Αρχική Forum
Νέα Δημοσίευση
Προσωπικές Συζητήσεις
Πολυμέσα - Gallery
Chat
Συνδεδεμένοι Χρήστες
Λίστα Αποκλεισμένων
Υπεύθυνοι του Forum
Chat and Fun
iSchool
29-04-09
11:10
coincidence το μάλλον, το ίσως, το πιθανόν, το μπορεί κ.τ.λ. είναι μέσα διεργασίας και όχι αποδείξεις. Αυτό επισημαίνω και όχι γιατί κάνεις εσύ ή όποιος άλλος χρήση υποθέσεων και πιθανοτήτων.
Να είσαι καλά.
Να είσαι καλά.
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 14 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
17-04-09
18:37
Όταν βρεις τις επίδοξες διάνοιες και μάλιστα αυτές που θεωρούν ότι το σημείο δεν είναι μέρος ουθέν, αλλά έχει μήκος, να τις ρωτήσεις. Μήπως απαντάς σε άλλο θέμα που αφορά διάνοιες; Εδώ είμαστε όλοι νορμάλ και με χαμηλό δείκτη νοημοσύνης.
Αν πάλι θεωρείς ότι εγώ αντιλαμβάνομαι πως το σημείο έχει μήκος, μάλλον βλέπεις άλλο έργο.
Να είσαι καλά.
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 15 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
17-04-09
11:58
Αγαπητέ φίλε coincidence (με την ευκαιρία χαίρομαι που τα λέμε και πάλι), μου αποδεικνύεις ότι το ΑΒ έχει ένα συμμετρικό μέσο σημείο Μ, σύμφωνα και με τον ορισμό του μέσου σημείου. Δεν ήταν ανάγκη να κάνεις όλη αυτή τη διαδικασία με τους κύκλους, αφού αρκούσε να επικαλεστείς τον ορισμό περί μέσου σημείου Μ παντός ευθύγραμμου τμήματος. Όμως φίλε μου, δεν διαιρείς το ΑΒ σε 2 ίσα τμήματα, αφού το ΑΒ εξακολουθεί να είναι ένα, ανεξάρτητα από το πόσα εσωτερικά σημεία του θα μου υποδείξεις. Το ότι το Μ είναι συμμετρικό ως προς Α και Β, δηλαδή ισχύει ΜΑ=ΜΒ δεν συνεπάγεται ότι έχεις διαιρέσει το ΑΒ σε 2 ίσα μέρη, αφού δεν υπάρχουν μέρη στο ακέραιο ΑΒ. Η συμμετρία είναι άλλο και άλλο η διαίρεση. Θα σου φέρω παράδειγμα.
Α...........Μ΄........Μ...........Β
Εδώ ισχύει από κατασκευή ΑΜ=Μ΄Β. Συνεπάγεται ότι το ΑΒ είναι διαιρεμένο σε 2 ίσα μέρη μόνο και μόνο επειδή υπάρχει συμμετρία;
Διαίρεση (την οποία ζητώ) εν προκειμένω, σημαίνει ότι πρέπει να επαληθεύσεις ότι υπάρχουν 2 τμήματα ΜΑ και ΜΒ. Πρόσεξε:
Α................Μ...............Β
Αφού διαιρείς το ΑΒ σε δύο ίσα μέρη (αυτό είναι το πρόβλημα) αφαίρεσε το ένα μέρος εκ των δύο ίσων μερών, έστω το ΑΜ. Αν αφαιρέσεις το ΑΜ το υπόλοιπο που μένει από την αφαίρεση ΑΒ-ΑΜ είναι μικρότερο του ΑΜ ή αλλιώς διατυπωμένο ισχύει ΑΒ-ΑΜ<ΑΜ, αφού το Μ που είναι ένα, ανήκει στο αφαιρούμενο τμήμα ΑΜ. Επομένως δεν έχεις δύο ίσα μέρη του ΑΒ δείχνοντας το συμμετρικό Μ, αλλά ένα μεγαλύτερο στο οποίο ανήκει το Μ, δηλαδή το ΑΜ και ένα μικρότερο από το οποίο ελλείπει το Μ.
Ελπίζω να είμαι σαφής καλέ μου φίλε και καλές γιορτές.
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 15 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
16-04-09
16:16
Εγώ προτείνω σε όσους κάνουν προτάσεις για μας περί την διαίρεση γωνιών, να διαιρέσουν σε δύο ίσα μέρη ευθύγραμμο τμήμα ΑΒ με μέσο Μ και να το αποδείξουν στηριγμένοι σε αξίωμα. Άντε να σας χαρώ όλους.
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 15 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
14-12-07
12:58
Με το θεώρημα δεν μπορείς να χωρίσεις. Έτσι απλά είναι τα πράγματα. Το θεώρημα (όπως και κάθε θεώρημα) δεν αποδεικνύει τίποτα από μόνο του. Το θεώρημα χρήζει το ίδιο απόδειξης που να στηρίζεται σε κάποιο αξίωμα. Αν αποδειχθεί ορθό σύμφωνα με το αξίωμα στήριξής του, τότε αποκτά αποδεικτική δυναμική ενδιάμεσης πρότασης αφού έχει τη στήριξη του αξιώματος. Το ίδιο ισχύει και με το πυθαγόρειο θεώρημα. Θεώρημα είναι και όχι αξίωμα και γι αυτό χρήζει αξιωματικής στήριξης που στο πλαίσιο της ευκλείδειας γεωμετρίας δεν το έχει αφού δεν προβλέπονται αθροίσεις σχημάτων. Τι το περίεργο λέω; Που πάσχει ο συλλογισμός μου; Στην απαίτηση για αξιωματική στήριξη της όποιας πρότασης ή του όποιου πίσματος ή της όποιας απόδειξης του όποιου μαθηματικού πρβλήματος ή άσκησης; Δική μου είναι αυτή η απαίτηση είναι είναι καιολική απαίτηση όλων των αξιωματικών σσυτημάτων; Εγώ την εισάγω; Εγώ απλά σημειώνω ότι επί αυτού δε ν χωρούν εξαιρέσεις. Π.χ. σχετικά με το πυθαγόρειο μπορεί κανείς να υποστηρίξει σήμερτα ότι αυτό στηρίζεται στο αξίωμα του εμβαδού. Έλα όμως που ο Ευκλέιδης στα Στοιχεία του ούτε τη λέξη εμβαδόν ή μέτρο επιφάνειας αναφέρει πουθένα!
Ας πάμε τώρα στον Θαλή επί του οποίου φρονείς ότι δεν χρήζει περαιτέρω απόδειξης:
1. Τα σχήματα δεν μετακινούνται επί του επιπέδου παρά μόνο σαν εικονικά ή ομόλογα. Αυτό σημαίνει ότι ένα ευθύγραμμο τμήμα ΑΔ δεν μπορείς να το χωρίσεις αυτό καθαυτό, αλλά μόνο να θεωρήσεις ότι το χωρίζεις π.χ. σε 3 ίσα μέρη ΑΒ=ΒΓ=ΓΔ. Όμως με διαδοχικά τα Β και Γ το ΑΔ είναι ή εξακολουθεί να είναι ακέραιο και αδιαίρετο.
2. Σε αυτή την πρακτική της μετρήσεως ελλοχεύει το σφάλμα. Αν από το ΑΔ αφαιρέσεις με τον διαβήτη το μεσαίο μήκος π.χ. ΒΓ, μαζί με τα Β και Γ, τότε τα δύο ακραία ευθύγραμμα τμήματα δεν θα έχουν το μεν εξ αριστερών πέρας Β αφού αυτό θα έχει αφαιρεθεί, το δε εκ δεξιών αρχή Γ για τον ίδιο λόγο.
3. Ηδιαίρσεη αγαπητέ δεν είναι μία πράξη τελεσίδικη. Για να αποδειχθεί χρειάζεται την επαλήθευσή της. Τι επαλήθευση των μηκών θα κάνεις υπό τις παραπάνω προϋποθέσεις;
4. Είναι σημαντικό να βρεις αξίωμα στήριξης της διαίρεσης ενός ευθύγραμμου τμήματος ΑΔ υπό την μορφή ΑΒ+ΒΓ+ΓΔ=ΑΔ και (ΑΒ)+(ΒΓ)+(ΓΔ)=(ΑΔ). Κοντολογής εμφανίζεται η ανάγκη να βρεις αξίωμα στήριξης του ακέραιου πολλαπλασίου του 1, αφού αν (ΑΒ)=1 τότε έχουμε 1+1+1=3 και το 3 δείχνεται ακέραιο πολλαπλάσιο του 1, επειδή θεωρείς ότι το έχει χωρίσει ενώ δεν το έχεις χωρίσει αξιωματικά στηριγμένα. Σου λείπει ένα αξίωμα και σε καλώ να το βρεις για να στηρίξεις την διαίρεση του Θαλή.
Αγαπητέ φίλε για να μην ψάχνεις και σπαταλάς το χρόνο σου, σου λέω ότι την στήριξη θα βρεις στον ορισμό περί μέσου σημείου Μ ευθύγραμμου τμήματος ΑΒ όπου ισχύει (!) ΑΜ+ΜΒ=ΑΒ και (ΑΜ)+(ΜΒ)=(ΑΒ).
Όμως, αυτός ορισμός αφορά το αξίωμα πως κάθε ευθύγραμμο τμήμα έχει ένα μόνο μέσο.
Το ότι όμως το ένα μόνο μέσο συνεπάγεται και 2 ίσα μέρη ΑΜ=ΜΒ δεν είναι αποδεδειγμένο αλλά στηρίζεται στο προφανές και μπορώ να σε παραπέμψω στην απόδειξη που παραθέτουν τα σχολικά εγχειρίδια αν σε ενδιαφέρει. Ένα ευθύγραμμο τμήμα ΑΒ έχει ένα μέσο Μ, όμως δύο ευθύγραμμα τμήματα δεν μπορούν να έχουν ένα μέσο. Αν έχουν ένα μέσο είναι ένα ευθύγραμμο τμήμα σύμφωνα με τον ορισμό όπως ένα είναι το ΑΒ με το μέσο Μ σαν ΑΜΒ. Αν είναι όμως γίνει αποδεκτό, ότι το ένα είναι και συγχρόνως και δύο, πως επί των δύο ευθύγραμμων τμημάτων θα ευρεθεί ένα μέσο; Το αξίωμα καλύπτει μόνο το ένα ευθύγραμμο τμήμα και όχι τα δύο ευθύγραμμα τμήματα.
Εάν έχεις ενστάσεις ή απορίες στη διάθεσή σου και σε ευχαριστώ που ασχολήθηκες.
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 16 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
14-12-07
12:19
Μόνο που στις αποσκευές μας έχουμε απαράλλακτες τις αρχικές έννοιες του Ευκλείδη περί σημείου, ευθείας και επιπέδου που τον καθιστά σύγχρονο. Η νεότερη τυποποίηση της ευκλείδειας γεωμετρίας από τον Χίλμπερτ δεν προτείνει αλλιώς τις αρχικές έννοιες. Ο μέγας Ευκλείδης δεν ήταν, εξακολουθεί να είναι η δεσπόζουσα φυσιογνωμία στο χώρο των μαθηματικών. Να θυμίσω επίσης ότι στην αναλυτική μέθοδο, τα πάντα είναι προτάσεις και τα αξιώματα δείχνουν να απουσιάζουν. Αυτό όμως είναι μόνο φαινομενικό. Τα αξιώματα κρύβονται σε αυτή την περίπτωση στο μοντέλο. Π.χ. για το R^2 τα αντίστοιχα αξιώματα είναι αυτά του R τα οποία συνεπάγονται τα αξιώματα του ευκλείδειου επιπέδου.
Αυτό σημαίνει ότι σε σχέση με τον Ευκλείδη είμαστε στο μέλλον χρονολογικά, ως προς τις ιδέες του όμως περί τα μαθηματικά, ο μεγάλος δάσκαλος είναι παρών και ανυπέρβλητος. Κανείς δεν έχει ούτε δικαίωμα, ούτε τη δυνατότητα όσο και να το επιθυμεί, να τον διαγράψει ή να μειώσει την ένταση του φωτός του πνεύματός του.
Σε ευχαριστώ που ασχολείσαι.
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 16 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
13-12-07
00:50
Αγαπητέ Rempeskes, αν η μόνη εναλλακτική λύση ήταν αυτή, θα ήσουν ορθότατος.
Μπορεί να αποδειχθεί διαίρεση σχημάτων χωρίς επαλήθευση;
Άλλο σημαντικό ερώτημα είναι:
Αν υπάρχει λάθος θα πρέπει να μας απασχολήσει ή για να μη χαλάσουμε το μαθηματικό οικοδόμημα πρέπει να κλείσουμε τα μάτια και να πάμε σκυφτοί προς το μέλλον; Ή μήπως οι μαθηματικοί δεν έχουν πρόσβαση στο σφάλμα;
Εσύ αγαπητέ Rempeskes ποια προτεραιότητα θα είχες;
Διαπιστώνω, ότι αντί να απαντάς στους ισχυρισμούς μου, απλά συμπεραίνεις!
Που ακριβώς δυσκολεύεσαι μήπως μπορώ να βοηθήσω, διότι όλες σου οι απαντήσεις είναι μεν ευγενικές αλλά θυμίζουν, επέτρεψέ μου να σου το πω, φιρμάνια. Λες κάτι και έχεις την εντύπωση ότι τελείωσε, χωρίς να αναγνωρίζεις κάποια ανάγκη για θεμελίωσει των λακωνικών σου αποφάσεων.
Σε κάθε περίπτωση σε ευχαριστώ θερμά έστω και για την απλή συμμετοχή σου.
Απάντησε σε παρακαλώ αν είναι ορθοί ή εσφαλμένοι οι ισχυρισμοί μου και γιατί (αξιωματικά θεμελιωμένα) και ο συμπερασμός είναι επόμενο στάδιο και ακόμα πιο επόμενο το πως θα διαχειριστούμε τον όποιο συμπερασμό.
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 16 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
11-12-07
11:57
Το αίτημα για τριχοτόμηση γωνίας, είναι αίτημα διαίρεσης της γωνίας και ως εκ τούτου είναι άμεσα ΕΚΤΟΣ της Ευκλείδειας γεωμετρίας και το αξιωματικό της σύστημα.
Για να το απαντήσουμε θεμελιωμένα χρειάζεται να γνωρίζουμε, αλλά και να συμφωνήσουμε εκ των προτέρων για να μην αναλωθούμε σε άσκοπες αντιπαραθέσεις, τι είναι διαίρεση.
Τι εννοούμε διαίρεση;
Ο όρος γενικά σημαίνει το μοίρασμα ή χώρισμα.
Στα μαθηματικά διαίρεση είναι η αριθμητική πράξη με την οποία, από δύο αριθμούς που μας δίνονται, τον διαιρετέο και τον διαιρέτη, βρίσκουμε ένα τρίτο, το πηλίκο, το οποίο όταν το πολλαπλασιάσουμε με τον διαιρέτη (επαλήθευση), θα μας δώσει γινόμενο τον διαιρετέο.
Αν η διαίρεση περιοριστεί μεταξύ ακέραιων αριθμών, το πηλίκο βρίσκεται ακριβώς μόνον όταν ο διαιρετέος είναι πολλαπλάσιο του διαιρέτη, οπότε η διαίρεση λέγεται τέλεια. Π. χ. 18:3=6 και 3Χ6=18.
Αλλιώς μένει υπόλοιπο μικρότερο πάντοτε από το διαιρέτη και η διαίρεση λέγεται ατελής. Π. χ. 17:3=5, υπόλοιπο 2 και 3Χ5=15 και 15+2=17.
Διαίρεση επομένως είναι το «χώρισμα» σε ίσα μέρη και η επαλήθευσή του κατά τον ορισμό της διαίρεσης. Με λίγα λόγια για να αποδείξουμε την διαίρεση, εν προκειμένω γωνίας α σε 3 ίσα μέρη όπως είναι το αίτημα, με τον χάρακα και τον διαβήτη, είναι αναγκαία η επαλήθευση. Αλλιώς μπορούμε τυχαία να χωρίσουμε μία γωνία σε 3 περίπου ίσα μέρη και να ισχυριστούμε ότι την διαιρέσαμε!
Έχοντας αυτά υπόψη μας, εύκολα αντιλαμβανόμαστε ότι οποιαδήποτε διαίρεση γωνίας, σε οσαδήποτε ίσα μέρη (και παντός επίπεδου σχήματος δύο διαστάσεων την συνθετική Ευκλείδεια γεωμετρία π.χ. τετράγωνο) ΕΙΝΑΙ ΑΔΥΝΑΤΗ αξιωματικά στηριγμένη από το αξιωματικό σύστημα του Ευκλείδη, είτε με α άγνωστης αριθμητικής τιμής μοιρών για την τριχοτόμηση, είτε με α π.χ. 90 μοιρών, είτε 120 μοιρών, είτε 3 μοιρών, είτε 9 μοιρών κ.τ.λ. που φαινομενικά είναι εύκολη η τριχοτόμηση.
Αυτό συμβαίνει διότι δεν μπορεί να ενεργοποιηθεί η επαλήθευση.
Τα μέρη στην Ευκλείδεια γεωμετρία δεν κάνουν το όλο.
Το ίδιο ακριβώς ισχύει και αν εξετάσουμε το όλο θέμα μόνον αριθμητικά, χωρίς να λάβουμε υπόψη τα σχήματα (χωρία). Δεν μπορεί να υποδειχθεί ένας αριθμός μοιρών π.χ. 90 μοίρες, που να αιτιολογείται στο αξιωματικό σύστημα του Ευκλείδη σαν ακέραιο πολλαπλάσιο της 1 μοίρας.
Στο αξιωματικό σύστημα του Ευκλείδη δεν προβλέπονται ακέραια πολλαπλάσια του ενός σχήματος ή του αριθμητικού 1.
Βέβαια έτσι το λειτουργούμε χιλιάδες χρόνια, όμως είναι σφάλμα, διότι δεν υπάρχει αξιωματική στήριξη.
Το πρόβλημα αυτό έχω εισάγει στο φόρουμ με το θέμα 1+1=2 για να μη δεχθώ καμία απάντηση, διότι δεν μπορεί κανείς να αιτιολογήσει ακέραιο πολλαπλάσιο, ούτε στα σχήματα, ευθύγραμμο τμήμα, τρίγωνο, τετράγωνο κ.τ.λ., ούτε στους ακέραιους αριθμούς.
Το αίτημα διαίρεσης γωνίας σε οσαδήποτε μέρη (μεταξύ των οποίων και η τριχοτόμηση), είναι εκτός των δυνατοτήτων της ευκλείδειας γεωμετρίας.
Βέβαια το ίδιο ισχύει και με την αφαίρεση.
Δεν μπορούμε να αφαιρέσουμε π.χ. μέρος ενός τετραγώνου και να επαληθεύσουμε την αφαίρεση προσθέτοντας τον αφαιρετέο με το υπόλοιπο ώστε να κάνουμε τον αφαιρέτη, διότι τα 2 άνισα μέρη στα οποία θα έχουμε χωρίσει το τετράγωνο δεν θα μπορούν να το αποτελέσουν εκ νέου και να γίνει η επαλήθευση της αφαίρεσης.
Ίσως μερικούς τους ξενίσουν αυτές οι απόψεις και είμαι στη διάθεσή σας να τις συζητήσουμε γιατί είμαστε άνθρωποι και δεν διεκδικούμε το αλάθητο, το οποίο βέβαια με την ίδια αιτιολογία δεν πρέπει να το αναγνωρίσουμε και στους προγόνους μας.
Για να το απαντήσουμε θεμελιωμένα χρειάζεται να γνωρίζουμε, αλλά και να συμφωνήσουμε εκ των προτέρων για να μην αναλωθούμε σε άσκοπες αντιπαραθέσεις, τι είναι διαίρεση.
Τι εννοούμε διαίρεση;
Ο όρος γενικά σημαίνει το μοίρασμα ή χώρισμα.
Στα μαθηματικά διαίρεση είναι η αριθμητική πράξη με την οποία, από δύο αριθμούς που μας δίνονται, τον διαιρετέο και τον διαιρέτη, βρίσκουμε ένα τρίτο, το πηλίκο, το οποίο όταν το πολλαπλασιάσουμε με τον διαιρέτη (επαλήθευση), θα μας δώσει γινόμενο τον διαιρετέο.
Αν η διαίρεση περιοριστεί μεταξύ ακέραιων αριθμών, το πηλίκο βρίσκεται ακριβώς μόνον όταν ο διαιρετέος είναι πολλαπλάσιο του διαιρέτη, οπότε η διαίρεση λέγεται τέλεια. Π. χ. 18:3=6 και 3Χ6=18.
Αλλιώς μένει υπόλοιπο μικρότερο πάντοτε από το διαιρέτη και η διαίρεση λέγεται ατελής. Π. χ. 17:3=5, υπόλοιπο 2 και 3Χ5=15 και 15+2=17.
Διαίρεση επομένως είναι το «χώρισμα» σε ίσα μέρη και η επαλήθευσή του κατά τον ορισμό της διαίρεσης. Με λίγα λόγια για να αποδείξουμε την διαίρεση, εν προκειμένω γωνίας α σε 3 ίσα μέρη όπως είναι το αίτημα, με τον χάρακα και τον διαβήτη, είναι αναγκαία η επαλήθευση. Αλλιώς μπορούμε τυχαία να χωρίσουμε μία γωνία σε 3 περίπου ίσα μέρη και να ισχυριστούμε ότι την διαιρέσαμε!
Έχοντας αυτά υπόψη μας, εύκολα αντιλαμβανόμαστε ότι οποιαδήποτε διαίρεση γωνίας, σε οσαδήποτε ίσα μέρη (και παντός επίπεδου σχήματος δύο διαστάσεων την συνθετική Ευκλείδεια γεωμετρία π.χ. τετράγωνο) ΕΙΝΑΙ ΑΔΥΝΑΤΗ αξιωματικά στηριγμένη από το αξιωματικό σύστημα του Ευκλείδη, είτε με α άγνωστης αριθμητικής τιμής μοιρών για την τριχοτόμηση, είτε με α π.χ. 90 μοιρών, είτε 120 μοιρών, είτε 3 μοιρών, είτε 9 μοιρών κ.τ.λ. που φαινομενικά είναι εύκολη η τριχοτόμηση.
Αυτό συμβαίνει διότι δεν μπορεί να ενεργοποιηθεί η επαλήθευση.
Τα μέρη στην Ευκλείδεια γεωμετρία δεν κάνουν το όλο.
Το ίδιο ακριβώς ισχύει και αν εξετάσουμε το όλο θέμα μόνον αριθμητικά, χωρίς να λάβουμε υπόψη τα σχήματα (χωρία). Δεν μπορεί να υποδειχθεί ένας αριθμός μοιρών π.χ. 90 μοίρες, που να αιτιολογείται στο αξιωματικό σύστημα του Ευκλείδη σαν ακέραιο πολλαπλάσιο της 1 μοίρας.
Στο αξιωματικό σύστημα του Ευκλείδη δεν προβλέπονται ακέραια πολλαπλάσια του ενός σχήματος ή του αριθμητικού 1.
Βέβαια έτσι το λειτουργούμε χιλιάδες χρόνια, όμως είναι σφάλμα, διότι δεν υπάρχει αξιωματική στήριξη.
Το πρόβλημα αυτό έχω εισάγει στο φόρουμ με το θέμα 1+1=2 για να μη δεχθώ καμία απάντηση, διότι δεν μπορεί κανείς να αιτιολογήσει ακέραιο πολλαπλάσιο, ούτε στα σχήματα, ευθύγραμμο τμήμα, τρίγωνο, τετράγωνο κ.τ.λ., ούτε στους ακέραιους αριθμούς.
Το αίτημα διαίρεσης γωνίας σε οσαδήποτε μέρη (μεταξύ των οποίων και η τριχοτόμηση), είναι εκτός των δυνατοτήτων της ευκλείδειας γεωμετρίας.
Βέβαια το ίδιο ισχύει και με την αφαίρεση.
Δεν μπορούμε να αφαιρέσουμε π.χ. μέρος ενός τετραγώνου και να επαληθεύσουμε την αφαίρεση προσθέτοντας τον αφαιρετέο με το υπόλοιπο ώστε να κάνουμε τον αφαιρέτη, διότι τα 2 άνισα μέρη στα οποία θα έχουμε χωρίσει το τετράγωνο δεν θα μπορούν να το αποτελέσουν εκ νέου και να γίνει η επαλήθευση της αφαίρεσης.
Ίσως μερικούς τους ξενίσουν αυτές οι απόψεις και είμαι στη διάθεσή σας να τις συζητήσουμε γιατί είμαστε άνθρωποι και δεν διεκδικούμε το αλάθητο, το οποίο βέβαια με την ίδια αιτιολογία δεν πρέπει να το αναγνωρίσουμε και στους προγόνους μας.
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 16 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.