truffinho
Πολύ δραστήριο μέλος
Κάθε άρτιος θετικός ακέραιος μεγαλύτερος του 2 μπορεί να γραφεί ως άθροισμα δύο πρώτων αριθμών, έτσι ώστε για κάθε n > 2, 2n = p + q, όπου p, q πρώτοι αριθμοί.
Για παράδειγμα,
4 = 2 + 2
6 = 3 + 3
8 = 3 + 5
10 = 3 + 7 = 5 + 5
12 = 5 + 7
14 = 3 + 11 = 7 + 7 κτλ.
Από κάποιους μαθηματικούς υπάρχει η άποψη ότι σε κλάποια μεγάλα νούμερα (μεγαλύτερα των 60 ψηφίων) το φαινόμενο παύει να ισχύει. Αφού δεν έχει αποδειχθεί αυτό, δεν μπορούμε να πουμε ότι η εικασία είναι λαθεμένη.
Από την άλλη υπάρχουν πολλοί που λένε ότι ισχύει, αλλά ότι είναι αδύνατο να αποδειχθεί. Το ίδιο έλεγαν για το τελευταίο θεώρημα του Φερμά, αλλά το 1993 ο Άντιου Ουάιλς το απέδειξε.
Πιστεύετε ότι μπορεί να αποδειχθεί ποτέ;
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 16 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
Πάντως όταν είχα πρωτοακούσει για την εικασία του Γκόλντμπαχ, είχα αρχίσει κι εγώ να τη σκέφτομαι αλλά δεν κατάφερα ακόμα τίποτα... Έχουν βγει και διάφορα λογοτεχνικά βιβλία με αυτό το θέμα αν ενδιαφέρεται κανείς...
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 16 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
fandago
Διακεκριμένο μέλος
Γιατί δεν δίνουν τότε ένα τέτοιο νούμερο για το οποίο δεν ισχύει, να τελειώσει το θέμα...Από κάποιους μαθηματικούς υπάρχει η άποψη ότι σε κλάποια μεγάλα νούμερα (μεγαλύτερα των 60 ψηφίων) το φαινόμενο παύει να ισχύει. Αφού δεν έχει αποδειχθεί αυτό, δεν μπορούμε να πουμε ότι η εικασία είναι λαθεμένη.
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 16 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
Γιάννης
Περιβόητο μέλος
Ναι γιατί όχι...
Πάντως όταν είχα πρωτοακούσει για την εικασία του Γκόλντμπαχ, ... .
Ρε γμτ και μπήκα να απαντήσω γιατί νόμιζα ότι έχει σχέση με τον άρχοντα των δακτυλιδιών
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 16 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
Subject to change
e-steki.gr Founder
Πάντως Άγγελε, απ'οτι θυμάμαι, δεν είναι *ακριβώς* έτσι η ιστορία της εικασίας. Αν βρω όρεξη θα ψάξω σε ένα σχετικό βιβλίο να ποστάρω επ'αυτού (μόλις ξύπνησα τώρα)
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 16 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
Γιώργος
Τιμώμενο Μέλος
Κι ο Ευκλείδης αυτό πίστευε για το 5ο αξίωμά του.Πως γίνεται ένας μαθηματικός να "πιστευει" κάτι, έτσι στο άσχετο, χωρίς απόδειξη;
Από σημείο εκτός ευθείας άγεται μοναδική ευθεία παράλληλη σ' αυτήν.
Πόσοι και πόσοι διάσημοι μαθηματικοί δεν "τρελάθηκαν" προσπαθώντας να το αποδείξουν χρησιμοποιώντας τα άλλα 4 αξιώματα;
Και τελικά αποδείχθηκε πως το Ευκλείδιο αίτημα.. δεν αποδεικνύεται.
Μήπως λοιπόν είναι κάτι παρόμοιο; Αξίωμα που αν το δεχτούμε οδηγούμαστε σε άλλες Άλγεβρες κι αν όχι σε διαφορετικές;
Κατ' εμέ η απάντηση είναι αυτή.
(μέχρι αποδείξεως του εναντίου βέβαια )
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 16 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
Subject to change
e-steki.gr Founder
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 16 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
ALEX_
Πολύ δραστήριο μέλος
Πάντως αξίωμα δεν μπορεί να χαρακτηριστεί σε καμία περίπτωση για τον πολύ απλό λόγο ότι...δεν ξέρουμε αν ισχύει,απλά το υποθέτουμε!
Από εκεί και πέρα,όπως απέδειξε και ο Γκέντελ,υπάρχουν κάποια πράγματα τα οποία είναι μη αποδείξιμα!Ίσως είναι ένα από αυτά,ίσως όχι...
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 16 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
truffinho
Πολύ δραστήριο μέλος
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 16 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
ΜΠΕΡΔΕΜΕΝΟΣ
Εκκολαπτόμενο μέλος
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 16 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
Minkowski
Νεοφερμένος
Κι ο Ευκλείδης αυτό πίστευε για το 5ο αξίωμά του.
Από σημείο εκτός ευθείας άγεται μοναδική ευθεία παράλληλη σ' αυτήν.
Πόσοι και πόσοι διάσημοι μαθηματικοί δεν "τρελάθηκαν" προσπαθώντας να το αποδείξουν χρησιμοποιώντας τα άλλα 4 αξιώματα;
Και τελικά αποδείχθηκε πως το Ευκλείδιο αίτημα.. δεν αποδεικνύεται.
Μην το πεις αυτό στον Ipio...
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 16 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
psych_odd
Νεοφερμένος
Α...παιδιά άσχετο μήπως ξέρει κανείς αν για το μεταπτυχιακό μαθηματικών είναι υποχρεωτικές οι εξετάσεις;
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 16 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
eliaskas
Νεοφερμένος
Όσο για πραγματικούς επιστήμονες ερευνητές αυτοί δεν υπάρχουν πραγματικά. Απο τέτοιου είδους έρευνες δεν γεμίζουν οι τσέπες ούτε μπορείς να πάρεις επιχορηγήσεις.
Αυτοί που πραγματικά 'ψάχνονται' φαντάζουν γραφικοί για τους υπολοίπους...
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 16 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
Minkowski
Νεοφερμένος
Στα μαθηματικά αν κάτι μπορεί να αποδειχθεί για μία, δύο, τρεις ή τεσσερις επιλογές, τότε θεωρούμε ότι ισχύει και για τις υπόλοιπες επιλογές αριθμών.
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 16 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
Γιώργος
Τιμώμενο Μέλος
Εντούτοις μόνο μέχρι το 41 πάει, μετά δεν παράγει (μόνο) πρώτους αριθμούς.
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 16 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
nikolas17
Πολύ δραστήριο μέλος
Δεν νομίζω ότι μπορεί να αποδειχθεί, τουλάχιστον όχι με τα μαθηματικά που ξέρουμε εώς τώρα. Πάντως σύμφωνα με το θε΄ρωημα περί μη πληρότητας του Γκέντελ, πιθανώς να μην μπορείς να αποδειχτεί πότε. Κρίμα που αποδείχτηκε πάντως ότι δεν μπορούμε να ξέρουμε εκ των προτέρων τι μπορεί να αποδειχθεί και τι όχι
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 16 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
Γιώργος
Τιμώμενο Μέλος
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 16 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
stratosmath
Νεοφερμένος
Θα ήθελα να προσθέσω διάφορες πληροφορίες για το Θεώρημα μη πληρότητας του Godel.
Καταρχήν να θυμηθούμε την διατύπωσή του:
Σε οποιοδήποτε συνεπές σύστημα που είναι ισχυρό όσο η Αριθμητική του Peano, υπάρχει αληθής πρόταση του συστήματος τέτοια ώστε ούτε αυτή ούτε η άρνησή της να αποδεικνύεται με εργαλεία του συστήματος.
OGödel, απέδειξε ότι οι μαθηματικές μέθοδοι που χρησιμοποιούνται ήδη από την εποχή του Ευκλείδη δεν επαρκούν για να ανακαλυφθεί, ότι είναι αληθές γύρω από τους φυσικούς αριθμούς. Η ανακάλυψη που υπέσκαψε τα θεμέλια πάνω στα οποία έχει χτισθεί όλο το οικοδόμημα των μαθηματικών έως τον εικοστό αιώνα, απετέλεσε το ερέθισμα να αναζητηθούν εναλλακτικές λύσεις … (Dawson, 1999)
Όμως ποια είναι τα θεμέλια που υπέσκαψε το θεώρημα του Gödel, και τι είδους ζημιά έκανε;
Για να δώσουμε έστω και μια πρώτη απάντηση σʼ αυτές τις ερωτήσεις θυμόμαστε ότι το θεώρημα προϋποθέτει πλήρως αξιωματικά μαθηματικά καθώς επίσης και αξιωματική λογική. Εν τούτοις,
a) μέχρι το 1889 η αριθμητική δεν είχε αξιωματικοποιηθεί.
b) μέχρι το 1899 ούτε η Ευκλείδεια γεωμετρία είχε πλήρως αξιωματικοποιηθεί, και
c) μέχρι τους Frege και Russell δεν υπήρχε καν επαρκής λογική των μαθηματικών. (Ακόμη και μέσα στα Θεμέλια της Γεωμετρίας του Hilbert δεν υπάρχει ούτε ένα λογικό σύμβολο.)
Κατά συνέπεια δεν υπάρχουν οι προϋποθέσεις για να δραματοποιήσουμε το θεώρημα του Gödel όπως παραπάνω.
Στο παρελθόν θεωρούνταν ότι το σύνολο των αξιωμάτων του Peano για το σύστημα των φυσικών αριθμών ήταν πλήρες ή, αν δεν ήταν πλήρες μπορούσε σίγουρα να γίνει με την προσθήκη ενός ή περισσότερων νέων αξιωμάτων. Αυτή η πεποίθηση όμως συντρίφτηκε από το Θεώρημα του Godel. Συνεπώς, κάθε σύνολο αξιωμάτων για το σύστημα των φυσικών αριθμών πρέπει, αν είναι συνεπές, να μην είναι πλήρες. Με άλλα λόγια, ανεξάρτητα από το ποιο συνεπές σύνολο αξιωμάτων θα υιοθετήσουμε για το σύνολο των φυσικών αριθμών, θα υπάρχουν προτάσεις Π για τους φυσικούς αριθμούς, ώστε ούτε η Π ούτε η άρνηση της να μπορεί να αποδειχτεί από τα αξιώματα. Αυτή ήταν μια εκπληκτική και απογοητευτική ανακάλυψη.
Ο Gödel δεν θεώρησε ότι τα θεωρήματα του περί μη πληρότητας αποδεικνύουν την ανεπάρκεια της αξιωματικής μεθόδου, αλλά ότι η εξαγωγή των θεωρημάτων δεν μπορεί να γίνει τελείως μηχανικά. Είχε την άποψη ότι τα θεωρήματά του δικαιώνουν τον ρόλο της ενόρασης στα μαθηματικά.
Το θεώρημα στρέφεται κυρίως κατά της μηχανιστικής θεμελίωσης των μαθηματικών.
Άρα το αισιόδοξο μήνυμα του Godel είναι ότι τα μαθηματικά δεν είναι τελειωμένα, σαν ένα οικοδόμημα το οποίο απλώς υπάρχει και εμείς εξερευνούμε τους χώρους του, αλλά είναι ένα ζωντανός οργανισμός που διαρκώς αναπτύσσεται, εξελίσσεται και μεταλλάσσεται.
Όσον αφορά τώρα την εικασία του Goldbach μπορεί να ανήκει στην κατηγορία των μη αποφάνσιμων προτάσεων (δηλαδή προτάσεων που δεν μπορούμε να αποφανθούμε ουτε θετικά αλλά ούτε και αρνητικά περι της ισχύος τους η μη). Οστόσο θα ήταν χρήσιμο να θυμόμαστε πως όταν δεν μπορούμε να αποδείξουμε κάτι μέσα σε ένα πλαίσιο κανόνων, συχνά βγαίνουμε έξω απο το πλαίσιο και το αποδεικνύουμε σε ένα ευρύτερο. Για παράδειγμα η εξίσωση 2χ+1=0 έχει λύση; Στο σώμα των ακεραίων όχι. Αλλά αν περάσουμε σε ένα μεγαλύτερο σώμα όπως οι ρητοί τότε δεν υπάρχει πρόβλημα. Οι σύγχρονες έρευνες των συνολοθεωρητικών μαθηματικών αλλά και των αριθμοθεωρητικών και λογικιστών στρέφονται σε τέτοια πεδία.
Θα συμβούλευα πάντως όσους ενδιαφέρονται για το θέμα να διαβάσουν τα παρακάτω άρθρα μιας και πολλες απορίες τους θα λυθούν:
- BOOLE, GEORGE: “An Investigation of the Laws of Thought”, Dover
- HINTIKKA, JΑΑΚΚΟ: “Logic, Language-Games and Information”, Oxford, 1973.
- HINTIKKA, JΑΑΚΚΟ: “The Principles of Mathematics Revisited” Cambridge U. press, 1996.
- HINTIKKA, JΑΑΚΚΟ: “Hilbert Vindicated?”, στο Language Truth and Logic in Mathematics, Selected Papers, vol. 3, Kluwer Academic, 1998.
- LAKATOS, IMRE: “Proofs and Refutations”, Warrall and Zahar (eds), Cambridge U. press, (1991).
- RUSSELL, BERNARD: “Recent Work on the Principles of Mathematics”, The International Monthly, 4, (July 1901): 83-101. Επανέκδοση από The Collected Works of Bertrand Russell, vol. .3, p.366.
- RUSSELL, BERNARD: “Introduction to Mathematical Philosophy”, Simon and Schuster, 1971.
- RUSSELL, BERNARD: “The Principles of Mathematics”, β΄έκδ. Allen &Unwin (1937)
- WITTGENSTEIN, LUDWIG: “Remarks on the Foundations of Mathematics”, (tr. G.E.M. Anscombe), Oxford Blackwell, 1978
- Και φυσικά το πολύ καλό άρθρο των Ευάγγελου Γερονικόλας και Μιχάλη Μυτιληναίου "Ο ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ΞΕΡΕΙ ΓΙΑ ΤΙ ΜΙΛΑΕΙ"https://www.math.uoa.gr/me/faculty/mytilinaios.pdfhttps://www.math.uoa.gr/me/faculty/mytilinaios.pdfhttps://www.math.uoa.gr/me/faculty/mytilinaios.pdfhttps://www.math.uoa.gr/me/faculty/mytilinaios.pdfhttps://www.math.uoa.gr/me/faculty/mytilinaios.pdf
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 16 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
tulip
Εκκολαπτόμενο μέλος
Πως γίνεται ένας μαθηματικός να "πιστευει" κάτι, έτσι στο άσχετο, χωρίς απόδειξη;
Πάντως Άγγελε, απ'οτι θυμάμαι, δεν είναι *ακριβώς* έτσι η ιστορία της εικασίας. Αν βρω όρεξη θα ψάξω σε ένα σχετικό βιβλίο να ποστάρω επ'αυτού (μόλις ξύπνησα τώρα)
Όλα απο μια ιδέα δεν ξεκίνησαν?
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 13 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
SICX
Διάσημο μέλος
Η λογικη των μαθηματικων ειναι οτι οι κανονες ισχυουν παντου και για ολους τους αριθμους. Εγω προσωπικα πιστευω οτι η εικασια ειναι λανθασμενη. Οταν ημουν μικρος, πολυ πριν μαθω για την εικασια ειχα παρατηρησει παραξενεμενος οτι αριθμοι αρτιοι προκυπτουν απο την προσθεση περριτων.
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 13 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
Χρήστες Βρείτε παρόμοια
-
Φορτώνει...
-
Το forum μας χρησιμοποιεί cookies για να βελτιστοποιήσει την εμπειρία σας.
Συνεχίζοντας την περιήγησή σας, συναινείτε στη χρήση cookies στον περιηγητή σας.