Συζήτηση σχετικά με την ορθότητα ή μη του Πυθαγόρειου Θεωρήματος

ipios · 13-12-07

Καλώς. Συγγνώμη και από μέρους μου, αν είπα κάτι παραπάνω. Μιλούσα στα τυφλά.

Rempeskes · 14-12-07

Ισχύει το πυθαγορείο στη φύση, στην πρακτική εποπτική - γεωμετρία και αφορά αθροίσεις σχημάτων όπως είναι διατυπωμένο (το άθροισμα των τετραγώνων...) ή αφορά αποκλειστικά εμβαδά;

Ισχύει στην φύση με όποιο τροπο θες.

ipios · 14-12-07

Αγαπητέ Rempeskes, αφού το πήρες απόφαση ποιος να κάνει ενστάσεις;
Δεν θα εκτεθώ σε αποδείξεις βέβαια, όταν η απόδειξη για σένα αγαπητέ Rempeskes είναι θέμα απόφασης. Αν το κάνω, θα πάρεις απλή απόφαση ότι κάνω λάθος και μετά δεν θα μπορώ να το διορθώσω!!!

Σε ευχαριστώ που ασχολείσαι έστω και μέσω των αποφάσεων σου.
Ασφαλώς από το μυαλό μου δεν περνάει ότι δεν έχεις επιχειρήματα...

frappe · 17-12-07

Αρχική Δημοσίευση από ipios:
Στο διαδίκτυο συζητείται ότι αμφισβητούνται πολύ περισσότερες και μάλιστα όλες - αμφισβειτείται ευθέως η ορθότητα του θεωρήματος - από Έλληνα μη μαθηματικό

Κι εγώ έχω δει στο διαδίκτυο ότι έχουμε άλλες 525 νέες αποδείξεις, κι αυτή τη φορά από Έλληνα, αλλά μαθηματικό

https://www.synarithmos.com/content/view/15/23/lang,el/

Είναι ενδιαφέρον πάντως να ακούγεται ότι ένας μη μαθηματικός αμφισβητεί το Π.Θ.
Πολύ περισσότερο ενδιαφέρον αν υπάρχει και μαθηματική απόδειξη γι αυτό

Minkowski · 17-12-07

Στο διαδίκτυο συζητείται ότι αμφισβητούνται πολύ περισσότερες και μάλιστα όλες - αμφισβειτείται ευθέως η ορθότητα του θεωρήματος - από Έλληνα μη μαθηματικό..

Ναι,με τη διευκρίνηση βέβαια ότι αυτός ο "μη Μαθηματικός" δεν γνωρίζει καν τα στοιχειώδη.

Πολύ περισσότερο ενδιαφέρον αν υπάρχει και μαθηματική απόδειξη..

Μαθηματική απόδειξη δεν μπορει να υπάρξει,αν δεν καταρριφθούν οι 500+ αποδείξεις μια προς μια.
[εδώ υπήρχε προσβλητικό κείμενο για μέλος του forum]

Subject to change · 17-12-07

Minkowski πρόσεχε σε παρακαλώ πως εκφράζεσαι γιατί χάνεις το -όποιο- δίκιο σου.

Ήπιε, αν πιστεύεις ότι το Πυθαγόρειο είναι εσφαλμένο, γιατί δεν βρίσκεις ένα αντιπαράδειγμα να τελειώνει η ιστορία; Αν όντως είναι εσφαλμένο, σίγουρα θα υπάρχει κάποιο, non?

Minkowski · 17-12-07

Kαλά αφού είσαι κεφάτος ας τα πάρουμε με τη σειρά.

Αν λοιπόν το Πυθαγόρειο θεώρημα είναι εσφαλμένο,τότε κάθε απόδειξη του είναι λάθος.
Ας πάρουμε την πιο γνωστή που είναι η απόδειξη με τα όμοια τρίγωνα,η οποία αναφέρεται στο σχολικό της Γεωμετρίας Α Λυκείου.

Περιμένω να μου πείς πού υπάρχει λάθος στην παραπάνω απόδειξη.

Μπορούμε να αποδείξουμε το πυθαγόρειο χωρίς αναφορά σε εμβαδά; Αν μπορούμε, μόνο τότε θα ισχύει με σχήματα...

Τι εννοείς με σχήματα ρε αρχηγέ;Έχεις ορίσει πρόσθεση σημειοσυνόλων και δεν το ξέρω;
Σε εμβαδά (αριθμούς) αναφερόμαστε αγόρι μου,όχι στα ίδια τα σχήματα σαν σύνολα σημείων στο χώρο.

Subject to change · 17-12-07

Έχω την εντύπωση ότι ο Ήπιος έχει μπερδέψει τα τετράγωνα (εννοώντας την ύψωση αριθμού σε εκθέτη ίσο με 2) με τα τετράγωνα (τα σχήματα) και γι'αυτό λέει και ξαναλέει για άθροιση σχημάτων. :hmm:

Μπορεί να έχω καταλάβει και εγώ λάθος βέβαια.

Πάντως τι πιο απλό απο ένα αντιπαράδειγμα; Δεν μπορώ να καταλάβω γιατί δεν μας έχει δώσει κανένα. :hmm:

ipios · 17-12-07

Μου κάνει εντύπωση που μετά από τόσες μέρες με δυσανάλογη έπαρση των μαθηματικών του δυνατοτήτων ο Minkowski θέλησε να βάλει το χέρι του στη φωτιά για να καεί. Αυτά παθαίνει όποιος δεν γνωρίζει τι ισχυρίζεται ο άλλος και έχει μεγάλη φόρα. Ξεκινάει από τη θέση «ο άνθρωπος δεν έχει ιδέα» και αυτό θα του στοιχίσει τουλάχιστον το πρεστίζ που θέλει να επιδείξει στο φόρουμ.
Κάθομαι και απαντώ γνωρίζοντας εκ των προτέρων ότι θα αναδιπλωθεί και όχι μόνο δεν θα έχει τι να πει, αλλά θα βγάλει μια σοφή απόφαση που πάνω - κάτω θα λέει: Δεν έχει ιδέα ο άνθρωπος και θα μου κάνει συστάσεις να ανοίξω κανένα βιβλίο!

Με τη σειρά:

frappe
Είναι ενδιαφέρον πάντως να ακούγεται ότι ένας μη μαθηματικός αμφισβητεί το Π.Θ.
Πολύ περισσότερο ενδιαφέρον αν υπάρχει και μαθηματική απόδειξη γι αυτό

Πολύ ευχαρίστως

Minkowski
Μαθηματική απόδειξη δεν μπορεί να υπάρξει, αν δεν καταρριφθούν οι 500+ αποδείξεις μια προς μια.

Αυτή είναι δική σου άποψη. Και μία απόδειξη να καταρριφθεί το μονοσήμαντο του αποτελέσματος τις καταρρίπτει ΟΛΕΣ. Το πυθαγόρειο δεν μπορεί σε άλλες αποδείξεις να ισχύει και σε άλλες όχι. Αλλά αυτό χρειάζεται να είσαι μαθηματικός να το καταλάβεις που εσύ δεν είσαι. Σε κάθε περίπτωση όμως έχω τη διάθεση, κάθε απόδειξη που θα μου φέρνεις να σου την αποδεικνύω εσφαλμένη.

Michelle
Minkowski πρόσεχε σε παρακαλώ πως εκφράζεσαι γιατί χάνεις το -όποιο- δίκιο σου.
Ήπιε, αν πιστεύεις ότι το Πυθαγόρειο είναι εσφαλμένο, γιατί δεν βρίσκεις ένα αντιπαράδειγμα να τελειώνει η ιστορία; Αν όντως είναι εσφαλμένο, σίγουρα θα υπάρχει κάποιο, non?

Στον Minkowski γίνεται παρατήρηση (για δεύτερη φορά) και σε μένα κλείνει το τόπικ! Καλώς. Ωστόσο θα σου κάνω το χατίρι (πιο κάτω) και ελπίζω να δεχθώ τις όποιες παρατηρήσεις που τώρα εύκολα μου τις κάνεις.

Minkowski

Kαλά αφού είσαι κεφάτος ας τα πάρουμε με τη σειρά.

Αν λοιπόν το Πυθαγόρειο θεώρημα είναι εσφαλμένο, τότε κάθε απόδειξη του είναι λάθος.
Ας πάρουμε την πιο γνωστή που είναι η απόδειξη με τα όμοια τρίγωνα, η οποία αναφέρεται στο σχολικό της Γεωμετρίας Α Λυκείου.
Ακολουθεί η απόδειξή του ….

Michelle
Έχω την εντύπωση ότι ο Ήπιος έχει μπερδέψει τα τετράγωνα (εννοώντας την ύψωση αριθμού σε εκθέτη ίσο με 2) με τα τετράγωνα (τα σχήματα) και γι' αυτό λέει και ξαναλέει για άθροιση σχημάτων.
Μπορεί να έχω καταλάβει και εγώ λάθος βέβαια.
Πάντως τι πιο απλό απο ένα αντιπαράδειγμα; Δεν μπορώ να καταλάβω γιατί δεν μας έχει δώσει κανένα.

Michelle δεν έχω μπερδέψει απολύτως τίποτα. Το πυθαγόρειο θεώρημα λέει: Το άθροισμα των τετραγώνων των κάθετων πλευρών ορθογωνίου και ισοσκελούς τριγώνου ισούται με το τετράγωνο της υποτείνουσας.
Η ύπαρξη του τριγώνου στην εκφώνηση του θεωρήματις συνηγορεί υπέρ της αναφοράς του Πυθαγόρα σε σχήματα ή σε αριθμούς που αρνιόμαστε τα σχήματα και εμφανίζομαι εγώ σε σύγχυση; Δεν έχει όμως σημασία γιατί πιο κάτω θα καταλάβεις ότι τα σχήματα ΑΜΕΣΑ αφορούν το θεώρημα και ότι για την εξέτασή του σε σχέση με τους αριθμούς χρειάζεται ερμηνεία!!! Ποιος έχει μπερδευτεί;
Αυτό το αποδεικνύει με μετασχηματισμούς σε όλες σχεδόν τις αποδείξεις.
Πουθενά δεν αναφέρεται στη μαθηματική βιβλιογραφία ότι το πυθαγόρειο αφορά αποκλειστικά εμβαδά και όχι σχήματα.
Στην επισήμανση μου ότι δεν προβλέπονται αθροίσεις σχημάτων, ο καθηγητής μαθηματικών του πολυτεχνείου κύριος Ευγένιος Αγγελόπουλος είπε: Κύριε Μαγκλάρα, μέχρι να ορίσουμε αθροίσεις σχημάτων στη γεωμετρία, το πυθαγόρειο δεν είναι ούτε ορθό, ούτε λάθος. Απλά δεν υπάρχει σαν πρόταση.
Εγώ πρέπει λοιπόν να εισάγω τις αθροίσεις σχημάτων; Στην επισήμανση ότι το πυθαγόρειο αφορά εμβαδά με εισαγωγή ερμηνείας και όχι σχήματα όπως αναφέρει άμεσα ο Πυθαγόρας, έχω κι εγώ να επισημάνω ότι ο Ευκλείδης ούτε τη λέξη εμβαδόν αναφέρει, ούτε τη έκφραση μέτρο επιφάνειας! Πως μπορεί να εννοούσε εμβαδά και αυτό θεωρείται αυτονόητο;

Αλλά ας αφήσουμε τα λόγια και ας πάμε στις αποδείξεις:
Θα αποδείξω το σφάλμα του πυθαγορείου με την πυθαγόρεια τριάδα 3, 4, 5, που είναι σταυροδρόμι για τις αποδείξεις (συνεπάγεται πλήθος αποδείξεων με το ίδιο σκεπτικό) μεταξύ των οποίων είναι και το πρόβλημα που έθεσε ο Minkowski αν a=4, b=3 και c=5 στο δικο του σχήμα.

Τότε, μέχρι σήμερα ισχύει:
a = 4Χ4 = 16
b = 3Χ3 = 9
c = 5Χ5 = 25
Επομένως 16 τ.μ. + 9 τ.μ. = 25 τ.μ

Α. Η αριθμητική δεν το δέχεται ακόμα και αν εγώ το κάνω αποδεκτό για να σας κάνω το χατίρι.

Γιατί;
Επειδή π.χ. a=4 όπου το 4 είναι ακέραιο πολλαπλάσιο του 1 δεν προβλέπεται αξιωματικά. Ούτε b=3, ούτε c=5 αιτιολογούνται αξιωματικά. Πως θα αιτιολογήσουμε το 4 σαν έναν αριθμό ακέραιο που περιέχει 4 μονάδες; Το 4 αιτιολογείται αποκλειστικά σαν συγκείμενο πλήθος (πλήθος ακέραιων μονάδων) και όχι σαν ακέραιο πολλαπλάσιο. Οι ακέραιοι θετικοί αριθμοί διακρίνονται κατά πλήθος (2 ακέραιες μονάδες ανεξάρτητες μεταξύ τους, 3 ακέραιες μονάδες, 4 ακέραιες μονάδες … a, b, c…. X ακέραιες μονάδες ανεξάρτητες μεταξύ τους) και κατά τάξη 1ος, 2ος, 3ος … Χος. Που στηριζόμαστε στην αριθμητική και λέμε το 2, διπλάσιο ή το 3 τριπλάσιο του 1; Γνώμη χωρίς αξιωματική στήριξη δεν ισχύει στα μαθηματικά. Πως θα αιτιολογήσουμε τα ακέραια πολλαπλάσια 3, 4, 5 της πυθαγόρειας τριάδας; Θα τα πάμε να τα ευλογήσει ο παπάς στην εκκλησία;
Βέβαια αν υποδειχθεί αξίωμα της εποχής του Πυθαγόρα και του Ευκλείδη (όπου αποδείχθηκε η πυθαγόρεια τριάδα) που να προβλέπει ακέραιο πολλαπλάσιο ακέραιων θετικών μονάδων, θα δεχθώ ότι κάνω λάθος. Αλλιώς θα μείνουμε στις αξιωματικές προβλέψεις του Ευκλείδη...

[Από τα Στοιχεία του Ευκλέιδη
Στοιχεῖα Εὐκλείδου ζ΄
[Βιβλίον VII]
Ὅροι κγ΄ [23].
α΄ [1]. Μονάς ἐστιν, καθ' ἣν ἕκαστον τῶν ὄντων ἓν λέγεται.
β΄ [2]. Ἀριθμὸς δὲ τὸ ἐκ μονάδων συγκείμενον πλῆθος.]

Β. Η γεωμετρία δεν το δέχεται, ακόμα και αν εγώ το κάνω αποδεικτό για να σας κάνω το χατίρι.

Για να κάνουμε αποδεκτό το μήκος 3, 4 και 5 μέτρα σαν ένα μήκος ενιαίο και ακέραιο (όπως δίνονται οι πλευρές του ορθογωνίου της πυθαγόρειας τριάδας και της απόδειξης του Minkowski) ΧΡΕΙΑΖΕΤΑΙ ΑΞΙΩΜΑ της Ευκλείδειας γεωμετρίας που να προβλέπει το 3, το 4, το 5 ή το a, b, c ή το Χ, σαν ακέραια πολλαπλάσια του 1. Υπάρχει τέτοιο αξίωμα; Ή νομίζετε ότι πρώτη αφορά αντιμετωπίζω το ίδιο πρόβλημα που έγινε τόση κουβέντα επί αυτού στην επιτροπή Ευκλείδης Β΄ της ΕΜΕ με αφορμή τους ισχυρισμούς μου;
Όταν όμως δεχθούμε ότι το 3, το 4 και το 5 ή a,b,c, ΜΟΝΟ σαν πλήθη αναγνωρίζονται από τον Ευκλείδη και όχι σαν ακέραια πολλαπλάσια, τότε το τετράγωνο 9, το τετράγωνο 16 και το τετράγωνο 25 τ.μ. ΔΕΝ ΜΠΟΡΟΥΝ ΝΑ ΕΙΝΑΙ ΤΟ ΚΑΘΕΝΑ ΕΝΑ ΑΚΕΡΑΙΟ ΤΕΤΡΑΓΩΝΟ, αφού δεν αθροίζονται τα σχήματα.

Γ. Το αξίωμα του εμβαδού και η θεωρία μετρήσεως δεν το κάνουν αποδεκτό, ακόμα και αν εγώ για να σας κάνω το χατίρι το κάνω αποδεικτό.

Πάρτε το τετράγωνο β και ονοματίστε όλες τις κορυφές των τετραγώνων του, δηλαδή και των 9. Για να μη μπερδευτείτε ονοματίζω το κεντρικό του τετράγωνο ΑΒΓΔ. Οι πλευρές ΑΒ, ΒΓ, ΓΔ και ΔΑ, ανήκουν συγχρόνως και στα διπλανά τετράγωνα, ενώ οι κουφές Α, Β, Γ και Δ είναι κοινές με τα διπλανά τετράγωνα.
Στη θεωρία μετρήσεως η μέθοδος μέτρησης ενός σχήματος είναι προβλεπόμενη με επίθεση του μέτρου επί του μετρούμενου. Τα σχήματα δεν μετακινούνται αυτά καθαυτά επί του επιπέδου παρά μόνο σαν ομόλογα ή εικονικά. Τα μέτρα όμως (τετραγωνικά εν προκειμένω) κινούνται ελεύθερα σύμφωνα με τη θεωρία μετρήσεως και όχι μόνο κινούνται, αλλά η απόδειξη της μέτρησης που θα μας βεβαιώσει για το μέτρο του τετραγώνου της πλευρά β, οφείλει να γίνει με επίθεση του μέτρου επί του μετρούμενου.
Με αυτές τις προβλεπόμενες από τη θεωρία μετρήσεως συνθήκες, έχουμε σαν γεωμέτρες στη διάθεσή μας 9 τετραγωνικά μέτρα και καλούμαστε να τα επιθέσουμε επί του τετραγώνου της πλευράς β που είναι 9 τετραγωνικά μέτρα.
Παίρνουμε το πρώτο μέτρο και το επιθέτουμε στο ΑΒΓΔ (κεντρικό) τετράγωνο του παραπάνω σχήματος. Αυτό συνεπάγεται ότι το τετράγωνο μέτρο μας θα καλύψει και τις κορυφές Α, Β, Γ και Δ, και τις πλευρές ΑΒ, ΒΓ, ΓΔ και ΔΑ.

Ερώτημα: Τα υπόλοιπα 8 τετραγωνικά μέτρα πως θα επιτεθούν όταν όλες οι παραπάνω πλευρές και γωνίες που είναι κοινές όλων των τετραγώνων έχουν ήδη καταληφθεί από το πρώτο τετραγωνικό μέτρο που επιθέσαμε στο ΑΒΓΔ τετράγωνο του τετραγώνου με πλευρά β; Πως θα κάνουμε την επαλήθευση με το αξίωμα του εμβαδού και τη θεωρία μετρήσεως; Θα καλέσουμε τον Χάρι Πότερ;

Τέλος επειδή ο στόχος του Minkowski (δεν πιστεύω ότι είναι μαθηματικός παρά μόνο από την έπαρσή του) δεν είναι η απόδειξη του πυθαγορείου – την κάνει με απλή απόφασή του - αλλά να δείξει εμένα γραφικό, έχω να σημειώσω τα εξής:
Η θεωρία μετρήσεως και το αξίωμα του εμβαδού ανήκουν στην πρακτική – εποπτική γεωμετρία (χρήση υποδεκάμετρου) την οποία οι ίδιοι οι μαθηματικοί αρνούνται σαν ακριβή και αξιόπιστη (μπορώ να σας υποδείξω που αν σας ενδιαφέρει), αλλά κυρίως ΟΜΟΛΟΓΟΥΝ ότι επί της πρακτικής – εποπτικής μορφής γεωμετρίας ΔΕΝ ΙΣΧΥΕΙ ΤΟ ΠΥΘΑΓΟΡΕΙΟ. Δηλαδή από τη μία λέει η ΕΜΕ ότι δεν ισχύει το πυθαγόρειο στη φύση, στην πρακτική – εποπτική γεωμετρία και με αθροίσεις σχημάτων και από την άλλη το στηρίζει με το αξίωμα του εμβαδού και τη θεωρία μετρήσεως που ΕΙΝΑΙ ΑΠΟΚΛΕΙΣΤΙΚΑ ΠΡΑΚΤΙΚΗ – ΕΠΟΠΤΙΚΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ!

Michelle ελπίζω να ικανοποιήθηκες με την απόδειξή μου και αν έχεις απορίες στη διάθεσή σου.

Minkowski στο πρόβλημά σου εισάγεις μη προβλεπόμενα δεδεομένα όπως είναι το ακέραιο των a, b, c. Kαι στη δική soy διάθεση αν και νομίζω ότι θα βγάλεις φιρμάνι αντί να αγγίξεις το θέμα που χρειάζεται αξίωμα στήριξης του ακέραιου πολλαπλασίου στην Ευκλέιδεια γεωμετρία. Δεν θα γίνω δηκτικός απένατί σου γιατί η δυναμική των αποδείξεών μου, σου αρκεί να κάνεις ότι δεν καταλαβαίνεις και αυτό μου αρκεί. Μου άρεσε το ότι δέχεσαι τα όσα λέει η ΕΜΕ και απλά δεν τα καταλαβαίνω εγώ που συζητούσα ώρες στην Επιτροπή Ευκλέιδης Β΄, ενώ εσύ τα καταλαβάινεις!!! Εσύ τι έχεις να παρουσιάσεις στη μαθηματική σου πορεία Μινκόφσκι; Το ότι βρέθηκες στην πορεία της απεργίας; Ούτε λέξη δεν θα βρεις να πεις γιατί συνεχώς θα σου ζητάω αξίωμα στήριξης του ακέραιου πολλαπλάσιου της μονάδας. Ψάξε στα βιβλία και έλα πιο μελετημένος. Το πυθαγόρειο τέλος και ας κάθεται σαν κόμπος στο λαιμό σας. Έχει δρομολογηθεί. Ξέρω. Είμαι άσχετος αφού το είπε ο Rempeskes!!!

frappe, φρονώ ότι η απόδειξη που μου ζήτησες, σου δόθηκε όπως υποσχέθηκα.

Για την αλήθεια των ισχυρισμών μου:

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ

Αθήνα 2 Απριλίου 2007

Αρ. Πρωτ. 12234/2-4-2007

Ο κύριος Λάμπρος Θ. Μαγκλάρας απευθύνθηκε στην Ελληνική Μαθηματική Εταιρεία καταθέτοντας τον ισχυρισμό, ότι το πυθαγόρειο θεώρημα είναι εσφαλμένο.
Επικαλέστηκε τα εξής:

1. Ότι κατασκευαστικά δεν μπορεί να αποδειχθεί το θεώρημα, επειδή κατά τους μετασχηματισμούς είναι αδύνατο 2 ζεύγη κατακορυφήν γωνιών - π.χ. 2 ζεύγη ίσων μεταξύ τους ορθογωνίων ισοσκελών τριγώνων - να εφάπτονται ταυτόχρονα στο «κέντρο» του υπό σύνθεση τετραγώνου, ώστε να το αποτελέσουν.

2. Ότι θεωρητικά το πυθαγόρειο θεώρημα:
α. Ζητά και προβαίνει προς απόδειξή του, σε αθροίσεις σχημάτων (Το άθροισμα των τετραγώνων κ.τ.λ.) που δεν προβλέπονται από το αξιωματικό σύστημα του Ευκλείδη, ούτε από την νεότερη τυποποίησή του από τον Hilbert.
β. Δεν έχει την αναγκαία για κάθε θεώρημα αξιωματική στήριξη.

Η Ελληνική Μαθηματική Εταιρεία, ανταποκρινόμενη με ευθύνη στις αιτιάσεις του κυρίου Λάμπρου Θ. Μαγκλάρα, θεωρώντας ταυτόχρονα χρέος της να διαλευκάνει το ζήτημα, τον κάλεσε στην Επιτροπή ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β΄ και παρουσία πλήθους συναδέλφων μαθηματικών καθηγητών, του παρέσχε τις εξής διευκρινήσεις σχετικά με το πυθαγόρειο θεώρημα.

1. Σε σχέση με την κατασκευαστική αδυναμία, που όντως εμφανίζεται επί εποπτικής φύσεως, π.χ. υλικά υποδείγματα, όπως ορθά και ο ίδιος επισημαίνει, αυτή η αδυναμία ουδόλως επηρεάζει την ορθότητα του πυθαγορείου, καθώς η κατασκευή είναι εποπτική και τα μαθηματικά λειτουργούν αφαιρετικά της φύσης.

2. Σε σχέση με τις αθροίσεις σχημάτων, του επισημάνθηκε, ότι όντως αυτές δεν προβλέπονται (όπως ορθά ισχυρίζεται) από την γεωμετρία, αλλά κατά ερμηνεία, οι αθροίσεις αυτές ανάγονται σε αθροίσεις εμβαδών, δηλονότι αριθμών και όχι σχημάτων. Έτσι, επί ορθογωνίου ισοσκελούς τριγώνου, με μέτρο κάθετης πλευράς 1, το τετράγωνο της υποτείνουσας εκφράζεται από τον ακέραιο θετικό αριθμό 2, δηλαδή από τετράγωνο με εμβαδόν 2.

3. Σε σχέση με την αξιωματική στήριξη του πυθαγορείου, αυτή υποδείχθηκε στον κύριο Λάμπρο Θ. Μαγκλάρα, ότι ευρίσκεται στο αξίωμα του εμβαδού, αφού οι αθροίσεις είναι αθροίσεις εμβαδών και όχι σχημάτων.

ΓΙΑ ΤΗΝ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ

Ο εισάγων την ερμηνεία.
ΠΡΟΕΔΡΟΣ ΕΚΤΕΛΕΣΤΙΚΗΣ ΓΡΑΜΜΑΤΕΙΑΣ
ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β΄
Γιώργος Τασσόπουλος

ΠΡΟΕΔΡΟΣ ΕΜΕ
Νικόλαος Αλεξανδρής

Υστερόγραφο:
Υπάρχουν και Κύριοι μαθηματικοί, ανεξάρτητα από τις όποιες διαφωνίες.

Minkowski · 17-12-07

ο Minkowski θέλησε να βάλει το χέρι του στη φωτιά για να καεί.

Με ρέγουλο οι "αποδείξεις" γιατί τσουρουφλίστικα.

αυτό θα του στοιχίσει τουλάχιστον το πρεστίζ που θέλει να επιδείξει στο φόρουμ.

Σιγά ρε αρχηγέ,πολύ σοβαρά την είδες!

Το πυθαγόρειο δεν μπορεί σε άλλες αποδείξεις να ισχύει και σε άλλες όχι.

Τι θέλει να πει ο ποιητής; :hmm:

Δηλαδή μου λές:
Το πυθαγόρειο δεν μπορεί σε άλλες απόδειξεις ΤΟΥ να ισχύει και σε άλλες όχι.
Καλά μας μπέρδεψες αλλα πάμε παρακάτω..

Αλλά αυτό χρειάζεται να είσαι μαθηματικός να το καταλάβεις που εσύ δεν είσαι..

Σε όλο τον κόσμο τα ίδια λές. :confused:

Αν θές να συνεχίσω το νταβαντούρι,άλλαξε ρότα..

Σε κάθε περίπτωση όμως έχω τη διάθεση, κάθε απόδειξη που θα μου φέρνεις να σου την αποδεικνύω εσφαλμένη.

Για να δούμε!

Η ύπαρξη του τριγώνου στην εκφώνηση του θεωρήματoς συνηγορεί υπέρ της αναφοράς του Πυθαγόρα σε σχήματα ή σε αριθμούς που αρνιόμαστε τα σχήματα και εμφανίζομαι εγώ σε σύγχυση;

Κάτσε,το οτι θεωρεί ένα ορθογώνιο για να αποδείξει μια μετρική σχέση,σημαίνει πως αναφέρεται στα ίδια τα σχήματα σαν σημειοσύνολα;Προφανώς όχι.
Αν θέλεις να καταρρίψεις το πυθαγόρειο (και όποιο άλλο θεώρημα όμοια) πρέπει να βρεις αντιπαράδειγμα όπως λέει κι η Michelle.

Δώσε βάση.
Υπάρχει ορθογώνιο τρίγωνο τέτοιο ώστε να ισχύει μια από τις παρακάτω προτάσεις?
Α) Το άθροισμα των τετραγώνων των καθέτων πλευρών είναι μεγαλύτερο από το τετράγωνο της υποτείνουσας.
Β) Το άθροισμα των τετραγώνων των καθέτων πλευρών είναι μικρότερο από το τετράγωνο της υποτείνουσας.

Είναι προφανές ότι οι όροι "άθροισμα","μεγαλύτερο","μικρότερο" αναφέρονται στην διάταξη των πραγματικών αριθμών.

Rompex.Πάμε παρακάτω.

Θα αποδείξω το σφάλμα του πυθαγορείου με την πυθαγόρεια τριάδα 3, 4, 5.

Όπα!Εγώ ζήτησα να βρείς λάθος στη ΣΥΓΚΕΚΡΙΜΕΝΗ απόδειξη που παρέθεσα.

Προφανώς δηλαδή λάθος σε κάποια συνεπαγωγή.
Διαφωνείς με το ότι τα τρίγωνα είναι όμοια;
Διαφωνείς ότι οι πλευρές τους είναι ανάλογες;
Διαφωνείς στις μετέπειτα στοιχειώδεις αλγεβρικές πράξεις;
Εκεί είναι το θέμα,και όχι τα μακρυνάρια που κάθεσαι και γράφεις.

Τότε, μέχρι σήμερα ισχύει:
a = 4Χ4 = 16
b = 3Χ3 = 9
c = 5Χ5 = 25
Επομένως 16 τ.μ. + 9 τ.μ. = 25 τ.μ

Αν και μπακάλικα,καλά το πας,με μια διευκρίνηση βέβαια.
Εννοείς ότι το εμβαδόν του τετραγώνου που αντιστοιχεί στις πλευρές α,β,γ είναι 16,9,25 αντίστοιχα.Πάμε παρακάτω.

[Από τα Στοιχεία του Ευκλέιδη
Στοιχεῖα Εὐκλείδου ζ΄
[Βιβλίον VII]
Ὅροι κγ΄ [23].
α΄ [1]. Μονάς ἐστιν, καθ' ἣν ἕκαστον τῶν ὄντων ἓν λέγεται.
β΄ [2]. Ἀριθμὸς δὲ τὸ ἐκ μονάδων συγκείμενον πλῆθος.]

Δεν ξέρω αρχαία.Στα αγγλικά ό,τι γράφεις.

Όταν όμως δεχθούμε ότι το 3, το 4 και το 5 ή a,b,c, ΜΟΝΟ σαν πλήθη αναγνωρίζονται από τον Ευκλείδη και όχι σαν ακέραια πολλαπλάσια, τότε το τετράγωνο 9, το τετράγωνο 16 και το τετράγωνο 25 τ.μ. ΔΕΝ ΜΠΟΡΟΥΝ ΝΑ ΕΙΝΑΙ ΤΟ ΚΑΘΕΝΑ ΕΝΑ ΑΚΕΡΑΙΟ ΤΕΤΡΑΓΩΝΟ, αφού δεν αθροίζονται τα σχήματα.

Ρε αρχηγέ θες να μου κάψεις τα εγκεφαλικά κύτταρα;

Για να κάνουμε αποδεκτό το μήκος 3, 4 και 5 μέτρα σαν ένα μήκος ενιαίο και ακέραιο..

Δηλαδή λές ότι υπάρχουν μόνο μήκη ίσα με την μονάδα,επειδή για κάθε άλλο μήκος δεν αθροίζονται σχήματα; :redface:

Δες παρακάτω:

Δυο τμήματα,κοινό σημείο,μήκος r1+r2.
Υπάρχει διαφωνία; :hmm:

Τα υπόλοιπα 8 τετραγωνικά μέτρα πως θα επιτεθούν όταν όλες οι παραπάνω πλευρές και γωνίες που είναι κοινές όλων των τετραγώνων έχουν ήδη καταληφθεί από το πρώτο τετραγωνικό μέτρο που επιθέσαμε στο ΑΒΓΔ τετράγωνο του τετραγώνου με πλευρά β;

Εσύ νομίζεις ότι τα σχήματα είναι ταπετσαρίες και πλακίδια που καταλαμβάνουν θέσεις.
Γι αυτό δεν μπορούμε να συνεννοηθούμε.

ΟΜΟΛΟΓΟΥΝ ότι επί της πρακτικής – εποπτικής μορφής γεωμετρίας ΔΕΝ ΙΣΧΥΕΙ ΤΟ ΠΥΘΑΓΟΡΕΙΟ.

Ρε αρχηγέ,τι σημαίνει "δεν ισχύει στη φύση";
Άλλο ο φυσικός κόσμος,άλλο ο ιδεατός των Μαθηματικών.
Φυσικά και ισχύει στη φύση αλλά όχι με την συνήθη έννοια.
ΙΣΧΥΕΙ προσεγγιστικά.
Βέβαια αυτο το μικρό σφάλμα,διόλου "ενοχλεί" τους τεχνίτες και μηχανικούς.
Όπως έλεγε κι ο rempeskes στο mathematics.gr:
Βρες τετράγωνα ΑΚΡΙΒΩΣ 3,4,5 τετραγωνικών μέτρων αντίστοιχα και θα τα κάνουμε ό,τι θέλεις.

Δηλαδή από τη μία λέει η ΕΜΕ ότι δεν ισχύει το πυθαγόρειο στη φύση, στην πρακτική – εποπτική γεωμετρία και με αθροίσεις σχημάτων και από την άλλη το στηρίζει με το αξίωμα του εμβαδού και τη θεωρία μετρήσεως που ΕΙΝΑΙ ΑΠΟΚΛΕΙΣΤΙΚΑ ΠΡΑΚΤΙΚΗ – ΕΠΟΠΤΙΚΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ!

Όπα.Έχεις ξανακούσει την φράση "Ευκλείδια νόρμα";
"Το μήκος του ευθυγράμμου τμήματος ΑΒ είναι ΑΚΡΙΒΩΣ 2 μέτρα"
"Το μήκος μιας κλωστής είναι ΠΕΡΙΠΟΥ 2 μέτρα"

Μου άρεσε το ότι δέχεσαι τα όσα λέει η ΕΜΕ και απλά δεν τα καταλαβαίνω εγώ που συζητούσα ώρες στην Επιτροπή Ευκλέιδης Β..

Το γήρας ουκ έρχεται μόνον.

Εσύ τι έχεις να παρουσιάσεις στη μαθηματική σου πορεία Μινκόφσκι;

Τίποτε απολύτως.Μια μικρή ίσως αίσθηση του πότε ακούω ασυναρτησίες.

Το ότι βρέθηκες στην πορεία της απεργίας;

Δε συμμετέχω σε πορείες. :whistle:

Ξέρω. Είμαι άσχετος αφού το είπε ο Rempeskes!!!

Σκέψου την πιθανότητα να έχουν άδικο μερικές εκατοντάδες άτομα,και να έχεις δίκιο εσύ.
Και μη μου το πάς σε Γαλιλαίους και ιστορίες γιατί εδώ δεν υπάρχει θρησκευτική προκατάληψη.

Πάμε τώρα στην Ε.Μ.Ε.

Κατασκευαστικά δεν μπορεί να αποδειχθεί το θεώρημα, επειδή κατά τους μετασχηματισμούς είναι αδύνατο 2 ζεύγη κατακορυφήν γωνιών - π.χ. 2 ζεύγη ίσων μεταξύ τους ορθογωνίων ισοσκελών τριγώνων - να εφάπτονται ταυτόχρονα στο «κέντρο» του υπό σύνθεση τετραγώνου, ώστε να το αποτελέσουν.

Ναι,έχεις δίκιο αν αντί για Ευκλείδια τετράγωνα πάρεις πλακάκια.Rompex.

Σε σχέση με την κατασκευαστική αδυναμία, που όντως εμφανίζεται επί εποπτικής φύσεως, π.χ. υλικά υποδείγματα, όπως ορθά και ο ίδιος επισημαίνει, αυτή η αδυναμία ουδόλως επηρεάζει την ορθότητα του πυθαγορείου, καθώς η κατασκευή είναι εποπτική και τα μαθηματικά λειτουργούν αφαιρετικά της φύσης.

Ναι,τα μαθηματικά δεν τα απασχολεί τι κάνει η φύση.
Ούτως η άλλως οι μη Ευκλείδιες Γεωμετρίες ερμηνευουν "καλύτερα" το Σύμπαν,επομένως με τη δική σου λογική η Ευκλείδια είναι λάθος.Rompex.
Και μη μου παραθέσεις αποσπάσματα καθηγητών του δημοσίου που έχουν στην εκπαίδευση 30 χρονια (το λές και με καμάρι) γιατί υπάρχουν σοβαρότερα κείμενα για αναζήτηση.

οι αθροίσεις αυτές ανάγονται σε αθροίσεις εμβαδών, δηλονότι αριθμών και όχι σχημάτων.

Ε ναι,εφόσον δεν έχουμε καν ορίσει πρόσθεση γεωμετρικών αντικειμένων.
Πάντα προστίθενται ως προς κάποιο αριθμητικό τους χαρακτηριστικό όπως το εμβαδόν για τις επιφάνειες και το μήκος για τα τμήματα.

Υστερόγραφο:
Υπάρχουν και Κύριοι μαθηματικοί, ανεξάρτητα από τις όποιες διαφωνίες.

Δεν το θέτεις καλα.
Οι κύριοι της Ε.Μ.Ε. σε άκουσαν ΜΙΑ φορά και σου απάντησαν ΜΙΑ φορά.
Εμείς οι δύσμοιροι των φόρουμς σε έχουμε ακούσει ΧΙΛΙΕΣ φορές και σου έχουμε απαντήσει ΧΙΛΙΕΣ φορές.
Άρα υπάρχει στη μέση η αγανάκτιση.

Έχω την εντύπωση ότι ο Ήπιος έχει μπερδέψει τα τετράγωνα (εννοώντας την ύψωση αριθμού σε εκθέτη ίσο με 2) με τα τετράγωνα (τα σχήματα) και γι'αυτό λέει και ξαναλέει για άθροιση σχημάτων.
Μπορεί να έχω καταλάβει και εγώ λάθος βέβαια.

Δεν κάνεις κανένα λάθος.

Να σου περιγράψω και το σκηνικό.
Επειδή ο φίλτατος απο μαθηματικά δε σκαμπάζει (δεν είναι κακό βέβαια),μόλις διάβασε για άθροισμα τετραγώνων σκέφτηκε "Όπα!Εδώ είμαστε!Αφορμή για να τους τη λέω στα φόρουμς."
Αργότερα που άρχισε να συνειδητοποιεί ότι το θέμα αφορά αριθμούς,σου λέει τώρα:
"Τι να τους πω για να δικαιολογήσω τόσα χρόνια και να μην γίνω ρόμπα;"
Οπότε άρχισε να μπερδεύει φιλοσοφία με φυσική και μαθηματικά,ακέραια πολλαπλάσια,εφαπτόμενα σημεία και τέρατα.
Αυτό που προκύπτει είναι μια σούπα,όπως βλέπεις και στα κείμενα του. :/:

Για να κλείνω,θεωρώ αδύνατο να καταλάβεις.
Για την ακρίβεια ΔΕ ΘΕΛΕΙΣ να καταλαβεις,γιατί θα γκρεμιστεί άδοξα το νταβαντούρι με το οποίο ασχολείσαι 10 χρόνια.Το βλέπεις σαν προσωπική ήττα,όπως βλέπεις και τις αντιπαραθέσεις με τους Μαθηματικούς.
Είναι προσωπική η επιδίωξη.Σιγά μην ενδιαφέρεσαι για τα Μαθηματικά.

Απλώς τα βλέπεις σαν ένα μέσο να βγάλεις απωθημένα και να περάσεις την ώρα σου κοροιδεύοντας και χαζογελώντας.

Στείλε τις μα...νακαλύψεις σου σε ειδικούς και όχι στο κάθε τυχαίο Ελληνικό φροντιστήριο για να καμαρώνεις ότι σε παίρνουν στα σοβαρά.
Σε διαβεβαιώ πως ουδείς εξ αυτών κάθησε να διαβάσει τα όσα γράφεις,πόσο μάλλον να ξέρει και λίγα Μαθηματικά.

Ciao.

Subject to change · 17-12-07

Ήπιε, φοβάμαι ότι έχεις μπερδέψει λίγο τη φυσική με τα μαθηματικά. Σαφώς και στη φύση δεν πρόκειται να βρεις ποτέ τρίγωνο που επιβεβαιώνει ακριβώς το Πυθαγόρειο, γιατί στη φύση δεν πρόκειται να βρεις ποτέ ακριβώς ορθή γωνία! Τα μαθηματικά έχουν ως σκοπό να μελετήσουν την ιδεατή περίπτωση όπου πχ εν προκειμένω η γωνία είναι ακριβώς 90 μοίρες και τα μέτρα των πλευρών είναι ακριβώς τόσο, και να μας δώσουν το μήκος της υποτείνουσας σε αυτήν την ιδεατή περίπτωση. Αυτό το συμπέρασμα, δεν είναι άχρηστο στη φύση, διότι και εκεί ισχύει προσεγγιστικά. Απο εκεί και πέρα, αν μας ενδιαφέρει αποκλειστικά και μόνο η μελέτη του τι συμβαίνει στη φύση, έρχεται η φυσική να καλύψει το "κενό". Που, ακόμα και στην ίδια τη φυσική, πολλές φορές μελετάμε ιδανικές περιπτώσεις πχ τι γίνεται σε ένα επίπεδο χωρίς καθόλου τριβές.
Νομίζω πρέπει να διαχωρίσεις μέσα στο μυαλό σου τις ιδανικές περιπτώσεις που τις μελετάμε για να μας βοηθήσουν να καταλάβουμε τις πραγματικές, και τις πραγματικές περιπτώσεις, με όλες τις αποκλίσεις που αυτές έχουν απο τα ιδεατά μοντέλα μας.
Και η απάντηση της ΕΜΕ απ'όσο βλέπω σου είπε αυτό ακριβώς.
Τα μαθηματικά δεν είναι επιστήμη που βασίζεται στο πείραμα, όπως η φυσική, αλλά στις λογικές συνεπαγωγές. Σαφώς και δεν πρόκειται να επιβεβαιώσεις ποτέ πειραματικά το πυθαγόρειο, διότι δεν πρόκειται ποτέ να έχεις τόσο ακριβή δεδομένα που να σου επιτρέψουν κάτι τέτοιο.
Αυτή είναι η φύση των μαθηματικών. Αν δεν σου αρέσει να μην μπορείς να τα επιβεβαιώσεις πειραματικά, καλά έκανες και έγινες φυσικός. Ωστόσο μην κατηγορείς τα μαθηματικά επειδή δεν έχουν τη λογική της φυσικής, είναι απλά εντελώς διαφορετική επιστήμη!

Τώρα αν εγώ δεν έχω καταλάβει καλά και δεν είναι αυτή (ή μόνο αυτή) η ένσταση του Ήπιου πείτε το.

Πάντως εγώ Ήπιε δεν έχω καταλάβει γιατί το έχεις πάρει τόσο προσωπικά το θέμα και ασχολείσαι τόσο με αυτό σε διάφορα φόρα. Ακόμα και δίκιο να έχεις, πες ότι οι απανταχού forumίτες το παραδεχόντουσαν και σου λέγανε και μπράβο. Και? Τι θα είχες κερδίσει; Θα είχαν αλλάξει τα μαθηματικά; Όχι. Αν όντως πιστεύεις τόσο πολύ σε αυτό, γράψε ένα βιβλίο, πολύ πιο πιθανό είναι να ακουστείς έτσι.

Άλλωστε τόσο χρόνο και τόσα κείμενα που έχεις γράψει κατα καιρούς σε διάφορα φόρα άνετα θα μπορούσες να τα είχες κάνει βιβλίο.

Προσωπική μου άποψη, έτσι;

ipios · 18-12-07

Minkowski
Με ρέγουλο οι "αποδείξεις" γιατί τσουρουφλίστικα.

Αν τσουρουφλίστηκες λέει!!!

Minkowski
Σιγά ρε αρχηγέ, πολύ σοβαρά την είδες!

Το «ρε» στην οικογένειά σου. Το είδα όσο σοβαρός είναι ο συνομιλητής μου.

ipios
Το πυθαγόρειο δεν μπορεί σε άλλες αποδείξεις να ισχύει και σε άλλες όχι.

Minkowski
Τι θέλει να πει ο ποιητής;
Δηλαδή μου λές:
Το πυθαγόρειο δεν μπορεί σε άλλες απόδειξεις ΤΟΥ να ισχύει και σε άλλες όχι.
Καλά μας μπέρδεψες αλλά πάμε παρακάτω..

Το ξέρω ότι σε μπέρδεψα είναι φανερό και γι αυτό θέλεις να πάμε παρακάτω! Τι να κάνουμε παρακάτω; Να με πείσεις ότι το πυθαγόρειο άλλοτε μπορεί να ισχύει και άλλοτε όχι στο ευκλείδειο αξιωματικό σύστημα; Είσαι μαθηματικός; Αν το θεώρημα είναι ορθό πρέπει να αποδεικνύεται σε όλες τις περιπτώσεις και όχι σε μερικές και αν δεν είναι επίσης να αποδεικνύεται το λάθος του σε όλες τις περιπτώσεις και όχι σε μερικές. Υπάρχουν εξαιρέσεις στην ορθότητα του πυθαγορείου στην Ευκλείδεια γεωμετρία; Μπορείς να μου υποδείξεις μία περίπτωση που δεν ισχύει; Την έκφραση μονοσήμαντο αποτέλεσμα την έχεις ακούσει;

Ipios
Σε κάθε περίπτωση όμως έχω τη διάθεση, κάθε απόδειξη που θα μου φέρνεις να σου την αποδεικνύω εσφαλμένη.

Minkowski
Για να δούμε!

Δεν θα μείνεις παραπονεμένος, όπως δεν σε άφησα και με την απόδειξη που μου έφερες και νομίζεις ότι δεν την απέδειξα, κάνοντας ότι δεν καταλαβαίνεις τι σημαίνει ακέραιο πολλαπλάσιο. Εδώ είμαι όμως να σου το θυμίσω και πάλι.

Minkowski
Σε όλο τον κόσμο τα ίδια λές.
Αν θές να συνεχίσω το νταβαντούρι, άλλαξε ρότα..

Σιγά μη σε παρακαλέσω κιόλας. Αν δεν θέλεις είναι δικαίωμά σου.

ipios
Η ύπαρξη του τριγώνου στην εκφώνηση του θεωρήματoς συνηγορεί υπέρ της αναφοράς του Πυθαγόρα σε σχήματα ή σε αριθμούς που αρνιόμαστε τα σχήματα και εμφανίζομαι εγώ σε σύγχυση;

“

Minkowski
Κάτσε, το οτι θεωρεί ένα ορθογώνιο για να αποδείξει μια μετρική σχέση, σημαίνει πως αναφέρεται στα ίδια τα σχήματα σαν σημειοσύνολα; Προφανώς όχι.
Αν θέλεις να καταρρίψεις το πυθαγόρειο (και όποιο άλλο θεώρημα όμοια) πρέπει να βρεις αντιπαράδειγμα όπως λέει κι η Michelle.

Να κάτσω; Το δικαίωμα αυτό το έχεις μόνο εσύ. Κάτσε όσο θέλεις και όπου θέλεις. Αυτό που δεν μπορείς να κάνεις είναι να θεωρείς ότι το πυθαγόρειο αναφέρεται κατά το μισό σε σχήματα (με το τρίγωνο) και κατά το άλλο μισό σε μετρική σχέση εμβαδών (με τα τετράγωνα). Ούτε ο χοντρούλης ο Μαμαλάκης δεν κάνει τέτοια μαγειρική! Όμως δεν με απασχολεί αποδεικτικά, γιατί ΣΕ ΟΛΕΣ ΤΙΣ ΠΕΡΙΠΤΩΣΕΙΣ ΕΙΝΑΙ ΛΑΘΟΣ, ΕΙΤΕ ΜΕΤΡΙΚΑ, ΕΙΤΕ ΣΧΗΜΑΤΙΚΑ.
Δεν σε βλέπω και τόσο ζωηρό στο να απαντήσεις αν ο Ευκλείδης αναφέρει τη λέξη εμβαδόν ή τη έκφραση μέτρο επιφάνειας στο αξιωματικό του σύστημα και μας βεβαιώνεις με το «προφανώς» (!!!) ότι ήθελε να αποδείξει μετρική σχέση, χωρίς να αναφέρεται στα μέτρα με τα οποία θα την αποδείξει - μέσω της μέτρησης!!! Τι σχέση βρίσκεις μεταξύ ευκλείδειας γεωμετρίας και εμβαδών; Δική σου γεωμετρία εισάγεις για να το ξέρω και αυτό από περιέργεια! Αναφέρεται πουθενά σε εμβαδά ο Ευκλέιδης;

Minkowski
Δώσε βάση.
Υπάρχει ορθογώνιο τρίγωνο τέτοιο ώστε να ισχύει μια από τις παρακάτω προτάσεις?
Α) Το άθροισμα των τετραγώνων των καθέτων πλευρών είναι μεγαλύτερο από το τετράγωνο της υποτείνουσας.
Β) Το άθροισμα των τετραγώνων των καθέτων πλευρών είναι μικρότερο από το τετράγωνο της υποτείνουσας.

Αυτό που δεν καταλαβαίνεις (αλλά δεν ξέρεις και αρχαία, μόνο αγγλικά και ολίγα κινέζικα) είναι ότι δεν υπάρχει άθροισμα τετραγώνων, ούτε σχημάτων, ούτε αριθμών, ώστε να είναι είτε ίσο, είτε μικρότερο, είτε μεγαλύτερο από οποιοδήποτε ακέραιο τετράγωνο όπως είναι αυτό της υποτείνουσας. ΤΑ ΜΕΡΗ ΔΕΝ ΚΑΝΟΥΝ ΤΟ ΟΛΟ ΟΥΤΕ ΣΤΗΝ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ, ΟΥΤΕ ΣΤΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ. ΔΕΝ ΥΠΑΡΧΕΙ ΑΞΙΩΜΑ ΣΤΗΡΙΞΗΣ ΤΗΣ ΑΘΡΟΙΣΗΣ ΤΩΝ ΜΕΡΩΝ ΣΕ ΟΛΟ ΟΥΤΕ ΣΤΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ, ΟΥΤΕ ΣΤΗΝ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ. Αυτό πρέπει να το σπουδάσεις. Γι αυτό δεν απαντάς αν το άθροισμα 2 στην άθροιση 1+1=2 μπορεί να εκφράζει ακέραιο πολλαπλάσιο του 1. Σιγά – σιγά όμως θα το μάθεις γιατί η γνώμη σου με τη χρήση του προφανούς δεν γίνεται αποδεκτή από τα μαθηματικά και εγώ να θέλω να σου κάνω τη χάρη επειδή έχεις καλούς τρόπους.
Δίνω βάση λοιπόν και σου λέω ότι εκτός βάσης είσαι εσύ που θέλεις να συγκρίνεις δύο μέρη (τετράγωνα) με ένα μέρος (τετράγωνο) και να εξάγεις ισότητα ή ανισότητα.

Minkowski
Είναι προφανές ότι οι όροι "άθροισμα","μεγαλύτερο","μικρότερο" αναφέρονται στην διάταξη των πραγματικών αριθμών.
Rompex.Πάμε παρακάτω.

Δεν θα πάμε τόσο γρήγορα παρακάτω. Θα δεχθώ το «προφανές» σου το οποίο καλά γνωρίζεις ότι δεν αντέχει σε αντάξια κριτική στα μαθηματικά. Αν το προφανές άντεχε, το 5ο αίτημα θα ήταν εκ του προφανούς του αποδεδειγμένο και δεν θα υπήρχαν σήμερα ούτε ο Ρίμαν, ούτε ο Λομπατσέφκσι. Όμως δεν αρκεί.
Σε ρωτάω: Την εποχή του Ευκλείδη και του Πυθαγόρα υπήρχαν οι πραγματικοί αριθμοί R και βάζεις τον Ευκλείδη και τον Πυθαγόρα να εννοούν την διάταξη των πραγματικών αριθμών; Ή μήπως ήξεραν τους ακεραίους Ζ; Ή μήπως ήξεραν το μηδέν; Τι παραμύθια είναι αυτά που λες; Είσαι μαθηματικός εσύ; Μόνο τους φυσικούς Ν ήξεραν και μόνο με αυτούς να προσπαθήσεις να απαντήσεις. Οι εξυπνάδες σε άλλον. Ωστόσο δεν αλλάζει η διάταξη και γι αυτό το συζητάω ως προς την διάταξη των Ν. .
Η διάταξη των φυσικών αριθμών Ν (1, 2, 3, 4… χ) αναγνωρίζει ακέραιο πολλαπλάσιο;
Οι αριθμοί αναγνωρίζονται κατά πλήθος και τάξη. Ξέρεις εσύ να αναγνωρίζονται και σαν ακέραια πολλαπλάσια και δεν μας το λες να το μάθουμε κι εμείς το αξίωμα που τα προβλέπει. Το 2 είναι μία και μία ακέραιες μονάδες, το τρία το ίδιο, το 4 το ίδιο το χ το ίδιο. Που βλέπεις στην κατά πλήθος αναγνώριση ακέραιο πολλαπλάσιο; Πολύ Σπίλμπεργκ βλέπεις μου φαίνεται.
Αλλά μήπως το βλέπεις το ακέραιο πολλαπλάσιο στην κατά τάξη αναγνώριση των φυσικών Ν; Ο 1ος , ο 2ος, ο 3ος , ο Χος , ανάλογα με την τάξη του στην αριθμοσειρά είναι και πολλαπλάσιος του 1ου ; Mαθηματικός είσαι εσύ;
Άκου πραγματικοί αριθμοί επί Πυθαγόρα και Ευκλείδη! Σιγά μη μας επικαλεστείς και τον Ντε Καρτ ή τον Χίλμπερτ! (Από σένα δεν αποκλείεται βέβαια!)

Minkowski
Όπα! Εγώ ζήτησα να βρείς λάθος στη ΣΥΓΚΕΚΡΙΜΕΝΗ απόδειξη που παρέθεσα.
Προφανώς δηλαδή λάθος σε κάποια συνεπαγωγή.
Διαφωνείς με το ότι τα τρίγωνα είναι όμοια;
Διαφωνείς ότι οι πλευρές τους είναι ανάλογες;
Διαφωνείς στις μετέπειτα στοιχειώδεις αλγεβρικές πράξεις;
Εκεί είναι το θέμα, και όχι τα μακρυνάρια που κάθεσαι και γράφεις.

Δικαιολογείσαι. Αφού δεν ξέρεις αρχαία, δεν είναι παράδοξο το ότι δεν ξέρεις και νέα ελληνικά και διαβάζεις χωρίς να καταλαβαίνεις! Δεν σου απάντησα ότι δεν υπάρχει ακέραιο a, b, c εκτός από την μονάδα; Μπορείς να αποδείξεις την ύπαρξη του a=3, του b=4 και του c=5 όπου ο καθένας από αυτούς τους φυσικούς αριθμούς είναι πολλαπλάσιο του 1;

ipios
Τότε, μέχρι σήμερα ισχύει:
a = 4Χ4 = 16
b = 3Χ3 = 9
c = 5Χ5 = 25
Επομένως 16 τ.μ. + 9 τ.μ. = 25 τ.μ

Minkowski
Αν και μπακάλικα,καλά το πας, με μια διευκρίνηση βέβαια.
Εννοείς ότι το εμβαδόν του τετραγώνου που αντιστοιχεί στις πλευρές α,β,γ είναι 16,9,25 αντίστοιχα. Πάμε παρακάτω.

Ας δούμε τι λες εσύ σαν σούπερ μάρκετ!
Εννοώ και σχήματα που αντιστοιχούν στις πλευρές α, β, γ επειδή το αξιωματικό σύστημα του Ευκλείδη δεν περιέχει το αξίωμα του εμβαδού. Έχω τοποθερήσει το πρόβλημα στην Ευκλείδεια συνθετική γεωμετρία και όχι στην αναλυτική ή τους πραγματικούς αριθμούς. Αυτό δείχνει να μη σε απασχολεί, αλλά δεν με ενδιαφέρει πόσο μπορείς να σεβαστείς ή όχι το δοσμένο περιβάλλον θεώρησης. Εννοώ όμως και εμβαδά για να μη σου χαλάσω το χατίρι, όπως και εννοώ και μόνο φυσικούς αριθμούς για τον ίδιο λόγο. Εσύ επιλέγεις και εγώ θα σου δείχνω το λάθος σου σε όποια επιλογή και να κάνεις.

ipios
[Από τα Στοιχεία του Ευκλέιδη
Στοιχεῖα Εὐκλείδου ζ΄
[Βιβλίον VII]
Ὅροι κγ΄ [23].
α΄ [1]. Μονάς ἐστιν, καθ' ἣν ἕκαστον τῶν ὄντων ἓν λέγεται.
β΄ [2]. Ἀριθμὸς δὲ τὸ ἐκ μονάδων συγκείμενον πλῆθος.]

Minkowski
Δεν ξέρω αρχαία.Στα αγγλικά ό,τι γράφεις.

Είναι φανερό. Ούτε νέα ελληνικά ξέρεις και θέλεις να συζητήσεις μαθηματικά των αρχαίων Ελλήνων με αγγλικά. Εγώ σε πιστεύω και αιτιολογώ γιατί λες τόσες ασυναρτησίες.

ipios
Όταν όμως δεχθούμε ότι το 3, το 4 και το 5 ή a,b,c, ΜΟΝΟ σαν πλήθη αναγνωρίζονται από τον Ευκλείδη και όχι σαν ακέραια πολλαπλάσια, τότε το τετράγωνο 9, το τετράγωνο 16 και το τετράγωνο 25 τ.μ. ΔΕΝ ΜΠΟΡΟΥΝ ΝΑ ΕΙΝΑΙ ΤΟ ΚΑΘΕΝΑ ΕΝΑ ΑΚΕΡΑΙΟ ΤΕΤΡΑΓΩΝΟ, αφού δεν αθροίζονται τα σχήματα.

Minkowski
Ρε αρχηγέ θες να μου κάψεις τα εγκεφαλικά κύτταρα;

Το «ρε» στην οικογένειά σου. Ούτε είμαι αρχηγός, ούτε αναγνωρίζω αρχηγό. Είμαι αναρχικός. Για να κάνω τέτοιον εμπρησμό είναι τελείως αδύνατο. Δεν υπάρχει τίποτα για κάψιμο.

Minkowski
Δηλαδή λές ότι υπάρχουν μόνο μήκη ίσα με την μονάδα, επειδή για κάθε άλλο μήκος δεν αθροίζονται σχήματα;
Δες παρακάτω:

Βλέπω παρακάτω και καλά έκανες και έβαλες και το σχηματάκι.
Έστω ΑΒ = ΓΔ = 1
Παίρνω επί δύο φορές, ένα μέτρο μήκους ΚΛ= ΚΛ1=ΑΒ=1
Τοποθετώ επιθετικά, σύμφωνα με την προβλεπόμενη μέθοδο μέτρησης από τη θεωρία μετρήσεως το ΚΛ επί του ΑΒ. Αυτό θα καλύψει το ΑΒ μαζί με το Α και το Β. Το μέτρο ΚΛ1 που θα το τοποθετήσω να μετρήσω και το ΒΓ όταν το Β είναι ήδη κατειλημμένο; Που παραβιάζω τη θεωρία μετρήσεως όταν δεν μπορώ να μετρήσω το ΑΒΜ και να το βεβαιώσω σαν 2 μήκη ΚΛ και να έχω 2ΚΛ=ΑΒ;
Θα μου πεις ότι μου υπέδειξες τον ορισμό άθροισης ευθύγραμμων τμημάτων.
Ο ορισμός όμως στηρίζεται στο μέτρο υπό το πνεύμα της αρχής του Αρχιμήδη (αριθμητικό συνεχές εκ του γεωμετρικού συνεχούς ή βήμα διαβήτη), που δεν έχει αξιωματική στήριξη. Αν εγώ τοποθετήσω δύο εφαπτόμενα μέτρα επί του ΑΜΒ που παραβιάζω το αξιωματικό σύστημα;
Μη ξεχνάς ότι ο ορισμός δεν έχει δική του αξιωματική ισχύ αλλά ερμηνεύει τις έννοιες που χρησιμοποιούμε και επομένως, εν προκειμένω η έννοια είναι το «μέτρο». Ποιο αξίωμα στηρίζει το μέτρο σαν συνεχές (βήμα διαβήτη);
Το ΑΜΒ δεν είναι 2ΚΛ σύμφωνα με τη θεωρία μετρήσεως και την προβλεπόμενη μέθοδο μέτρησης. Ο ορισμός της άθροισης ευθύγραμμων τμημάτων δεν έχει αξιωματική στήριξη, ούτε ίδιαν αξιωματική ισχύ. Επιπλέον θα πρέπει να βρεις το λάθος που κάνω όταν εννοώ το μέτρο σαν ακέραιο ΚΛ σε πλήθος ΚΛ σύμφωνα με τη θεωρία μετρήσεως.
Τέλος θα σου πω το σημαντικότερο ΟΛΩΝ.
Αν υποδείξουμε με ορισμό (αυτόν την πρόσθεσης ευθύγραμμων τμημάτων) αριθμό ακέραιο πολλαπλάσιο της μονάδας στο αξιωματικό σύστημα του Ευκλείδη, θα αντιφάσκει με το αξίωμα περί συγκείμενου πλήθους. Αυτό καταστρέφει όχι μόνο τον όποιο ορισμό, αλλά δείχνει ότι εντός του αξιωματικού συστήματος του Ευκλείδη αδυνατεί να εισαχθεί άλλο αξίωμα που να προβλέπει ακέραιο πολλαπλάσιο διότι θα αντιφάσκουν τα αξιώματα.
Τι να δω λοιπόν;
Εσύ πρέπει να δεις και να μάθεις και ελάχιστα ελληνικά. Καλό θα σου κάνει.

Minkowski
Δυο τμήματα,κοινό σημείο,μήκος r1+r2.
Υπάρχει διαφωνία;

Σε ποιο αξίωμα στηρίζεις το μέτρο σαν συνεχές και όχι σαν ακέραιο σε πλήθος όπως προβλέπει η θεωρία μετρήσεως;
Θα πρέπει να πας στον άλλο ορισμό: Κάθε ευθύγραμμα τμήμα ΑΒ έχει ένα μόνο μέσο Μ, όπου ΑΜ = ΜΒ.
Όμως αν αποδεχθούμε ότι το ΑΒ είναι ΑΜ +ΜΒ τότε 2 ευθύγραμμα τμήματα έχουν ένα μέσο Μ και όχι ένα ευθύγραμμα τμήμα. Άλλο ένα ευθύγραμμο τμήμα έχει ένα μέσο και άλλο δύο ευθύγραμμα τμήματα έχουν ένα μέσο. Αυτό δεν καλύπτεται από τον ορισμό και τεκμαίρεται εκ του προφανούς. Ευχαρίστως να σου υποδείξω που θα το βρεις, αλλά πρόσεξε γιατί είναι στα ελληνικά!

ipios
Τα υπόλοιπα 8 τετραγωνικά μέτρα πως θα επιτεθούν όταν όλες οι παραπάνω πλευρές και γωνίες που είναι κοινές όλων των τετραγώνων έχουν ήδη καταληφθεί από το πρώτο τετραγωνικό μέτρο που επιθέσαμε στο ΑΒΓΔ τετράγωνο του τετραγώνου με πλευρά β;

Minkowski
Εσύ νομίζεις ότι τα σχήματα είναι ταπετσαρίες και πλακίδια που καταλαμβάνουν θέσεις.
Γι αυτό δεν μπορούμε να συνεννοηθούμε.

Καλό. Μόνο εσύ θα μπορούσες να το πεις αυτό.
Που είδες να αντιλαμβάνομαι τα σχήματα σαν ταπετσαρίες ή πλακίδια;
Την προβλεπόμενη μέθοδο επίθεσης του μέτρου επί του μετρούμενου, από τη θεωρία μετρήσεως χρησιμοποιώ ΑΚΡΙΒΩΣ όπως την περιγράφει. Τοποθετώ το τετραγωνικό μέτρο επί του ΑΒΓΔ τετραγώνου. Τι είναι αυτά που λες; Εσύ πως θα μετρήσεις το εμβαδόν σύμφωνα με τη θεωρία μετρήσεως; Θα πεις δεν πρόκειται για ταπετσαρία και θα αρνηθείς να μετρήσεις ή θα πάρεις τα τετραγωνικά μέτρα να τα επιθέσεις επί των τετραγώνων σχημάτων όπως προβλέπεται;
Δεν σου λείπουν μόνο τα ελληνικά.

ipios
ΟΜΟΛΟΓΟΥΝ ότι επί της πρακτικής – εποπτικής μορφής γεωμετρίας ΔΕΝ ΙΣΧΥΕΙ ΤΟ ΠΥΘΑΓΟΡΕΙΟ.

Minkowski
Ρε αρχηγέ, τι σημαίνει "δεν ισχύει στη φύση";
Άλλο ο φυσικός κόσμος, άλλο ο ιδεατός των Μαθηματικών.

Το «ρε» στην οικογένειά σου.
Το αφαιρετικά της φύσης είναι αξίωμα; Που βρίσκεται γραμμένο να το δω; Ποιος ορίζει ότι άλλο ο φυσικός κόσμος και άλλο ο μαθηματικός; Όμως θα κάνω αποδεκτή την άποψή σου, αφού σου θυμίσω πως: Με το αφαιρετικά της φύσης δεν εννοούμε ότι δεν μας απασχολεί καθόλου τι κάνει η φύση, αλλά από τον φυσικό κόσμο «αφαιρούμε» από τα αντικείμενα όλες τις ιδιότητες που δεν είναι αναγκαίες, εκτός του σχήματος του αντικειμένου, της αμοιβαίας θέσης και του μεγέθους. Αν δηλαδή εξετάσουμε 4 τετράγωνα αποκλειστικά ως προς το σχήμα τους, το μέγεθός τους και τη θέση του επί του επιπέδου σε σχέση με τα άλλα σχήματα, βρισκόμαστε στον μαθηματικό – γεωμετρικό κόσμο. Έχεις αντίρρηση;

Minkowski
Φυσικά και ισχύει στη φύση αλλά όχι με την συνήθη έννοια.
ΙΣΧΥΕΙ προσεγγιστικά.

Όταν ως προς το σχήμα και το μέγεθος ισχύει προσεγγιστικά, ισχύει προσεγγιστικά και στη γεωμετρία. Και εγώ δεν ισχυρίζομαι ότι δεν ισχύει αλλά ισχύει προσεγγιστικά; Το θεμα είναι ότι δεν ισχύει ΑΚΡΙΒΩΣ. Αυτό δεν έχεις καταλάβει.

Minkowski
Βέβαια αυτο το μικρό σφάλμα, διόλου "ενοχλεί" τους τεχνίτες και μηχανικούς.
Όπως έλεγε κι ο rempeskes στο mathematics.gr:
Βρες τετράγωνα ΑΚΡΙΒΩΣ 3,4,5 τετραγωνικών μέτρων αντίστοιχα και θα τα κάνουμε ό,τι θέλεις.

Νομίζεις. Οι τεχνίτες επίστρωσης πλακιδίων (στους οποίους εσύ αναφέρθηκες τώρα) δεν μπορούν να εφαρμόσουν την επίστρωση χωρίς αρμούς. Σε ότι αφορά το τι είπε ο Rempeskes υπερθεματίζω. Βρες εσύ ένα τετράγωνο σχήμα στη γεωμετρία 4 τετραγωνικών μέτρων (2Χ2) που να μπορώ να το μετρήσω σύμφωνα με την μέθοδο επίθεσης του μέτρου επί του μετρούμενου και μετά μου λες!

ipios
Δηλαδή από τη μία λέει η ΕΜΕ ότι δεν ισχύει το πυθαγόρειο στη φύση, στην πρακτική – εποπτική γεωμετρία και με αθροίσεις σχημάτων και από την άλλη το στηρίζει με το αξίωμα του εμβαδού και τη θεωρία μετρήσεως που ΕΙΝΑΙ ΑΠΟΚΛΕΙΣΤΙΚΑ ΠΡΑΚΤΙΚΗ – ΕΠΟΠΤΙΚΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ!

Minkowski
Όπα. Έχεις ξανακούσει την φράση "Ευκλείδια νόρμα";
"Το μήκος του ευθυγράμμου τμήματος ΑΒ είναι ΑΚΡΙΒΩΣ 2 μέτρα"
"Το μήκος μιας κλωστής είναι ΠΕΡΙΠΟΥ 2 μέτρα"

Όχι δεν την έχω ακούσει. Πειράζει; Σου απέδειξα ότι το ΑΜΒ δεν είναι ακριβώς 2 μέτρα αφού αν επιθέσω μέτρο ΚΛ=ΑΜ=1, δεν μπορώ να επιθέσω δεύτερο ΚΛ1 αφού το Μ είναι κατειλημμένο!
Για την κλωστή βέβαια δεν με απασχολεί καθόλου.
Με απασχολεί όμως, ότι δεν αντιλαμβάνεσαι ελληνικά ώστε να καταλάβεις ότι αν υποδείξουμε διπλάσιο αντιφάσκουμε στο αξίωμα του Ευκλείδη περί συγκείμενου πλήθους, ΕΝΤΟΣ ΤΟΥ ΔΙΚΟΥ ΤΟΥ ΑΞΙΩΜΑΤΙΚΟΥ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ.
Φαίνεται ότι επειδή δεν ξέρεις ελληνικά δεν σε έχει απασχολήσει, αλλά εγώ είμαι ΟΛΥΜΠΙΑΚΑΡΑ και όχι Λίβερπουλ ή Μάντεστερ ή Τσέλσι.

ipios
Μου άρεσε το ότι δέχεσαι τα όσα λέει η ΕΜΕ και απλά δεν τα καταλαβαίνω εγώ που συζητούσα ώρες στην Επιτροπή Ευκλείδης Β΄..

Minkowski
Το γήρας ουκ έρχεται μόνον.

Εξακολουθείς να δείχνεις ότι δεν ξέρεις ελληνικά. Το γήρας δεν έρχεται μόνον, παρά μόνο στα αγγλικά. Στα ελληνικά «το γήρας δεν άρχεται μόνον».

Minkowski
Σκέψου την πιθανότητα να έχουν άδικο μερικές εκατοντάδες άτομα, και να έχεις δίκιο εσύ. Και μη μου το πάς σε Γαλιλαίους και ιστορίες γιατί εδώ δεν υπάρχει θρησκευτική προκατάληψη.

Δεν πρόκειται για πιθανότητα, αλλά για βεβαιότητα και δεν είναι τίποτα σπουδαίο να έχει γίνει λάθος.

Minkowski
Πάμε τώρα στην Ε.Μ.Ε.

ipios
Κατασκευαστικά δεν μπορεί να αποδειχθεί το θεώρημα, επειδή κατά τους μετασχηματισμούς είναι αδύνατο 2 ζεύγη κατακορυφήν γωνιών - π.χ. 2 ζεύγη ίσων μεταξύ τους ορθογωνίων ισοσκελών τριγώνων - να εφάπτονται ταυτόχρονα στο «κέντρο» του υπό σύνθεση τετραγώνου, ώστε να το αποτελέσουν

Minkowski
Ναι, έχεις δίκιο αν αντί για Ευκλείδια τετράγωνα πάρεις πλακάκια.Rompex.

Εμένα μου αρκεί να πάρω από τα πλακάκια το σχήμα, το μέγεθος και τις αμοιβαίες θέσεις. Τα ίδια τα πλακάκια τα αφήνω σε σένα να στρώσεις το χολάκι σου.

ipios
Σε σχέση με την κατασκευαστική αδυναμία, που όντως εμφανίζεται επί εποπτικής φύσεως, π.χ. υλικά υποδείγματα, όπως ορθά και ο ίδιος επισημαίνει, αυτή η αδυναμία ουδόλως επηρεάζει την ορθότητα του πυθαγορείου, καθώς η κατασκευή είναι εποπτική και τα μαθηματικά λειτουργούν αφαιρετικά της φύσης.

Minkowski
Ναι, τα μαθηματικά δεν τα απασχολεί τι κάνει η φύση.

Αυτό το λες χωρίς να το στηρίζεις. Τα μαθηματικά τα απασχολούν τι κάνει η φύση ως προς το σχήμα, το μέγεθος και τις αμοιβαίες θέσεις των σχημάτων. Εξάλλου δεν είναι και αξιωματικά στηριγμένη θέση το αφαιρετικά της φύσης.

Minkowski
οι αθροίσεις αυτές ανάγονται σε αθροίσεις εμβαδών, δηλονότι αριθμών και όχι σχημάτων.Ε ναι, εφόσον δεν έχουμε καν ορίσει πρόσθεση γεωμετρικών αντικειμένων.
Πάντα προστίθενται ως προς κάποιο αριθμητικό τους χαρακτηριστικό όπως το εμβαδόν για τις επιφάνειες και το μήκος για τα τμήματα.

Το ότι το αξίωμα του εμβαδού δεν ανήκει στο Ευκλείδειο αξιωματικό σύστημα δεν φαίνεται να σε απασχολεί! Το ότι για τους φυσικούς αριθμούς δεν υπάρχει αξίωμα που να τους αιτιολογεί σαν ακέραιο πολλαπλάσιο επίσης. Απορώ τι σε απασχολεί πέρα από τη γνώμη σου;

Minkowski
Δεν το θέτεις καλά.
Οι κύριοι της Ε.Μ.Ε. σε άκουσαν ΜΙΑ φορά και σου απάντησαν ΜΙΑ φορά.
Εμείς οι δύσμοιροι των φόρουμς σε έχουμε ακούσει ΧΙΛΙΕΣ φορές και σου έχουμε απαντήσει ΧΙΛΙΕΣ φορές.
Άρα υπάρχει στη μέση η αγανάκτηση.

Χι, χι,
Εσύ δεν το θέτεις καλά.
Με τους μαθηματικούς της ΕΜΕ πριν από την πρόσκλησή μου στην Επιτροπή Ευκλείδης Β΄ είχα συζητήσεις πολύ περισσότερες από όσες με σένα και τον Rempeskes και βρήκαν βάσιμους τους ισχυρισμούς μου για να με καλέσουν. Συνήθως δεν καλούν περαστικούς, αν δεν το ξέρεις.
Σε ότι αφορά τις απαντήσεις σας επί χίλιες φορές είναι αυτής τη μορφής. Ασυναρτησίες αστήρικτες.

ΥΓ:
α. Στην άθροιση 1+1=2 το άθροισμα 2 επί των φυσικών αριθμών αιτιολογείται σαν ακέραιο πολλαπλάσιο του 1 και βάσει ποιου αξιώματος;
Β. Δύο τεμνόμενα ευθύγραμμα τμήματα αποτελούν επιφάνεια με μήκος και πλάτος ναι ή όχι; Και γιατί;
[FONT=&quot]Αφού [/FONT][FONT=&quot]Rompex[/FONT][FONT=&quot] δεν μπορείς να απαντήσεις σε αυτά τα ερωτήματα που σχετίζονται άμεσα με το πυθαγόρειο και δεν ανακατεύουν πλακάκια, ταπετσαρίες και κλωστές (χι, χι) θα έχω αμφιβολίες αν είσαι πραγματικά μαθηματικός ή υπάλληλος του σούπερ μάρκετ, όπως εγώ του μπακάλικου! [/FONT]

ipios · 18-12-07

Michelle, που ακριβως διαπίστωσες ότι θέλω να αποδείξω το πυθαγόρειο στη φύση και εκεί το βρίσκω εσφαλμένο ή να αποδεικνύεται προσεγγιστικά; Μου κάνει εντύπωση αυτό που λες. Μάλλον κάνεις υποθέσεις παρασυρμένη από τον Μινκόφσκι που του έχει σφηνωθεί στο μυαλό και μιλάει για ταπετσαρίες και κλωστές, για να αποφύγει να μιλήσει για αξιώματα.
Το θέμα τοποθετώ στο Ευκλέιδειο αξιωματικό σύστημα και όχι στις ταπετσαρίες ή τα πλακάκια.
Το πυθαγόρειο δεν ισχύει, όχι μόνο στη φύση, αλλά ούτε στην πρακτική - εποπτική γεωμετρία, ούτε με αθροίσεις σχημάτων, ούτε βέβαια με το αξίωμα του εμβαδού και τη θεωρία μετρήσεως. Δεν ισχύει ακόμα και με τους φυσικούς αριθμούς. Που ισχύει;
Όσο δεν υπάρχει αξίωμα στήριξης του ακέραιου πολλαπλασίου στους φυσικούς αριθμούς στο ευκλείδειο αξιωματικό σύστημα, τι ανάγκη έχω να επικαλεστώ τη φύση; Μόνο στο μυαλό του Μινκόφσκι τοποθετώ το πυθαγόρειο στη φύση και όχι στον ιδεατό κόσμο όπως λειτουργούσε ο Πυθαγόρας κατά τον Εύνομο. Αυτό τον βολεύει, αυτό λέει γιατί αν δεν έχει και αυτό το ψευδές επιχείρημα τι του απομένει να με αντιμετωπίσει; Δεν βλέπεις ότι όταν αναφέρομαι στα αξιώματα δεν ξέρει αρχαία ελληνικά, αλλά μόνο αγγλικά;
Το θέμα ξέρεις ποιο είναι Michelle;
Η στήριξη του πυθαγορείου από την ΕΜΕ με επίκληση του αξιώματος του εμβαδού, συνεπάγεται ότι αυτό επανέρχεται προς απόδειξη στην πρακτική - εποπτική γεωμετρία (από την ΕΜΕ και όχι από εμένα) όπου έχει γίνει αποδεκτό ότι δεν ισχύει το πυθαγόρειο!
Το αξίωμα του εμβαδού και η θεωρία μετρήσεως είναι πρακτική - εποπτική γεωμετρία.
Ρίξε μια ματιά να δεις ότι η ΕΜΕ ομολογεί ότι επί αυτών των γεωμετριών δεν ισχύει το πυθαγόρειο! Τι το περίεργο ή δυσνόητο επικαλούμαι;
Τι σε κάνει αλήθεια να πιστεύεις ότι αποδεικνύω το πυθαγόρειο εσφαλμένο στη φύση (που είναι και εκεί εσφαλμένο); Εντός του αξιωματικού συστήματος το αποδεικνύω Michelle, με όλους τους τρόπους, μηδέ του εμβαδού εξαιρουμένου, μηδέ των φυσικών αριθμών.
Αν κάπου έχεις απορίες στη διάθεσή σου, αλλά μην παρασύρεσαι και νομίζεις ότι δεν μπορώ να διακρίνω το φυσικό από το ιδεατό. Το ίδιο μου λες για τρίτη φορά και πραγματικά απορώ.
Οι αποδείξεις μου είναι αμιγώς μαθηματικές και όχι σε εφαρμογή της φυσικής.
Ειλικρινά είμαι στη διάθεσή σου...

Michelle οι υποδείξεις για τη συγγραφή βιβλίων είναι δεκτές και σε ευχαριστώ, αλλά είναι ετεροχρονισμένες.
Έχω πλήθος συγγραφικού έργου και όχι μόνο των μαθηματικών. Με τα μαθηματικά απλά διασκεδάζω αν θέλεις να ερμηνεύσεις την εμπλοκή και την επιμονή και την υπομονή μου.

Subject to change · 18-12-07

Εγώ πάντως ένα πράγμα δεν έχω καταλάβει. Αν όντως το πυθαγόρειο είναι εσφαλμένο, τότε γιατί δεν βρίσκεις μια τριάδα αριθμών που να συνιστούν μήκη πλευρών ορθογωνίου τρίγώνου και να μην ισχύει για αυτές το Πυθαγόρειο; Ένα αντιπαράδειγμα δηλαδή.
Αν το καταφέρεις αυτό, θα σε παραδεχτεί όλη η μαθηματική κοινότητα και θα μείνεις στην ιστορία.
Δεν πρέπει να είναι και τόσο δύσκολο, αν ισχύουν αυτά που λες.

Τρεις αριθμούς ζητάω. Μην μου απαντήσεις με κανένα μεγάλο κείμενο πάλι, απλά τρείς αριθμούς.

Προσωπικά, μέχρι να δω αυτούς τους 3 αριθμούς, δεν θα ξανασυμμετάσχω στο θέμα (ως μέλος τουλάχιστον), μιας και μπορεί τα μαθηματικά να ξεκίνησαν απο τη φιλοσοφία, αλλά πλέον είναι 2 τελείως διαφορετικά αντικείμενα. Και όπως το αντιλαμβάνομαι εγώ τουλάχιστον, το θέμα τείνει να γίνει φιλοσοφικό και όχι μαθηματικό.
Εκτός αν όντως σε ενδιαφέρει να κάνεις μια φιλοσοφική και όχι μαθηματική συζήτηση γύρω απο το Πυθαγόρειο, οπότε πες μου να μεταφέρω το θέμα στην αντίστοιχη κατηγορία.

Minkowski · 18-12-07

Την εποχή του Ευκλείδη και του Πυθαγόρα μόνο τους φυσικούς Ν ήξεραν.

Ρε αρχηγέ επικοινωνείς;Tι είναι αυτά που ακούω; :worry:

...It is likely that the concept of fractional numbers dates to prehistoric times. Even the Ancient Egyptians wrote math texts describing how to convert general fractions into their special notation. Classical Greek and Indian mathematicians made studies of the theory of rational numbers, as part of the general study of number theory. The best known of these is Euclid's Elements, dating to roughly 300 BC.

...The first existence proofs of irrational numbers is usually attributed to Pythagoras, more specifically to the Pythagorean Hippasus of Metapontum, who produced a (most likely geometrical) proof of the irrationality of the square root of 2. The story goes that Hippasus discovered irrational numbers when trying to represent the square root of 2 as a fraction.

Μεγάλε μη τα γράφεις αυτά και παραέξω γιατί θα εξαφανιστούν οι ντομάτες από τη λαική αγορά στου Ρέντη.

ipios · 18-12-07

Michelle, απλά δεν έχεις διαβάσει τι λέω και μένεις (από συμπερασμό) στην υπόδειξη Μινκόφσκι ότι δεν δίνω αντιπαράδειγμα! Έτσι καλή μου πως θα κάνουμε συζήτηση;

Michelle
Τρεις αριθμούς ζητάω. Μην μου απαντήσεις με κανένα μεγάλο κείμενο πάλι, απλά τρείς αριθμούς.

Το ζητούμενο σου ήδη το έχω ικανοποιήσει, αλλά ας το επαναλάβω.
Η πυθαγόρειο τριάδα 3, 4, 5, αποτελει το ζητούμενό σου.
Και κάθε τριάδα που αποτελεί αποτέλεσμα εκ του πυθαγορείου όπως π.χ. 2, 4, 20 ή 3, 7,58 ή 5, 6, 61 και άπειροι συνδυασμού του αθροίσματος χ^2+ψ^2 όπου χ και ψ φυσικοί ακέραιοι αριθμοί.
Το ίδιο ισχύει και επί ορθογωνίου ισοσκελούς με κάθετες πλευρές 1 μέτρο. Το τετράγωνο της υποτείνουσας είναι διπλάσιο του τετραγώνου της κάθετης πλευράς και αυτό ούτε προβλέπεται, ούτε αποδεικνύεται με τη χρήση των εμβαδών, του αξιώματός του και της θεωρίας μετρήσεως.
Άλλο δεν μπορώ να κάνω περισσότερο όταν μου θέτεις πρόβλημα (αντιπαράδειγμα) επί του οποίου σου έχω ήδη απαντήσει και δεν το έχεις διαβάσει, μένοντας στο Μινκόφσκι που εξακολουθεί να μιλάει για αντιπαράδειγμα.
Κανένα από τα παραπάνω δεν είναι σωστό, ούτε στην αριθμητική, ούτε στη γεωμετρία, ούτε με εμβαδά, ούτε με σχήματα, ούτε στη φύση, ούτε στην πρακτική - εποπτική γεωμετρία.
Δεν μπορεί Michelle να υποδειχθεί αξιωματικά στηριγμένα ακέραιο μήκος 3 ή 4 ή 5 μέτρα.
Αν δείξουμε ένα ακέραιο μήκος και το πούμε 3 μέτρα, αυτό διαφέρει σε μήκος από 3 ακέραια και ανεξάρτητα μεταξύ τους (μη συνεχόμενα κατά διαδοχή) μέτρα. Δεν έχουν το ίδιο μήκος 3 συνεχόμενα μέτρα μετρημένα με το βήμα του διαβήτη, με 3 ακέραια μέτρα το ένα δίπλα στο άλλο όπως προβλέπει η θεωρία μετρήσεως.
Στην Ευκλείδεια γεωμετρία προβλέπονται εφαπτόμενα σημεία και το ίδιο ισχύει και στο μέτρο και στη θεωρία μετρήσεως.
Επί αυτών: Τα μεν ακέραια μέτρα είναι προβλεπόμενα αξιωματικά από τον Ευκλείδη σαν συγκείμενον πλήθος, τα δε συνεχόμενα - διαδοχικά μέτρα με τη χρήση του βήματος του διαβήτη δεν έχουν αξιωματική στήριξη.
Ταυτόχρονα δεν μπορούν να ισχύουν και τα δύο και όποτε θέλουμε να χρησιμοποιούμε ακέραια μέτρα και όποτε θέλουμε συνεχές διαδοχικό μέτρο. Στα ακέραια έχουμε αξίωμα ενώ στο συνεχές δεν έχουμε.
Τέλος σκέψου και ως εξής: Αν υπάρχει διπλάσιο του 1, τότε δείχνουμε 1 και το λέμε 2 (π.χ. το σχήμα του Μινκόφσκι όπου το ΑΔ το λέει 2), ενώ δεν μπορούμε αντίστοιχα να δείξουμε 2 (π.χ. 2 ακέραια και ανεξάρτητα μεταξύ τους μέτρα μήκους) και να τα πούμε 1. Αυτό σημαίνει ότι δεν υπάρχει αντιστροφή και μονοσήμαντο αποτέλεσμα αφ` ενός, αλλά χάνουν αφ` ετέρου οι αριθμοί την αιτία δημιουργίας τους από τον άνθρωπο που είναι η διακρίση του ένα από το πλήθος και των διαφορών των πληθών μεταξύ τους.

Που είδες ότι δεν σου δίνω τους 3 αριθμούς που ζητάς;
Αυτό που λέω ισχύει για κάθε δυάδα φυσικών αριθμών και το άθροισμά τους εκφρασμένο σαν ένα τετράγωνο είτε σαν σχήμα, είτε σαν εμβαδόν του σχήματος.
Επιμένεις να συγχέεις τις απόψεις μου με τη φιλοσοφία και να τις αποξενώνεις από τα αμιγή θεωρητικά ή πρακτικά μαθηματικά και δεν βλέπω με ποιο επιχείρημα το κάνεις αγαπητή Michelle.

ipios · 18-12-07

ipios
Την εποχή του Ευκλείδη και του Πυθαγόρα μόνο τους φυσικούς Ν ήξεραν. Ρε αρχηγέ επικοινωνείς;Tι είναι αυτά που ακούω;

Μινκόφσκι
Ρε αρχηγέ επικοινωνείς;Tι είναι αυτά που ακούω;

Για τελευταί φορά, το "ρε" στην οικογένειά σου.
Αυτά βρήκες να απαντήσεις σε όσα σου λέω;
Το πρόβλημα με το 1+1=2 και αυτό με τα τεμνόμενα ευθύγραμμα τμήματα τα κάνεις γαργάρα αγαπητέ Μινκόφσκι; Γιατί; Δεν έχεις μήπως απάντηση και θέλεις να σε βοηθήσω;
Τώρα επί αυτού που λέω και με ρωτάς αν επικοινωνώ!
Ξέρεις με ποιον τα βάζεις;
Νομίζεις ότι στην τύχη το έγραψα;

Διάβασε:
Πάρις Πάμφιλος ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ - Πανεπιστήμιο Κρήτης
Κεφάλαιο 2, σελίδα 3
Οι πραγματικοί αριθμοί:
Οι πραγματικοί αριθμοί μπορούν να θεωρηθούν αποτέλεσμα διαδοχικών κατασκευών συστημάτων ολοένα και πιο σύνθετων αριθμών. Κατ` αρχήν είναι οι φυσικοί αριθμοί Ν={1, 2, 3, ....}. Κατόπιν οι ακέραιοι Ζ={ 0, ±1,±2, ±3,....} Οι αρχαίοι Έλληνες αγνούσαν το μηδέν και τους αρνητικούς αριθμούς. Μετά οι ρητοί Q.... Τέλος οι πραγματικοί R....
Εξάλλου είμαστε στην Ευκλείδεια γεωμετρία και οι αριθμοί κατά Ευκλείδη ΑΞΙΩΜΑΤΙΚΑ είναι:

Στοιχεῖα Εὐκλείδου ζ΄

[Βιβλίον VII]

Ὅροι κγ΄ [23].

α΄ [1]. Μονάς ἐστιν, καθ' ἣν ἕκαστον τῶν ὄντων ἓν λέγεται.

β΄ [2]. Ἀριθμὸς δὲ τὸ ἐκ μονάδων συγκείμενον πλῆθος.

Όπως βλέπεις, αυτό που λέω δεν είναι δικό μου, αλλά του καθηγητή κυρίου Πάρι Πάμφιλου.
Μινκόφσκι πάρτον ένα τηλέφωνο και πες του:
- Ρε αρχηγέ επικοινωνείς;
Αν θέλεις το τηλέφωνό του το έχω.
Γιατί το λες σε μένα μεγάλε Μινκόφσκι;
Σου φαίνομαι πιο βολικός;
Εκτός και δεν θεωρείς αρχαίους Έλληνες τον Πυθαγόρα και τον Ευκλείδη, αλλά τους βρήκες να πίνουν καφέ με τον Καντόρ, τον Χίλμπερτ ή τον Ντέντεκιντ!
χι, χι,
Έτσι θα σε εξαφανίζω συνέχεια γιατί δεν ελαβες υπόψη σου ότι ο Rempeskes την κοπάνησε όταν με είδε!
Το 1+1=2 και τα τεμνόμενα ευθύγραμμα τμήματα Μινκόφσκι. Θα τα μαγειρέψεις πολύ πριν μας τα σερβίρεις; Έχω μείνει με το κουτάλι στο χέρι...
Σε καλό σου βρε Μινκόφσκι, ειλκρινά και χωρίς ειρωνεία, έχεις αρχίσει να μου γίνεσαι ευχάριστος!
Όμως σύνελθε σε παρακαλώ...
Το μπορείς., όπως μπορείς να καταλάβεις ότι δεν είμαι εχθρός σου ακόμα και λάθη να κάνω γιατί τα λάθη είναι ανθρώπινα. Κανένας δεν εξαιρείται από το σφάλμα Minkόfσki, ώστε να εξαιρέσεις εκ προοιμίου τον Πυθαγόρα, τον Ευκλείδη, τον Αρχιμήδη, τον Ρίμαν, τον Λομπατσέφσκι, τον Καντόρ, τον Χίλμπερτ, .... εμένα ή εσένα. Ακόμα και ο Τέρενς Κουίκ μπορεί κάποτε να κάνει λάθος (χι, χι)....

DiavolakoS · 18-12-07

Δηλαδη λες δεν υπαρχει αξιωμα που να στηριζει το ακεραιο μηκος σε ευθυγραμμα τμηματα. Σε τι διαφερει το μηκος 3 μετρα ενος συνεχομενου τμηματος απο τα 3 τμηματα ενος μετρου το καθενα? θελεις να πεις εν τελει οτι ο ευκλειδης δεν εκανε σωστα την αποδειξη του? τι ακριβως..

ΥΓ εγω σπουδαζω μαθηματικα, αλλα δε πιστευω οτι μαθηματικος ειναι αυτος που σπουδασε απλα και πηρε ενα πτυχιο.οποτε μη λες και ξανα λες τη φραση ''εισαι μαθηματικος εσυ;''

ipios · 18-12-07

DiavolakoS

Δηλαδη λες δεν υπαρχει αξιωμα που να στηριζει το ακεραιο μηκος σε ευθυγραμμα τμηματα. Σε τι διαφερει το μηκος 3 μετρα ενος συνεχομενου τμηματος απο τα 3 τμηματα ενος μετρου το καθενα? θελεις να πεις εν τελει οτι ο ευκλειδης δεν εκανε σωστα την αποδειξη του? τι ακριβως..

ΥΓ εγω σπουδαζω μαθηματικα, αλλα δε πιστευω οτι μαθηματικος ειναι αυτος που σπουδασε απλα και πηρε ενα πτυχιο.οποτε μη λες και ξανα λες τη φραση ''εισαι μαθηματικος εσυ;''

Αγαπητέ, που μου αρέσει πολύ το όνομά σου, δεν το είπα σε σένα. Καλώς πιστεύεις ότι μαθηματικός δεν είναι αυτός που έχει πτυχίο, αλλά αυτός που ασχολείται με τα μαθηματικά, τα οποία δεν ανήκουν ιδιοκτησιακά σε κανέναν ή μάλλον ανήκουν σε όλους και δεν τα ανακάλυψαν οι μαθηματικοί. Το πτυχίο είναι τυπικό προσόν για το δημόσιο ή την εύρεση εργασίας και όχι για τη μαθηματική συλλογιστική. Απόδειξη ότι και εγώ δεν είμαι μαθηματικός. Ούτε ο Φερμά ήταν για παράδειγμα.
Το γιατί λοιπόν επαναλαμβάνω αυτό που λες, για να το κατανοήσεις πρέπει να γνωρίζεις τη σχετική ιστορία. Όταν με την επίκληση του πτυχίου μου λένε ότι δεν είμαι μαθηματικός, εγώ τους επισημαίνω ότι και με πτυχίο δεν είναι κάποιος μαθηματικός αν εισάγει γνώμη αστήρικτη αξιωματικά, στο όποιο αξιωματικό σύστημα.
Ρωτάς: Σε τι διαφερει το μηκος 3 μετρα ενος συνεχομενου τμηματος απο τα 3 τμηματα ενος μετρου το καθενα?
Η ερώτηση είναι εξαιρετική σε βεβαιώνω και η απάντηση σχετίζεται με την ορθότητα του πυθαγορείου θεωρήματος και την ύπαρξη των άρρητων μεγεθών και των εξ αυτών άρρητων αριθμών. Το ανάπτυγμα δεν θα το παραθέσω, ωστόσο θα σου απαντήσω για τη διαφορά που ζητάς.
Έστω επί ε ευθείας τρία ίσα ευθύγραμμα τμήματα τα οποία τα έχουμε με σταθερό άνοιγμα διαβήτη. Αυτά είναι ΑΒ, ΒΓ, ΓΔ.
Έστω επίσης και με το ίδιο πάντα σταθερό άνοιγμα διαβήτη, κατασκευάζουμε αντίστοιχα και μέτρα μήκους ΚΛ1, ΚΛ2, ΚΛ3.
Αν ΚΛ είναι 1 μέτρο, τότε το ευθύγραμμο τμήμα ΑΒ+ΒΓ+ΓΔ είναι 3 μ. ή (ΑΒ)+(ΒΓ)+(ΓΔ)=(ΑΔ)= 3μ.
Το ίδιο ισχύει και με τα μέτρα ΚΛ δηλαδή ΚΛ1+ΚΛ2+ΚΛ3=3μ, αφού όλα τα ευθύγραμμα τμήματα και όλα τα μέτρα έχουν γίνει με ένα και μοναδικό άνοιγμα του διαβήτη.
Τώρα, μας μένει η επαλήθευση της μέτρησης, με την προβλεπόμενη από τη θεωρία μετρήσεως μέθοδο της επίθεσης του μέτρου επί του μετρούμενου, ώστε το 3ΧΚΛ να δειχθεί ίσο με το ΑΔ.
Παίρνουμε το ΚΛ2 και το τοποθετούμε επί του ΒΓ. Το ΚΛ2 θα επιτεθεί ακριβώς επί του ΒΓ αφού έχουν το ίδιο μήκος κατασκευασμένα από το ίδιο πάντα σταθερό άνοιγμα του διαβήτη. Αυτό συνεπάγετια ότι το ΚΛ2 θα καλύψει το ΒΓ μαζί με τα σημεία Β και Γ. Φίλε, DiavolakoS, με τα Β και Γ σημεία του ΑΔ κατειλειμμένα από το ΚΛ2, τα ΚΛ1 και ΚΛ3 πως θα επιτεθούν επί των ΑΒ και ΓΔ, όπως έχει επιτεθεί το ΚΛ2; Άρα θα αναγκαστούμε να τοποθετήσουμε το μέτρο ΚΛ1 πριν το Β και το ΚΛ3 μετά το Γ. Αυτό σημαίνει ότι τα 3ΚΛ θα προεξέχουν του ΑΔ ή αλλιώς ειπωμένο, 3ΚΛ>ΑΔ. Άρα το μήκος του συνεχόμενου ΑΔ είναι μικρότερο από το μήκος του 3ΚΛ και ας έχουν κατασκευαστεί με το ίδιο άνοιγμα διαβήτη. Δοκίμασέ το αν δεν μπορείς να το κατανοήεις από την περιγραφή.
Εν τω μεταξύ αξίωμα που να καλύπτει τον αριθμό 3 σαν ακέραια μέτρα υπάρχει στο Ευκλείδειο αξιωματικό σύστημα, ενώ αξίωμα που να αιτιολογεί το (ΑΒ)+(ΒΓ)+(ΓΔ)=(ΑΔ)= 3μ. δεν υπάρχει.
Υπάρχει ορισμός άθροισης ευθύγραμμων τμημάτων με τον διαβήτη, αλλά δεν έχει αξιωματκή στήριξη. Αν ευρεθεί αξίωμα που να προβλέπει το (ΑΒ)+(ΒΓ)+(ΓΔ)=(ΑΔ)= 3μ. τότε θα αντιφάσκει στο αξίωμα περί συγκείμενου πλήθους εντός του ίδιου αξιωμαικού συστήματος, που εκφράζεται από το 3ΚΛ=3μ. και θα οδηγεί σε άτοπο. Όμως αξίωμα που να προβλέπει ακέραιο πολλαπλάσιο του 1, δεν υπάρχει αγαπητέ φίλε DiavolakoS ούτε στα μήκη, ούτε στα εμβαδά, ούτε στου φυσικούς αριθμούς εντός του Ευκλείδειου αξιωματικού συστήματος.
Θα σου πω τι υπάρχει.
Υπάρχει μία παγαποντιά του Χίλμπερτ στη νεότερη τυποποίηση της Ευκλείδειας γεωμετρία που αναγνωρίζει ένα θεώρημα (Αρχή του Αρχιμήδη) σαν αξίωμα. Αυτή τη "βελτίωση" έχει κάνει ο Χίλμπερτ δηλονότι κανιβαλισμό του μέγιστου Ευκλείδη. Όμως εμάς δεν μας απασχολεί ο Χίλμπερτ ή όποιος άλλος χθεσινός σε σχέση με τον αρχαίο Ευκλείδη, αλλά το αξιωματικό σύστημα του Ευκλείδη που περιέχει το πυθαγόρειο.
Τέλος ρωτάς: θελεις να πεις εν τελει οτι ο Ευκλειδης δεν εκανε σωστα την αποδειξη του? τι ακριβως..
Ασφαλώς και δεν την έκανε σωστά, όπως δεν απέδειξε ΠΟΤΕ πραγματικά το πυθαγόρειο ο Πυθαγόρας ή οι πυθαγόρειοι. Αυτά είναι ανθρώπινα λάθη και τα λάθη αιτιολογούνται στον άνθρωπο. Αυτό που δεν έκανε λάθος ο Ευκλέιδης είναι το αξιωματικό του σύστημα που είναι σοφό και δεν σχετίζεται με τις περιεχόμενες αποδείξεις. Μην τα μπερδεύεις. Το αξιωματικό σύστημα είναι αξιωματικό σύστημα και δεν κρίνεται ως προς την ορθότητα των αξιωμάτων του. Ο Ευκλείδης σαν φυσικό πρόσωπο μπορεί να κάνει λάθος, όπως ο νομοθέτεις παραβιάζει τον ίδιο τον δικό του νόμο και δεν είναι ούτε αλλόκοτο ούτε πρωτοφανές, ούτε μειώνει την μεγαλοσύνη του δάσκαλου των μαθηματικών, όλων των εποχών Ευκλείδη.

io-io · 18-12-07

Αρχική Δημοσίευση από ipios:
Φίλε, DiavolakoS, με τα Β και Γ σημεία του ΑΔ κατειλειμμένα από το ΚΛ2, τα ΚΛ1 και ΚΛ3 πως θα επιτεθούν επί των ΑΒ και ΓΔ, όπως έχει επιτεθεί το ΚΛ2; Άρα θα αναγκαστούμε να τοποθετήσουμε το μέτρο ΚΛ1 πριν το Β και το ΚΛ3 μετά το Γ.

Να με συγχωρεις που δεν διαβασα ολο σου το κειμενο. Αυτο το σημειο ομως ειναι λαθος και νομιζω οτι εδω βρισκεται και το προβλημα, αυτο προσπαθουν να σου εξηγησουν και οι αλλοι. Το σημειο δεν εχει διαστασεις. Τι εννοεις με την φραση "πριν το Β"?

A spatial point is a concept used to define an exact location in space. It has no volume, area or length, making it a zero dimensional object.

πηγη

Συζήτηση σχετικά με την ορθότητα ή μη του Πυθαγόρειου Θεωρήματος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Επιφανές μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Νεοφερμένος

Νεοφερμένος

e-steki.gr Founder

Νεοφερμένος

e-steki.gr Founder

Εκκολαπτόμενο μέλος

Νεοφερμένος

e-steki.gr Founder

Εκκολαπτόμενο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

e-steki.gr Founder

Νεοφερμένος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Διάσημο μέλος