Συζήτηση σχετικά με την ορθότητα ή μη του Πυθαγόρειου Θεωρήματος

ipios · 18-12-07

io-io

Να με συγχωρεις που δεν διαβασα ολο σου το κειμενο. Αυτο το σημειο ομως ειναι λαθος και νομιζω οτι εδω βρισκεται και το προβλημα, αυτο προσπαθουν να σου εξηγησουν και οι αλλοι. Το σημειο δεν εχει διαστασεις. Τι εννοεις με την φραση "πριν το Β"?

Ευκλείδεια γεωμετρία Α΄ Λυκείου του ΟΕΔΒ των Αλιμπινίση, Δημάκου, Εξαρχάκου, Κοντογιάννη και Τασσόπουλου, σελίδα 11:

Όρος 3ος: Της γραμμής τα πέρατα (άκρα) είναι σημεία.

ΤΟ ΒΓ, είναι ευθύγραμμο τμήμα με μήκος 1 μ. Τα Β και Γ είναι πέρατα (άκρα) του ΒΓ. Αφού τα άκρα Β και Γ του ΒΓ είναι κατειλημμένα από την επίθεση του ΚΛ2, η δυνατότητα που απομένει είναι τα ΚΛ1 και ΚΛ3 να είναι πέραν των άκρων και όχι επί των άκρων, όπως ακριβώς ισχύει και με τα συνεχόμενα μέτρα ΚΛ1, ΚΛ2, ΚΛ3 που δεν έχουν κοινό σημείο, αλλά απλά εφάπτονται.
Αγαπητέ io-io, σε ευχαριστώ για την πληροφορία ότι το σημείο είναι μέρος ουθέν, αλλά για πες μου που ακριβώς διαπίστωσες ότι όλοι οι άλλοι, αυτό που λες εσύ προσπαθούν να μου πουν και δεν το είδα και ούτε το καταλαβαίνω;
Θα μου κάνεις μεγάλη χάρη να μου υποδείξεις που το διαπίστωσες ότι οι συνομιλητές μου μου λένε ότι το σημείο δεν έχει διαστάσεις κι εγώ επιμένω να μην καταλαβαίνω και να ισχυρίζομαι ότι έχει;
Σε κάθε περίπτωση σε ευχαριστώ για τη συμμετοχή σου και περιμένω την υπόδειξη.
Βέβαια αν δεν ήμασταν στην Ευκλείδεια γεωμετρία θα μπορούσα να σε αντιμετωπίσω με τον Ντέντεκιντ που αντιλαμβάνεται την ευθεία σαν σημειοσειρά και όπου κατά κλάσεις σημείων ισχύει: Επί ευθείας ε σημείο Ο έχει ΠΡΙΝ το Ο ένα τελευταίο σημείο και μετά το Ο ένα πρώτο σημείο και ίσως θα έπρεπε να του πεις ότι το σημείο δεν έχει διαστάσεις και να τον ρωτήσεις τι εννοεί "πριν το Ο" ή "μετά το Ο", αλλά φρονώ δεν χρειάζεται, γιατί ο όρος του Ευκλείδη για τα άκρα των ευθύγραμμων τμημάτων αρκεί να σου απαντήσει μέσα στο πλαίσο της Ευκλείδειας γεωμετρίας καλέ μου φίλε io-io (αν μου επιτρέπεις την έκφραση βέβαια, αλλιώς ζητώ συγγνώμη και την ανακαλώ).

io-io · 18-12-07

Μα δεν διαφωνω με τη Γεωμετρια της Α λυκειου προφανως, και ουτε νομιζω οτι αυτη διαφωνει μαζι μου.

Και ειμαι και σιγουρη οτι εαν ψαξεις στο βιβλιο θα δεις πως οριζει το αθροισμα ευθυγραμμων τμηματων. Που λεει οτι πρεπει το ευθυγραμμο τμημα να ξεκινησει "μετα το Β".

Αλλα εστω. Ας πουμε οτι ειναι περαν των ακρων και οχι επι των ακρων. Προσθετεις το επομενο τμημα. Ποσο μεγαλο ειναι το κενο αναμεσα στα δυο τμηματα? Οσο και να ειναι, εγω μπορω να στα βαλω πιο κοντα. Και μετα ακομα πιο κοντα. Ισως να βοηθουσε στη συζητηση ο ορισμος του infinitesimal.

Εσυ λες οτι 3ΚΛ-ΑΔ>0. Εστω.

Ομως θα συμφωνησεις οτι ισχυει 3ΚΛ-ΑΔ<ε για οποιονδηποτε αριθμο ε. Αλλιως σπρωξτα πιο κοντα.

contradiction? :/:

Το οτι και οι αλλοι αυτο προσπαθουν να σου πουν, το συμπερανα απο μια βιαστικη αναγνωση του θεματος, και βλεποντας οτι αυτο ειναι το κυριως προβλημα στη λογικη σου. Συγγνωμη εαν δεν ειναι ετσι.

Επισης, επιτρεπεται το φιλε, αλλα μονο μια παρατηρηση, ειμαι κοριτσακι και οχι αγορακι.

Γιώργος · 18-12-07

Αρχική Δημοσίευση από io-io:
Μα δεν διαφωνω με τη Γεωμετρια της Α λυκειου προφανως, και ουτε νομιζω οτι αυτη διαφωνει μαζι μου.
Και ειμαι και σιγουρη οτι εαν ψαξεις στο βιβλιο θα δεις πως οριζει το αθροισμα ευθυγραμμων τμηματων. Που λεει οτι πρεπει το ευθυγραμμο τμημα να ξεκινησει "μετα το Β".

Βασικά το πρόβλημα είναι αυτό ακριβώς, ότι εξετάζουμε την Ευκλείδια γεωμετρία.

Το πρόβλημα λύνεται αν απλά αλλάξουμε αξιώματα. Και φυσικά φεύγουμε από την Ευκλείδια Γεωμετρία και πάμε σε άλλη Γεωμετρία.

--------

Επίσης, να παρακαλέσω για τελευταία φορά τους κ.κ. Minkowski και ipios να συνεχίσουν σε ήρεμους τόνους, ευχαριστώ.

Minkowski · 18-12-07

δεν είμαι εχθρός σου ακόμα και λάθη να κάνω γιατί τα λάθη είναι ανθρώπινα.

Καλά δε σε πιάσαμε απο το λαιμό,αλλά ο Ευκλείδης γνώριζε και ρητούς και άρρητους.Θετικούς πάντα.Rompex.

Ισως να βοηθουσε στη συζητηση ο ορισμος του infinitesimal.Ομως θα συμφωνησεις οτι ισχυει 3ΚΛ-ΑΔ<ε για οποιονδηποτε αριθμο ε.

Τι του λες κι εσύ βρε io-io,αφού δεν κατέχει το παληκάρι.
Tωρα θα σου απαντήσει ότι ο Ευκλείδης δε γνώριζε τους Leibniz,Newton,Cauchy,Weierstrass etc.

Επί ευθείας ε σημείο Ο έχει ΠΡΙΝ το Ο ένα τελευταίο σημείο και μετά το Ο ένα πρώτο σημείο.

Τι λέει ο άνθρωπας!

Dedekind Axiom:

For every partition of all the points on a line into two nonempty sets such that no point of either lies between two points of the other, there is a point of one set which lies between every other point of that set and every point of the other set.Rompex.

ipios · 18-12-07

io-io ζητώ συγγνώμη για την αθέλητη αλλαγή φύλου. Σε κάθε περίπτωση όμως θα σε αντιμετωπίσω σαν φιλαράκι (παρά την διαφορά ηλικίας μας που δυστυχώς με βαρύνει κατά πολύ περισσότερο από εσένα), γιατί έχεις καλούς τρόπους που είναι το βασικότερο για μια συνομιλία όπου ο ένας δεν σκοπεύει στο πορτοφόλι του άλλου.
Το ορισμό άθροισης ευθύγραμμων τμημάτων, αν δεις την απάντησή μου στον ΜΙνκόφσκι, την αναφέρω ο ίδιος. Πράγματι ο ορισμός προβλέπει ότι δύο ευθύγραμμα τμήματα δεν αθροίζονται αυτά καθαυτά, αλλά έμμεσα μέσω των μηκών τους, μεταφερμένα επί ευθείας και η άθροιση των μηκών συνεπάγεται άθροιση των μη αρνητικών αριθμών.
Έτσι το πρόβλημα σχετικά με τις αθροίσεις σχημάτων, στηρίζεται στο πρόβλημα που ανακύπτει στις αθροίσεις των μηκών ή των μη αρνητικών αριθμών. Ο ίδιος ο ορισμός άθροισης ευθύγραμμων τμημάτων ΑΒ και ΓΔ, δεν τα αφορά άμεσα, αλλά μας ανάγει στην άθροιση των μηκών των ΑΒ και ΓΔ, τα οποία τα διαπιστώνουμε με το άνοιγμα του διαβήτη και τα μετατρέπουμε σε μέτρα (αριθμούς).
Αυτό σημαίνει ότι όταν διαβάζεις ορισμό ευθύγραμμων τμημάτων, δεν τον βρίσκεις διατυπωμένο στο βιβλίο της Α΄Λυκείου, αλλά βρίσκεις διατυπωμένο τον ορισμό άθροισης των μηκών των ευθύγραμμων τμημάτων και αυτό παραπέμπει στις αθροίσεις μη αρνητικών αριθμών:
Λέει ο ορισμός:
Όνομάζεται άθροισμα δύο ευθύγραμμων τμημάτων ΑΒ και ΓΔ ένα τμήμα ΜΝ με μήκος (ΑΒ)+(ΓΔ). Συμβολικά, ΜΝ=ΑΒ+ΓΔ αν και μόνο αν (ΜΝ)=(ΑΒ)+(ΓΔ).
Αφού το άθροισμα δύο ευθύγραμμων τμημάτων ανάγεται στο άθροισμα των μηκών τους, ισχύουν και γι αυτό όλες οι ιδιότητες, που ισχύουν για το άθροισμα μη αρνητικών αριθμών.
[Βιβλίο Α΄ Λυκείου του ΟΕΔΒ, των Αλιμπινίση, Δημάκου, Εξαρχάκου, κοντογιάννη και Τασσόπουλου, σελίδα 25.]

Δεν υπάρχει δηλαδή io-io αυτός καθαυτός ορισμός άθροισης ευθύγραμμων τμημάτων, αλλά μεταγγίζουμε τις ιδιότητες που γνωρίζουμε ότι έχουν ή μη αρνητικοί αριθμοί κατά τις πράξεις τους. Πρόκειται για άθροιση μη αρνητικών αριθμών λοιπόν και το άθροισμα είναι ένας μη αρνητικός αριθμός που περιέχει τους δύο προσθετέους.
Αυτό μας ανάγει στους φυσικούς αριθμούς και στις δυνατές πράξεις τους που ίσχυαν επί της εποχής του Πυθαγόρα και του Ευκλείδη.
Όλα θα ήταν εντάξει λοιπόν αν είχαμε τρόπο να αποδείξουμε ότι στην άθροιση 1+1=2 το άθροισμα 2 μπορεί να εκφράζει ακέραιο πολλαπλάσιο του 1, όπως στις αθροίσεις ευθύγραμμων τμημάτων αυτό το επιτυγχάνουμε με το κοινό σημείο που ενώνει τα μήκη (ΑΒ)=(ΓΔ)=(ΜΝ).
Όμως io-io στο Ευκλείδειο αξιωματικό σύστημα, δεν προβλέπονται διπλάσια ή πολλαπλάσια της μονάδας. Δεν υπάρχει αξίωμα που να τα προβλέπει, όπως υπάρχει αξίωμα να προβλέπει της μονάδες οιουδήποτε ακέραιου φυσικού μόνο σαν πλήθος ακέραιων μονάδων ή συγκείμενον πλήθος.
Στα ευθύγραμμα τμήματα γίνεται το τρικ (περί τρικ πρόκειται) να ορίσομε σημείο Ο επί της ε ευθείας και μέτα με το διαβήτη να ορίσουμε εκατέρωθεν ευθύγραμμα τμήματα ΟΜ και ΟΝ, όπου ΟΝ=ΑΒ και ΟΝ=ΓΔ και να έχουμε το ΜΝ.
Στους φυσικούς αριθμούς (που αυτούς αφορά ο ορισμός από αναγωγή) δεν μπορεί να εισέλθει τέτοια πλάγια τακτική. Αν έχεις δύο φορές το 1, και θέλεις να αθροίσεις τις μονάδες σαν 1+1 και να έχεις άθροισμα το 2 σαν διπλάσιο του 1, θα πρέπει αντίστοιχα με τη μέθοδο των ευθύγραμμων τμημάτων να βρείς και αριθμητικό "κοινό σημείο Ο" ώστε να τις ενώσεις. Αυτό συνεπάγεται ότι πρέπει να βρεις ένα αριθμητικό "μέσο" που να ανήκει συγχρόνως και στις δύο μονάδες ώστε να κάνεις την ένωση των 1 και 1 μονάδων και να έχεις διπλάσιο. Υπάρχει όμως αριθμός που να ανήκει συγχρόνως σε 2 ακέραιες θετικές μονάδες, διαφορετικές μεταξύ τους όπως διαφορετικά είναι τα ΑΒ και ΓΔ στη γεωμετρία και έχουν σαν μέσο ένωσης το κοινό σημείο Ο;
Αφού λοιπόν δεν υπάρχει, και αφού ο ορισμός άθροισης ευθύγραμμων τμημάτων ανάγει στις αθροίσεις μη αρνητικών αριθμών (φυσικών), ενώ συγχρόνως δεν υπάρχει και αξίωμα να προβλέπει ακέραιο πολλαπλάσιο επί των φυσιών αριθμών (οπότε θα το δεχόμασταν χωρίς να ζητάμε απόδειξη για την ορθότητα του αξιώματος) ο ορισμός άθροισης ευθύγραμμων τμημάτων δεν είναι ορθός, αφού ορθός δεν είναι (ούτε αξιωματικά στηριγμένος) ο ορισμός άθροισης ακέραιων μη αρνητικών μονάδων σε έναν ακέραιο αριθμό πλήθους (ακέραιο πληθάριθμο) που να τις περιέχει. Αν μάλιστα υπάρξει ένα τέτοιο αξίωμα θα συγκρούεται με το αξίωμα περί συγκείμενο πλήθους του Ευκλείδη που αφορά όλους τους φυσικούς αριθμούς πλην του 1.
Ρωτάς: Ποσο μεγαλο ειναι το κενο αναμεσα στα δυο τμηματα?
Απαντώ: Το κενό ανάμεσα στα τμήματα είναι μηδενικό. Τα τμήματα απλά εφάπτονται. Είναι συνεχόμενα χωρίς κενό, αλλά όχι διαδοχικά.
Θα σου δημιουργηθούν απορίες και αφήνω επίτηδες το θέμα ανοικτό, ώστε να μου δοθεί η ευκαιρία να σε απαλλάξω από μία πλάνη που διατρέχει όλους τους μαθηματικούς που θα τους σηκωθεί δήθεν η τρίχα από την απάντησή μου io-io. Χρειάζεται απλά να κάνεις την κατάλληλη ερώτηση συνοδευμένη με μεγάλη απορία, την οποία γνωρίζω ποια είναι και την έχω αντιμετωπίσει σε όλα τα επίπεδα των μαθηματικών από απλούς εκπαιδευτικούς της δημόσιας εκπαίδευσης, μέχρι καθηγητές πανεπιστημίων και πολυτεχνείων.
Γεια σου φιλαράκι io-io.

Γιώργος · 18-12-07

Θα (ξανα)θέσω το γνωστό ερώτημα: έστω ότι έχουμε ένα φλυτζάνι καφέ: πόσες επιφάνειες χωρίζουν το φλιντζάνι με τον καφέ στην "Μαγκλάρειο" Γεωμετρία;

ipios · 18-12-07

Γιώργος
Βασικά το πρόβλημα είναι αυτό ακριβώς, ότι εξετάζουμε την Ευκλείδια γεωμετρία.

Το πρόβλημα λύνεται αν απλά αλλάξουμε αξιώματα. Και φυσικά φεύγουμε από την Ευκλείδια Γεωμετρία και πάμε σε άλλη Γεωμετρία.

Αγαπητέ Γιώργο (αν το επιτρέπεις αλλιώς όμοια με την io-io ζητώ συγγνώμη και ανακαλώ την προσφώνηση), από πότε η Ευκλείδεια γεωμετρία (μητρικό αξιωματικό σύστημα) αποτελεί πρόβλημα; Θέλω να σου θυμίσω ότι:
α. Η ευκλείδεια (συνθετική) γεωμετρία περιέχει πλήθος από αποδείξεις του πυθαγορείου θεωρήματος που κανείς δεν τις έχει αρνηθεί, αλλά υποστηρίζονται ακόμα και σήμερα που έχουμε και άλλες "γεωμετρίες" από αυτή του Ευκλείδη. Είδες μήπως ερώτημα που δέχτηκα αν ο Ευκλείδης έκανε λάθος στο ίδιο του το αξιωματικό σύστημα;
β. Η αναλυτική γεωμετρία εμφανίστηκε μερικές χιλιάδες χρόνια μετά και η νέα τυποποίηση της ευκλείδειας από τον Χίλμπερτ, επίσης. Μέχρι τότε το πυθαγόρειο δεν ήταν σωστό στηριγμένο στην ευκλείδεια γεωμετρία με ευθύνη το αξιωματικού του συστήματος; Γιατί δεν το αρνηθήκαμε τότε και το αρνούμαστε τώρα;
γ. Η θέση σου αποτελεί ομολογία ότι με την ευκλείδεια γεωμετρία δεν αποδεικνύεται το πυθαγόρειο;
δ. Έχεις την άποψη ότι οι αναλυτική γεωμετρία ή η γεωμετρία κατά Χίλμπερτ ή η συνολοθεωρία ή η γεωμετρία Λομπατσέφσκι ή η γεωμετρία Ρίμαν είναι αυτόνομες γεωμετρίες και μη συγγενικές με την Ευκλείδεια από την οποία (π.χ. αυτή του Λομπατσέφσκι κατακρατά όλα τα αξιώματα και τις αρχικές έννοιες και διαφορποιείται μόνο ως προς το 5ο αίτημα), δεν έλκουν καμία γεωμετρική "αξια"; Υπάρχει γεωμετρία από όλες αυτές που να διαφοροποιείται από την ευκλείδεια ως προς το σημείο ή ΟΛΕΣ το αναγνωρίζουν σαν μέρος ουθέν;
Πολύ θα με ενδιέφερε η άποψή σου επί των ερωτημάτων μου.
Σε ότι αφορά τη δική μου συμπεριφορά θα ήταν κουτό εκ μέρους μου να θέλω την οξύτητα και το κλείδωμα των θεμάτων μου με αυτό το αιτιολογικό που για άλλους αποτελεί σκοπό. Κανέναν δεν έβρισα χωρίς να δεθώ πρώτα κάποια πρόκληση και αυτό είναι εύκολο να το διαπιστώσεις από τα εισαγωγικά μου θέματα. Σαν ipios επιθυμώ πραγματικά την ηπιότητα, όπως επιθυμώ και τις απαντήσεις σου.

Γιώργος · 18-12-07

Ως άνθρωποι μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε όποιο "σύστημα" θέλουμε για να περιγράψουμε τον κόσμο.

Στην γνωστή σε όλους Ευκλείδια Γεωμετρία διδασκόμαστε ότι η γραμμή δεν έχει πάχος.
Αξιωματικά, λέει ο Ευκλείδης, από δύο σημεία διέρχεται μοναδική ευθεία.

Μπορούμε σ' αυτά (σημείο - ευθεία) να προσδώσουμε διαστάσεις αν θέλουμε να περιγράψουμε έτσι τον κόσμο. Δεκτό φυσικά.

Μόνο που πρόκειται για άλλη Γεωμετρία, γιατί αλλάζουν τα αξιώματα.

Οπότε σε κάποια άλλη Γεωμετρία από την Ευκλείδια φυσικά και μπορεί κάλλιστα να μην ισχύει το Πυθαγόρειο.

io-io · 18-12-07

Αρχική Δημοσίευση από io-io:
Εσυ λες οτι 3ΚΛ-ΑΔ>0. Εστω.

Ομως θα συμφωνησεις οτι ισχυει 3ΚΛ-ΑΔ<ε για οποιονδηποτε αριθμο ε. Αλλιως σπρωξτα πιο κοντα.

contradiction?

Για αυτο δεν εχεις κατι να πεις? Ειναι η δεν ειναι αποδειξη του οτι 3ΚΛ-ΑΔ=0?
Και αν το αμφισβητεις, θα ηθελα να μου το αναλυσεις, αλλα με μαθηματικους ορους.

Δεν γινεται να μπω στη λογικη σου και να καταλαβω το πως σκεφτεσαι, αλλα αυτα που λες, δεν ισχυουν. Η αληθεια ειναι οτι δεν καταλαβαινω καποια κομματια της σκεψης σου. Εδω ας πουμε

Όλα θα ήταν εντάξει λοιπόν αν είχαμε τρόπο να αποδείξουμε ότι στην άθροιση 1+1=2 το άθροισμα 2 μπορεί να εκφράζει ακέραιο πολλαπλάσιο του 1, όπως στις αθροίσεις ευθύγραμμων τμημάτων αυτό το επιτυγχάνουμε με το κοινό σημείο που ενώνει τα μήκη (ΑΒ)=(ΓΔ)=(ΜΝ).

η εδω

Υπάρχει όμως αριθμός που να ανήκει συγχρόνως σε 2 ακέραιες θετικές μονάδες, διαφορετικές μεταξύ τους όπως διαφορετικά είναι τα ΑΒ και ΓΔ στη γεωμετρία και έχουν σαν μέσο ένωσης το κοινό σημείο Ο;

Επισης, αφου οπως λες

Το κενό ανάμεσα στα τμήματα είναι μηδενικό. Τα τμήματα απλά εφάπτονται. Είναι συνεχόμενα χωρίς κενό, αλλά όχι διαδοχικά.

τοτε πως συμπεραινεις οτι 3ΚΛ>ΑΓ?
Επισης, το οτι εφαπτονται αλλα δεν ειναι διαδοχικα, δεν βγαζει νοημα...

Και τελος, θα στο ξαναπω: Ξερεις τι ειναι infinitesimal?

Ελπιζω να δεχτεις τα σχολια μου καλοπροαιρετα και να απαντησεις σε ολα τα σημεια (no pun intended

) που σου εθεσα, αλλα ειδικα στο πρωτο, γιατι εκει βρισκεται η βαση του προβληματος για εμενα.

Αρχική Δημοσίευση από Γιώργος:
Βασικά το πρόβλημα είναι αυτό ακριβώς, ότι εξετάζουμε την Ευκλείδια γεωμετρία.

Το πρόβλημα λύνεται αν απλά αλλάξουμε αξιώματα. Και φυσικά φεύγουμε από την Ευκλείδια Γεωμετρία και πάμε σε άλλη Γεωμετρία.

Μα το θεμα ειναι οτι δεν υπαρχει προβλημα! Εκτος εαν δεν καταλαβα καλα τι εννοεις.

edit: οκ, τωρα διαβασα το τελευταιο σου ποστ και καταλαβα!

ipios · 18-12-07

ipios
Επί ευθείας ε σημείο Ο έχει ΠΡΙΝ το Ο ένα τελευταίο σημείο και μετά το Ο ένα πρώτο σημείο.

Μινκόφσκι
Τι λέει ο άνθρωπας!

Αξίωμα συνεχείας:
Μερίζοντες τα σημεία προσανατολισμένης ευθεία εις κατά Ντέντεκιντ κλάσεις σημείων, υπάρχει είτε εις την πρώτη των κλάσεων έν τελευταίον, είτε εις την δευτέραν τούτων έν πρώτον σημείον.

Το αξίωμα τούτο χαρακτηρίζει την ευθείαν ως συνεχή σημειοσειράν. Διότι κατατάσσοντες εις μεν την πρώτην των κλάσεων πάντα τα προ ωρισμένου σημείου Ο κείμενα σημεία, εις δε την δευτέραν μόνο τα επόμενα τούτου σημεία, ήτοι εξαιρούντες το σημείο Ο της γενομένης θεωρήσεως, εις μεν την πρώτην κλάσιν ουδέν θα υπήρχε τελευταίον σημείον, εις δε την δευτέραν ουδέν πρώτον.

Αυτά παθαίνει όποιος ξέρει αγγλικά και όχι ελληνικά.
Ή μήπως δεν συμφωνείς με το κείμενο;

Τι ακούω ο άνθρωπος!

Μινκόφσκι λίγη προσοχή δεν βλάπτει και να ξέρεις ότι δεν πρόκειται για χάρη σου να γράψω άλλο μεγάλο κείμενο γιατί δεν το αξίζεις. Δεν έχεις απαντήσει σε κανένα πρόβλημα και συζητάμε στον αέρα και επί άλλων θεμάτων. Ούτε αν υπάρχει στο Ευκλείδειο αξιωματικό σύστημα πρόβλεψη για ακέραιο πολλαπλάσιο της μονάδας, ούτε αν δύο τεμνόμενα ευθύγραμμα τμήματα είναι επιφάνεια ή όχι και γιατί.

Κάπου βαρέθηκα ξέρεις να μη μπαίνουμε στην ουσία του προβλήματος.
Απάντησε γιατί όλα τα άλλα είναι εκτός θέματος και μόνο επίδειξη αγγλικών ξέρεις να κάνεις που δεν με εντυπωσιάζει, πίστεψέ με, καθόλου. Αν θέλεις να με εντυπωσιάσεις έχεις την ευκαιρία απαντώντας στα προβλήματά μου. Πιάσαμε τώρα τον Ντέντεκιντ που ούτε ξέρεις τι λέει.

ipios · 18 Δεκεμβρίου 2007

Γιώργος
Ως άνθρωποι μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε όποιο "σύστημα" θέλουμε για να περιγράψουμε τον κόσμο.

Εμένα γιατί να με απασχολεί αυτό;

Γιώργος
Στην γνωστή σε όλους Ευκλείδια Γεωμετρία διδασκόμαστε ότι η γραμμή δεν έχει πάχος.
Αξιωματικά, λέει ο Ευκλείδης, από δύο σημεία διέρχεται μοναδική ευθεία.
Μπορούμε σ' αυτά (σημείο - ευθεία) να προσδώσουμε διαστάσεις αν θέλουμε να περιγράψουμε έτσι τον κόσμο. Δεκτό φυσικά.

Κια αυτό επίσης γιατί να με απασχολεί; Διατύπωσα κάποια αντίρρηση ή κατασκευάζεις εσύ αντιρρήσεις εκεί που δεν έχω για να τις καταρρίψεις;

Γιώργος
Μόνο που πρόκειται για άλλη Γεωμετρία, γιατί αλλάζουν τα αξιώματα.

Μπράβο μας. Όμως τι σχέση έχω εγώ με το "αδίκημα"; Αυτή την πρακτική ακολουθούσε ο Δον Κιχώτης που δημιουργούσε δράκους - ανεμόμυλους για να τους κατατροπώνει! Μήπως διάβαζεις κάποιον άλλον και του απαντάς;

[Αφαιρέθηκε κείμενο που δεν ήταν σύμφωνο με τον όρο #1]

ipios · 19 Δεκεμβρίου 2007

Αρχική Δημοσίευση από io-io

Εσυ λες οτι 3ΚΛ-ΑΔ>0. Εστω.

Ομως θα συμφωνησεις οτι ισχυει 3ΚΛ-ΑΔ<ε για οποιονδηποτε αριθμο ε. Αλλιως σπρωξτα πιο κοντα.
Για αυτο δεν εχεις κατι να πεις? Ειναι η δεν ειναι αποδειξη του οτι 3ΚΛ-ΑΔ=0?
Και αν το αμφισβητεις, θα ηθελα να μου το αναλυσεις, αλλα με μαθηματικους ορους.

Και βέβαια συμφωνώ. 3ΚΛ-ΑΔ=0. Αυτό τι σημαίνει για σένα; Για μένα σημαίνει ότι υπάρχουν δύο ειδών μηδενικές αποστάσεις.
Α. Η ταύτιση δύο σημείων σε ένα.
Β. Η επαφή (μηδενική απόσταση μεταξύ των σημείων) που σχετίζεται με τη μέτρηση του ΑΔ από το 3ΚΛ.
Στην μεν μία περίπτωση έχουμε ταύτιση σημείων και διαδοχικότητα (διαβήτης) στη δε άλλη επαφή των σημείων των ακραίων ΚΛ1, ΚΛ2, ΚΛ3 (ακέραια μέτρα).
Το αποτέλεσμα αριθμητικά δείχνει ίδιο αλλά στην πραγματικότητα είναι άνισο.
Τα σημεία Β και Γ εν προκειμένω δείχνονται ίσα στο μέτρο ως προς το Α ή το Δ (αντίστροφα), αλλά είναι στην πραγματικότητα άνισα. Πρόσεξε τι εννοώ:
ε……….Α…………………..ΒΓ………………Δ

Έστω το παραπάνω σχήμα επί ευθείας ε ευρίσκονται τα σημεία Α,Β,Γ και Δ.
Δίνω - δικαίωμα του γεωμέτρη - τα ΒΓ να απέχουν μηδενικά μεταξύ τους, δηλαδή να εφάπτονται και να αποτελούν συνέχεια, χωρίς να είναι διαδοχικά. Αν έχεις αντιρρήσεις να τις διατυπώσεις βέβαια και τις περιμένω.

Για το μέτρο ισχύει: ΑΒ=ΑΓ αφού ΒΓ δεν απέχουν, αλλά εφάπτονται.
Το Β όμως είναι εσωτερικό της ΑΓ και επομένως απέχει μικρότερη απόσταση από το Α σε σχέση με την απόσταση του Γ από το Α, αξιωματικά θεμελιωμένα σαν εσωτερικό σημείο της ΑΓ.
Επομένως το μέτρο (αριθμοί) δεν είναι ακριβές, γιατί εύκολα αποδεικνύουμε ότι το κάθε εσωτερικό σημείο Μ ευθύγραμμου τμήματος ΑΒ απέχει λιγότερο από το κάθε άκρο του ΑΒ από όσο απέχει το Α από το Β.
Προς τούτο (ένα παράδειγμα είναι) η πρακτική - εποπτική γεωμετρία που περιέχει το υποδεκάμετρο, δεν θεωρείται ακριβής στις μετρήσεις και στιγματίζεται σαν αναξιόπιστη από τους γεωμέτρες μαθηματικούς και τείνουν να απαλλαγούν κατά το δυνατό από την διαίσθηση και την εποπτεία και να καταστεί η γεωμετρία ένα καθαρά θεωρητικό – νοητικό οικοδόμημα.
Όμως εμείς βρισκόμαστε στην Ευκλείδεια συνθετική γεωμετρία και αυτά που σου λέω ισχύουν αξιωματικά. Εκτός και υποδείξεις αξίωμα που να απαγορεύει στον κάθε γεωμέτρη να τοποθετήσει τα σημεία επί του επιπέδου, σε όσο μικρή ή μεγάλη απόσταση ο ίδιος επιθυμεί, απόλυτα ελεύθερα.
Σου σημειώνω ότι τη συζήτηση αυτή επαναλαμβάνω για πολλοστή φορά και δεν υπήρξε αντίλογος (παρά μόνο αυτός που πιο κάτω εκφράζεται από σένα σαν απορία να κατανοήσεις) και θα σου υποδείξω που αναφέρομαι.

io-io Δεν γινεται να μπω στη λογικη σου και να καταλαβω το πως σκεφτεσαι, αλλα αυτα που λες, δεν ισχυουν. Η αληθεια ειναι οτι δεν καταλαβαινω καποια κομματια της σκεψης σου. Εδω ας πουμε

ipios
Όλα θα ήταν εντάξει λοιπόν αν είχαμε τρόπο να αποδείξουμε ότι στην άθροιση 1+1=2 το άθροισμα 2 μπορεί να εκφράζει ακέραιο πολλαπλάσιο του 1, όπως στις αθροίσεις ευθύγραμμων τμημάτων αυτό το επιτυγχάνουμε με το κοινό σημείο που ενώνει τα μήκη (ΑΒ)=(ΓΔ)=(ΜΝ).
Υπάρχει όμως αριθμός που να ανήκει συγχρόνως σε 2 ακέραιες θετικές μονάδες, διαφορετικές μεταξύ τους όπως διαφορετικά είναι τα ΑΒ και ΓΔ στη γεωμετρία και έχουν σαν μέσο ένωσης το κοινό σημείο Ο;

Ειλικρινά δεν αντιλαμβάνομαι τη δυσκολία σου, αλλά να σου το εξηγήσω. Γι αυτό εξάλλου κάνουμε συζήτηση.
Στον ορισμό άθροισης ευθύγραμμων τμημάτων, που είναι μεταφορά του ορισμού άθροισης μηκών και τελικά άθροιση των μη αρνητικών αριθμών, κάνουμε το εξής:

Έχουμε ευθύγραμμα τμήματα ΑΒ και ΓΔ.
Πως θα τα αθροίσουμε; Το ίδια δεν μπορούμε βέβαια και πάμε στις αθροίσεις των μηκών τους.
Επί ευθείας ε ορίζουμε σημείο Ο και με τον διαβήτη μεταφέρουμε τα μήκη ΑΒ και ΓΔ εκατέρωθεν του Ο σαν ΜΟ και ΟΝ. Το ΜΝ είναι το άθροισμα των μηκών των ΑΒ και ΓΔ. Εδώ ενώσαμε δύο μήκη (ΑΒ) και (ΓΔ) με κοινό σημείο το Ο και κάναμε το ΜΝ. Το Ο αποτελεί διαδοχικό σημείο, δηλαδή όπου τελειώνει το ΜΟ από εκεί ακριβώς (το Ο δηλαδή) αρχίζει το ΟΝ. Το ΜΝ με κοινό το Ο είναι ένα ακέραιο ευθύγραμμο τμήμα που (υποτίθεται) περιέχει τα μήκη των ΑΒ και ΓΔ. Αν μάλιστα ΜΟ=ΟΝ= 1, τότε το ΜΝ=2 ακέραιο πολλαπλάσιο του 1.
Αυτό όμως πως θα επιτευχθεί io-io με τους ακέραιους αριθμούς 1 και 1, χωρίς τη συμβολή των σχημάτων; Για να ενωθούν 2 αριθμητικές μονάδες χρειάζεται ένα «μέσον» όπως σαν μέσον χρησιμεύει το Ο στα ευθύγραμμα τμήματα. Τα ευθύγραμμα τμήματα ως προς τα μήκη τους, με το Ο κοινό, ενώνονται. Οι μονάδες 1 και 1 ποιο κοινό στοιχείο (κοινό αριθμό δηλαδή κατά αντιστοιχία με το κοινό Ο) έχουν ώστε να ενωθούν όπως τα μήκη και να έχουμε στην άθροιση 1+1=2 το 2 ακέραιο πολλαπλάσιο του 1, όπως το έχουμε στα μήκη των ευθύγραμμων τμημάτων; Υπάρχει κοινό αριθμητικό στοιχείο μεταξύ δύο ανεξάρτητων μονάδων ώστε αυτές να μπορούν να ενωθούν;
Σημείωσε ότι αυτή η αδυναμία ένωσης των 1 και 1 αριθμητικών μονάδων, είναι που εκλαμβάνεται σαν δυνατότητα στον ορισμό άθροισης ευθύγραμμων τμημάτων μέσω των μηκών τους.
Τι λέω που είναι ακατανόητο;

io-io
Επισης, αφου οπως λες

ipios
Το κενό ανάμεσα στα τμήματα είναι μηδενικό. Τα τμήματα απλά εφάπτονται. Είναι συνεχόμενα χωρίς κενό, αλλά όχι διαδοχικά.

io-io
τοτε πως συμπεραινεις οτι 3ΚΛ>ΑΔ?

Απλά από την εφαρμογή της μεθόδου της επίθεσης του μέτρου επί του μετρούμενου. Τι πιο απλό; Τα μέτρα ΚΛ1, ΚΛ2 και ΚΛ3, δεν έχουν κοινά σημεία αλλά εφάπτονται σε αντίθεση με τα ΑΒ, ΒΓ, ΓΔ που έχουν κοινά τα σημεία Β και Γ αντίστοιχα.

io-io
Επισης, το οτι εφαπτονται αλλα δεν ειναι διαδοχικα, δεν βγαζει νοημα...

Αυτή είναι η απορία σου που αποτελεί τον μοναδικό αντίλογο που ανέφερα πιο πάνω.

Όμως, γιατί δεν βγάζει νόημα io-io; Τα ΚΛ1, ΚΛ2, ΚΛ3, εφάπτονται και δεν έχουν κοινά σημεία ώστε να είναι διαδοχικά. Είναι απλά συνεχόμενα χωρίς τα άκρα τους να απέχουν στις επαφές τους. Που είναι η δυσκολία σου;

io-io
Και τελος, θα στο ξαναπω: Ξερεις τι ειναι infinitesimal?

Ξέρω io-io. Ξέρω και περί αυτού πρόκειται. Μόνο που αθροιστικά το infinitesimal όπως γίνεται εφαρμογή του μέτρου μπορεί να χάσει το νόημά του και να γίνει μετρήσιμο και άπιερα μεγάλο. Αυτό ακριβώς συμβαίνει και με το πυθαγόρειο. Το ίδιο ακριβώς ισχύει και με τα δύο τεμνόμενα ευθύγραμμα τμήματα. Το infinitesimal στο πυθαγόρειο εκφράζει τη διαφορά του ρητού από το άρρητο που μπορεί να είναι όσο θέλουμε απειροελάχιστο. Αυτό δεν σημαίνει ότι δεν χτυπάει την απόλυτη ακρίβεια των θεωρητικών μαθηματικών και η αγνόησή του είναι από αυθαίρετη στην Ευκλείδεια γεωμετρία μέχρι καταχρηστική ελλείψει αξιώματος που να προβλέπει την αγνόησή του. Εγώ ποτέ δεν ισχυρίστηκα ότι το πυθαγόρειο δεν ισχύει για μέγεθος μη infinitesimal. Έχουμε το δικαίωμα σαν άνθρωποι να κάνουμε μερικές αβαρίες ως προς την ακρίβεια, αλλά αυτό το δικαίωμα δεν ενεργοιποιείται όταν μπορούμε να απαλλαγούμε από την ανακρίβεια.

io-io εμβόλιμα προς Γιώργο.
Μα το θεμα ειναι οτι δεν υπαρχει προβλημα! Εκτος εαν δεν καταλαβα καλα τι εννοεις.
edit: οκ, τωρα διαβασα το τελευταιο σου ποστ και καταλαβα!

Έχω την άποψη ότι ούτε τώρα κατάλαβες, [αφαιρέθηκε προσβλητικό μήνυμα για χρήστη] Καλώς, αλλά απαντήσεις δεν βλέπω με εξαίρεση την io-io που όμως πιστεύω ότι δεν άφησα κενά στις απορίες της.
Καλό είναι αγαπητέ Γιώργο, μέσα στα πλαίσια της Ευκλείδειας γεωμετρίας να μου πεις κι εσύ αν προβλέπεται ακέραιο πολλαπλάσιο του 1 και αν δύο τεμνόμενα ευθύγραμμα τμήματα εκτός από το να ορίζουν επίπεδο, εκφράζουν και επιφάνεια και γιατί.
Είναι εύκολα και δεν τα απαντάς ή διάβασες πουθενά Μαγκλάρεια γεωμετρία;
Ίσως το θεωρείς και δύναμη από πάνω!

DiavolakoS · 18-12-07

εγω συμφωνω με οσα σου ειπε η ΜΕ.απο κει και περα καθηστε και μαλωστε με τα απειροελαχειστα και τα ε . παντως τα μαθηματικα εξελισονται και αποσαφηνιζονται λεπτα σημεια που στο παρελθον δε μπορουσαν.μη τα βλεπεις τοσο 'στενα' - αξιωματικα , δεν τελειωσαν τα αξιωματα και τα μαθηματικα με τον ευκλειδη.αυτο ελειπε.καλυπτονται κενα και δημιουργουνται νεα.ετσι παει η εξελιξη. η απαντηση μου ειναι περισσοτερο φιλοσοφικη αλλα το λεω καλοπροαιρετα πανω στο διαλογο.

io-io · 18-12-07

Δεν εχω αλλο τροπο να σου αποδειξω οτι αυτο που λες ειναι λαθος, εκτος απο αυτον:

Εστω οτι εχεις δυο σημεια το ενα διπλα στο αλλο οπως λες. Με μηδενικη αποσταση, αλλα χωρις να ειναι το ιδιο σημειο, να εφαπτονται δηλαδη, συμφωνα με τη δικη σου ορολογια. Εαν το ενα σημειο εχει συντεταγμενες (0,0) στο R^2, ποιες ειναι οι συντεταγμενες του δευτερου σημειου?

Ειναι απλα τα πραγματα. Φανταζομαι οτι ο λογος που νομιζεις οτι υπαρχει τετοια εννοια "εφαπτομενα αλλα διαφορετικα σημεια" ειναι επειδη τα φανταζεσαι σαν δυο κουκιδες. Εκει κολλαει και το οτι το σημειο δεν εχει διαστασεις!

fandago · 19 Δεκεμβρίου 2007

Αυτό που έχω καταλάβει ότι λέει ο ipios, θυμίζει αυτό που άκουσα σε μάθημα απειροστικού λογισμού ότι δηλαδή δεν υπάρχει η μονάδα όπως την ξέρουμε (στο περίπου). Πως εξηγείται;
Ας πούμε ότι έχουμε τον αριθμό 1. Αν τον διαιρέσουμε με 3 έχουμε το 1/3 ή αλλιώς 0,333333....
Αν αυτό το πολλαπλασιάσουμε με 3 πάλι, έχουμε το 1 ή αλλιώς 0,9999.....
Όπως ο ipios επιμηκύνει ένα ευθύγραμμο τμήμα και εγώ αλλοιώνω την μονάδα.

Να πω επίσης, ότι έτσι όπως τα λες ipios ένα οποιοδήποτε ευθύγραμμο τμήμα, είναι ουσιαστικά μια ευθεία, αφού αν το χωρίσουμε σε άπειρα τμήματα, από τα οποία το επαναδημιουργήσουμε, τότε αναλογικά, το μήκος του αρχικού ευθύγραμμου τμήματος θα αυξηθεί στο άπειρο, σχηματίζοντας ευθεία... Άρα αν αυτό το μεταφέρω στην φύση, τότε με μία οδοντογλυφίδα, αγγίζω τον ήλιο, για να μην το τραβήξω ακόμα περισσότερο. Όσο κουλό ακούγεται αυτό που λέω, άλλο τόσο και αυτά που διαβάζω εδώ

Minkowski · 19-12-07

Και βέβαια συμφωνώ. 3ΚΛ-ΑΔ=0.

Με εντυπωσιάζει που συμφωνείς με το συλλογισμό της κοπέλας που χρησιμοποιεί την αρχή του Αρχιμήδη για τον Απειροστικό λογισμό: (Για κάθε ε>0 : |x-y|<ε) <=> x=y.
και δε συμφωνείς με την πανομοιότυπη απόδειξη της 0,999...=1. [μου ήρθε απο άλλο site.]
Δεχόμαστε ό,τι μας συμφέρει Λαμπρούκο; :hmm:

Έχεις χάσει την μπάλα και πιάνεσαι απο διάφορα για να σωθείς.Rompex.

Δίνω - δικαίωμα του γεωμέτρη - τα ΒΓ να απέχουν μηδενικά μεταξύ τους, δηλαδή να εφάπτονται και να αποτελούν συνέχεια, χωρίς να είναι διαδοχικά.

Εφαπτόμενα σημεία δεν υπάρχουν με βάση το αξίωμα:

Aξίωμα Cantor-Dedekind

The points on a line can be put into a one-to-one correspondence with the real numbers.

Άν δεν γνωρίζεις τις έννοιες "one-to-one" και "correspondence" ψάξε σε κανα βιβλίο Ανάλυσης/Άλγεβρας γιατί δεν είμαι διατεθιμένος να παραδίδω μαθήματα στο φόρουμ. :confused:

Aν πάλι επιμένεις ότι η επαφή σχημάτων (πχ κύκλων) στη Γεωμετρία σχετίζεται με εφαπτόμενα σημεία και τέρατα δές παρακάτω:

Tα στοιχεία του Ευκλείδη στα αρχαία Ελληνικά με Αγγλική μετάφραση (sorry αλλά δε σκαμπάζω Αρχαία) μπορείτε να τα κατεβάσετε από εδώ.
Πηγαίνουμε λοιπόν στο Elements Book Number 3 και έχουμε στα Propositions:

Συνεπώς,όπως είναι ξεκάθαρο,η επαφή αναφέρεται σε κοινό σημείο. (the point of contact,union, etc)

Εγώ ποτέ δεν ισχυρίστηκα ότι το πυθαγόρειο δεν ισχύει για μέγεθος μη infinitesimal.

Τι άλλο θα ακούσουμε οι κακομοίρηδες!
Εγώ αποχωρώ από το Μαγκλάρικο νταβαντούρι.
Πλεόν έχουν γίνει οι μαθηματικές έννοιες ένας αχταρμάς.

fandago · 19-12-07

Αρχική Δημοσίευση από fandago:
Αυτό που έχω καταλάβει ότι λέει ο ipios, θυμίζει αυτό που άκουσα σε μάθημα απειροστικού λογισμού ότι δηλαδή δεν υπάρχει η μονάδα όπως την ξέρουμε (στο περίπου). Πως εξηγείται;
Ας πούμε ότι έχουμε τον αριθμό 1. Αν τον διαιρέσουμε με 3 έχουμε το 1/3 ή αλλιώς 0,333333....
Αν αυτό το πολλαπλασιάσουμε με 3 πάλι, έχουμε το 1 ή αλλιώς 0,9999.....
Όπως ο ipios επιμηκύνει ένα ευθύγραμμο τμήμα και εγώ αλλοιώνω την μονάδα.

Αρχική Δημοσίευση από Minkowski:
Με εντυπωσιάζει που συμφωνείς με το συλλογισμό της κοπέλας που χρησιμοποιεί την αρχή του Αρχιμήδη για τον Απειροστικό λογισμό: (Για κάθε ε>0 : |x-y|<ε) <=> x=y.
και δε συμφωνείς με την πανομοιότυπη απόδειξη της 0,999...=1. [μου ήρθε απο άλλο site.]
Δεχόμαστε ό,τι μας συμφέρει Λαμπρούκο;
Έχεις χάσει την μπάλα και πιάνεσαι απο διάφορα για να σωθείς.Rompex.

Μίλησε κάπου ο ipios για το 0,999...; Εγώ ήμουν αυτός που το έγραψε, εκτός αν το ανέφερε πουθενά και ο ipios και μου ξέφυγε... :confused:

ipios · 19-12-07

DiavolakoS
εγω συμφωνω με οσα σου ειπε η ΜΕ.απο κει και περα καθηστε και μαλωστε με τα απειροελαχειστα και τα ε . παντως τα μαθηματικα εξελισονται και αποσαφηνιζονται λεπτα σημεια που στο παρελθον δε μπορουσαν.μη τα βλεπεις τοσο 'στενα' - αξιωματικα , δεν τελειωσαν τα αξιωματα και τα μαθηματικα με τον ευκλειδη.αυτο ελειπε.καλυπτονται κενα και δημιουργουνται νεα.ετσι παει η εξελιξη. η απαντηση μου ειναι περισσοτερο φιλοσοφικη αλλα το λεω καλοπροαιρετα πανω στο διαλογο.

Αφού συμφωνείς με την ΕΜΕ, τι έχεις να πεις στον ισχυρισμό της ότι το πυθαγόρειο δεν ισχύει στην πρακτική - εποπτική γεωμετρία (χρήση υποδεκάμετρου) ενώ ισχύει με τα εμβαδά (χρήση του μέτρου) που είναι πρακτική - εποπτική γεωμετρία; Θα ήθελα τη γνώμη σου.
Δηλαδή δεν ισχύει με το υποδεκάμετρο και ισχύει με το μέτρο;
Ούτε εγώ είπα ότι τελείωσαν τα μαθηματικά στην Ευκλείδεια γεωμετρία και καλά κάνουν και εξελίσσονται.
Αυτό που ισχυρίζομαι είναι ότι στο Ευκλείδειο αξιωματικό σύστημα δεν αποδεικνύεται το πυθαγόρειο θεώρημα. Τίποτα πέραν αυτού. Το αν είναι ελάχιστα ανακριβές δεν με απασχολεί γιατί δεν ισχυρίστηκα ότι είναι τεράστια ανακριβές. Από την άλλη πάλι μπορούμε να δεχθούμε την όποια ανακρίβεια όταν δεν μπορούμε να απαλλαγούμε από αυτή και να την αντικαταστήσουμε με την απόλυτη ακρίβεια αγαπητέ φίλε DiavolakoS.
Ας αποδείξουν ότι ισχύει το πυθαγόρειο στην Ευκλείδεια γεωμετρία (που δεν περιέχει το αξίωμα του εμβαδού, αλλά έστω και με το αξίωμα του εμβαδού και τη θεωρία μετρήσεως) και μετά θα δούμε τις δυνατότητες ύπαρξης των άλλων γεωμετριών χωρίς το πυθαγόρειο. Ακόμα και το 5ο αίτημα αποδεικνύεται όταν καταρριφθεί το πυθαγόρειο.

io-io · 19-12-07

Αρχική Δημοσίευση από fandago:
Αυτό που έχω καταλάβει ότι λέει ο ipios, θυμίζει αυτό που άκουσα σε μάθημα απειροστικού λογισμού ότι δηλαδή δεν υπάρχει η μονάδα όπως την ξέρουμε (στο περίπου). Πως εξηγείται;
Ας πούμε ότι έχουμε τον αριθμό 1. Αν τον διαιρέσουμε με 3 έχουμε το 1/3 ή αλλιώς 0,333333....
Αν αυτό το πολλαπλασιάσουμε με 3 πάλι, έχουμε το 1 ή αλλιώς 0,9999.....
Όπως ο ipios επιμηκύνει ένα ευθύγραμμο τμήμα και εγώ αλλοιώνω την μονάδα.

Μα, 0.9999....=1

Η αυτο λες και λαθος καταλαβα?

Kargas · 19-12-07

οχι δεν ειναι 1...,είναι 0,999999999... του λείπει 0,0000...1 για να είναι 1 :hmm:

Συζήτηση σχετικά με την ορθότητα ή μη του Πυθαγόρειου Θεωρήματος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Διάσημο μέλος

Τιμώμενο Μέλος

Νεοφερμένος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Τιμώμενο Μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Τιμώμενο Μέλος

Διάσημο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Πολύ δραστήριο μέλος

Διάσημο μέλος

Διακεκριμένο μέλος

Νεοφερμένος

Διακεκριμένο μέλος

Εκκολαπτόμενο μέλος

Διάσημο μέλος

Νεοφερμένος