος θα εφάπτεται. Και τα 2 μαζί, σαν κύρια απαίτηση για την πλήρωση του επιπέδου και την ταυτόχρονη δημιουργία τέλειου τετράγωνου σχήματος σαν αποτέλεσμα, δεν είναι με φυσικό τρόπο δυνατό να συμβεί ποτέ.]

2. Στην παρακάτω διεύθυνση
https://www.geocities.com/omadamaths/Geometry/Geometry.htm
θα βρεις ένα εξαιρετικό άρθρο από πανεπιστημιακούς μεταξύ των οποίων και η κυρία Μαλβίνα Παπαδάκη και ένα μικρό απόσπασμα, για να μη το διαβάζεις όλο αν σου είναι βαρετό, που αφορά την προοπτική και την πρόθεση των πανεπιστημιακών δασκάλων να κάνουν «χρήση» των «αρχών της Φυσικής» στην κατανόηση και διδασκαλία της Ευκλείδειας (και όχι μόνο) γεωμετρίας. Αυτό το λέω γιατί ο βασικός αντίλογος και η απαξία στο πρόσωπό μου, στις όποιες παραθέσεις μου, ήταν και εξακολουθεί ακόμα σε μεγάλο βαθμό να είναι ότι χρησιμοποιώ τη Φυσική, ενώ τα μαθηματικά λειτουργούν αφαιρετικά της φύσης (χωρίς αυτό να αποτελεί αξίωμα βέβαια). Και βέβαια χρησιμοποιώ τη Φυσική, όπως ο κύριος Πάμφιλος και η κυρία Παπαδάκη και γίνεται αποδεκτή από τον κύριο Μιχάλη Λάμπρου και τους Πετρέσκου και Α και Π. Στράντζαλος. Η χρήση της φυσικής (δηλαδή υπό την μορφή της εποπτικής πρακτικής γεωμετρίας και της εφαρμογής στην καθημερινότητα) έχει την έννοια της βοήθειας των μαθητών και όχι τη χρήση τούβλων ή πλακιδίων επίστρωσης στο τετράδιο του μαθητή. Αυτό ακριβώς κάνω κι εγώ που «νόμιμα» ή νόμιμα εντός του αξιωματικού συστήματος, κάνουν εξάλλου και οι Πάμφιλος, Λάμπρου, Πετρέσκου, Παπαδάκη, Α και Π Στράντζαλος και τίποτα παραπάνω, αφού εδώ που τα λέμε τίποτα δεν απαγορεύει τις προσομοιώσεις αυτής της μορφής υπό το πρίσμα του αφαιρετικά της φύσης, που όπως επαναλαμβάνω, δεν είναι αξίωμα να μπορεί να υπαγορεύσει, να επιτρέπει ή να απαγορεύει.

Απόσπασμα

[ΜΙΑ ΚΑΙΝΟΥΡΓΙΑ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗ ΤΗΣ ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑΣ ΤΗΣ ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ ΣΤΟ ΛΥΚΕΙΟ
(Συνοπτική περιγραφή - ενημέρωση)
Μ. Λάμπρου - Μ. Παπαδάκη - Θ. Πετρέσκου - Α. Στράντζαλος - Π. Στράντζαλος
Α.5. Πρώτο στάδιο της ανάπτυξης της θεωρίας της Ε.Γ.: εισαγωγή στη «Μετρική Γεωμετρία» με ποσοτικοποίηση των «μεγεθών». - Συναγωγή περαιτέρω συμπερασμάτων με βασικό εργαλείο τις ιδιότητες της απλής έννοιας του εμβαδού.
Α.6. Δεύτερο στάδιο της ανάπτυξης της θεωρίας της Ε.Γ.: «αλλαγή πλαισίου» με αξιοποίηση των «αρχών της Φυσικής» (που κατοχυρώθηκαν στο Α.3) για την αντιμετώπιση γεωμετρικών θεμάτων.]

Πάμε τώρα στην ουσία του όλου θέματος.
Μία πρώτη παρατήρηση είναι όπως είπαμε, πως ευρίσκεται «νόμιμα» ή νόμιμα εντός του πλαισίου του αξιωματικού συστήματος του Ευκλείδη, η χρήση υλικών υποδειγμάτων που δεν απαγορεύεται από κάποιο αξίωμα .
Μία δεύτερη παρατήρηση είναι ότι και ο κύρος Πάμφιλος και η κυρία Παπαδάκη, αμφότεροι με τις πλακοστρώσεις. δεν κάνουν επομένως κάτι το ανεπίτρεπτο οι άνθρωποι, όπως σαν ανεπίτρεπτο το καταλογίζουν σε μένα διάφοροι μαθηματικοί και μη, όπως το επιχειρώ με τον ίδιο ακριβώς τρόπο.
Μία τρίτη και η πλέον σημαντική παρατήρηση (πέρα δηλαδή από το «νόμιμο» ή μη, της χρήσης υλικών υποδειγμάτων) είναι ότι η εφαρμογή που επιχειρούν δεν είναι ορθή. Διαφωνώ στην ορθότητα της εφαρμογής και όχι στον τρόπο που περιέχει χρήση υλικών υποδειγμάτων προς κατανόηση των μαθητών. Τα τετράγωνα και τα τρίγωνα δεν εφαρμόζουν στην πραγματικότητα.
Άκουσε τώρα την ακούσια ή εκούσια εκτροπή από το ορθό. Επειδή δεν προβλέπονται αθροίσεις σχημάτων, γίνεται αναγωγή στις αθροίσεις εμβαδών των σχημάτων, όχι όμως χρησιμοποιώντας τα μέτρα εμβαδού σαν μέτρα, αλλά σαν σχήματα.
α. Δεν υπάρχει ένα γεωμετρικό εμβαδόν (μέτρο επιφάνειας) και ένα εμβαδόν της καθημερινότητας, όπως δεν υπάρχει και ένα γεωμετρικό μέτρο μήκους και ένα μέτρο μήκους της καθημερινότητας. Τα μέτρα μήκους και τα μέτρα εμβαδών είναι κοινά σε γεωμετρία και καθημερινότητα. Στην καθημερινότητα όμως, αν έχουμε πλήθος από τετραγωνικά μέτρα (πες ότι τα πλακίδια είναι 1 τ.μ το καθένα) να επιθέσουμε επί ενός δαπέδου για να το καλύψουμε, δεν έχουμε τη δυνατότητα να έχουμε κοινές πλευρές, αλλά μόνο επαφές των τετραγωνικών μέτρων. Η κυρία Παπαδάκη και ο κύριος Πάμφιλος τι κάνουν; Αναφέρονται σε πλακάκια επίστρωσης, τα ονομάζουν εμβαδά, αλλά τα αντιλαμβάνονται σαν σχήματα με κοινές πλευρές. Τα τετραγωνικά μέτρα όμως, όπως είπαμε, δεν έχουν κοινές πλευρές και προς τούτο δεν μπορεί να γίνει ΠΟΤΕ η εφαρμογή. Από τη μία μιλάμε για εμβαδά και από την άλλη αντί για μέτρα εμβαδού που είναι απαραίτητα υλικά υποδείγματα αφού δεν υπάρχουν άλλα μέτρα για τη γεωμετρία και άλλα για την καθημερινότητα, χρησιμοποιούμε τετράγωνα σχήματα σαν μέτρα εμβαδού! Αυτή είναι η εσφαλμένη οδός της εφαρμογής. Ρίξετε μια ματιά, πρώτος μιλάω στο εισαγωγικό μου «άρθρο» για εμβαδά, αλλά χρησιμοποιώ το μέτρο εμβαδού σαν υλικό υπόδειγμα.
Εξάλλου μη λησμονείτε ότι το να αποδίδουμε σήμερα ερμηνευτικά (και αυτό να το εκλαμβάνουμε σαν βέβαιο και ικανό να αποδείξει) το τι πίστευε ο Ευκλείδης για τις εφαρμογές που έκανε με κανόνα και διαβήτη, χωρίς τη χρήση αριθμών και μέτρων δηλαδή, είναι και λίγο μεταφυσικό!

β. Είναι ερώτημα πότε διατυπώθηκε το αξίωμα του εμβαδού, για να μπορεί με αυτό να καλυφθεί αναδρομικά (!!!) η ισχύς του πυθαγορείου.

γ. Σύμφωνα με το αξίωμα του εμβαδού, 4 πολυγωνικά χωρία (έστω τετράγωνα) με εμβαδόν 1 τ.μ. το καθένα, έχουν άθροισμα 1+1+1+1=4 τ.μ. Αν χρησιμοποιήσουμε λοιπόν την άθροιση αμιγώς αριθμητικά ώστε να εκφραστούμε με εμβαδά, θα πρέπει να υποδείξουμε αριθμό 4 σαν ακέραιο πολλαπλάσιου του 1. Τέτοιο αξίωμα όμως, που να προβλέπει ενώσεις αριθμητικών μονάδων σε πολλαπλάσιό τους, δεν υπάρχει πουθενά στα μαθηματικά ώστε να καλύψει την αριθμητική προσέγγιση της άθροισης σαν ένωση μονάδων. Πως θα ενωθούν δύο αριθμητικές μονάδες; Για να ενωθούν πρέπει να έχουν κάτι κοινό. Όμως οι μονάδες δεν έχουν κάτι κοινό, εκτός από το να μην είναι κοινές δηλαδή πολλαπλάσιες του 1. Όταν προσθέτουμε δύο ευθύγραμμα τμήματα ΑΒ και ΓΔ τα μεταφέρουμε επί ευθείας ε και με το διαβήτη τα ενώνουμε μέσω κοινού σημείου. Στις αριθμητικές μονάδες ποιο είναι το αντίστοιχο "κοινό τους σημείο" ώστε να μπορούμε να τις ενώσουμε; Ασε που εδώ πονάει ακόμα περισσότερο, αφού για να κάνουμε την ένωση των ΑΒ και ΓΔ επικαλούμαστε τις ιδιότητες των μη αρνητικών αριθμών, που όμως δεν υπάρχει σε αυτές τις ιδιότητες ιδιότητα ένωσης αριθμητικών μονάδων. Έτσι το 1+1+1+1=4 με το αξίωμα του εμβαδού είναι ορθότατο ΜΟΝΟ αν θεωρήσουμε το 4 συγκείμενο πλήθος αριθμητικών μονάδων ή το εμβαδόν είναι 4 τ.μ. ανεξάρτητα μεταξύ τους. Το ίδιο ισχύει και με το πυθαγόρειο.

Να είσαι καλά.

Συζήτηση σχετικά με την ορθότητα ή μη του Πυθαγόρειου Θεωρήματος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Διακεκριμένο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Διάσημο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Διάσημο μέλος

Διακεκριμένο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Διακεκριμένο μέλος

Νεοφερμένος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Διάσημο μέλος

Νεοφερμένος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Νεοφερμένος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Νεοφερμένος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Δραστήριο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος