Το e-steki είναι μια από τις μεγαλύτερες ελληνικές διαδικτυακές κοινότητες με 66,109 εγγεγραμμένα μέλη και 2,388,356 μηνύματα σε 74,666 θέματα. Αυτή τη στιγμή μαζί με εσάς απολαμβάνουν το e-steki άλλα

Καλώς ήρθατε στο e-steki!

Εγγραφή Βοήθεια

Η εξίσωση Lagrange: Μαθηματική θεμελίωση της Λαγκραντζιανής μηχανικής

mariophys (Μάριος)

Δραστήριο Μέλος

Το avatar του χρήστη mariophys
Ο Μάριος αυτή τη στιγμή δεν είναι συνδεδεμένος Είναι 27 ετών , επαγγέλεται Φοιτητής/τρια και μας γράφει απο Ελβετία (Ευρώπη). Έχει γράψει 297 μηνύματα.

O mariophys έγραψε στις 00:06, 03-08-11:

#1
Η επιστήμη της φυσικής, όπως αυτή θεμελιώθηκε μετά τον δέκατο έβδομο αιώνα στηρίζεται σε δύο μεγάλους πυλώνες. Την κλασσική φυσική και την σύγχρονη φυσική. Στο κομμάτι της κλασσικής φυσικης και με σειρά ιστορικής εξέλιξης υπάρχουν οι θεωρίες της Κλασσικής Μηχανικής του Νεύτωνα, της αναλυτικής μηχανικής των Lagrange Hamilton και Fermat του κλασσικού ηλεκτρομαγνητισμού της στατιστικής μηχανικής και θερμοδυναμικής και τέλος κλείνοντας τομ κύκλο έχουμε την ειδική και τη γενική σχετικότητα. Η δε σύγχρονη φυσική εκπροσοπείται κυρίως απο την κβανομηχανική την κβαντική ηλεκτροδυναμική, την πυρινική φυσική τη σωματιδιακή φυσική και τη φυσική συμπυκνωμένης ύλης.

Σε αυτή την προσέγγιση θα ήθελα να σταθώ σε ένα μάλλον ειδικό, και ιδιαίτερα σαγηνευτικό κατά την ταπεινή μου άποψη ζήτημα της μηχανικής Lagrange. Τη λογική πίσω απο την οποία προέκυψε.

Τί είναι η μηχανική Lagrange; Αποτελεί μια αυτοτελή, καθαρά μαθηματικής προελεύσεως θεώρηση του κόσμου γύρω μας. Ουσιαστικά πρόκειται για μια άλλη περιγραφή του φυσικού κόσμου με όρους σαφώς πιο αυστηρά καθορτισμένους μαθηματικά σε σχέση με την προσέγγιση του Νεύτωνα. Το πλεονέκτημά της είναι οτι σου δίνει ένα πολύ δυνατό εργαλείο επίλυσης πολύ δύσκολων προβλημάτων κλασσικής μηχανικής που με την προσέγγιση του Νεύτωνα θα ήταν σχεδόν αδύνατο να μοντελοποιήσεις, πόσο μάλλον να δώσεις αναλυτική λύση.

Η φιλοσοφία, βασίζεται στη σύλληψη ορισμένων βασικών ιδεών. Ποιά είναι τα βασικά πλεονεκτήματα της θεώρησης της αναλυτικής μηχανικής;
  • Μπορώ να περιγράψω όλα μου τα σημεία σα σύστημα και το καθένα ξεχωριστά από ένα πλήθος διαφορικών εξισώσεων, η διαδικασία παραγωγής των οποίων βασίζεται σε ενεργειακή καθαρά θεώρηση και όχι σε δυναμική ή κινηματική βάση.
  • Έχω τη δυνατότητα να παγώσω το χρόνο στο σύστημά μου και να εξετάσω τι θα συνέβαινε εαν επέβαλλα μια μεταβολή σε αυτό.
  • Ξεφεύγω απο τον περιορισμό του τρισδιάστατου χώρου. Πλέον μπορώ να δουλέψω σε χώρο όσων διαστάσεων με βολεύει καλύτερα για το σύστημα. Αυτό αποτελεί και το λόγο που η αναλυτική μηχανική αποτελεί το βασικότερο εργαλείο της κβαντικής θεωρίας πεδίου.
  • Μου δίνει τη δυνατότητα να γενικεύσω τις έννοιες της μετατόπισης και της δύναμης σε αυτή της γενικευμένης συντεταγμένης και αυτή της γενικευμένης δύναμης. Οι δυο τους έχουν σχέση αιτίου- αποτελέσματος.
  • Διακρίνουμε πλέον τις δυνάμεις σε δύο κατηγορίες, τις ενεργητικές για το σύστημα ήτοι αυτές που μεταβάλλουν την ενεργειακή του κατάσταση και τις αντιδράσεις των δεσμών τις οποίες και μπορώ να αγνοήσω. Θα τις ορίσουμε λίγο καλύτερα μετά
Ας ξεκινήσουμε ορίζοντας μερικά πολύ βασικά σημεία. Ας θεωρήσουμε λοιπόν οτι έχω ένα πλήθος Ν πολύ μικρών σωματιδίων, αρκούντως μικρών ώστε να μπορούν να θεωρηθούν αδιάστατα, ήτοι υλικά σημεία.

Όταν ένα σύστημα τέτοιων υλικών σημείων κινείται, υπάρχουν δύο περιπτώσεις. Είτε είναι δυνατό να κινηθεί ελεύθερα χωρίς περιορισμούς, είτε υπόκειται σε κάποιους τέτοιους περιορισμούς που αλλάζουν ή παραμένουν σταθεροί καθ' όλη τη διάρκεια της κίνησης. Τους περιορισμούς αυτούς τους καλούμε δεσμούς κινήσεως. Για παράδειγμα, ας υποθέσουμε οτι ένα μπαλάκι απείρως μικρών διαστάσεων αφήνεται να ολισθήσει πάνω στην επιφάνεια σφαίρας. Τότε η επιφάνεια της σφαίρας καθώς και το γεγονός οτι αυτό πέφτει υπο την επίδραση του πεδίου βαρύτητας αποτελούν δεσμούς της κινήσεως.

Δυνατές και πιθανές μετατοπίσεις. Με τον όρο δυνατή μετατόπιση εννοούμε τη μετατόπιση ενός υλικού σημείου του συστήματος όταν παγώσουμε το χρόνο και μελετήσουμε τις δυνατές κινήσεις τις οποίες δύναται να υποστεί. Πιθανή μετατόπιση είναι εκείνη η οποία συμβαίνει καθώς ο χρόνος τρέχει και αποτελεί τη φυσική εξέλιξη της κίνησης του συστήματος ( η γενικώς κάποιας μεταβολής ενός μεγέθους του )

Η έννοια της γενικευμένης συντεταγμένης. Αυτές προκύπτουν απο την ανάγκη να περιγράψουμε το σύστημα πιο κομψά μαθηματικά, δηλαδή με το μικρότερο πλήθος μεταβλητών. Γενικευμένες συντεταγμένες δεν είναι κατ ανάγκη μεταβλήτές με διαστάσεις μήκους, δηλαδή δεν δίνουν αναγκαστικά τη θέση του συστήματος υπο μελέτη. Γενικευμένη συντεταγμένη μπορεί να είναι ας πουμε και μια γωνια η η εντροπια ενος συστήματος.

Η έννοια της γενικευμένης δύναμης. Αυτή συνίσταται απο το μετασχηματισμό της νευτώνιας δύναμης που δρά σε κάθε σωματίδιο με ορους γενικευμένων συντεταγμένων. Το σημαντικό είναι οτι πάντα το γινόμενο γενικευμένης συντεταγμένης κ της προκύπτουσας γενικευμένης δύναμης έχουν διαστάσεις ενέργειας!

Ας επιστρέφω τώρα στο σύστημά μου των N υλικών σημείων:



και οτι μια τυχούσα δυνατή μετατόπιση το συστήματος εκφράζεται ως προς τις αντίστοιχες δυνατές μετατοπίσεις βάση της σχέσης:



Οπότε και μπορώ να μετασχηματίσω την αρχή D'Alembert :


Οι οποία μας λέει οτι μπορώ να μελετήσω ένα οποιοδήποτε μη αδρανειακό σύστημα ως αδρανειακό ( δηλαδή ουσιαστικά ως ακίνητο ως προς παρατηρητή που δεν κινείται μαζί με το σύστημα ) αν θεωρήσω οτι κάθε στιγμή, εκτός απο τις δυνάμεις που ενεργούν στο σύστημα επενεργεί και μια άλλη η οποία παράγεται απο έναν όρο επιτάχυνσης του συστήματος επί τη μάζα του συστήματος.

Στη μορφή:


Με τη θεώρηση αυτή εμφανίζονται η γενικευμένη δύναμη αδρανείας και η γενικευμένη δύναμη D'Alembert





Τώρα αν τα εκφράζουν μια κίνηση του συστήματος ήτοι, η χρονική παράγωγος της σχέσης μετασχηματισμού ισούται με:



Παρατηρούμε οτι για τη συνάρτηση :


υπό την προυπόθεση οτι οι παράγωγοι δεύτερης τάξεως είναι συνεχείς παίρνω :




Συνδυάζοντας τις 2,3 παίρνω :



Εκφράζοντας την κινητική ενέργεια του συστήματος ως προς το αδρανειακό σύστημα συντεταγμένων έχω:



Και παραγωγίζοντας μερικώς ως πρός μετασχήματίζω την 4:



Απ όπου με αντικατάσταση στην 1 ( μετασχηματισμένη αρχή D' Alembert ) θα πάρω την τελική μορφή :



H οποία ισχύει για σύστημα n βαθμών ελευθερίας που υπόκειται σε δεσμούς ή μη. Παραλείπω μια ενδιάμεση πράξη. Μην ξεχνάτε οτι κάθε δυνατή μετατόπιση σε αυτή την περίπτωση είναι ανεξάρτητη από όλες τις άλλες συνεπώς

Από εδώ και έπειτα είναι απλό να ορίσουμε τη Lagrangian ως

Όπου V η συνάρτηση δυναμικής ενέργειας του υπό μελέτη σηστήματος.
Και με αντικατάσταση στην τελευταία σχέση θα πάρουμε την περιβόητη εξίσωση του Lagrange.



Ποιό το ώφελος της εξισωσης αυτής; Μα το γεγονός οτι μπορώ να παράγω τις διαφορικές εξισώσεις κίνησης οποιουδήποτε σχεδόν συστήματος με τρόπο πολύ πιο απλό και πιο σίγουρο σε σχέση με την κλασσική προσέγγιση. Παρατηρήστε δε οτι η εξίσωση αυτή ευθέως περιγράφει την ενέργεια του συστήματος και μόνον!

Υ.Γ. Αντιλαμβάνομαι οτι το ζήτημα που ανέπτυξα είναι σαφώς δύσκολο, για το λόγο αυτό μην αποθαρρύνεστε αν σας φαίνονται κινέζικα. Αν δε έχετε περιέργεια να μάθετε λεπτομέρειες ρωτήστε σχετικά με πράγματα που θέλετε να επεξηγήσω πιο λεπτομερειακά. Το παρόν αποτελεί μια προσπάθεια να εισάγω λίγο πιο ανεβασμένα θέματα στο forum των θετικών επιστημών.

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε πάνω από 6 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

edited Τελευταία επεξεργασία από το χρήστη mariophys : 21-08-11 στις 22:46.
6 Δεν μπορείτε να αξιολογήσετε αρνητικά το μήνυμα αυτόΔεν μπορείτε να αξιολογήσετε θετικά το μήνυμα αυτό
Παράθεση

mariophys (Μάριος)

Δραστήριο Μέλος

Το avatar του χρήστη mariophys
Ο Μάριος αυτή τη στιγμή δεν είναι συνδεδεμένος Είναι 27 ετών , επαγγέλεται Φοιτητής/τρια και μας γράφει απο Ελβετία (Ευρώπη). Έχει γράψει 297 μηνύματα.

O mariophys έγραψε στις 14:12, 21-08-11:

#2
Επειδή τα πολλά μαθηματικά μπορεί να φαίνονται άχρηστα πολλές φορές ας ρίξουμε μια ματιά στην πραγματική αξία όσων γράψαμε παραπάνω.
Το παρακάτω σύστημα είναι γνωστό ως τριπλό εκκρεμές και συναντάται πολλές φορές στον πραγματικό κόσμο.

Ένα τέτοιο σύστημα είναι πρακτικά αδύνατο να λυθεί με την κλασσική νευτώνια μέθοδο. Πράγμα που σημαίνει οτι χρησιμοποιώντας αυτές τις μεθόδους δεν θα μπορύσαμε να κατασκευάσουμε συστήματα με πάνω απο ένα το πολύ δύο βραχίονες ακριβώς γιατί δεν μπορούμε να προβλέψουμε πως θα συμπεριφερθούν υπό διάφορες συνθήκες. Εδώ φαίνεται η αξία και το μέγεθος της ιδιοφυίας του Lagrange ( και Halmlton βέβαια...). Στον παρακάτω σύνδεσμο μπορείτε να δείτε τη συμπεριφορά ενός τέτοιου τριπλού εκκρεμούς που αν και στην απλοποιημένη μορφή των δύο διαστάσεων εξακολουθεί να είναι πολύ εντυπωσιακό. Triple Pendulum 2-D

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε πάνω από 6 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

edited Τελευταία επεξεργασία από το χρήστη mariophys : 21-08-11 στις 23:25.
5 Δεν μπορείτε να αξιολογήσετε αρνητικά το μήνυμα αυτόΔεν μπορείτε να αξιολογήσετε θετικά το μήνυμα αυτό
Παράθεση

Rempeskes

Αποκλεισμένος χρήστης

Το avatar του χρήστη Rempeskes
Ο Rempeskes αυτή τη στιγμή δεν είναι συνδεδεμένος Επαγγέλεται Hair stylist . Έχει γράψει 5,593 μηνύματα.

O Rempeskes έγραψε στις 19:54, 21-08-11:

#3
Συγχαρητήρια μάριοφ για το θέμα και για την παρουσίαση. Αναμένουμε περισσότερα!

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε πάνω από 6 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

1 Δεν μπορείτε να αξιολογήσετε αρνητικά το μήνυμα αυτόΔεν μπορείτε να αξιολογήσετε θετικά το μήνυμα αυτό
Παράθεση

exc

Επιφανές Μέλος

Το avatar του χρήστη exc
Ο exc αυτή τη στιγμή δεν είναι συνδεδεμένος Έχει γράψει 2,806 μηνύματα.

O exc ☭★ CCCP έγραψε στις 22:06, 21-08-11:

#4
Μπράβο για την ιδέα σου να ανοίξεις ένα τέτοιο θέμα (αν και η Wikipedia μάλλον είναι καταλληλότερος χώρος για να έγραφες κάτι τέτοιο).
Αλήθεια, όμως, γιατί δεν ξεκίνησες από την αρχή του Hamilton για να καταλήξεις στις εξισώσεις Euler - Lagrange; (Και ρωτάω επειδή συνήθως έτσι υπάρχει στη βιβλιογραφία.)

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε πάνω από 6 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

1 Δεν μπορείτε να αξιολογήσετε αρνητικά το μήνυμα αυτόΔεν μπορείτε να αξιολογήσετε θετικά το μήνυμα αυτό
Παράθεση

mariophys (Μάριος)

Δραστήριο Μέλος

Το avatar του χρήστη mariophys
Ο Μάριος αυτή τη στιγμή δεν είναι συνδεδεμένος Είναι 27 ετών , επαγγέλεται Φοιτητής/τρια και μας γράφει απο Ελβετία (Ευρώπη). Έχει γράψει 297 μηνύματα.

O mariophys έγραψε στις 23:00, 21-08-11:

#5
Αρχική Δημοσίευση από exc
Μπράβο για την ιδέα σου να ανοίξεις ένα τέτοιο θέμα (αν και η Wikipedia μάλλον είναι καταλληλότερος χώρος για να έγραφες κάτι τέτοιο).
Αλήθεια, όμως, γιατί δεν ξεκίνησες από την αρχή του Hamilton για να καταλήξεις στις εξισώσεις Euler - Lagrange; (Και ρωτάω επειδή συνήθως έτσι υπάρχει στη βιβλιογραφία.)

Χαίρομαι για την ερώτηση exc. Ξεκίνηση έτσι γιατί ήθελα να δείξω ακριβώς αυτό. Οτι δηλαδή, η Lagrangian αποτελεί αμειγώς παράγωγο των πιο βασικών εννοιών της αναλυτικής μηχανικής. Η εξίσωση Euler-Lagrange με τη μορφή που (υποθέτω ) ότι έχεις στο μυαλό σου αποτελεί παράγωγο του λογισμού των μεταβολών. Επίσης, ιστορικά η παραπάνω λογική είναι αυτή που έδωσε πνοή στην αναλυτική μηχανική. Ο λογισμός μεταβολών, και κατά συνέπεια η αρχή Hamilton ( απλή και γενικευμένη ) ήρθε αργότερα. Επίσης για να ακολουθήσω αυτή την περιγραφή θα πρέπει να επεκταθώ στις έννοιες του συναρτησιακού και την αρχή της ελαχίστου δράσεως. ( Με έπιασες θα τα γράφω σε επόμενη δημοσίευση.... ) Το γεγονός οτι καταλήγουμε σε ταυτόσημα αποτελέσματα είναι αναμενόμενο ακριβώς επειδή ο χώρος είναι ισότροπος και ομογενής.

Σε ευχαριστώ για τις παρατηρήσεις σου στο spoiler. Τα τυπογραφικά διορθώθηκαν. Όσο για την παρατήρηση (5), ε θέλω να αφήσω τίποτα να γράψει και κανας άλλος . Και να μην κάνω και όλες τις πράξεις προφανείς. Με την ευκαιρία όμως, να ξεκαθαρίσω οτι η παραπάνω μεταχείρηση ισχύει ( όσον αφορα τον τελικό μετασχηματισμό απο την εξίσωση της κινητικής ενέργειας σε αυτή της ολικής ) για συντηριτικό πεδίο δυνάμεων. Λεπτομέρειες για περαιτέρω περιπτώσεις σε επόμενη δημοσίευση με συνάρτηση Rayleigh λείαν συντόμως

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε πάνω από 6 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

0 Δεν μπορείτε να αξιολογήσετε αρνητικά το μήνυμα αυτόΔεν μπορείτε να αξιολογήσετε θετικά το μήνυμα αυτό
Παράθεση

Rempeskes

Αποκλεισμένος χρήστης

Το avatar του χρήστη Rempeskes
Ο Rempeskes αυτή τη στιγμή δεν είναι συνδεδεμένος Επαγγέλεται Hair stylist . Έχει γράψει 5,593 μηνύματα.

O Rempeskes έγραψε στις 23:26, 21-08-11:

#6
ακριβώς επειδή ο χώρος είναι ισότροπος και ομογενής.

Να μην κλέβετε. Θέλουμε και Ρημάνεια μετρική.

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε πάνω από 6 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

-1 Δεν μπορείτε να αξιολογήσετε αρνητικά το μήνυμα αυτόΔεν μπορείτε να αξιολογήσετε θετικά το μήνυμα αυτό
Παράθεση

mariophys (Μάριος)

Δραστήριο Μέλος

Το avatar του χρήστη mariophys
Ο Μάριος αυτή τη στιγμή δεν είναι συνδεδεμένος Είναι 27 ετών , επαγγέλεται Φοιτητής/τρια και μας γράφει απο Ελβετία (Ευρώπη). Έχει γράψει 297 μηνύματα.

O mariophys έγραψε στις 23:40, 21-08-11:

#7
Αυτό το είπα για να υποψιάσω τους πανέξυπνους αναγνώστες μου ότι η φύση δεν έχει κανένα λόγο να λειτουργεί διαφορετικά από τόπο σε τόπο ή από χρόνο σε χρόνο. Αυτοί οι μαθηματικοί τα παίρνουν όλα της μετρητής....

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε πάνω από 6 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

0 Δεν μπορείτε να αξιολογήσετε αρνητικά το μήνυμα αυτόΔεν μπορείτε να αξιολογήσετε θετικά το μήνυμα αυτό
Παράθεση

Rempeskes

Αποκλεισμένος χρήστης

Το avatar του χρήστη Rempeskes
Ο Rempeskes αυτή τη στιγμή δεν είναι συνδεδεμένος Επαγγέλεται Hair stylist . Έχει γράψει 5,593 μηνύματα.

O Rempeskes έγραψε στις 00:18, 22-08-11:

#8
η φύση δεν έχει κανένα λόγο να λειτουργεί διαφορετικά από τόπο σε τόπο ή από χρόνο σε χρόνο.


Αυτοί οι θετικισμοί είναι τόσο ντεμοντέ, τόσο 19th century... Ο_ο

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε πάνω από 6 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

edited Τελευταία επεξεργασία από το χρήστη Rempeskes : 22-08-11 στις 00:33.
0 Δεν μπορείτε να αξιολογήσετε αρνητικά το μήνυμα αυτόΔεν μπορείτε να αξιολογήσετε θετικά το μήνυμα αυτό
Παράθεση

antwwwnis (Αντωωωνης)

Διακεκριμένο μέλος

Το avatar του χρήστη antwwwnis
Ο Αντωωωνης αυτή τη στιγμή δεν είναι συνδεδεμένος Επαγγέλεται Ηλεκτρολόγος μηχανικός και μας γράφει απο ΗΠΑ (Αμερική). Έχει γράψει 2,154 μηνύματα.

O antwwwnis ,αφού έκανε διατάσεις στα δάχτυλα του, έγραψε στις 12:04, 22-08-11:

#9
Κι εγώ τόσον καιρό νόμιζα πως η μελέτη του συστήματος «τριπλό εκρεμες» γίνεται με την επιστήμη του χάους(Όχι του house, καλά το έγραψα).
Εντυπωσιακά ντετερμινιστικό.
Δυστυχώς όμως όλα αυτά είναι πολύ απλά για να μελετήσουμε το σύμπαν.
Γιατί όντως, οι σταθερές αλλάζουν από τόπο σε τόπο και από χρόνο σε χρόνο. Αν και δεν έχει αποδειχτεί ακόμα...
Γιατί είναι άχρηστα στην κβαντική κλίμακα.
Γιατί κιόλας δεν λένε και τίποτα για παρατηρητές.
Από την άλλη είναι τέλειο εργαλείο για πιο «καθημερινα» ζητήματα, που οι αποκλίσεις είναι αμελητέες.

Απορία, όχι πως κατάλαβα όλα τα άλλα:
Τι σημαίνει εκείνο το συμβολο που μοιάζει με ανάποδο β?

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε πάνω από 6 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

0 Δεν μπορείτε να αξιολογήσετε αρνητικά το μήνυμα αυτόΔεν μπορείτε να αξιολογήσετε θετικά το μήνυμα αυτό
Παράθεση

Rempeskes

Αποκλεισμένος χρήστης

Το avatar του χρήστη Rempeskes
Ο Rempeskes αυτή τη στιγμή δεν είναι συνδεδεμένος Επαγγέλεται Hair stylist . Έχει γράψει 5,593 μηνύματα.

O Rempeskes έγραψε στις 12:22, 22-08-11:

#10
Τι σημαίνει εκείνο το συμβολο που μοιάζει με ανάποδο β?



Λέγεται q ξέρεις.




Λολζ... τρολλάραμε και σήμερα. Λοιπόν, στην απλούστερη περίπτωση, τα {q} είναι τρείς συντεταγμένες στον χώρο, ενώ oι xρονικές παράγωγοί τους {q'} έχουν τον ρόλο ταχυτήτων. Θα πείς, γιατί έχουμε ανάγκη να συσχετίσουμε με κάθε σημείο του συστήματος τις "γενικευμένες" συντεταγμένες (q,q') που πλέον θα ανήκουν σε εξαδιάστατο χώρο; Πολύ απλά, γιατί γλιτώνουμε παθογένειες όπως οι αυτοτομές στον τρισδιάτατο χώρο. τεσπα.

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε πάνω από 6 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

edited Τελευταία επεξεργασία από το χρήστη Rempeskes : 22-08-11 στις 12:33.
0 Δεν μπορείτε να αξιολογήσετε αρνητικά το μήνυμα αυτόΔεν μπορείτε να αξιολογήσετε θετικά το μήνυμα αυτό
Παράθεση

antwwwnis (Αντωωωνης)

Διακεκριμένο μέλος

Το avatar του χρήστη antwwwnis
Ο Αντωωωνης αυτή τη στιγμή δεν είναι συνδεδεμένος Επαγγέλεται Ηλεκτρολόγος μηχανικός και μας γράφει απο ΗΠΑ (Αμερική). Έχει γράψει 2,154 μηνύματα.

O antwwwnis ,αφού έκανε διατάσεις στα δάχτυλα του, έγραψε στις 12:32, 22-08-11:

#11
Δεν του μοιάζει πάντως.
Εννούσα αυτό :

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε πάνω από 6 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

0 Δεν μπορείτε να αξιολογήσετε αρνητικά το μήνυμα αυτόΔεν μπορείτε να αξιολογήσετε θετικά το μήνυμα αυτό
Παράθεση

exc

Επιφανές Μέλος

Το avatar του χρήστη exc
Ο exc αυτή τη στιγμή δεν είναι συνδεδεμένος Έχει γράψει 2,806 μηνύματα.

O exc ☭★ CCCP έγραψε στις 12:49, 22-08-11:

#12
Αρχική Δημοσίευση από antwwwnis
Κι εγώ τόσον καιρό νόμιζα πως η μελέτη του συστήματος «τριπλό εκρεμες» γίνεται με την επιστήμη του χάους(Όχι του house, καλά το έγραψα).
Εντυπωσιακά ντετερμινιστικό.
Ποιος σου είπε ότι τα χαοτικά συστήματα δεν είναι ντετερμινιστικά; Χαοτικό ονομάζεται ένα σύστημα όταν ακόμη και μία πολύ μικρή διαφορά στις αρχικές συνθήκες μπορεί να οδηγήσει σε ένα πολύ διαφορετικό αποτέλεσμα.
Αρχική Δημοσίευση από antwwwnis
Δυστυχώς όμως όλα αυτά είναι πολύ απλά για να μελετήσουμε το σύμπαν.
Γιατί όντως, οι σταθερές αλλάζουν από τόπο σε τόπο και από χρόνο σε χρόνο. Αν και δεν έχει αποδειχτεί ακόμα...
Γιατί είναι άχρηστα στην κβαντική κλίμακα.
Γιατί κιόλας δεν λένε και τίποτα για παρατηρητές.
Από την άλλη είναι τέλειο εργαλείο για πιο «καθημερινα» ζητήματα, που οι αποκλίσεις είναι αμελητέες.
Ο φορμαλισμός Lagrange/Hamilton δεν εφαρμόζεται μόνο σε απλά συστήματα κλασσικής μηχανικής. Αν ήταν έτσι, δε θα είχε κανένα ιδιαίτερο ενδιαφέρον (πλην του καθαρά ακαδημαϊκού). Όμως (ενδεικτικά θα αναφέρω), μπορεί να λύσει πολύπλοκα προβλήματα μηχανικής πολύ εύκολα και χωρίς κάποιες υποθέσεις που χρειάζεται η νευτώνεια μηχανική, να λύσει προβλήματα κβαντικής μηχανικής, ειδικής σχετικότητας, κβαντικής χρωμοδυναμικής κ.α. Όπως βλέπεις δεν είναι άχρηστος ο φορμαλισμός αυτός στην κβαντική φυσική.
Το μόνο που χρειάζεται να κάνεις για να βρεις τι γίνεται σε ένα άλλο σύστημα αναφοράς (άλλος παρατηρητής) είναι να γράψεις τη Λακγρανζιανή στις νέες συντεταγμένες. Οι εξισώσεις (Euler - Lagrange) δεν αλλάζουν μορφή.

Αρχική Δημοσίευση από antwwwnis
Απορία, όχι πως κατάλαβα όλα τα άλλα:
Τι σημαίνει εκείνο το συμβολο που μοιάζει με ανάποδο β?
Το λες; Συμβολίζει την μερική παραγώγιση ως προς a, δηλαδή παραγώγιση ως προς a με όλα τα άλλα να μένουν σταθερά.

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε πάνω από 6 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

2 Δεν μπορείτε να αξιολογήσετε αρνητικά το μήνυμα αυτόΔεν μπορείτε να αξιολογήσετε θετικά το μήνυμα αυτό
Παράθεση

mariophys (Μάριος)

Δραστήριο Μέλος

Το avatar του χρήστη mariophys
Ο Μάριος αυτή τη στιγμή δεν είναι συνδεδεμένος Είναι 27 ετών , επαγγέλεται Φοιτητής/τρια και μας γράφει απο Ελβετία (Ευρώπη). Έχει γράψει 297 μηνύματα.

O mariophys έγραψε στις 13:09, 22-08-11:

#13
Αρχική Δημοσίευση από antwwwnis
Κι εγώ τόσον καιρό νόμιζα πως η μελέτη του συστήματος «τριπλό εκρεμες» γίνεται με την επιστήμη του χάους(Όχι του house, καλά το έγραψα).
Εντυπωσιακά ντετερμινιστικό.
Δυστυχώς όμως όλα αυτά είναι πολύ απλά για να μελετήσουμε το σύμπαν.
Γιατί όντως, οι σταθερές αλλάζουν από τόπο σε τόπο και από χρόνο σε χρόνο. Αν και δεν έχει αποδειχτεί ακόμα...
Γιατί είναι άχρηστα στην κβαντική κλίμακα.
Γιατί κιόλας δεν λένε και τίποτα για παρατηρητές.
Από την άλλη είναι τέλειο εργαλείο για πιο «καθημερινα» ζητήματα, που οι αποκλίσεις είναι αμελητέες.

Απορία, όχι πως κατάλαβα όλα τα άλλα:
Τι σημαίνει εκείνο το συμβολο που μοιάζει με ανάποδο β?
Μα αγαπητέ μου οι διαφορικές εξισώσεις που προκύπτουν έχουν χαοτικές λύσεις.Θα προσπαθήσω να σου δώσω την έννοια του χάους μέσα απο ένα παράδειγμα. Έστω ότι έχουμε ένα πλήθος Ν σωματιδίων που αλληλεπιδρούν μεταξύ τους. Αν προσπθήσω να δώσω αναλυτική λύση για τη συμπεριφορά των σωματιδίων η συνάρτηση που την περιγράφει θα παίρνει πάντοτε σαν όρισμα μια προηγούμενη κατάσταση του συστήματος. Ήτοι, η συμπεριφορά του συστήματος για κάθε επόμενη κατάσταση εξαρτάται εν γέγει από όλο το πλήθος των μεταβατικών καταστάσεων κατά τρόπο σειριακό. Δεν ξέρω αν το περιγράφω κατανοητά καλύτερα να το δώσει ένας μαθηματικός πιο σωστά αυτό. Και ποιά θα είναι η πρώτη απο αυτές της τιμές; Μα η αρχική συνθήκη, δηλαδή η κατάσταση στην οποία βρισκόταν το σύστημα στην αρχή της μελέτης μας.

Που σαι ρε Χάουλα να μας δώσεις τα φώτα σου

Απλά δεν θα έλεγα οτι είναι, απλώς το σύμπαν είναι εξαιρετικά πολύπλοκο. Και μην ξεχνάς οτι είναι πολύ πιο δύσκολο να εκφράσεις κάτι δυσκολο με απλό τρόπο παρά με πιο σύνθετο.

Υπάρχει κάποια επιστημονική μελέτη που δείχνει οτι οι σταθερές είναι μεταβλητές απο τόπο σε τόπο; Τουλάχιστον στη Γη έχει αποδειχθεί πως αυτό δεν συμβαίνει. Τα κοσμολογικά πειράματα μας δίνουν τις τιμές των σταθερών τις οποίες λαμβάνει a priori η γενική σχετικότητα ( μιλάμε για τις παγκόσμιες σταθερές τώρα οι οποίες όντως δεν παρουσιάζουν εξάρτηση απο κάτι, και όχι για σταθερές που εξαρτώνται απο τα χαρακτηριστικά του προβλήματος υπό μελέτη.

Καθόλου άχρηστα δεν είναι στην κβαντική κλίμακα αγαπητέ μου. Η αναλυτική μηχανική αποτελεί τη βάση πάνω στην οποία οικοδομήθηκαν τόσο η κβαντική θεωρία πεδίου όσο και η στατιστική φυσική. Η τελευταία δε δείχνει ακριβώς πόσο ωραία παντρεύεις τα αποτελέσματα των δύο θεωριών στα όρια μικρόκοσμου και μακρόκοσμου. Στην κλασσική περιοχή δε αυτή που παρουσιάζει αποκίσεις είναι η κβαντική θεωρία και όχι η κλασσική φυσική.

Ένα άλλο εργαλείο με το οποίο μπορείς να αποδείξεις ακριβώς την ισχύ των θεωριών αυτών, στα όρια ισχύος τους βέβαια είναι η Αρχή της Αντιστοιχίας του Bohr.Όσο για το ζήτημα των παρατηρητών υπάρχει ένας πολύ συγκεκριμένος λόγος γιατί δεν επηρρεάζουν το σύστημα που μελετάς στο κλασσικό ή κοσμολογικό όριο, τι θα έλεγες να το συζητήσουμε λίγο αυτό;

Αρχική Δημοσίευση από antwwwnis
Δεν του μοιάζει πάντως.
Εννούσα αυτό :

Το σύμβολο αυτό είναι το σύμβολο της μερικής παραγώγου.

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε πάνω από 6 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

1 Δεν μπορείτε να αξιολογήσετε αρνητικά το μήνυμα αυτόΔεν μπορείτε να αξιολογήσετε θετικά το μήνυμα αυτό
Παράθεση

antwwwnis (Αντωωωνης)

Διακεκριμένο μέλος

Το avatar του χρήστη antwwwnis
Ο Αντωωωνης αυτή τη στιγμή δεν είναι συνδεδεμένος Επαγγέλεται Ηλεκτρολόγος μηχανικός και μας γράφει απο ΗΠΑ (Αμερική). Έχει γράψει 2,154 μηνύματα.

O antwwwnis ,αφού έκανε διατάσεις στα δάχτυλα του, έγραψε στις 13:25, 22-08-11:

#14
Όσο πάει τα ξεμπερδεύω. Ευχαριστώ πολύ τους δύο παραπάνω.
Μόνο δυο παρατηρήσεις.

Ως προς τους παρατηρητες, οι λαγκραζιανές περιέχουν το μέγεθος χρόνο;
Αν ναι, τότε πρέπει να αλλάζουν από σύστημα σε σύστημα, σύμφωνα με τη σχετικότητα.
Αλλά μάλλον κάτι δεν έχω καταλάβει παλι!

Και για τις σταθερές. Έχουμε μικρές ενδείξεις ότι δεν είναι σταθερές. Πχ, http://www.physics4u.gr/blog/?p=2218 από τους σελιδοδείκτες μου!
Νομίζω είχα διαβάσει και κάτι πιο πρόσφατο, δε θυμάμαι που.

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε πάνω από 6 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

0 Δεν μπορείτε να αξιολογήσετε αρνητικά το μήνυμα αυτόΔεν μπορείτε να αξιολογήσετε θετικά το μήνυμα αυτό
Παράθεση

Rempeskes

Αποκλεισμένος χρήστης

Το avatar του χρήστη Rempeskes
Ο Rempeskes αυτή τη στιγμή δεν είναι συνδεδεμένος Επαγγέλεται Hair stylist . Έχει γράψει 5,593 μηνύματα.

O Rempeskes έγραψε στις 13:40, 22-08-11:

#15
Ποιος σου είπε ότι τα χαοτικά συστήματα δεν είναι ντετερμινιστικά;


Για να είμαστε πιο ακριβείς, τα ντετερμινιστικά συστήμα ενδέχεται να επιδεικνύουν χαοτική συμπεριφορά,
και το αντίθετο θα ήταν κάπως άκομψο.

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε πάνω από 6 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

0 Δεν μπορείτε να αξιολογήσετε αρνητικά το μήνυμα αυτόΔεν μπορείτε να αξιολογήσετε θετικά το μήνυμα αυτό
Παράθεση

mariophys (Μάριος)

Δραστήριο Μέλος

Το avatar του χρήστη mariophys
Ο Μάριος αυτή τη στιγμή δεν είναι συνδεδεμένος Είναι 27 ετών , επαγγέλεται Φοιτητής/τρια και μας γράφει απο Ελβετία (Ευρώπη). Έχει γράψει 297 μηνύματα.

O mariophys έγραψε στις 13:42, 22-08-11:

#16
Αρχική Δημοσίευση από antwwwnis
Όσο πάει τα ξεμπερδεύω. Ευχαριστώ πολύ τους δύο παραπάνω.
Μόνο δυο παρατηρήσεις.

Ως προς τους παρατηρητες, οι λαγκραζιανές περιέχουν το μέγεθος χρόνο;
Αν ναι, τότε πρέπει να αλλάζουν από σύστημα σε σύστημα, σύμφωνα με τη σχετικότητα.
Αλλά μάλλον κάτι δεν έχω καταλάβει παλι!

Και για τις σταθερές. Έχουμε μικρές ενδείξεις ότι δεν είναι σταθερές. Πχ, http://www.physics4u.gr/blog/?p=2218 από τους σελιδοδείκτες μου!
Νομίζω είχα διαβάσει και κάτι πιο πρόσφατο, δε θυμάμαι που.
Σαφώς περιέχουν ως μέγεθος το χρόνο. Αν δεις παραπάνω στην τελική εξίσωση υπάρχει η χρονική παράγωγος της λαγκραντζιανής. Βέβαια το αν τα μεγέθη στα οποία τελικά θα επιδράσει αυτή η παράγωγος είναι χρονοανεξάρτητα αυτό είναι ζήτημα που αφορά στο εκάστοτε πρόβλημα.( Αν και απ όσο γνωρίζω στο κλασσικό όριο δεν έχει νόημα να περιγράψουμε μια στατική κατάσταση υπό αυτό το πρίσμα ). Αυτό που αλλάζει απο σύστημα σε σύστημα δεν είναι η Lagrangian αλλά η διάσταση του χρόνου. Η μορφή της παραμένει ως έχει. Το πέρασμα βέβαια απο το ένα σύστημα αναφοράς στο άλλο χρειάζεται ορισμένα απλά μαθηματικά ( )

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε πάνω από 6 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

edited Τελευταία επεξεργασία από το χρήστη mariophys : 22-08-11 στις 14:12. Αιτία: τυπογραφικά λάθη :P
0 Δεν μπορείτε να αξιολογήσετε αρνητικά το μήνυμα αυτόΔεν μπορείτε να αξιολογήσετε θετικά το μήνυμα αυτό
Παράθεση

Rempeskes

Αποκλεισμένος χρήστης

Το avatar του χρήστη Rempeskes
Ο Rempeskes αυτή τη στιγμή δεν είναι συνδεδεμένος Επαγγέλεται Hair stylist . Έχει γράψει 5,593 μηνύματα.

O Rempeskes έγραψε στις 14:04, 22-08-11:

#17
αν τα μεγέθη στα οποία τελικά θα επιδράσει αυτή η παράγωγος είναι χρονοεξαρτώμενα

Μήπως θες να διατυπώσεις ότι υπάρχουν μεγέθη που διατηρούνται χρονικά;




Αυτό που αλλάζει απο σύστημα σε σύστημα δεν είναι η Lagrangian αλλά η διάσταση του χρόνου.


Από σύστημα σε σύστημα ή από θεωρία σε θεωρία; ΄

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε πάνω από 6 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

0 Δεν μπορείτε να αξιολογήσετε αρνητικά το μήνυμα αυτόΔεν μπορείτε να αξιολογήσετε θετικά το μήνυμα αυτό
Παράθεση

mariophys (Μάριος)

Δραστήριο Μέλος

Το avatar του χρήστη mariophys
Ο Μάριος αυτή τη στιγμή δεν είναι συνδεδεμένος Είναι 27 ετών , επαγγέλεται Φοιτητής/τρια και μας γράφει απο Ελβετία (Ευρώπη). Έχει γράψει 297 μηνύματα.

O mariophys έγραψε στις 14:11, 22-08-11:

#18
Υπέθεσα προφανές οτι μιλάμε για την περιοχή όπου ισχύει η ειδική σχετικότητα Oops

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε πάνω από 6 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

0 Δεν μπορείτε να αξιολογήσετε αρνητικά το μήνυμα αυτόΔεν μπορείτε να αξιολογήσετε θετικά το μήνυμα αυτό
Παράθεση

Rempeskes

Αποκλεισμένος χρήστης

Το avatar του χρήστη Rempeskes
Ο Rempeskes αυτή τη στιγμή δεν είναι συνδεδεμένος Επαγγέλεται Hair stylist . Έχει γράψει 5,593 μηνύματα.

O Rempeskes έγραψε στις 14:32, 22-08-11:

#19
...υπάρχουν μεγέθη που διατηρούνται χρονικά...

αυτό είναι μια καλή ερώτηση πάντως...

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε πάνω από 6 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

0 Δεν μπορείτε να αξιολογήσετε αρνητικά το μήνυμα αυτόΔεν μπορείτε να αξιολογήσετε θετικά το μήνυμα αυτό
Παράθεση

antwwwnis (Αντωωωνης)

Διακεκριμένο μέλος

Το avatar του χρήστη antwwwnis
Ο Αντωωωνης αυτή τη στιγμή δεν είναι συνδεδεμένος Επαγγέλεται Ηλεκτρολόγος μηχανικός και μας γράφει απο ΗΠΑ (Αμερική). Έχει γράψει 2,154 μηνύματα.

O antwwwnis ,αφού έκανε διατάσεις στα δάχτυλα του, έγραψε στις 14:40, 22-08-11:

#20
Αρχική Δημοσίευση από Rempeskes
αυτό είναι μια καλή ερώτηση πάντως...
... και ανάγεται στην αμφισβήτηση της καθολικότητας των σταθερών.

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε πάνω από 6 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

0 Δεν μπορείτε να αξιολογήσετε αρνητικά το μήνυμα αυτόΔεν μπορείτε να αξιολογήσετε θετικά το μήνυμα αυτό
Παράθεση

Rempeskes

Αποκλεισμένος χρήστης

Το avatar του χρήστη Rempeskes
Ο Rempeskes αυτή τη στιγμή δεν είναι συνδεδεμένος Επαγγέλεται Hair stylist . Έχει γράψει 5,593 μηνύματα.

O Rempeskes έγραψε στις 15:10, 22-08-11:

#21
Αρχική Δημοσίευση από antwwwnis
... και ανάγεται στην αμφισβήτηση της καθολικότητας των σταθερών.


όχι...


θεωρία του χάους
εντάξει, θα γυρίσει ο εποτ από τις διακοπές του στη Μύκονο, και θα μπερδέψει χειρότερα όσους μπερδεύονται. :ρ

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε πάνω από 6 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

0 Δεν μπορείτε να αξιολογήσετε αρνητικά το μήνυμα αυτόΔεν μπορείτε να αξιολογήσετε θετικά το μήνυμα αυτό
Παράθεση

Λakedaimonas

Νεοφερμένος

Το avatar του χρήστη Λakedaimonas
Ο Λakedaimonas αυτή τη στιγμή δεν είναι συνδεδεμένος Είναι 26 ετών . Έχει γράψει 5 μηνύματα.

O Λakedaimonas έγραψε στις 09:10, 29-08-11:

#22
ως φοιτητης μπορω να πω οτι η εξισωση-εις lagrange λυνει τα χερια στους μηχανικους,καθως τους επιτρεπει να λυνουν πολυπλοκα μοντελα δυναμικων συστηματων πολυ πιο συντομα σε σχεση με την χρηση των νομων του νευτωνα οπως τους μαθαινουμε στο λυκειο.

τα υπολοιπα που διαβασα στο πρωτο ποστ ειναι λιγο πολυ φιλοσοφικα και με τρομαζουν λιγο...

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε πάνω από 6 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

0 Δεν μπορείτε να αξιολογήσετε αρνητικά το μήνυμα αυτόΔεν μπορείτε να αξιολογήσετε θετικά το μήνυμα αυτό
Παράθεση
Απάντηση στο θέμα

Χρήστες

  • Τα παρακάτω 0 μέλη και 1 επισκέπτες διαβάζουν μαζί με εσάς αυτό το θέμα.
     
  • (View-All Tα παρακάτω 0 μέλη διάβασαν αυτό το θέμα τις τελευταίες 30 μέρες:
    Μέχρι και αυτή την στιγμή δεν έχει δει το θέμα κάποιο ορατό μέλος

Βρείτε παρόμοια

  • Παρόμοια Θέματα
    • TEI: Ενοποίηση και εξίσωση; - Από iJohnnyCash
      Το θέμα έχει λάβει 8 απαντήσεις και βρίσκεται στην κατηγορία Φοιτητικά Θέματα.
      Το τελευταίο του μήνυμα δημοσιεύτηκε 23-02-10 στις 01:17.
    • Εξίσωση Πολυτεχνείων με τα ΤΕΙ - Από nikos0712
      Το θέμα έχει λάβει 57 απαντήσεις και βρίσκεται στην κατηγορία 4ο Πεδίο.
      Το τελευταίο του μήνυμα δημοσιεύτηκε 27-08-09 στις 19:46.
    • Μαθηματικά εξίσωση με ln - Από giwrgos07
      Το θέμα έχει λάβει 2 απαντήσεις και βρίσκεται στην κατηγορία Θετικών Σπουδών.
      Το τελευταίο του μήνυμα δημοσιεύτηκε 20-04-09 στις 15:10.
    • Μαθηματικά εξίσωση... - Από Undead
      Το θέμα έχει λάβει 4 απαντήσεις και βρίσκεται στην κατηγορία Θετικών Σπουδών.
      Το τελευταίο του μήνυμα δημοσιεύτηκε 20-04-09 στις 07:40.
    • Μαθηματικά Εξίσωση - Από manos66
      Το θέμα έχει λάβει 5 απαντήσεις και βρίσκεται στην κατηγορία Θετικών Σπουδών.
      Το τελευταίο του μήνυμα δημοσιεύτηκε 11-03-09 στις 23:01.
  • Προηγούμενο Θέμα Επόμενο Θέμα

Μοιραστείτε το

...με ένα φίλο

...με πολλούς φίλους