1+1=2

Mathmaniac · 15-09-08

Κύριε ipios δεν καταλαβαίνω τί εννοείται όταν λέτε ότι ο κύριος diavolakoS δεν σας τεκμηρίωσε την απάντησή του μαθηματικά αλλά προπάθησε να σας κάνει μάθημα φιλοσοφίας... Αυτό που είδα εγώ είναι ότι σας απέδειξε ότι ο 2 μπορεί να είμαι ακέραιο πολ/σιο του 1 σύμφωνα με τα αξιώματα του Peano, και εσείς δεν το δεχθήκατε υποστηρίζοντας ότι δεν υφίσταται κάτι τέτοιο στα Ευκλείδια αξιώματα... Σας ξαναλέω λοιπόν πως επειδή ίσως τα στοιχεία του Ευκλείδη να είχαν κάποια κενά ( άθελα ή ηθελημένα από τον ίδιο τον Ευκλείδη ) οι μετέπειτα επιστήμονες ασχολήθηκαν ώστε να τα <<καλύψουν>>... Τα μαθηματικά είναι μια ολότητα δεν μπορούμε να τα διαχωρίζουμε λέγοντας
<< Κατά Ευκλείδη>>, <<Κατά Peano>> κλπ.

ipios · 15-09-08

Αγαπητέ κύριε Mathmaniac, είστε ευγενικός και κυρίως δείχνετε να πιστεύετε αυτά που υποστηρίζετε και δεν τα λέτε απλά για να εναντιωθείτε. Περί των θέσεων που αναπτύσσει ο αγαπητός φίλος κύριος diavolakos, έχω πολλές φορές απαντήσει αλλά θα το επιχειρήσω εκ νέου για τους λόγους που αναφέρω πιο πάνω.

Ελπίζω να εκτιμήσετε τον κόπο μου και να το διαβάσετε γιατί εσείς θα μάθετε για τον τρόπο που συλλογίζομαι που όπως δείχνουν τα πράγματα σας ενδιαφέρει. Τουλάχιστον να ξέρετε τι λέω και γιατί το λέω. Ξέρετε είμαστε άνθρωποι και εμείς και οι άλλοι...

Μέρος πρώτο

diavolakos

Αν μενοντας απο την αρχη μεσα στον κοσμο των μαθηματικων παραθεσουμε την εννοια ''ενα'' στον εαυτο της(με αλλα λογια προσθεσουμε το ενα στον εαυτο του) κατασκευαζουμε με μαθηματικο τροπο τον αριθμο δυο.Αυτη ειναι η πρωτη, η πρωταρχικη μαθηματικη σκεψη.Η τελευταια αυτη διεργασια- η παραθεση του ενα στον εαυτο του- δεν ειναι κατι απλο και αυτονοητο.Αποτελει την αντανακλαση μεσα τον κοσμο των μαθηματικων μιας λειτουργιας που συμβαινει γενικοτερα και εξω απο αυτον και στηριζεται στη διαδικασια της αντιστοιχισης,μιας διαδικασιας ιδιαιτερα χρησιμης στα μαθηματικα.
Οι νομοι και οι ιδιοτητες που διεπουν τις εννοιες, με τις οποιες δουλευουν τα μαθηματικα εχουν τα αντιστοιχα τους στον πραγματικο κοσμο.Ενα παραδειγμα θα εχουμε παρακατω μιλωντας για τα αξιωματα του PEANO και ZERMELO-FRAENKEL που χρησιμοποιουνται στον αξιωματικο τροπο θεμελιωσης των μαθηματικων, δεν ειναι παρα τα μαθηματικα αντιστοιχα ιδιοτητων του πραγματικου κοσμου, οπως αυτες γινονται αντιληπτες με δεδομενες τις ικανοτητες της ανθρωπινης νοησης στο σημερινο επιπεδο αναπτυξης της.

α. Καλέ μου κύριε Mathmaniac, απορώ πως δεν διακρίνετε τα άλματα του αγαπητού κυρίου diavolakos. Στα μαθηματικά, ελπίζω να συμφωνούμε, ισχύουν οι όροι και τα αξιώματα. Έχετε υπόψη σας ορισμό της έννοιας «παραθέσουμε» ώστε να αποδέχεστε την ερμηνεία της ένωσης των μονάδων στον όρο πρόσθεση των μονάδων, τον οποίο χρησιμοποιεί ο αγαπητός μας φίλος για να ερμηνεύσει την έννοια παράθεση;
Παραθέτω σημαίνει θέτω κάτι δίπλα στο αναφερόμενο (εν προκειμένω μονάδα, στο παρά των πρωθυπουργώ δίπλα του (!!!) ) και όχι ενώνω μονάδα με μονάδα. Η πρόσθεση στα μαθηματικά δεν είναι ένωση μονάδων και υπάρχει εξαιρετικά σημαντικός λόγος που δεν είναι ένωση μονάδων. Για να ισχυριστείτε, ότι λέγοντας «προσθέτω δύο μονάδες, εννοώ τις ενώνω σε μία που να τις περιέχει», θα πρέπει να βρείτε υπάρχον εξ ορισμού ή κατά αξιωματική πρόβλεψη «κοινό μέρος» των μονάδων για να τις ενώσετε, δηλονότι έναν αριθμό που να ανήκει συγχρόνως και στην μία και στην άλλη μονάδα. Θα φέρω ένα παράδειγμα από τη γεωμετρία. Η πρόσθεση π.χ. δύο ίσων ευθύγραμμων τμημάτων ΑΒ=ΓΔ, γίνεται έμμεσα με την ένωση των μηκών τους (ΑΒ)+(ΓΔ). Επί ευθείας ε με τον διαβήτη ορίζουμε τμήμα ΟΜ=ΑΒ και ΟΝ=ΓΔ και έχουμε το ευθύγραμμο τμήμα ΜΟΝ όπου όπως είπαμε ΟΝ=ΟΜ=ΑΒ=ΓΔ.
Βλέπετε καλέ μου κύριε ότι η άθροιση με την έννοια της ένωσης απαιτεί την ύπαρξη του κοινού σημείου Ο που καθιστά τα ΟΝ και ΟΜ διαδοχικά και τα ενώνει σε ΝΜ. Στις αριθμητικές μονάδες ποιο είναι το αντίστοιχο με το κοινό σημείο Ο «κοινό μέρους τους» ώστε να ενωθούν σε διπλάσιο; Δεν υπάρχει τέτοιο κοινό μέρος μεταξύ των αριθμητικών μονάδων και επομένως, ούτε και η πρόσθεση με την έννοια της ένωσης των ευθύγραμμων τμημάτων είναι ορθή διότι παραπέμπει στις αθροίσεις των μη αρνητικών αριθμών, δηλονότι στο 1+1=2 όπου όμως, δεν υπάρχει κοινό αριθμητικό μέρος των δύο (ή άλλου πλήθους) μονάδων ώστε να αιτιολογηθεί με την πρόσθεση ΕΝΩΣΗ μονάδων και να αιτιολογηθεί το 2 σαν διπλάσιο. Στην ουσία της όλης υπόθεση υποκρύπτεται η αιτία που ανάγκασε τον Χίλμπερτ να καταστήσει την αρχή Αρχιμήδη – Εύδοξου από απλή πρόταση προς απόδειξη που είναι, σε αξίωμα συνεχείας, διότι δεν μπορούσε να αποδειχθεί.

β. Η διαφορά μας λοιπόν είναι πολύ απλή. Εγώ ισχυρίζομαι ότι 1+1 είναι 2 (κατά πλήθος και τάξη) και δεν κάνουν δύο, δηλονότι δεν υπάρχει μεταβολή. Το 1 παρατιθέμενο δίπλα σε άλλο 1, είτε εμείς πούμε ότι τα αθροίζουμε, είτε πούμε ότι δεν τα αθροίζουμε, είναι 2 έτσι κι αλλιώς. Δεν έχει νόημα η δήλωση πρόσθεσης αλλά αρκεί απλή αρίθμηση του κατά Ευκλείδη συγκείμενου πλήθους μονάδων. Στην πραγματικότητα ο ορισμός των αριθμών σαν συγκείμενα πλήθη μονάδων από τον Ευκλείδη μεταλλάσσεται σε παρατιθέμενες μονάδες κατά τον φίλο diavolakos. Μη θαμπώνεστε από τα ονόματα Χίλμπερτ, Καντόρ, Ντέντεκιντ, Πεάνο ή όποιο άλλο. Απλοί άνθρωποι ήταν και μάλιστα κανιβάλισαν (ανθρώπινο προσόν!) τον Ευκλείδη που και εγώ συμφωνώ ότι δεν ήταν τέλειος. Ιδίως οπ Χίλμπερτ με την μετατροπή της αρχής του Αρχιμήδη – Εύδοξου σε αξίωμα συνεχείας. Δεν υπάρχει αξίωμα ένωσης των μονάδων. Στα σύνολα θα βρείτε καλέ μου κύριε την έκφραση ένωση συνόλων, αλλά δεν θα βρείτε την έκφραση ένωση των στοιχείων των συνόλων. Η αιτία είναι κοινή. Τα στοιχεία των συνόλων είναι καλώς ορισμένα και διακεκριμένα μεταξύ τους και δεν μπορείς ασφαλώς σε ένα σύνολο με στοιχεία αποτελούμενα από αριθμούς, πρόβατα και τραπέζια να έχεις ένωση των στοιχείων των συνόλων. Μη σας δημιουργείται σύγχυση παρακαλώ.

γ. Η άποψη, «Αν μενοντας απο την αρχη μεσα στον κοσμο των μαθηματικων παραθεσουμε την εννοια ''ενα'' στον εαυτο της(με αλλα λογια προσθεσουμε το ενα στον εαυτο του) κατασκευαζουμε με μαθηματικο τροπο τον αριθμο δυο» πως μπορεί τάχα να κριθεί, αν όχι λαθεμένη και μόνο λαθεμένη; Το 1 ενώνεται με άλλο 1 και κάνει διπλάσιο στην φυσική, όπου δεν λειτουργεί το αφαιρετικά της φύσης και έτσι μπορούν να ενώνονται τα υγρά. Στα μαθηματικά δεν ισχύουν οι ιδιότητες των υγρών, αλλά επιπλέον τίθεται και ένα άλλο εξίσου σημαντικό ζήτημα. Αν μπορούμε να λέμε 1 το 2 και 2 το 1, τότε δεν υπάρχει ορισμός της μονάδας. Ξέρετε αγαπητέ φίλε ορισμό της μονάδας διαφορετικό από τον ευκλείδειο; Το διπλάσιο είναι σχέση και τα μαθηματικά είναι απόλυτα. Λέμε αυτό είναι διπλάσιο γνωρίζοντας τη διαδικασία δημιουργίας του (στη φυσική εννοώ). Π.χ. αν δείξεις σε ένα εξωγήινο μισό μήλο και τον ρωτήσεις τι είναι αριθμητικά, θα σου πει 1 στη γλώσσα του, διότι δεν γνωρίζει το ολόκληρο μήλο και είναι ψευδές ότι με αυτά τα μαθηματικά μπορούμε να έχουμε συμπαντική γλώσσα.
Μέρος δεύτερο

diavolakos
Για τους φυσικους αριθμους

Το συνολο Ν των φυσικων αριθμων οριζεται στα μαθηματικα με τα αξιωματα του PEANO.
Το πρωτο αξιωμα λεει οτι*:
1.Το συνολο Ν περιεχει το στοιχειο 1 ,δεχεται δηλαδη αξιωματικα το ''ενα'' που περιγραψαμε πιο πανω ως προιον λογικης αφαιρεσης.Εχουμε ακομη:
2.Υπαρχει μια απεικονιση του Ν μεσα στον εαυτο του που λεγεται συναρτηση διαδοχης, η οποια σε καθε φυσικο αριθμο απεικονιζει εναν αλλο φυσικο που λεγεται επομενος του πρωτου
3.Δεν υπαρχει φυσικος , του οποιου επομενος να ειναι ο 1.
Το αξιωμα2. αποδιδει την κατασκευη του αριθμου 2 που περιγραψαμε πιο πανω με την παραθεση του 1 και του 1, του 3 με την παραθεση του 2 και του 1 κ.ο.κ.
Το αξιωμα 3. λεει οτι ο 1 ειναι πρωταρχικη εννοια, δεν προκυπτει δηλαδη απο αλλο φυσικο.

Τα παρακάτω είναι τα αξιώματα Πεάνο αγαπητέ κύριε.

To 0 είναι φυσικός αριθμός.
Κάθε φυσικός αριθμός n έχει έναν επόμενο n'.
Δεν υπάρχει φυσικός αριθμός που να έχει ως επόμενο (διάδοχο) το 0.
Δύο διακριτοί φυσικοί αριθμοί n,m έχουν διαφορετικούς επόμενους αριθμούς n',m'.
Αν ένα σύνολο συμπεριλαμβάνει το 0 και κάθε επόμενο αριθμό από τους φυσικούς που συμπεριλαμβάνει, τότε συμπεριλαμβάνει όλους τους φυσικούς αριθμούς.

Θέλει πολύ σκέψη να διαπιστώσετε καλέ μου φίλε ότι δεν διαφωνώ με το αξίωμα 2 (που δεν είναι του Πεάνο και δεν με απασχολεί, είτε είναι, είτε δεν είναι ή πολύ περισσότερο τίνος είναι) και το αξίωμα 3; Πραγματικά η παράθεση του 1 και του 1 «κατασκευάζει» τον αριθμό 2. Αυτό λέει και ο Ευκλείδης με τον ορισμό του «αριθμός είναι συγκείμενον πλήθος μονάδων». Αυτο λέει και το 1+1=2. Και εγώ λέω 1+1=2 και όχι 1564. Που βλέπετε εσείς η «παράθεση» να ερμηνεύεται (με ποιον ορισμό) σαν πρόσθεση και πολύ περισσότερο σαν ένωση των μονάδων; Μήπως αυτοσχεδιάζει ο φίλος diavolakos; Ορισμός ένωσης μονάδων υπάρχει; Αξίωμα ένωσης μονάδων υπάρχει; Αυτό που σαν δεύτερο αξίωμα προτείνει ο φίλος diavolakos και το ερμηνεύει σαν ένωση μονάδων είναι δική του θεία φώτηση; Ότι θέλουμε λέμε και το θεωρούμε μάλιστα πλήρως τεκμηριωμένη απάντηση την οποία δεν δέχομαι; Την ερμηνεύτική χωρίς ορισμό γνώμη θα δεχτώ; Το πυθαγόρειο που προβλέπει ένωση 2 τετραγώνων σε 1 που να τα περιέχει είναι εσφαλμένο. Δεν προβλέπονται αθροίσεις σχημάτων και το μονοσήμαντο του αποτελέσματος (αν θέλετε και αυτό το επιχείρημα) επιβάλει, ότι μπορεί να επιτύχει η άθροιση 2 ίσων τετραγώνων σχημάτων (που δεν προβλέπεται), να μπορεί να το επιτύχει η άθροιση 2 ίσων τετραγωνικών μονάδων (αξίωμα εμβαδού), καθώς επίσης και η άθροιση 2 αριθμητικών μονάδων. Αλλιώς άλλα πλήθη από 1 θα ενώνονται και άλλα όχι. Αυτά είναι μπάχαλο και όχι μαθηματικά καλέ μου φίλε.
Τέλος καλέ μου φίλε θα σας εξηγήσω που οφείλεται η ανεπιτυχής προσπάθεια των μαθηματικών να προσομοιάσουν τους αριθμούς με ακέραια πολλαπλάσια και να μη μείνουν στα ευκλείδεια συγκείμενα πλήθη μονάδων (δηλαδή σε πλήθη ακέραιων μονάδων). Στο πυθαγόρειο θεώρημα.
Αυτό δείχνει κατασκευή διπλάσιου τετραγώνου από δοσμένο τετράγωνο. Αυτό όμως είναι λάθος για όλους τους λόγους του κόσμου. Αθροίσεις σχημάτων δεν προβλέπονται, τα εμβαδά είναι άθροιση τετραγωνικών (σχηματικών) μονάδων, αφού το τετράγωνο με πλευρά ένα είναι 1 τετραγωνικό μέτρο. Οι μονάδες πάλι, δεν έχουν κοινά μέρη (σαν το κοινό σημείο όπως είπαμε) να ενωθούν. Τα σύνολα πάλι δεν προβλέπουν αθροίσεις των στοιχείων τους με την έννοια της ένωσής τους, διότι αν υπήρχε μια τέτοια πρόβλεψη θα έπρεπε να υπήρχε λ.χ. (για να γελάσουμε και λίγο) καρεκλοσυννεφοαυτοκίνητοτετραγωνοκύκλος αν τα στοιχεία ενός συνόλου τα οποία από πιθανή πρόβλεψη θα ενώνουμε, είναι τα αναφερόμενα.
Ο Πεάνο καλέ μου φίλε, δεν λέει τίποτα περισσότερο από τον Ευκλείδη. Αυτό δεν έχει καταλάβει ο φίλος diavolakos και εσείς κατά τα φαινόμενα. Μήπως ο Ευκλείδης στους φυσικούς στο 3 δεν περιλαμβάνει το 2 και το 1; Αυτά είναι αστεία πράγματα και απλά αποδεχόμαστε σαν αντιλήψεις Πεάνο ξαναζεσταμένες και σε άλλο περιτύλιγμα τις ευκλείδειες αντιλήψεις. Αν σε ρωτήσω ποια είναι η διαφορά των φυσικών αριθμών του Ευκλείδη και των φυσικών του Πεάνο, θα σου μείνει η απορία χωρίς να σου έρθει απάντηση. Όλα όσα λέει ο Πεάνο (και σε μεγάλο βαθμό και ο Καντόρ με τα σύνολα) ο αρχαίος δάσκαλος τα περικλείει σε δύο λέξεις. Συγκείμενα πλήθη μονάδων. Ποιο αξίωμα στηρίζει την ένωση μονάδων;
Ψάξε στο αξίωμα συνεχείας του Χίλμπερτ να μπορείς να λες 2 το 1 και το αντίστροφο. Ο Αρχιμήδης και πολύ περισσότερο ο Εύδοξος δεν μπορούσαν λες να κάνουν την αρχή τους αξίωμα και περίμεναν τον έξυπνο Χίλμπερτ να τους διορθώσει;
Ξέρω ότι σου τα λέω κάπως πυκνά, αλλά να συνεκτιμήσεις ότι τα έχω επαναλάβει χίλιες φορές….
Να ξέρετε είμαι στη διάθεσή σας και να είσαστε καλά.

ΥΓ: Παρακαλώ να μου συγχωρεθεί η χρήση του ενικού συγχρόνως με τον πληθυντικό, αλλά έχω κουραστεί για να κάνω τις αλλάγες που σχετίζονται με το συντακτικό. .

Mathmaniac · 16-09-08

Κύριε ipios γράφετε: <<β. Η διαφορά μας λοιπόν είναι πολύ απλή. Εγώ ισχυρίζομαι ότι 1+1 είναι 2 (κατά πλήθος και τάξη) και δεν κάνουν δύο, δηλονότι δεν υπάρχει μεταβολή. Το 1 παρατιθέμενο δίπλα σε άλλο 1, είτε εμείς πούμε ότι τα αθροίζουμε, είτε πούμε ότι δεν τα αθροίζουμε, είναι 2 έτσι κι αλλιώς. Δεν έχει νόημα η δήλωση πρόσθεσης αλλά αρκεί απλή αρίθμηση του κατά Ευκλείδη συγκείμενου πλήθους μονάδων.>>

Δεν διαφωνούμε στο ότι 1+1 είναι 2 κατά πλήθος και τάξη. Σαφώς και δεν υπάρχει μεταβολή... Αν σας ήταν εύκολο, παρ' όλα αυτά, θα μπορούσατε να μου εξηγήσετε τι εννοείτε όταν λέτε ότι δεν έχει νόημα η δήλωση πρόσθεσης αλλά αρκεί απλή αρίθμηση του κατά Ευκλείδη συγκειμένου πλήθους μονάδων?

Ρωτήσατε στο αρχικό post σας εάν το 2 είναι ακέραιο πολ/σιο του 1. Θα θέλατε να μου δώσετε έναν ορισμό για τον πολ/σμό?

ipios · 17-09-08

Mathmaniac
Κύριε ipios γράφετε: <<β. Η διαφορά μας λοιπόν είναι πολύ απλή. Εγώ ισχυρίζομαι ότι 1+1 είναι 2 (κατά πλήθος και τάξη) και δεν κάνουν δύο, δηλονότι δεν υπάρχει μεταβολή. Το 1 παρατιθέμενο δίπλα σε άλλο 1, είτε εμείς πούμε ότι τα αθροίζουμε, είτε πούμε ότι δεν τα αθροίζουμε, είναι 2 έτσι κι αλλιώς. Δεν έχει νόημα η δήλωση πρόσθεσης αλλά αρκεί απλή αρίθμηση του κατά Ευκλείδη συγκείμενου πλήθους μονάδων.>>

Δεν διαφωνούμε στο ότι 1+1 είναι 2 κατά πλήθος και τάξη. Σαφώς και δεν υπάρχει μεταβολή... Αν σας ήταν εύκολο, παρ' όλα αυτά, θα μπορούσατε να μου εξηγήσετε τι εννοείτε όταν λέτε ότι δεν έχει νόημα η δήλωση πρόσθεσης αλλά αρκεί απλή αρίθμηση του κατά Ευκλείδη συγκειμένου πλήθους μονάδων?

Ρωτήσατε στο αρχικό post σας εάν το 2 είναι ακέραιο πολ/σιο του 1. Θα θέλατε να μου δώσετε έναν ορισμό για τον πολ/σμό?

Αγαπητέ φίλε κύριε Mathmaniac, ο ορισμός του πολλαπλασιασμού μου είναι άγνωστος, αλλά θα δεχθώ τον δικό σας γιατί με διευκολύνει. Μπορείτε να τον παραθέστε λοιπόν να δείτε ότι έχω δίκιο με τον δικό σας ορισμό του πολλαπλασιασμού.
Ωστόσο:
Καλέ μου κύριε Mathmaniac το θέμα μας δεν είναι αυτό. Το θέμα μας συνδέεται με την απάντηση του φίλου κυρίου diavolakos την οποία υιοθετήσατε και την περιγράψατε πλήρως τεκμηριωμένη απάντηση την οποία δεν δέχομαι. Εσείς δέχεστε ότι "Αν μενοντας απο την αρχη μεσα στον κοσμο των μαθηματικων παραθεσουμε την εννοια ''ενα'' στον εαυτο της (με αλλα λογια προσθεσουμε το ενα στον εαυτο του) κατασκευαζουμε με μαθηματικο τροπο τον αριθμο δυο.Αυτη ειναι η πρωτη, η πρωταρχικη μαθηματικη σκεψη";
Πιο απλά, δέχεστε ότι η έννοια της "παράθεσης μονάδων" σημαίνει ένωση μονάδων όπως ακριβώς την ερμηνεύει (αυτό θα πει με άλλα λόγια!) και επομένως εντελώς αναιτιολόγητα δεν δέχομαι τις εξαιρετικές αιτιολογίες του φίλου κυρίου diavolakos;
Είναι μαθηματικά για εσάς να ερμηνεύουμε έννοιες χωρίς ορισμούς; Τότε τι τους θέλουμε τους ορισμούς;
Αυτό είναι το ζήτημά μας για το οποίο με έχετε "εγκαλέσει" και όχι αν γνωρίζω ή δεν γνωρίζω τον ορισμό του πολλαπλασιασμού ή της πρόσθεσης.
Στο 1+1=2 αναγνωρίζω άθροιση και το άθροισμα 2 αναγνωρίζω αποκλειστικά σαν πλήθος ακέραιων μονάδων.
Αν εσείς στο 1+1=2 αναγνωρίζετε το άθροισμα 2, σαν έναν αριθμό που περιέχει ενωμένες δύο μονάδες στηριγμένος στην πλήρη και έγκυρη αιτιολογία του φίλου κυρίου diavolakos, πόσο μπορεί σε αυτό να επιδράσει, η μέγιστη περί τον ορισμό του πολλαπλασιασμού άγνοιά μου; Να με συμπαθάτε, αλλά αν έτσι αντιλαμβάνεστε το 2, σας έχουν γελάσει και προσωπικά σας ενημερώνω για το κατά την άποψή μου σφάλμα, χωρίς ασφαλώς να σας υποχρεώνω ούτε να το κατανοήσετε, ούτε να το αποδειχθείτε.
Να είσαστε καλά.
ΥΓ: Τώρα θα μου επιτρέψετε με τη σειρά μου, εγώ να θαυμάσω την επιμονή σας να κάνετε αντιπαράθεση μαζί μου χωρίς κανένα επιχείρημα, διότι δεν θεωρώ επιχείρημα το να με ρωτάτε τον ορισμό του πολλαπλασιασμού!

Tsipouro · 17-09-08

Βασικά σαν ερώτηση το θέτω κυρίως.
Με βάση αξιώματα της γραμμικής άλγεβρας.
Η πρόσθεση αποτελεί γραμμική απεικόνιση απο το RxR στο R με τύπο +(a,b)=a+b, έτσι;
Ο πολλαπλασιασμός αποτελεί και αυτός γραμμική απεικόνιση από το RxR στο R με τύπο χ(a,b)=a*b. Ναι; Οπότε ισχύει και η ιδιότητα: για λ ανήκει στο R και (a,b) ανήκει στο RxR: λ*x(a,b)=λ*(a*b).
Μήπως φτάνουν αυτά για την απόδειξη του ισχυρισμού; Ξαναλέω ότι απλά κάνω ερώτηση.

Hilbert · 17-09-08

1+1=2 δηλώνει ότι το αποτέλεσμα της πράξης 1+1 είναι ο αριθμός 2.
Πράξη: απεικόνιση από το καρτεσιανό γινόμενο ΑχΑ (ενός συνόλου Α με τον εαυτό του) στο Α
αποτέλεσμα: τιμή της απεικόνισης

Tsipouro · 18-09-08

Αρχική Δημοσίευση από Hilbert:
1+1=2 δηλώνει ότι το αποτέλεσμα της πράξης 1+1 είναι ο αριθμός 2.
Πράξη: απεικόνιση από το καρτεσιανό γινόμενο ΑχΑ (ενός συνόλου Α με τον εαυτό του) στο Α
αποτέλεσμα: τιμή της απεικόνισης

Τα ξέρω αυτά που λες, αλλά δεν απάντησες στην ερώτησή μου στο προηγούμενο μου ποστ.
Το σκεπτικό μου ήταν: αφού (1,1) ανήκει στο RxR: +(1,1)=1+1=2=1*2 με βάση τις ιδιότητες των γραμμικών απεικονίσεων. Αυτό που δεν ξέρω, είναι το αν οι ιδιότητες των γραμμικών απεικονίσεων είναι αξιώματα. Αν είναι, τότε λογικά είναι μια λύση στο πρόβλημα του ipios.

ipios · 18-09-08

Tsipouro
Το σκεπτικό μου ήταν: αφού (1,1) ανήκει στο RxR: +(1,1)=1+1=2=1*2 με βάση τις ιδιότητες των γραμμικών απεικονίσεων. Αυτό που δεν ξέρω, είναι το αν οι ιδιότητες των γραμμικών απεικονίσεων είναι αξιώματα. Αν είναι, τότε λογικά είναι μια λύση στο πρόβλημα του ipios.

Όποια πέτρα κι αν σηκώσεις στα μαθηματικά από κάτω θα είναι ο Ευκλείδης. Δεν είναι αλάνθαστος αλλά είναι και το μοναδικό μαθηματικό κεφάλαιο της ανθρωπότητας, που έπαιρνε από τα μαθηματικά ότι του έδιναν και όχι ότι έθετε σαν στόχο να πάρει και μάλιστα με το ζόρι όπως γίνεται με τους συνεχιστές του....

O ipios έγραψε στις 14:27, 15/09/08: #60

2. Περί τον Ευκλείδη και τα αξιώματα

Πάρις Πάμφιλος καθηγητής μαθηματικών πανεπιστημίου Κρήτης "Ευκλείδεια γεωμετρία" σελίδα 2.

1.4 Αναλυτική μέθοδος
Η αναλυτική μέθοδος αναπτύχθηκε πολύ αργότερα από την συνθετική (Κοφτέσιος 1596-1650). Σ' αυτήν ο χώρος X περιγράφεται με σαφήνεια και ταυτίζεται με ένα σύνολο μαθηματικών αντικειμένων. Π.χ. το Ευκλείδειο Επίπεδο ταυτίζεται με το σύνολο R2. Τα διάφορα σχήματα, όπως λ.χ. οι ευθείες, περιγράφονται ως σύνολα που ικανοποιούν μαθηματικές σχέσεις και οι μετασχηματισμοί, δίδονται από συγκεκριμένους τύπους. Οι ορισμοί και οι ιδιότητες των σχημάτων ανάγονται σε αριθμητικές σχέσεις και επομένως η αλήθειά τους ανάγεται στην αλήθεια των στοιχειωδών ιδιοτήτων των πραγματικών αριθμών. Εδώ τα πάντα είναι προτάσεις. Τα αξιώματα φαίνονται ν' απουσιάζουν. Τούτο είναι μόνο φαινομενικό. Τα αξιώματα κρύβονται, σ' αυτήν την περίπτωση, στο μοντέλο. Π.χ. για το R2 τα αντίστοιχα αξιώματα είναι αυτά του R, τα οποία συνεπάγονται τα αξιώματα του Ευκλειδείου επιπέδου.

Ο Χίλμπερτ λέει:

Α............Β............Γ ΑΒ+ΒΓ=2
Όμως ισχύει εξορισμού των αριθμών ΔΕ+ΖΗ=2
Δ............Ε
Ζ............Η

Κανένας δεν βλέπει ότι το αξίωμα συνεχείας του Χίλμπερτ αντιφάσκει στους όρους μονάδα και αριθμοί, ενώ ο ίδιος ο Χίλμπερτ δεν εισάγει άλλους όρους περί μονάδας και αριθμών; Αμφότερα δεν μπορούν να ισχύουν στο ίδιο αξιωματικό σύστημα. Ας ορίσει αλλιώς ο Χίλμπερτ τη μονάδα και τους αριθμούς να μπορεί να ισχύει το αξίωμά του γιατί στο Ευκλείδειο αντιφάσκει.
Αν ΑΒ=ΒΓ=ΔΕ=ΖΗ=1 ποιο είναι το ορθό; ΑΒ+ΒΓ=2 ή ΔΕ+ΖΗ=2
Το ένα δεν μετατρέπεται στο άλλο. Τόσο απλά είναι αυτά τα πράγματα και μη μπερδευόσαστε.
Τόσο σπουδαίο είναι να καταλάβετε επιτέλους ότι δεν υπάρχει αξίωμα που να προβλέπει ένωση σχημάτων, αριθμών και μέτρων και ότι αν το αξίωμα συνεχείας του Χίλμπερτ (αρχή Αρχιμήδους - Εύδοξου) δεν εναρμονίζεται εκ του αποτελέσματος με τα άλλα αθροίσματα; Γιατί λέτε ότι ο Χίλμπερτ έκανε αξίωμα την Αρχή Αχιμήδη - Εύδοξου; Την έκανε γιατί δεν μπορούσε να την αποδείξει σαν πρόταση (θεώρημα) των σημαντικών αυτών μαθηματικών. Πήγε να μιμηθεί τον Μέγα Αλέξανδρο στη γεωμετρία!
Να είσαστε καλά.

Mathmaniac · 18-09-08

Κύριε ipios γράφετε:<< Στο 1+1=2 αναγνωρίζω άθροιση και το άθροισμα 2 αναγνωρίζω αποκλειστικά σαν πλήθος ακέραιων μονάδων.
Αν εσείς στο 1+1=2 αναγνωρίζετε το άθροισμα 2, σαν έναν αριθμό που περιέχει ενωμένες δύο μονάδες στηριγμένος στην πλήρη και έγκυρη αιτιολογία του φίλου κυρίου diavolakos, πόσο μπορεί σε αυτό να επιδράσει, η μέγιστη περί τον ορισμό του πολλαπλασιασμού άγνοιά μου; Να με συμπαθάτε, αλλά αν έτσι αντιλαμβάνεστε το 2, σας έχουν γελάσει και προσωπικά σας ενημερώνω για το κατά την άποψή μου σφάλμα, χωρίς ασφαλώς να σας υποχρεώνω ούτε να το κατανοήσετε, ούτε να το αποδειχθείτε.
Να είσαστε καλά.
ΥΓ: Τώρα θα μου επιτρέψετε με τη σειρά μου, εγώ να θαυμάσω την επιμονή σας να κάνετε αντιπαράθεση μαζί μου χωρίς κανένα επιχείρημα, διότι δεν θεωρώ επιχείρημα το να με ρωτάτε τον ορισμό του πολλαπλασιασμού!>>

Πραγματικά δεν μπορώ να καταλάβω από που συμπαιρένετε ότι αντιλαμβάνομαι το 2 σαν ένα αριθμό που περιέχει δύο μονάδες, αφού σας λέω ο 1+1 είναι ίσος με 2 μόνο κατά πλήθος και τάξη όπως υποστηρίζετε κι εσείς.
Επίσης, δεν είχα καμία πρόθεση να χρησιμοποιήσω την ερώτηση μου, σχετικά με το ορισμό του πολ/σμού ως επιχείρημα. Ρωτάτε αν το 2 είναι ακέραιο πολ/σιο του 1. Για να σας απαντήσει κάποιος νομίζω πως πρέπει να του ορίσετε τί σημαίνει πολλαπλασιασμός για εσάς...

ipios · 18-09-08

Mathmaniac
Πραγματικά δεν μπορώ να καταλάβω από που συμπαιρένετε ότι αντιλαμβάνομαι το 2 σαν ένα αριθμό που περιέχει δύο μονάδες, αφού σας λέω ο 1+1 είναι ίσος με 2 μόνο κατά πλήθος και τάξη όπως υποστηρίζετε κι εσείς.

Καλέ μου φίλε Mathmaniac δεν πρόκειται για δικό μου συμπερασμό, αλλά για δική σας ευθεία ομολογία. Εσείς δεν υπερασπιστήκατε σαν πλήρως τεκμηριωμένη την απάντηση του φίλου κυρίου diavolakos; Που βλέπετε να συμπεραίνω; Αν συμφωνείτε μαζί μου (που βλέπω με χαρά ότι το κάνετε) δεν μπορείτε συγχρόνως να θεωρείτε ότι η απάντηση του αγαπητού φίλου είναι πλήρως τεκμηριωμένη, γιατί αυτή η απάντηση, θέλει (αλλά δεν μπορεί) να ανατρέψει αυτό που εμείς κοινά συμφωνούμε και μάλιστα με επιχειρήματα!

Mathmaniac
Επίσης, δεν είχα καμία πρόθεση να χρησιμοποιήσω την ερώτηση μου, σχετικά με το ορισμό του πολ/σμού ως επιχείρημα. Ρωτάτε αν το 2 είναι ακέραιο πολ/σιο του 1. Για να σας απαντήσει κάποιος νομίζω πως πρέπει να του ορίσετε τι σημαίνει πολλαπλασιασμός για εσάς...

Μα απάντησα ήδη. Δώστε εσείς τον ορισμό που εγώ δεν γνωρίζω για να εξετάσουμε με τον δικό σας ορισμό την ύπαρξη διπλάσιου του 1. Ο πολλαπλασιασμός σε κάθε περίπτωση δεν διαφέρει επί της ουσίας από την άθροιση, όπως βέβαια και το άθροισμα από το γινόμενο. Εξετάζουμε δηλονότι τη "φύση" του αθροίσματος και του γινομένου. Π.χ. 3Χ5=15.
α. 3+3+3+3+3=15
β.3Χ3=15
Και στις δύο περιπτώσεις αναγνωρίζω το 15 σαν πλήθος ακέραιων μονάδων και κατά πλήθος και κατά τάξη. Ο φίλος diavolakos υποστηρίζει ότι υπάρχει 15 ακέραιο πολλαπλάσιο του 1. Δηλαδή ένας αριθμός που περιέχει ενωμένες 15 μονάδες. Αν δεν υποστηρίζει και αυτός αυτό που τώρα λέω, δεν έχω κάποια διαφορά μαζί του. Εσείς τι λέτε; Θα πρέπει να μου πείτε επομένως σε ποιο ακριβώς θέμα διαφωνούμε και δείχνω αξιοθαύμαστη επιμονή όπως λέτε, γιατί η σημερινή αποδοχή σας έρχεται να δικαιώσει την επιμονή μου αφού αποδέχεστε ότι το 2 σημαίνει πλήθος και τάξη μονάδων.
Καλέ μου κύριε Mathmaniac, αφού αποδέχεστε λοιπόν ότι το 2 σημαίνει πλήθος και τάξη μονάδων πως δέχεστε ότι 1+1=2 όταν το 2 μέσα από το πυθαγόρειο δείχνεται 1 διπλάσιο τετράγωνο δοσμένου τετραγώνου με πλευρά 1; Δεν βλέπετε ότι αυτό αντιφάσκει στο "πλήθος και τάξη του 2" όπως συνομολογούμε; Αυτό είναι το θέμα.
Να είσαστε καλά.

Hilbert · 18-09-08

Αρχική Δημοσίευση από Tsipouro:
Τα ξέρω αυτά που λες, αλλά δεν απάντησες στην ερώτησή μου στο προηγούμενο μου ποστ.
Το σκεπτικό μου ήταν: αφού (1,1) ανήκει στο RxR: +(1,1)=1+1=2=1*2 με βάση τις ιδιότητες των γραμμικών απεικονίσεων. Αυτό που δεν ξέρω, είναι το αν οι ιδιότητες των γραμμικών απεικονίσεων είναι αξιώματα. Αν είναι, τότε λογικά είναι μια λύση στο πρόβλημα του ipios.

Δεν απαντούσα σε εσένα αλλά στο αρχικό post του κ Λάμπρου.

ipios · 18-09-08

Αγαπητέ φίλε Hilbert σε μένα αρκούσε να απαντήσεις ότι κάνω λάθος και ως γνωστόν η άποψή σου είναι ακαταμάχητη. Τελικά:

α. Μπορείς στην ευκλείδεια γεωμετρία (για να μη σε μπερδέψω περισσότερο) να αιτιολογήσεις διπλάσιο τετράγωνο δοσμένου τετραγώνου ώστε να ισχύει 1+1=2 με το 2 να εκφράζει 1 τετράγωνο;

β. Μπορείς να αποδείξεις το πυθαγόρειο με μετασχηματισμούς όπως το αποδεικνύει όχι μόνο ο Πυθαγόρας και ο Ευκλείδης αλλά και πλήθος "διάσημων" μαθηματικών;

γ. Ξέρεις ότι ο Ευκλείδης δεν χρησιμοποιούσε αριθμούς και εμβαδά, ενώ απεδείκνυε το πυθαγόρειο;

Παραθέτω για δεύτερη φορά την ευκαιρία να δείξεις ότι είσαι μαθηματικός:
Αποδείξεις του πυθαγορείου:
Απόδειξη Πυθαγόρα
https://users.ira.sch.gr/thafounar/Genika/PythagorioTheorima/apodPythagora.html
Απόδειξη Ευκλείδη
https://users.ira.sch.gr/thafounar/Genika/Pyth-Euclidis/euclidis.htm
Απόδειξη Λεονάρντο ντα Βίντσι
https://users.ira.sch.gr/thafounar/Genika/Pyth-DaVinci/daVinci.htm
Απόδειξη H.Dudeney
https://users.ira.sch.gr/thafounar/Genika/PythagorioTheorima/PythagorioTheorima.htm
Απόδειξη Perigal
https://users.ira.sch.gr/thafounar/Genika/Perigal-Pyth/perigal.htm
Απόδειξη LiuHui
https://users.ira.sch.gr/thafounar/Genika/Pyth-Hui/hui.htm
Απόδειξη Λεγάτου
https://users.ira.sch.gr/thafounar/Genika/PythLegatos/pythLegatos.html
Πυθαγόρειο Θεώρημα
https://users.ira.sch.gr/thafounar/Genika/Pyth-Animation/animation.htm

Όλες αυτές οι αποδείξεις φίλτατε έχουν καταστεί αντικείμενο άρνησης από την ΕΜΕ (ας μη το κοινοποιεί) γιατί είναι μετασχηματιστικές. Βλέπεις πουθενά εμβαδά ή αριθμούς ή απλά χρήση του κανόνα και του διαβήτη;
Μπορείς να τις υποστηρίξεις να σου τις ανατρέψω μία προς μία;
Ξέρω: Απλά κάνω λάθος και μου έχουν δοθεί απαντήσεις!
Για το λόγο αυτό χαίρομαι για τον φίλο Mathmaniac που κατά τα φαινόμενα αρχίζει να διακρίνει τον λάκκο στη φάβα...
Να είσαστε καλά.

Hilbert · 18-09-08

Ισχυρίζεσαι ότι

...Όλες αυτές οι αποδείξεις φίλτατε έχουν καταστεί αντικείμενο άρνησης από την ΕΜΕ (ας μη το κοινοποιεί)

Που το ξέρεις, σου το είπε η ΕΜΕ στα κρυφά;

Mathmaniac · 18-09-08

Κύριε ipios λέτε:<<Μα απάντησα ήδη. Δώστε εσείς τον ορισμό που εγώ δεν γνωρίζω για να εξετάσουμε με τον δικό σας ορισμό την ύπαρξη διπλάσιου του 1. Ο πολλαπλασιασμός σε κάθε περίπτωση δεν διαφέρει επί της ουσίας από την άθροιση, όπως βέβαια και το άθροισμα από το γινόμενο. Εξετάζουμε δηλονότι τη "φύση" του αθροίσματος και του γινομένου. Π.χ. 3Χ5=15.
α. 3+3+3+3+3=15
β.3Χ3=15>>

Θέλω να σας πω ότι για να κάνετε την σγκεκριμένη ερώτηση έχετε στο μυαλό σας τον πολλαπλασιασμό σαν μια διαδικασία πρόσθεσης γι' αυτό δεν καταλαβαίνετε ότι παρ' όλο που συμφωνώ μαζί σας ότι το 2 είναι ίσο με 1+1 μόνο κατά πλήθος και τάξη δέχομαι ως πλήρως τεκμηριμένη την απάντηση που σας έδωσε ο κύριος daivolakoS. Ο παλλαπλασιασμός είναι μια συγκεκριμένη απεικόνιση στο R και η πρόσθεση μια άλλη απεικόνιση στο R. Μπορεί να συμπίπτουν σε κάποια σημεία (κατα μια έννοια)...

ipios · 18-09-08

Mathmaniac
Θέλω να σας πω ότι για να κάνετε την σγκεκριμένη ερώτηση έχετε στο μυαλό σας τον πολλαπλασιασμό σαν μια διαδικασία πρόσθεσης γι' αυτό δεν καταλαβαίνετε ότι παρ' όλο που συμφωνώ μαζί σας ότι το 2 είναι ίσο με 1+1 μόνο κατά πλήθος και τάξη

Θα μπορούσα να πω ότι αυτό μου αρκεί καλέ μου φίλε, διότι αν μη τι άλλο, αποδεικνύει ότι το 1+1=2 σε σχέση με τετράγωνα που έχουν μέτρο 1 το καθένα, δεν μπορούν να ενωθούν σε ένα τετράγωνο με μέτρο 2. Αυτό καταρρίπτει πολύ εύκολα τον ισχυρισμό της ΕΜΕ ότι ενώ το πυθαγόρειο δεν ισχύει στην πράξη (καθημερινότητα), στην εποπτική - πρακτική γεωμετρία και με αθροίσεις σχημάτων (μετασχηματισμούς), εξακολουθεί να μην ισχύει και με την "αριθμητικοποίησή του" υπό την αξιωματική προστασία του αξιώματος του εμβαδού. Συμφωνώ απόλυτα λοιπόν αν και είμαι βέβαιος ότι στη συνέχεια θα αρνηθείτε το εσφαλμένο του πυθαγορείου με κάποιο πρόσχημα.

Mathmaniac
δέχομαι ως πλήρως τεκμηριμένη την απάντηση που σας έδωσε ο κύριος daivolakoS. Ο παλλαπλασιασμός είναι μια συγκεκριμένη απεικόνιση στο R και η πρόσθεση μια άλλη απεικόνιση στο R. Μπορεί να συμπίπτουν σε κάποια σημεία (κατα μια έννοια)...

Δεν σας κατανοώ διότι δεν έχετε σαφήνεια. Ενοείτε πως ο πολλαπλασιασμός δεν είναι είδος άθροισης; Τέλος τι θα πει καλέ μου φίλε "συγκεκριμένη απεικόνιση"; Πως ορίζεται; Μήπως εννοείτε την αντιστοίχηση του R ένα προς ένα και επί με τα σημεία μιας ευθείας;
Δεν έχει όμως και τόσο μεγάλη σημασία το τι θέλετε να πείτε έστω και χωρίς να ορίσετε με σαφήνεια την έννοια "συγκεκριμένη απεικόνιση" περί πολλαπλασιασμού και με το τι εννοείτε ότι η πρόσθεση έχει άλλη συγκεριμένη επεικόνιση. Ασφαλώς ούτε και στον Ευκλείδη ο πολλαπλασιασμός έχει τον ίδιο ορισμό με την άθροιση (δεν είναι πρωτοτυπία η διαφορετικότητα των ορισμών πολλαπλασιασμού και άθροισης λοιπόν), αλλά επί της ουσίας ο πολλαπλασιασμός είναι άθροιση και το γινόμενο άθροισμα.
Μου κάνει εντύπωση που συνεχίζετε να επιδοκιμάζετε την "απόδειξη" του φίλου κυρίου diavolakos, όταν πουθενά δεν παραθέτει αξίωμα ή ορισμό, που την άθροιση να την ερμηνεύει σαν ένωση, ενώ συγχρόνως επιδοκιμάζετε ΚΑΙ την εντελώς αντίθετη άποψη (δηλαδή τη δική μου) σχετικά με το 1+1=2. Όμως αυτό είναι δικαίωμά σας να είσαστε και με το χωροφύλαξ και με το αστυφύλαξ και δεν έχω ούτε τρόπο, ούτε λόγο να αντιμετωπίζω την περίπτωση να αποδεικνύω ότι δεν είμαι ελέφαντας και δεν το λέω (ειλικρινά) για να σας προσβάλω, αλλά γιατί έτσι τα κρίνω με το φτωχό μυαλό μου.
Το θέμα είναι ότι επί 2500 χρόνια κανείς δεν έχει αρνηθεί το πυθαγόρειο μετασχηματιστικά (οι αποδείξεις των "επιφανών" μαθηματικών που παραθέτω θεωρούνται ισχυρές παρά την άρνηση της ΕΜΕ) και ούτε βέβαια αριθμητικά όπως το κάνετε εσείς τώρα με το 1+1=2. Θα σας πω όμως επικουρικά ότι στον R δεν υπάρχουν αξιώματα όπως λέει και ο κύριος Πάμφιλος πολύ σωστά και σε αυτόν υποκρύπτονται τα αξιώματα του ευκλείδειου επιπέδου. Έχω την άποψη και να με συμπαθάτε ότι δεν είσαστε μαθηματικός και ειλικρινά, πιστέψτε με, αυτό δεν αποτελεί κανένα μειονέκτημα.
Να είσαστε καλά και σέβομαι τις απόψεις σας, αν και είναι κάπως αστήρικτες και αντιφατικές, όταν υποστηρίζουν τις δύο αντίθετες εκδοχές συγχρόνως.

ipios · 18-09-08

Hilbert
Ισχυρίζεσαι ότι

...Όλες αυτές οι αποδείξεις φίλτατε έχουν καταστεί αντικείμενο άρνησης από την ΕΜΕ (ας μη το κοινοποιεί)

Που το ξέρεις, σου το είπε η ΕΜΕ στα κρυφά;

Στα φανερά μου το είπε καλέ μου φίλε, αλλά δεν το είπε και σε σένα και αυτό εννοώ "ας μη το κοινοποιεί". Η ΕΜΕ συμφωνεί, ότι αποδείξεις του πυθαγορείου με αθροίσεις σχημάτων (όπως είναι όλες αυτές οι αποδείξεις που σου παραθέτω και δεν τις αγγίζεις!) δεν ισχύουν.
Διαφωνείς;
ΥΓ: Άκουσε φίλε Hilbert, δεν πρόκειται να γράψω για χάρη σου κείμενο όσο προκλητικός και να γίνεσαι. Μερικές λέξεις και πολλές είναι, για έναν που προσπαθεί όχι να αντιπαρατεθεί, αλλά να με εξωθήσει σ αντίδραση που θα με οδηγήσει σε διαγραφή. Να το θυμάσαι.

Hilbert · 18-09-08

Σε άλλο χρήστη έγραψες

...Έχω την άποψη και να με συμπαθάτε ότι δεν είσαστε μαθηματικός και ειλικρινά, πιστέψτε με, αυτό δεν αποτελεί κανένα μειονέκτημα. ...

Νομίζεις ότι έχεις τα απαραίτητα εφόδια να κρίνεις ποιος είναι και ποιος δεν είναι μαθηματικός;

ipios · 18-09-08

Εσύ ποιος είσαι που θα λογοδοτήσω; Κοίτα τα δικά σου εφόδια και μη σε απασχολούν τα δικά μου...

Hilbert · 19-09-08

Τελικά με βάση ποια κριτήρια φθάνεις σε συμπεράσματα του τύπου

......Έχω την άποψη και να με συμπαθάτε ότι δεν είσαστε μαθηματικός και ειλικρινά, πιστέψτε με, αυτό δεν αποτελεί κανένα μειονέκτημα. ...

Κατά δήλωσή σου δεν είσαι μαθηματικός και όμως προβαίνεις σε τέτοιες κρίσεις. Μήπως θα μπορούσα και εγώ, πάντα με την άδειά σου, να προβώ σε μια ψυχολογική ανάλυση των γραφομένων σου, ενώ δεν είμαι ψυχολόγος;

Mathmaniac · 19-09-08

Κύριε ipios λέτε:<<Δεν σας κατανοώ διότι δεν έχετε σαφήνεια. Ενοείτε πως ο πολλαπλασιασμός δεν είναι είδος άθροισης; Τέλος τι θα πει καλέ μου φίλε "συγκεκριμένη απεικόνιση"; Πως ορίζεται; Μήπως εννοείτε την αντιστοίχηση του R ένα προς ένα και επί με τα σημεία μιας ευθείας;>>

Δεν εννοώ πως ο πολλαπλασιασμός δεν είναι είδος άθροισης είμαι σίγουρος γι' αυτό...
Πολλαπλασιασμός λέγεται η απεικόνιση f από το R στο R με την οποία δύο στοιχεία α, β που ανήκουν στο R αντιστοιχίζονται σε ένα στοιχείο γ του R με γ = α*β.
Πρόσθεση λέγεται η απεικόνιση g από το R στο R με την οποίδύο στοιχεία α, β του R αντιστοιχίζονται σε ένα στοιχείο γ του R με γ = α + β.

Σύμφωνα με τον ορισμό που σας έδωσα δεν νομίζω να κάνω φανερό σε εσάς ότι αντιλαμβάνομαι τον 2 ως έναν αριμό που περιέχει δύο μονάδες... Ο 2 είναι ίσος με 1+1 κατά πλήθο και κατά τάξη σύμφωνα και με τον δικό μου ορισμό... 2= 2*1 ως πλήθος και τάξη...

1+1=2

Νεοφερμένος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Νεοφερμένος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Διάσημο μέλος

Νεοφερμένος

Διάσημο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Νεοφερμένος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Νεοφερμένος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Νεοφερμένος

Νεοφερμένος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Νεοφερμένος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Νεοφερμένος

Νεοφερμένος