Vicki
Νεοφερμένος
Η Vicki αυτή τη στιγμή δεν είναι συνδεδεμένη. Είναι 38 ετών. Έχει γράψει 55 μηνύματα.
16-04-09
12:48
Μεταφέρω μία απάντησή μου από μία άλλη ιστοσελίδα, η οποία μέσω συγκεκριμένου παραδείγματος, σκιαγραφεί τον τρόπο με τον οποίο μπορούμε να κρίνουμε αν μία γωνία τριχοτομείται με κανόνα και διαβήτη.
Να αποδειχθεί ότι δεν μπορούμε να κατασκευάσουμε ένα κανονικό 36γωνο με τη χρήση κανόνα και διαβήτη
Ας πούμε κάποια εισαγωγικά πρώτα που θα μας βοηθήσουν στην κατανόηση.
1. Κανονικό πολύγωνο ονομάζεται κάθε πολύγωνο που έχει όλες τις γωνίες του και όλες τις πλευρές του ίσες μεταξύ τους, αντίστοιχα.
2. Λέμε πως ένας αριθμός α διαιρεί έναν αριθμό β, αν υπάρχει κάποιος ακέραιος αριθμός γ ώστε β = α * γ. (με άλλα λόγια, αν το β είναι πολλαπλάσιο του α)
3. Ρίζα πολυωνύμου ονομάζουμε τον αριθμό εκείνον που μηδενίζει το πολυώνυμο.
4. Ρητοί αριθμοί, ονομάζονται οι αριθμοί που μπορούν να γραφούν σαν κλάσματα με αριθμητές και παρονομαστές ακέραιους αριθμούς (φυσικά παρονομαστή όχι μηδέν)
5. Κάθε γωνία χαρακτηρίζεται από κάποιους αριθμούς, τους λεγόμενους τριγωνομετρικούς αριθμούς. Οι πιο γνωστοί είναι το ημίτονο, το συνημίτονο και η εφαπτομένη της γωνίας. Για μία οξεία γωνία, μπορούμε να ορίσουμε τους παραπάνω αριθμούς ως εξής:
Για τη συγκεκριμένη γωνία Α, έχουμε ότι:
ημΑ = απέναντι κάθετη πλευρά / υποτείνουσα = BC / AC
συνΑ = προσκείμενη κάθετη πλευρά / υποτείνουσα = AB / AC
εφΑ = απέναντι κάθετη πλευρά / προσκείμενη κάθετη πλευρά = BC / AB
Ας δούμε τώρα πως μπορούμε να δείξουμε το αρχικό μας ζητούμενο. Για να κατασκευάσουμε ένα κανονικό 36γωνο αρκεί ουσιαστικά να κατασκευάσουμε μία γωνία του, δηλαδή μία γωνία 10 μοιρών. Οπότε, ισοδύναμα, αρκεί να δείξουμε πως είναι αδύνατο να κατασκευάσουμε με κανόνα και διαβήτη μία γωνία 10 μοιρών.
Για να μπορέσουμε να κατασκευάσουμε μία (οξεία) γωνία, αρκεί να ξέρουμε έναν από τους τριγωνομετρικούς της αριθμούς. Εμείς εδώ θα χρησιμοποιήσουμε το συνημίτονο.
Υπάρχει μία σχέση που συνδέει το συνημίτονο μιας γωνίας με το συνημίτονο της γωνίας που είναι το ένα τρίτο της αρχικής. Συγκεκριμένα,
4[συν(θ/3)]^3 - 3 συν(θ/3) = συνθόπου θ είναι η γωνία που μας ενδιαφέρει.
Εμείς θα τη χρησιμοποιήσουμε στη μορφή 4(συν10)^3 - 3 συν10 = συν30.
Γνωρίζουμε (από το γυμνάσιο ) πως το συν30 = 3^(1/2)/2 *. Οπότε, η προηγούμενη σχέση γράφεται ως 4(συν10)^3 - 3 συν10 = 3^(1/2)/2 και υψώνοντας και τα δύο μέλη στο τετράγωνο και πολλαπλασιάζοντας με 4, παίρνουμε τη σχέση:
64(συν10)^6 - 96(συν10)^4 + 36(συν10)^2 - 3=0Αυτό μπορούμε να το δούμε σαν ένα πολυώνυμο με ρητούς συντελεστές, το f(x)=64x^6-96x^4+36x^2-3.
Είναι μάλλον γνωστό στους περισσότερους, πως υπήρχε το πρόβλημα του αν και πότε μπορούμε να τριχοτομήσουμε μία γωνία με κανόνα και διαβήτη. Αυτό λύθηκε πριν μερικά χρόνια. Ιδιαίτερα, αποδείχθηκε πως μπορούμε να την τριχοτομήσουμε, μόνο αν το αντίστοιχο πολυώνυμό της (το οποίο το δημιουργούμε χρησιμοποιώντας την ίδια σχέση για τα συνημίτονα) έχει ρίζα κάποιον ρητό αριθμό. Οπότε εμείς που θέλουμε να δείξουμε πως δεν μπορούμε να τριχοτομήσουμε τη γωνία των 30 μοιρών (κι άρα να κατασκευάσουμε αυτή των 10 μοιρών), θα δείξουμε πως το παραπάνω πολυώνυμο δεν έχει ρητές ρίζες.
Υπάρχει ένα κριτήριο, το λεγόμενο κριτήριο Eisenstein, το οποίο λέει το εξής:
Αν f(x) = a_0+a_1x+a_2 x^2 +...+ a_n x^n είναι ένα πολυώνυμο με ακέραιους συντελεστές και υπάρχει ένας πρώτος αριθμός p, ώστε
α) ο p να διαιρεί όλα τα a_i εκτός από το a_n
β) ο p^2 να μη διαιρεί το a_0
τότε το πολυώνυμό μας δεν έχει ρίζα κανέναν ακέραιο αριθμό. (οπότε και κανέναν ρητό αριθμό)
Παρατηρούμε πως το δικό μας πολυώνυμο έχει ακέραιους συντελεστές και πως αν θεωρήσουμε p=3 τότε αυτός ικανοποιεί όλες τις παραπάνω συνθήκες, αφού διαιρεί το 96, το 36, το 3 και το 0 και δε διαιρεί το 64 και το τετράγωνό του ( 9 ) δε διαρεί το 3. Σύμφωνα με το προηγούμενο κριτήριο λοιπόν, το πολυώνυμο δεν έχει ακέραιες ρίζες κι άρα δεν έχει ούτε και ρητές ρίζες. Είναι, όπως λέμε, ανάγωγο επί το σώμα των ρητών. Κι αφού δεν έχει ρητή ρίζα, δεν μπορούμε να τριχοτομήσουμε τη γωνία κι άρα να σχεδιάσουμε αυτή των 10 μοιρών.
Οπότε, είναι αδύνατο να κατασκευάσουμε ένα κανονικό 36γωνο μόνο με κανόνα και διαβήτη.
*με το 3^(1/2) δηλώνω την τετραγωνική ρίζα του 3
Οι λεπτομέρειες της παραπάνω απόδειξης αφορούν σ' ένα κομμάτι της άλγεβρας, το οποίο ονομάζεται "θεωρία Galois". Παροτρύνω όσους το σκέφτονται, να ασχοληθούν με αυτό. Είναι ιδιαίτερα ενδιαφέρον μάθημα.
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 15 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.