1+1=2

ipios · 10-12-07

Επί των ακέραιων αριθμών

Στην άθροιση 1+1=2, το άθροισμα 2 μπορεί να αιτιολογηθεί αξιωματικά ότι εκφράζει ένα ακέραιο πολλαπλάσιο του 1 ή εκφράζει αποκλειστικά πλήθος ανεξάρτητων μεταξύ τους μονάδων;

Επεξήγηση:
Οι ακέραιοι αριθμοί αναγνωρίζονται κατά πλήθος (1 μονάδα, πλήθος 2 μονάδων, πλήθος 3 μονάδων κ.τ.λ.) και κατά τάξη (1ος, 2ος, 3ος κ.τ.λ.). Υπάρχει πρόβλεψη στα μαθηματικά, να λέμε 2 και να εννοούμε ένα ακέραιο πολλαπλάσιο του 1 ή αλλιώς ειπωμένο, με το 2 να εννοούμε έναν αριθμό που περιέχει "ενωμένες" τις 2 μονάδες σύμφωνα με την υπόδειξη του συμβόλου της πρόσθεσης +;

Ευχαριστώ όποιον ασχοληθεί.

Rempeskes · 12-12-07

Στην άθροιση 1+1=2, το άθροισμα 2 μπορεί να αιτιολογηθεί αξιωματικά ότι εκφράζει ένα ακέραιο πολλαπλάσιο του 1 ή εκφράζει αποκλειστικά πλήθος ανεξάρτητων μεταξύ τους μονάδων;

Tίποτ' απ' τα δύο. Είναι ένα θεώρημα ύστερα απο 362 σελίδες αποτελεσμάτων στο Principia Mathematica, και θα προκύψει όταν αβίαστα όταν καταδεχτούμε να ορίσουμε το μηδέν:

ipios · 12-12-07

Rempeskes
Tίποτ' απ' τα δύο. Είναι ένα θεώρημα ύστερα απο 362 σελίδες αποτελεσμάτων στο Principia Mathematica, και θα προκύψει όταν αβίαστα όταν καταδεχτούμε να ορίσουμε το μηδέν:

Αγαπητέ Rempeskes:

1. Σε ορθογώνιο ισοσκελές τρίγωνο με κάθετες πλευρές 1 μ. το τετράγωνο της υποτείνουσας εκφραζόμενο με αριθμούς μέσω των εμβαδών τους είναι 1+1=2 σύμφωνα με το πυθαγόρειο θεώρημα. Το 2 εν προκειμένω δείχνεται ακέραιο πολλαπλάσιο του 1. Τι λες λοιπόν;
α. Υπήρχε το μηδέν την εποχή του Ευκλείδη;
β. Για να αποδείξουμε το πυθαγόρειο θα χρειαστούν οι 362 σελίδες του Principia Mathematica και ο ορισμός του μηδενός; Μη μου πεις ότι ο Πυθαγόρας και ο Ευκλείδης πρώτα μάθανε αγγλικά και αφού διαβάσανε το θεώρημα που προτείνεις, μετά ο μεν Πυθαγόρας διατύπωσε το θεώρημα, ο δεν Ευκλείδης το απέδειξε στο αξιωματικό του σύστημα.

2. Από πότε αγαπητέ Rempeskes, ένα θεώρημα μπορεί να αποδείξει το οτιδήποτε στη γεωμετρία ή την αριθμητική; Το θεώρημα είναι ενδιάμεση πρόσταση και χρήζει το ίδιο απόδειξης στηριγμένης σε αξίωμα. Σε ποιο αξίωμα στηρίζεται το ακέραιο πολλαπλάσιο στο θεώρημα των 362 σελίδων;

3. Αφού απαντάς τίποτα από τα δύο και ενώ δεν υπάρχει τρίτο ενδεχόμενο από το να εκφράζει ακέραιο πολλαπλάσιο ή πληθάριθμο ακέραιων μονάδων, είσαι της άποψης ότι το 1+1=2 πρέπει να αποσυρθεί από τα μαθηματικά γιατί δεν ξέρουμε τι είναι;

Σε ευχαριστώ που ασχολήθηκες.

Minkowski · 13 Δεκεμβρίου 2007

Φίλε rempeske δεν είναι τόσο απλά τα πράγματα.
Η εργασία των Russell-Whitehead κινδυνεύει να καταρεύσει,μιας και ως συνολοθεωρητική προσέγγιση ακεραίων,επιρεάζεται άμεσα από την αποδεδειγμένη ασυνέπεια του παραδείσου του Cantor,με τα γνωστά παράδοξα που ανάγκασαν την μαθηματική κοινότητα να αναθεωρήσει.

Το θέμα είναι σοβαρό,ελπίζω να συνεχιστεί η συζήτησή μας.

ipios · 13-12-07

Μινκόφσκι με εντυπωσιάζεις.
Χαλάλι σου η αναφορά μου σχετικά με τη συνολοθεωρία και τον παράδεισο του Καντόρ στο προηγούμενο τόπικ που μου απάντησες.
Η ελπίδα σου δυστυχώς δεν έχει ελπίδες.
Δεν θα απαντήσει κανένας μαθηματικός θεμελιωμένα γιατί δεν υπάρχει αξίωμα που να στηρίζει την ύπαρξη ακέραιου πολλαπλασίου. Αν μάλιστα το 1+1=2 όπου το 2 είναι ακέραιο πολλαπλάσιο του 1, το δεχθούμε από το πυθαγόρειο, αυτό είναι απλό θεώρημα και δεν αποδεικνύει τίποτα από μόνο του, αλλά αποδεικνύεται όταν θα βρούμε το κατάλληλο αξίωμα να το στηρίξει. Ένα απλό αίτημα προς απόδειξη είναι που "μπάζει" από παντού...

Rempeskes · 14-12-07

Προς Ήπιος:

Δεν χρειάζεται καν να ακολουθήσουμε τα φιδογυρίσματα του δρόμου που προτείνεις. Το 1+1=2 μπορεί να αποδειχθεί με διάφορους ευκολότερους τρόπους, όπως εδώ σαν θεώρημα της συνολοθεωρίας.

Προς Μινκόφσκι:

Η αριθμητική κατά Πεανό είναι συνεπής.

Minkowski · 14-12-07

Kύριε Ρεμπεσκέ φρονώ πως σφάλλετε ανεπανόρθωτα.
Η αντιμεταθετική προσέγγιση του συνεχούς διακριτού της αριθμητικής Peano,συνεπάγεται άθροιση συναρτησιακών μερισμών,όπως απέδειξε ο [FONT=arial,sans-serif][SIZE=-1]Sergio Markarián το 2001 στο 9ο παγκοσμιο Μαθηματικό συνέδριο Γουαδαλαχάρας.

:clapup:

[/SIZE][/FONT]

ipios · 14-12-07

Rwmpeskes
Δεν χρειάζεται καν να ακολουθήσουμε τα φιδογυρίσματα του δρόμου που προτείνεις. Το 1+1=2 μπορεί να αποδειχθεί με διάφορους ευκολότερους τρόπους, όπως εδώ σαν θεώρημα της συνολοθεωρίας.

Αγαπητέ Rempeskes
1. Ποιος αρνείται ότι το 1 και 1 είναι 2; Γιατί μου το επισημαίνεις σαν να το αρνούμαι; Μήπως δεν έχεις καταλάβει τι ισχυρίζομαι να το επαναλάβω; Το επαναλαμβάνω λοιπόν για χάρη σου.
2. Το ζητούμενο είναι αν το 2 είναι ακέραιο πολλαπλάσιο του 1 και επί αυτού δεν απαντάς υποδεικνύοντας το αξίωμα στήριξης της γνώμης σου.
3. Η συνολοθεωρία (ανεξάρτητα από τις αδυναμίες της) εμφανίστηκε μετά από περισσότερα από 2000 χρόνια από τον Ευκλείδη. Το πυθαγόρειο όμως στην ευκλείδεια γεωμετρία αποδεικνύεται μέσω του 1+1=2 όπου το 2 εκφράζει ακέραιο πολλαπλάσιο του 1. Νομίζεις ότι ο Πυθαγόρας, οι πυθαγόρειοι ή ακόμα και ο Ευκλείδης, είχανε υπόψη τους τη συνολοθεωρία ή τι θα πουν Καντόρ και Χίμπερτ μετά από 2000 χρόνια; Δεν είναι κάπως άτοπο χρονολογικά το επιχείρημά σου;
4. Τι ακριβώς εννοείς φιδογυρίσματα δεν γνωρίζω. Γνωρίζω όμως ότι γνώμη χωρίς αξιωματική στήριξη - σαν τη δική σου - δεν είναι γνώμη που μπορεί να αφορά τα μαθηματικά.

Σε ευχαριστώ που ασχολείσαι.

DiavolakoS · 14-12-07

ασχετο, μου θυμιζετε το good will hunting. O ipios ο καθηγητης και ο rempeskes ο καμενος με το μαθηματικο μυαλο. συνεχιστε..

Minkowski · 14-12-07

Kι εγώ ο John Nash σε μελαγχολία από τις μα...συναρτησίες του Λάμπρου.. :hmm:

ipios · 14-12-07

Μινκόφσκι, όταν δεν μπορείς να απαντήσεις, είναι γνωστή η μέθοδος να χαρακτηρίζεις την αδυναμία σου ασυναρτησία του άλλου και να πάρεις το πρωτάθλημα! Κάτι από Αίσωπο με αλεπού θυμίζει η ιστορία και επειδή είδα και τη θέση σου στο θέμα με τα τεμνόμενα σχήματα, θέλω να σου πω ότι δεν με απασχολεί καθόλου μια συμπεριφορά σαν τη δική σου. Μου αρκεί που είναι ευγενικός και δεν παρεκτρέπεσαι.
Πολύ χαίρομαι που συζητάω μαζί σου γιατί μου είσαι ευχάριστος και προσηλωμένος στις συναρτήσεις...

Minkowski · 14-12-07

Μινκόφσκι, όταν δεν μπορείς να απαντήσεις...

Έχεις μπλέξει Γεωμετρίες,με θεωρίες αριθμών,συνολοθεωρίες και δε συμμαζεύεται..
Θεωρώ αδύνατο να ξεμπερδευτείς.

ipios · 14-12-07

Μου αρκεί που μου είσαι ευχάριστος. Ιδιαίτερα.

Rempeskes · 23-12-07

Αρχική Δημοσίευση από ipios:
α. Υπήρχε το μηδέν την εποχή του Ευκλείδη;
β. Για να αποδείξουμε το πυθαγόρειο θα χρειαστούν οι 362 σελίδες του Principia Mathematica και ο ορισμός του μηδενός; Μη μου πεις ότι ο Πυθαγόρας και ο Ευκλείδης πρώτα μάθανε αγγλικά και αφού διαβάσανε το θεώρημα που προτείνεις, μετά ο μεν Πυθαγόρας διατύπωσε το θεώρημα, ο δεν Ευκλείδης το απέδειξε στο αξιωματικό του σύστημα.

2. Από πότε αγαπητέ Rempeskes, ένα θεώρημα μπορεί να αποδείξει το οτιδήποτε στη γεωμετρία ή την αριθμητική; Το θεώρημα είναι ενδιάμεση πρόσταση και χρήζει το ίδιο απόδειξης στηριγμένης σε αξίωμα. Σε ποιο αξίωμα στηρίζεται το ακέραιο πολλαπλάσιο στο θεώρημα των 362 σελίδων;

3. Αφού απαντάς τίποτα από τα δύο και ενώ δεν υπάρχει τρίτο ενδεχόμενο από το να εκφράζει ακέραιο πολλαπλάσιο ή πληθάριθμο ακέραιων μονάδων, είσαι της άποψης ότι το 1+1=2 πρέπει να αποσυρθεί από τα μαθηματικά γιατί δεν ξέρουμε τι είναι;

Σε ευχαριστώ που ασχολήθηκες.

1α) Βεβαίως. Αλλά όχι στην Ελλάδα.

1β) Αμέ. Είτε θεμελιώνουμε τα μαθηματικά, είτε παίζουμε με τις έννοιες.

2) Ποιό και που ακέραιο πολλαπλάσιο? Αυτό πρέπει να είναι δικός σου ορισμός. Μπορώ να τον έχω παρακαλώ?

3) Βεβαίως ξέρουμε τι είναι. Αν η τράπεζα σου ζητήσει καθυστερημένα 1 μύριο +1 μύριο τόκους, δεν πρόκειται να γλιτώσεις με λιγότερα από 2 μύρια

(υγ. 'γαπώ τις τράπεζες και τα χρηματιστήρια και τους μάνατζερς)

ipios · 23-12-07

ipios
α. Υπήρχε το μηδέν την εποχή του Ευκλείδη;
β. Για να αποδείξουμε το πυθαγόρειο θα χρειαστούν οι 362 σελίδες του Principia Mathematica και ο ορισμός του μηδενός; Μη μου πεις ότι ο Πυθαγόρας και ο Ευκλείδης πρώτα μάθανε αγγλικά και αφού διαβάσανε το θεώρημα που προτείνεις, μετά ο μεν Πυθαγόρας διατύπωσε το θεώρημα, ο δεν Ευκλείδης το απέδειξε στο αξιωματικό του σύστημα.

2. Από πότε αγαπητέ Rempeskes, ένα θεώρημα μπορεί να αποδείξει το οτιδήποτε στη γεωμετρία ή την αριθμητική; Το θεώρημα είναι ενδιάμεση πρόσταση και χρήζει το ίδιο απόδειξης στηριγμένης σε αξίωμα. Σε ποιο αξίωμα στηρίζεται το ακέραιο πολλαπλάσιο στο θεώρημα των 362 σελίδων;

3. Αφού απαντάς τίποτα από τα δύο και ενώ δεν υπάρχει τρίτο ενδεχόμενο από το να εκφράζει ακέραιο πολλαπλάσιο ή πληθάριθμο ακέραιων μονάδων, είσαι της άποψης ότι το 1+1=2 πρέπει να αποσυρθεί από τα μαθηματικά γιατί δεν ξέρουμε τι είναι;

Σε ευχαριστώ που ασχολήθηκες.

Rempeskes
1α) Βεβαίως. Αλλά όχι στην Ελλάδα.

Εμένα γιατί να με απασχολεί (αν ισχύει αυτό που λες) όταν το πρόβλημα το θέτω στην Ευκλείδεια γεωμετρία; Δεν έχω δικαίωμα να επιλέξω αξιωματικό σύστημα; Ο Ευκλείδης στο αξιωματικό του σύστημα που περιέχει το πυθαγόρειο θεώρημα, γνώριζε το μηδέν;

Rempeskes
1β) Αμέ. Είτε θεμελιώνουμε τα μαθηματικά, είτε παίζουμε με τις έννοιες.

Γιατί ο Ευκλείδης δεν θεμελίωσε μαθηματικά; Τι έκανε; Τα σημερινά μαθηματικά στα δικά του στηρίζονται. Τι εννοείς παίζουμε με τις έννοιες; Οι έννοιες είναι αυστηρά ορισμένες από τους ορισμούς. «Οι εισαγόμενοι σε μία αξιωματική παρουσίαση ορισμοί, αποδίδουν το νόημα των χρησιμοποιουμένων εννοιών».

[Στέλιος Παπαφλωράτος «Γεωμετρία Λομπατσέφσκι» σελίδα 13].

Γι αυτό και η εισαγωγή ερμηνείας από την ΕΜΕ σχετικά με το εμβαδόν και το πυθαγόρειο θεώρημα, είναι αστήρικτη (αυθαίρετη). Δεν υπάρχει ορισμός να ερμηνεύει τις χρησιμοποιούμενες έννοιες σχήμα και εμβαδόν σε σχέση με το πυθαγόρειο, αλλά εισαγόμενη (σήμερα μάλιστα) ερμηνεία, εκτός του ορισμού της έννοιας τετράγωνο. Δεν υπάρχει δηλαδή ορισμός να μας βεβαιώσει ερμηνευτικά ότι εννοεί σχήμα ή τετραγωνικό μέτρο ο Ευκλείδης ή ο Πυθαγόρας, με δεδομένο ότι στα Στοιχεία του, ούτε η λέξη εμβαδόν αναφέρεται πουθενά, ούτε το μέτρο επιφάνειας.

Rempeskes
2) Ποιό και που ακέραιο πολλαπλάσιο? Αυτό πρέπει να είναι δικός σου ορισμός. Μπορώ να τον έχω παρακαλώ?

Μήπως έχεις μπερδευτεί; Είπα εγώ ότι υπάρχει ορισμός; Αυτό ακριβώς λέω ότι δεν υπάρχει αξίωμα και ορισμός να ερμηνεύει την χρησιμοποιούμενη έννοια ακέραιο πολλαπλάσιο όπως θα το δεις πιο κάτω. Χωρίς αξίωμα και χωρίς ορισμό θεωρείς (ή μάλλον θεωρούν οι μαθηματικοί) ότι το 2 είναι ένας ακέραιος αριθμός που περιέχει 2 μονάδες και αυτό λέγεται ακέραιο πολλαπλάσιο. Δες από που συνάγεται.

Θεωρία μετρήσεως:

Θεώρημα 6.
Δοθέντος μετρικού τμήματος ΚΛ, εις έκαστον θετικόν πραγματικό αριθμόν, αντιστοιχεί εν ευθύγραμμον τμήμα, το μήκος του οποίου συμπίπτει μετά του αριθμού τούτου.

(Στέλιος Παπαφλωράτος «Γεωμετρία Λομπατσέφσκι» σελίδα 54).

Το θεώρημα αποδεικνύεται σύμφωνα με την Αρχή του Αρχιμήδη στην οποία έχω αναφερθεί:

Αρχή του Αρχιμήδη:

Για κάθε ευθύγραμμο τμήμα ΑΒ οσονδήποτε μέγα και για κάθε ευθύγραμμο τμήμα οσοδήποτε μικρόν, υπάρχει πάντοτε εν ευθύγραμμο τμήμα ΚΜν μεγαλύτερον του ΑΒ, παραγόμενον δια της εκτελέσεως καταλλήλου και πεπερασμένου το πλήθος διαδοχικών, επί του ΑΒ μεταγορών του ΚΜ.
Θεωρία μετρήσεως, Αρχιμήδεια μετρική, επίθεση του μέτρου επί του μετρούμενου.

Όταν ένα ευθύγραμμο τμήμα ΑΒ, χωρεί ν το πλήθος μεταφορές του ΚΜ, το ΑΒ σαν ένα ακέραιο ευθύγραμμο τμήμα δεν εκφράζει ακέραιο αριθμό ν με το μέτρο ΚΜ, δηλαδή ακέραιο πολλαπλάσιο του ΚΜ;
Εσύ λοιπόν τώρα καλείσαι να βρεις αξιωματική στήριξη του ακέραιου ΑΒ που εκφράζεται από ν μέτρα (ΚΜ). Εγώ ζητώ εξηγήσεις από τους μαθηματικούς και χωρίς να το καταλαβαίνεις αντιστρέφεις του ρόλους μας αγαπητέ Rempeskes. Δεν υπάρχει ούτε αξίωμα, ούτε ορισμός, όμως εσύ υποστηρίζεις ότι 1+1=2 όπου το 2 είναι ένα υπαρκτό τετράγωνο και όχι εγώ. Για αυτό υποστηρίζω ότι υποστηρίζω και μου κάνει εντύπωση που μου ζητάς ορισμό, όταν εγώ είναι που ισχυρίζομαι, τόσον καιρό, ότι δεν υπάρχει! Χαίρομαι που συμφωνείς, αρνούμενος την ύπαρξη αξιώματος και ορισμού και μου τον αποδίδεις σαν έργο δικής μου επινόησης! Αλλά η συμφωνία σου πιστεύω να κατανοείς ότι με δικαιώνει πλήρως. Αν συμφωνείς σε αυτό, γιατί διαφωνούμε τόσα χρόνια βρε Rempeskes;

Rempeskes
3) Βεβαίως ξέρουμε τι είναι. Αν η τράπεζα σου ζητήσει καθυστερημένα 1 μύριο +1 μύριο τόκους, δεν πρόκειται να γλιτώσεις με λιγότερα από 2 μύρια

(υγ. 'γαπώ τις τράπεζες και τα χρηματιστήρια και τους μάνατζερς).

Εάν η νομισματική μονάδα αγαπητέ Rempeskes, ήταν τετράγωνη και όχι στρογγυλή (ευρώ), θα μπορούσες ακόμα και να τα είχες, να τους πληρώσεις με ψιλά, δηλαδή με μία ακέραιη τετράγωνη μονάδα που να περιέχει 1 μύριο + 1 μύριο τόκους; Εγώ δεν μπορώ βέβαια ούτε με κυκλικής μορφής μονάδες τύπου ευρώ (και γιατί δεν έχω, αλλά και γιατί να είχα πάλι δεν θα μπορούσα σύμφωνα με τους ισχυρισμούς μου), αλλά εσύ ίσως τα καταφέρεις. Περί αυτού πρόκειται αγαπητέ Rempeskes.
Μπορείς λοιπόν να αποδείξεις ότι στο 1+1=2 το άθροισμα είναι ακέραιο πολλαπλάσιο του 1, είτε αφορά μήκη, είτε αφορά εμβαδά, είτε αφορά μη αρνητικούς αριθμούς και άσε τα μύρια όσα;

Σε ευχαριστώ που με τιμάς με τις απαντήσεις σου και επιτέλους συμφώνησες στο βασικότερο, ότι δεν υπάρχει αξίωμα και ορισμός περί του ακέραιου πολλαπλασίου.

Στη διάθεσή σου.

ΥΓ: Rempeskes, αν ρίξεις μια ματιά στον ορισμό της διαίρεσης, θα διαπιστώσεις ότι η τέλεια διαίρεση γίνεται, όταν ο διαιρετέος είναι ακριβές ακέραιο πολλαπλάσιο του διαιρέτη. Εν τω μεταξύ, αξίωμα και ορισμός δεν υπάρχει περί ακέραιου πολλαπλασίου. Πολλά θεωρούνται αυτονόητα και δεν μπαίνουμε στον κόπο να τα ψάξουμε...

ΜΠΕΡΔΕΜΕΝΟΣ · 24-12-07

Bασικά νομίζω πως όλα τα μαθηματικά πέφτουν στηη παγίδα του "μονοδιάστατου" του χρόνου. Για να ορίσουμε πλήρως μία έννοια θα πρέπει να ορίσουμε και όλες τις έννοιες τις οποίες θα χρησιμοποιήσουμε στον ορισμό αυτό. Ομοίως για τους ορισμούς των εννοιών αυτών..

Οπότε: Ή ανακυκλώνουμε λέξεις-όρους που έχουμε ήδη χρησιμοποιήσει ή συνεχίζουμε να "ανακαλύπτουμε" επ' 'απειρον λέξεις. Το μεν "δεν προβλέπεται" (μπήκα για τα καλά στην φρασεολογία του στρατού), το δε δεν θα το προλάβει κανείς να το χαρεί.
π.χ. Έχω διαβάσει λίγο θεμέλια (λογική). Ξεκινάει με φράσεις του στυλ "θεωρύμε ένα σύνολο μεταβλητών" ή κάτι τέτοια. Τί είναι όμως "σύνολο";
Αν διαβάσουμε λίγο αξιωματική θεωρία συνόλων, χρησιμοποιείται π.χ. ο όρος "πρόταση στην οποία το χ είναι μία ελεύθερη μεταβλητ'ή κλπ". Πέφτουμε δλδ τώρα στην παγίδα της Λογικής.

Επειδή η κοινωνία (και τα μαθηματικά) πρέπει να προχωράει, δεχτήκαμε σιωπηρά κάποιες έννοιες (όπως των "συνόλων") σαν αυτονόητα ορισμένες, με το σκεπτικό πως μοιάζει το "σύνολο" που έχω στο κεφάλι μου με οποιουδήποτε, και χτίσαμε πάνω σ' αυτές όλα τα μαθηματικά. Είναι δλδ (κατά τη γνώμη μου) παλάτι σε άμμο. Η "μαγκιά" θα είναι να αλληλοκαλύπτονται, κατά κάποιο τρόπο, οι ασάφειες που δημιουργούνται.

Δεν έχω ψαξει και πολύ το θέμα. Sorry αν κάνω λάθη, μέρες που είναι...

Χρόνια πολλά

ipios · 24-12-07

ΜΠΕΡΔΕΜΕΝΟΣ
Bασικά νομίζω πως όλα τα μαθηματικά πέφτουν στη παγίδα του "μονοδιάστατου" του χρόνου.

Γιατί το λες αυτό;
Ακόμα και στον χωροχρόνο μονή είναι η διάσταση του χρόνου. Που βλέπεις την παγίδα; Εξάλλου στα μαθηματικά δεν συμμετέχει ο χρόνος ως προς τις πράξεις, άσχετα αν εκτιμάται με πράξεις.

ΜΠΕΡΔΕΜΕΝΟΣ
Για να ορίσουμε πλήρως μία έννοια θα πρέπει να ορίσουμε και όλες τις έννοιες τις οποίες θα χρησιμοποιήσουμε στον ορισμό αυτό. Ομοίως για τους ορισμούς των εννοιών αυτών..

Αυτό θα είχε νόημα αν δεν υπήρχαν οι αρχικές έννοιες που δεν δέχονται περαιτέρω ανάλυση και τα αξιώματα που γίνονται δεκτά χωρίς απόδειξη. Επάνω σε μη αναλυτικότερες έννοιες και σε αξιωματικές αλήθειες χτίζεται το οικοδόμημα των μαθηματικών και αυτές οι έννοιες με τα αξιώματα αποτελούν τους απαράβατους κανόνες του. Αρκούν, αρκεί να μη τις παραβιάζουμε. Οι ερμηνείες των εννοιών που χρησιμοποιούμε γίνονται με ορισμούς. Είναι τέλειο και τέλεια στεγανό το οικοδόμημα που πρώτος θεμελίωσε ο μεγάλος Ευκλείδης.

ΜΠΕΡΔΕΜΕΝΟΣ
Το μεν "δεν προβλέπεται" (μπήκα για τα καλά στην φρασεολογία του στρατού), το δε δεν θα το προλάβει κανείς να το χαρεί.

Έχεις την άποψη ότι τα μαθηματικά δεν είναι στρατός; Η δικτατορία των αριθμών και των πράξεών τους, καθώς και των σχημάτων και των δυνατών μετασχηματισμών είναι, υπό τους νόμους των αξιωμάτων και των αρχικών εννοιών. Μήπως θεωρείς τα μαθηματικά μια μορφή δημοκρατίας; Μη κοιτάς που καθ` υπέρβαση των μαθηματικών νόμων, υπερισχύει πολλές φορές η κρατούσα αντίληψη (πλειοψηφία!) αντί της απόδειξης που αναγωγικά στηρίζεται σε αξίωμα.

ΜΠΕΡΔΕΜΕΝΟΣ
Η "μαγκιά" θα είναι να αλληλοκαλύπτονται, κατά κάποιο τρόπο, οι ασάφειες που δημιουργούνται.

Στα μαθηματικά δεν περνάει κανενός είδους μαγκιά ή μαγεία. Το αληθές ή ψευδές μιας πρότασης κρίνεται αποκλειστικά από τα αξιώματα ή ενδιάμεσες προτάσεις (θεωρήματα, πορίσματα) που στηρίζονται σε αξιώματα. Η μέθοδος είναι απλή. Κάθε πρόταση που δεν στηρίζεται ως προς το αληθές της σε αξίωμα, ακόμα και ορθή να είναι για τη φύση, τη λογική, τη διαίσθηση και γενικά τη διάνοιά μας, μπορεί να εξακολουθήσει να είναι αληθής ως προς την σκοπιά που την εξετάζουμε (π.χ. διαίσθηση), αλλά είναι εκτός των μαθηματικών χωρίς αξιωματική στήριξη.

Χρόνια πολλά φίλε.

ΜΠΕΡΔΕΜΕΝΟΣ · 25-12-07

To "μονοδιάστατο" τού χρόνου είναι το "νοίκι" που πληρώνουν όσοι κατοικούμε σε αυτό το σύμπαν, άρα και οι μαθηματικοί. Σε κάθε στιγμή μπορούμε δλδ να ορίζουμε μόνο μία έννοια. Όχι και τις έννοιες που χρησιμοποιούμε στον ορισμό.

Τα αξιώματα πώς τα ερμηνεύουμε; Δεν χριεαζόμαστε λέξεις; Αυτές πώς θα οριστούν; Άρα θα υπάρχουν (αναγκαστικά) και "αόριστες" λέξεις. Παραδείγματα έδωσα στο προηγούμενο μνμ μου. Από εκεί έχω την εντύπωση πως πηγάζουν και οι παρεξηγήσεις μεταξύ μας.

Για δικτατορία κλπ δεν νομίζω πως είναι το κατάλληλο forum. Στην Ελλάδα γενικά πάντως υπάρχουν λέξεις a priori κακές a priori καλές. Άντε με τα λαμόγια... :mad:

Χαίρομαι που τα λεμε (έστω κ λίγο)

Καλά να περνάτε παιδιά

ipios · 25-12-07

Αγαπητέ φίλε ΜΠΕΡΔΕΜΕΝΟΣ, οι ορισμοί και μόνο αυτοί αποδίδουν το νόημα των εννοιών που χρησιμοποιούμε. Έτσι είναι ο κανόνας του παιχνιδιού και είναι στεγανός.
(Στέλιος Παπαφλωράτος, μαθηματικός στην εργασία του "Γεωμετρία Λομπατσέφσκι" σελίδα 13.)
Ο Πάρις Πάμφιλος καθηγητής μαθηματικών του πανεπιστημίου Κρήτης, στην εργασία του "Εισαγωγή στη γεωμετρία" περιγράφει με εξαιρετική σαφήνεια το όλο αξιωματικό σύστημα (το όποιο της ελεύθερης επιλογής του κάθε μαθηματικού):
"Η γεωμετρία έτσι, παίρνει τη μορφή ενός παιχνιδιού σαν το σκάκι, όπου ισχύουν οι κανόνες του όπως ακριβώς ισχύουν τα αξιώματα στη γεωμετρία. Τα αξιώματα είναι απαράβατοι κανόνες".
Ωστόσο συμφωνώ μαζί σου ότι υπάρχουν και αόριστες έννοιες και αυτός είναι ο λόγος ύπαρξης των αρχικών εννοιών που κοινά αποδεκτά δεν αναλύονται περαιτέρω, για να υπάρξει μία αφετηρία εκκίνησης συλλογισμών που δεν θα τίθενται σε εμφισβήτηση.
Αγαπητέ φίλε όπως στο σκάκι δεν μπορείς να μετακινήσεις το αλογάκι όπως το πιόνι ή τον πύργο, αλλά υπάρχει σκακιστικός κανόνας που προβλέπει τις κινήσεις του καθενός, έτσι και στη γεωμετρία δεν μπορείς να κάνεις ότι θέλεις. Αυτό που μπορείς να κάνεις είναι να "κινείσαι" σύμφωνα με τα αξιώματα και μόνο σύμφωνα με αυτά. Συμπληρωματικά υπάρχουν οι ορισμοί που αποδίδουν το νόημα των χρησιμοποιουμένων εννοιών. Αυτά έχουμε και με αυτά πορευόμαστε διαχρονικά στα μαθηματικά. Αν αυτό δεν αρκεί λέμε απλά ότι η τάδε πρόταση "δεν μπορεί να αποδειχθεί στο πλαίσιο του αξιωματικού συστήματος" και δεν την αποδεικνύουμε με εισαγωγή δικών μας ερνηνειών.
Σε ότι αφορά τις παρεξηγήσεις στις οποίες αναφέρεσαι ασφαλώς δεν είναι προσωπικές (αφού δεν γνωριζόμαστε) αλλά καθαρά αντίθετων απόψεων σε σχέση με το αξιωματικό σύστημα.
Σε ότι αφορά την δικτατορία που λες ότι δεν είναι το κατάλληλο φόρουμ, δεν σε αντιλαμβάνομαι. Δεν αναφέρθηκα σε δικτατορία του φόρουμ, αλλά σε δικτατορία των αριθμών, των σχημάτων και των πράξεων, που δεσμεύονται απόλυτα από τα αξιώματα. Εν προκειμένω δηλαδή, εννοώ την απόλυτη εξουσία που έχουν τα αξιώματα που δομούν το κάθε αξιωματικό σύστημα, στους δυνατούς συλλογισμούς μας. Δεν έχουμε ελευθερία να συλλογιστούμε εκτός των αξιωμάτων, γιατί αν το κάνουμε, τα μαθηματικά δεν θα μας στήσουν στον τοίχο ασφαλώς, αλλά απλά δεν θα αποδεχθούν να καταστήσουν περιεχόμενό τους τις όποιες εκτός των αξιωμάτων συλλογιστικές διαδρομές μας.
Και εγώ χαίρομαι που τα λέμε.
Χρόνια πολλά.

ΜΠΕΡΔΕΜΕΝΟΣ · 26-12-07

Για ακόμα μία φορά δικαιώνομαι για το όνομα που επέλεξα... Πώς να ξεκινήσω;... :hmm:

Για δικτατορία κλπ εννοούσα απλά πως είναι εκτός θέματος (με την πολιτική έννοια τού όρου).

Νομίζω πως έχω συνειδητοποιήσει (μέχρι ενός βαθμού, βεβαίως βεβαίως) το νόημα τού "αξιώματος". Οι ενστάσεις μου δεν έχουν να κάνουν με την αληθοτιμή τους (πάντα είναι "αλήθεια") αλλά με την (κατά κάποιοον τρόπο) θεμελιωσή τους. Πώς θα αντιληφθείς το νόημα ενός αξιώματος αν κάπιοιος δεν στο εξηγήσει με άλλες λέξεις; Αυτές οι λέξεις προφανώς δεν έχουν οριστεί αυστηρά (από τα αξιώματα ξεκινάμε). Άρα...

Τυπικά ίσως θα ηταν καλύτερο (θεωρητικά) πάντα να διαβάζουμε μόνο σύμβολα, τα "κείμενα" να μην έχουν καθόλου λόγια, ο καθένας να αποδίδει στα σύμβολα-αξιώματα νόημα (ενσυνείδητα ή όχι) με βάση τα συναισθήματα που τού δημιουργούν και μόνος του να καθορίζει το μαθηματικό του σύμπαν, αποφασίζοντας (με βάση τα αξιώματα τώρα πια) ποιες προτάσεις ισχύουν. Τρελό αλλά σαν ιδέα θα μού άρεσε.

Καλά να περνάτε

1+1=2

Εκκολαπτόμενο μέλος

Επιφανές μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Νεοφερμένος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Επιφανές μέλος

Νεοφερμένος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Νεοφερμένος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Νεοφερμένος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Επιφανές μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος