Gadgetakias
Νεοφερμένος
Ο Gadgetakias αυτή τη στιγμή δεν είναι συνδεδεμένος. Επαγγέλεται Φοιτητής/τρια. Έχει γράψει 27 μηνύματα.
29-07-20
12:04
Με την f κυρτή από 0 έως β θα ισχύει f(x)>f'(β)χ και με ολοκλήρωση της ανίσωσης ισχύει ολοκλήρωμα της f από 0 έως β μεγαλύτερο από ολοκλήρωμα της f'(β)χ από 0-β που ισούται με f'(β)β^2/2.
Όμως από τη σχέση f(β)=βf'(β) προκύπτει τελικά ότι το ολοκλήρωμα της f από 0-β είναι μεγαλύτερο του f(β)β/2.
Αρκεί νδο f(β)β/2>1.
Πράγματι με 1<β<2 => 1/2<β/2<1 (1)
και 1<β<2 με f γν.αύξουσα προκύπτει 2<f(β)<4 (2)
Επομένως από (1), (2) καταλήγουμε στο 1<βf(β)/2<4.
Υ.Γ Πως γίνεται να βάζω μαθηματικά σύμβολα;
Όμως από τη σχέση f(β)=βf'(β) προκύπτει τελικά ότι το ολοκλήρωμα της f από 0-β είναι μεγαλύτερο του f(β)β/2.
Αρκεί νδο f(β)β/2>1.
Πράγματι με 1<β<2 => 1/2<β/2<1 (1)
και 1<β<2 με f γν.αύξουσα προκύπτει 2<f(β)<4 (2)
Επομένως από (1), (2) καταλήγουμε στο 1<βf(β)/2<4.
Υ.Γ Πως γίνεται να βάζω μαθηματικά σύμβολα;
Gadgetakias
Νεοφερμένος
Ο Gadgetakias αυτή τη στιγμή δεν είναι συνδεδεμένος. Επαγγέλεται Φοιτητής/τρια. Έχει γράψει 27 μηνύματα.
28-07-20
23:33
Από τη λύση της παραπάνω εξίσωσης νομίζω πως προκύπτει σημείο...
Ωστόσο για να απαντήσω στο ερώτημα, η εξίσωση της εφαπτομένης της Cf θα είναι της μορφής y=αx (αφού διέρχεται από την αρχή των αξόνων) με f'(β)=α.
Η f' όμως είναι γν.αύξουσα (f">0) και το α μοναδικό! Επομένως μοναδική θα είναι και η εφαπτομένη!!!
Ωστόσο για να απαντήσω στο ερώτημα, η εξίσωση της εφαπτομένης της Cf θα είναι της μορφής y=αx (αφού διέρχεται από την αρχή των αξόνων) με f'(β)=α.
Η f' όμως είναι γν.αύξουσα (f">0) και το α μοναδικό! Επομένως μοναδική θα είναι και η εφαπτομένη!!!
Gadgetakias
Νεοφερμένος
Ο Gadgetakias αυτή τη στιγμή δεν είναι συνδεδεμένος. Επαγγέλεται Φοιτητής/τρια. Έχει γράψει 27 μηνύματα.
28-07-20
20:37
Η μοναδικότητα τίνος; Του σημείου;
Gadgetakias
Νεοφερμένος
Ο Gadgetakias αυτή τη στιγμή δεν είναι συνδεδεμένος. Επαγγέλεται Φοιτητής/τρια. Έχει γράψει 27 μηνύματα.
27-07-20
17:56
Ομοίως και αν χ>2>1 => 2χ>2....Να κάνουμε ένα Rolle στο [0,1] όπου προκύπτει ρίζα της f' (έστω στο ξ) και μοναδική αφού είναι γν.αύξουσα (f''>0 για κάθε x>=0).
Κάνουμε το γνωστό πινακάκι με f' και f αφού με 0<χ<ξ με f' γν.αύξουσα καταλήγουμε f'<0, ομοίως και στο x>ξ... f'>0
Έτσι βρίσκουμε τα διαστήματα μοινοτονίας της f η οποία παρουσιάζει ολικό ελάχιστο στο ξ το f(ξ) και τοπικό μέγιστο στο 0 το f(0)=2.
Για το β ερώτημα αρκεί νδο f(2x)-4x>0, θεωρούμε τη συνάρτηση g(x)=f(x)-2x
g'(x)=f'(x)-2
Από ΘΜΤ στην f στο [1,2]... f'(xo)=2 άρα g'(xo)=0 ενώ g''=f''>0 δηλαδή g' γν.αύξουσα!
Πινακάκι... και παρατηρούμε ότι κοντά στο 2 η g είναι γν.αύξουσα
Με 1<χ<2 => 2<2χ<4 και με g γν.αύξουσα προκύπτει g(2x)>g(2)=0 δηλαδή f(2x)-4x>0.
Υ.Γ Πώς γίνεται να γράφω σε latex;
Gadgetakias
Νεοφερμένος
Ο Gadgetakias αυτή τη στιγμή δεν είναι συνδεδεμένος. Επαγγέλεται Φοιτητής/τρια. Έχει γράψει 27 μηνύματα.
27-07-20
16:50
Να κάνουμε ένα Rolle στο [0,1] όπου προκύπτει ρίζα της f' (έστω στο ξ) και μοναδική αφού είναι γν.αύξουσα (f''>0 για κάθε x>=0).
Κάνουμε το γνωστό πινακάκι με f' και f αφού με 0<χ<ξ με f' γν.αύξουσα καταλήγουμε f'<0, ομοίως και στο x>ξ... f'>0
Έτσι βρίσκουμε τα διαστήματα μοινοτονίας της f η οποία παρουσιάζει ολικό ελάχιστο στο ξ το f(ξ) και τοπικό μέγιστο στο 0 το f(0)=2.
Για το β ερώτημα αρκεί νδο f(2x)-4x>0, θεωρούμε τη συνάρτηση g(x)=f(x)-2x
g'(x)=f'(x)-2
Από ΘΜΤ στην f στο [1,2]... f'(xo)=2 άρα g'(xo)=0 ενώ g''=f''>0 δηλαδή g' γν.αύξουσα!
Πινακάκι... και παρατηρούμε ότι κοντά στο 2 η g είναι γν.αύξουσα
Με 1<χ<2 => 2<2χ<4 και με g γν.αύξουσα προκύπτει g(2x)>g(2)=0 δηλαδή f(2x)-4x>0.
Κάνουμε το γνωστό πινακάκι με f' και f αφού με 0<χ<ξ με f' γν.αύξουσα καταλήγουμε f'<0, ομοίως και στο x>ξ... f'>0
Έτσι βρίσκουμε τα διαστήματα μοινοτονίας της f η οποία παρουσιάζει ολικό ελάχιστο στο ξ το f(ξ) και τοπικό μέγιστο στο 0 το f(0)=2.
Για το β ερώτημα αρκεί νδο f(2x)-4x>0, θεωρούμε τη συνάρτηση g(x)=f(x)-2x
g'(x)=f'(x)-2
Από ΘΜΤ στην f στο [1,2]... f'(xo)=2 άρα g'(xo)=0 ενώ g''=f''>0 δηλαδή g' γν.αύξουσα!
Πινακάκι... και παρατηρούμε ότι κοντά στο 2 η g είναι γν.αύξουσα
Με 1<χ<2 => 2<2χ<4 και με g γν.αύξουσα προκύπτει g(2x)>g(2)=0 δηλαδή f(2x)-4x>0.