Πιθανότητες επιτυχίας άσκησης Σ-Λ με γνωστό ποσοστό απαντήσεων

Βρήκα ότι ο μέσος όρος δίνεται από τη σχέση ΕΧ = λ^2 + (1-λ)^2,
όπου λ η αναλογία των Σ επί του συνόλου.

Δηλ στο παράδειγμα είναι λ=0.8 και ΕΧ=0.68

Ή ισοδύναμα ΕΧ = (μ^2+1)/(μ+1)^2, όπου μ η αναλογία Σ:Λ

Αρχική Δημοσίευση από Michelle:

Ναι βρε, αυτό το κατάλαβα, απλά αναρωτιόμουν φωναχτά αν υπάρχει κάποια άλλη, καλύτερη λύση εκτός από το να τα βάλει όλα Σ...

Click για ανάπτυξη...

Όχι, αυτή είναι η καλύτερη επιλογή

Περιγράφω με συντομία τη λύση μου (τη γεωμετρική ερμηνεία)
Σχεδιάζουμε ένα τετράγωνο με πλευρά 1
Στη μία πλευρά βρίσκουμε το σημείο που αντιστοιχεί στο ποσοστό α των Σ στη σωστή απάντηση (το υπόλοιπο είναι το 1-α)
Στην άλλη πλευρά βρίσκουμε το σημείο που αντιστοιχεί στο ποσοστό β των Σ στην απάντηση που δίνει ο μαθητής (το υπόλοιπο είναι το 1-β)
Σχηματίζουμε δύο ορθογώνια:
Το ένα με διαστάσεις α*β
Το άλλο (1-α)(1-β)
Το εμβαδόν των ορθογωνίων δείχνει την αναμενόμενη βαθμολογία (στην κλίμακα 0-1, ή αλλιώς αν τη μετράμε σε ποσοστά)
Τα άλλα όλα είναι απλώς η απόδειξη
Ευχαριστώ προκαταβολικά όποιον θα έχει την όρεξη να διαβάσει τα παρακάτω ...
____________________________________________________________________

Έστω Ν το πλήθος των ερωτήσεων.
Οι Ν απαντήσεις σχηματίζουν μία συμβολοσειρά που αποτελείται από Σ και Λ. Θα ονομάζουμε αυτήν τη συμβολοσειρά "σωστή απάντηση". Ο μαθητής υποβάλλει μία συμβολοσειρά από Σ και Λ, την οποία θα ονομάζουμε "προτεινόμενη απάντηση"

Έστω Α το πλήθος των Σ μέσα στη σωστή απάντηση. Θέτω α = Α/Ν
Έστω Β το πλήθος των Σ μέσα στην προτεινόμενη απάντηση. Θέτω β = Β/Ν

Θεώρημα
Η αναμενόμενη βαθμολογία που θα πάρει ο μαθητής (με άριστα το 1)
είναι ίση με αβ+(1-α)(1-β)

Για ευκολία θα συμβολίζω το Σ με 1 και το Λ με 0
Έστω Μ=C(Ν,Α) , οι συνδυασμοί των Ν ανά Α
Σχηματίζω έναν πίνακα με Μ γραμμές και Ν στήλες. Κάθε γραμμή του πίνακα περιέχει και ένα διαφορετικό συνδυασμό των Ν ανά Α

Πχ για Ν=5 και Α=3 ο πίνακας είναι ο παρακάτω:

Ας μετρήσουμε πόσα 1 υπάρχουν στην πρώτη στήλη. Ας πάρουμε μόνο τις γραμμές οι οποίες ξεκινούν με 1. Το υπόλοιπο κομμάτι καθεμιάς από αυτές τις γραμμές αποτελείται από Ν-1 συνολικά στοιχεία και περιέχει ακριβώς Α-1 μονάδες. Και όλες αυτές οι γραμμές είναι διαφορετικές μεταξύ τους. Έτσι λοιπόν, η πρώτη στήλη περιέχει τόσες μονάδες, όσοι είναι και οι συνδυασμοί των Ν-1 ανά Α-1. Και λόγω συμμετρίας μεταξύ των στηλών (κάθε στήλη μπορεί να γίνει πρώτη) έχουμε:

Κάθε στήλη του πίνακα περιέχει ακριβώς C(N-1, Α-1) μονάδες

Click για ανάπτυξη...

Ας υποθέσουμε ότι ο μαθητής μαρκάρει τις Β πρώτες ερωτήσεις σαν Σ(ωστές) και τις υπόλοιπες Ν-Β σαν Λ(ανθασμένες)

Πχ για Β=2 έχουμε
Ο μαθητής απαντά ΣΣΛΛΛ, το κόκκινο δείχνει ποιες έχει απαντήσει σαν Σ (με μαύρο όσες έχουν απαντηθεί σαν Λ)

Για να βρούμε τη βαθμολογία του μαθητή, βρίσκουμε τη γραμμή που αντιστοιχεί στη "σωστή απάντηση".
Πχ αν η σωστή απάντηση είναι ΛΣΣΣΛ, η αντίστοιχη γραμμή είναι η
0 1 1 1 0
Στη συνέχεια, μετράμε πόσα κόκκινα 1 έχουμε και πόσα μαύρα 0. Το αποτέλεσμα μας δίνει τη βαθμολογία που πήρε ο μαθητής
_________________________________________________________________________________

Τώρα ας βρούμε την αναμενόμενη βαθμολογία
Κάνουμε την ίδια δουλειά για κάθε γραμμή. Το συνολικό αποτέλεσμα S το διαιρούμε δια του πλήθους Μ των γραμμών

Όμως μπορούμε πολύ εύκολα να βρούμε το σύνολο χωρίς να μετρήσουμε όλα τα 0 και 1
Μας ενδιαφέρει πόσα κόκκινα 1 υπάρχουν και πόσα μαύρα 0
Αλλά όπως είπαμε, υπάρχουν C(N-1, Α-1) μονάδες σε κάθε στήλη. Αρα τα υπόλοιπα είναι μηδενικά.
Επομένως υπάρχουν και C(N, Α) - C(N-1, Α-1) = C(N-1, Α) μηδενικά σε κάθε στήλη

Τώρα όλα είναι εύκολα
Εφόσον έχω Β κόκκινες στήλες και Ν-Β μαύρες, το σύνολο είναι

Β.C(N-1, Α-1) κόκκινα 1 και
(Ν-Β).C(N-1, Α) μαύρα 0

Το συνολικό άθροισμα είναι S = Β * C(N-1, Α-1) + (Ν-Β) * C(N-1, Α)
Το S μετά από πράξεις γράφεται:
S = Ν * C(N-1, Α) + B * C(N,Α) * (2Α-N)/N

Και αναμενόμενη βαθμολογία So = S/M = S : C(N,Α) =

= (N-Α) + B(2Α-N)/N

= N + 2B(Α/N) - A - B

Πχ στο παραπάνω παράδειγμα με Ν=5, Α=3, Β=2 το αναμενόμενο αποτέλεσμα θα είναι 2.4 σωστές ερωτήσεις.

Για να το ανάγουμε στην κλίμακα [0,1] (ή αλλιώς σε ποσοστό) πρέπει να διαιρέσουμε
το So με το Ν

Έτσι παίρνουμε ΕΧ = So/N = 1 + 2(B/N)(A/N) - (A/N) - (B/N) =>

ΕΧ = 1 + 2αβ - α - β =>

EX = αβ+(1-α)(1-β)

Η συνάρτηση y = αχ +(1-α)(1-χ) = (2α-1)χ+(1-α) έχει τις ιδιότητες:
Αν α>0.5 είναι γν. αύξουσα με μέγιστο το α για x=1
Αν α<0.5 είναι γν. φθίνουσα με μέγιστο το 1-α για x=0
Αν α=0.5 είναι σταθερή και ίση με 0.5

Επομένως, συμφέρει το μαθητή να απαντήσει
όλες Σ αν ξέρει ότι οι περισσότερες είναι Σ
όλες Λ αν ξέρει ότι οι περισσότερες είναι Λ

Τελικά ποιο είναι το αντικείμενο του προγράμματος που θέλεις να γράψεις; Γιατί αυτό αποτελεί πρόβλημα;