25-12-07
12:40
Το Παράδοξο της Διχοτομίας
Το συγκεκριμένο Παράδοξο καταλήγει στο συμπέρασμα ότι “ η κίνηση είναι αδύνατη “διότι ο,τι κινείται, πριν φτάσει στο τέρμα του πρέπει να φτάσει στη μέση της πορείας του.
Ο Ζήνωνας λέει ότι για να μεταβεί ένα σώμα από μια θέση Α σε μια θέση Β οφείλει να διανύσει το μισό της απόστασης ΑΒ. Στη συνέχεια το μισό του υπολοίπου, ακολούθως το μισό του νέου υπολοίπου και ούτω καθʼεξής.Οι αποστάσεις αυτές γίνονται συνεχώς μικρότερες, αλλά απαιτείται για κάθε μια απʼαυτές ένας ορισμένος χρόνος για να διανυθεί. Και έτσι συμπέρανε ότι “το άθροισμα ενός απείρου αριθμού ορισμένων χρονικών διαστημάτων οφείλει να είναι άπειρο”.Κατά συνέπεια η πραγματικότητα της κίνησης και ακριβέστερα της έκτασης είναι αδύνατη.
Γιʼαυτή την αντινομία έχουν προταθεί αρκετές λύσεις. Μια από αυτές θεωρεί ότι το λάθος του συλλογισμού έγκειται στην αληθοφανή πρόταση “το άθροισμα ενός απείρου αριθμού ορισμένων χρονικών διαστημάτων είναι άπειρο”. Αυτή η πρόταση ισχύει αλλά όχι πάντα.
Ας υποθέσουμε για παράδειγμα ότι (ΑΒ) = 2 Κm και η ταχύτητα του κινητού είναι u = 1 Km/min. Τότε το μισό της απόστασης έστω (ΑΜ1) θα διανυθεί σε χρόνο t1 = 1 min ,το μισό του υπολοίπου απόστασης το (Μ1Μ2) σε χρόνο t2 = 1/2 ,το μισό του υπολοίπου, δηλ. το (Μ2Μ3) σε χρόνο t3 = 1/4 min, κ.τ.λ. Έτσι ο χρόνος t που απαιτείται για να διανυθεί η απόσταση (ΑΒ) δίνεται από τη σειρά t=t1+t2+.....+tn+... , δηλαδή t = 1+1/2 +1/4 +...+1/2ν+...
Το άθροισμα, όμως , δεν είναι άπειρο. Ισχύει ότι t® 2,αλλά ποτέ δεν το υπερβαίνει. Κατά συνέπεια ο χρόνος είναι t = 2 min και όχι άπειρος. Έτσι, απο+ρρίπτεται το συμπέρασμα του Ζήνωνα ότι η κίνηση είναι αδύνατη.
Το συγκεκριμένο Παράδοξο καταλήγει στο συμπέρασμα ότι “ η κίνηση είναι αδύνατη “διότι ο,τι κινείται, πριν φτάσει στο τέρμα του πρέπει να φτάσει στη μέση της πορείας του.
Ο Ζήνωνας λέει ότι για να μεταβεί ένα σώμα από μια θέση Α σε μια θέση Β οφείλει να διανύσει το μισό της απόστασης ΑΒ. Στη συνέχεια το μισό του υπολοίπου, ακολούθως το μισό του νέου υπολοίπου και ούτω καθʼεξής.Οι αποστάσεις αυτές γίνονται συνεχώς μικρότερες, αλλά απαιτείται για κάθε μια απʼαυτές ένας ορισμένος χρόνος για να διανυθεί. Και έτσι συμπέρανε ότι “το άθροισμα ενός απείρου αριθμού ορισμένων χρονικών διαστημάτων οφείλει να είναι άπειρο”.Κατά συνέπεια η πραγματικότητα της κίνησης και ακριβέστερα της έκτασης είναι αδύνατη.
Γιʼαυτή την αντινομία έχουν προταθεί αρκετές λύσεις. Μια από αυτές θεωρεί ότι το λάθος του συλλογισμού έγκειται στην αληθοφανή πρόταση “το άθροισμα ενός απείρου αριθμού ορισμένων χρονικών διαστημάτων είναι άπειρο”. Αυτή η πρόταση ισχύει αλλά όχι πάντα.
Ας υποθέσουμε για παράδειγμα ότι (ΑΒ) = 2 Κm και η ταχύτητα του κινητού είναι u = 1 Km/min. Τότε το μισό της απόστασης έστω (ΑΜ1) θα διανυθεί σε χρόνο t1 = 1 min ,το μισό του υπολοίπου απόστασης το (Μ1Μ2) σε χρόνο t2 = 1/2 ,το μισό του υπολοίπου, δηλ. το (Μ2Μ3) σε χρόνο t3 = 1/4 min, κ.τ.λ. Έτσι ο χρόνος t που απαιτείται για να διανυθεί η απόσταση (ΑΒ) δίνεται από τη σειρά t=t1+t2+.....+tn+... , δηλαδή t = 1+1/2 +1/4 +...+1/2ν+...
Το άθροισμα, όμως , δεν είναι άπειρο. Ισχύει ότι t® 2,αλλά ποτέ δεν το υπερβαίνει. Κατά συνέπεια ο χρόνος είναι t = 2 min και όχι άπειρος. Έτσι, απο+ρρίπτεται το συμπέρασμα του Ζήνωνα ότι η κίνηση είναι αδύνατη.
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 16 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
01-05-07
16:00
Δεν καταλαβαίνω γιατί η απόδειξη να είναι 2 γραμμές, ή 3 σελίδες.
Η παραπάνω διαφορά των δύο άρρητων (μη περιοδικών δεκαδικών) ,δεν εκλαμβάνεται ως διαφορά αριθμών άλλα ως όριο διαφοράς. (Άθροισμα απείρων όρων απολύτως φθινουσών γεωμετρικών προόδων).(αύριο θα στείλω την απόδειξη πλήρη). Καλό θα είναι βέβαια -από άποψη μαθηματικής ορθογραφίας-, να μη γράφουμε 9,999...-0,999...=, αφού ή παραπάνω διαφορά έχει οριακή υπόσταση. Π.χ θα είχαμε σοβαρό πρόβλημα να γράψουμε: 9,999...-2, ωστόσο ο φίλος όταν γράφει: 9,999...-0,999... προφανώς αναφέρεται στο όριο της διαφοράς των παραπάνω αθροισμάτων.
Πολύ ωραία τα 3 προβλήματα που έδωσες, και θα τα δω.
Σας φιλώ όλους....
Αγαπητέ tano56, αφού έχετε σκοπό να ασχοληθείτε με τα τρία προβληματάκια, να σας ενημερώσω πως το πρώτο είναι ανεξάρτητο του δεύτερου. Δε θα πρέπει να χρησιμοποιηθεί η αποδείξει του πρώτου για το πέρας του δεύτερου.
Και αφού τελειώσετε με αυτά να σας ρωτήσω κάτι να μου δώσετε τα φώτα σας, μιας που η μόρφωσή σας και η εμπειρία σας το επιτρέπει αυτό!
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 17 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
28-04-07
14:56
Στα μαθηματικά, το 0,999... είναι ένας περιοδικός αριθμός που είναι ακριβώς ίσος με τον αριθμό 1. Με άλλα λόγια τα σύμβολα «0,999...» και «1» αντιπροσωπεύουν τον ίδιο πραγματικό αριθμό. Οι μαθηματικοί έχουν διατυπώσει πολλές αποδείξεις αυτής της ταυτότητας, οι οποίες διαφέρουν ως προς το επίπεδο της αυστηρότητας, την προτιμώμενη ανάπτυξη των πραγματικών αριθμών, τις αρχικές υποθέσεις, το ιστορικό υπόβαθρο και το κοινό στο οποίο απευθύνονται.
Κλασματική απόδειξη
υπόθεση 3 × 0,333... = 0,999...
υπόθεση 0.333… = 1⁄3
βήμα1 3 × 0,333... = 3 × 1⁄3
απόδειξη 0,999... = 1
Ένας λόγος για τον οποίο οι δεκαδικοί με άπειρα ψηφία αποτελούν αναγκαία επέκταση των πεπερασμένων είναι η αναπαράσταση κλασμάτων. Κάνοντας ευκλείδια διαίρεση, μια απλή διαίρεση δύο ακεραίων όπως το 1 ⁄ 3 έχουμε ως πηλίκο έναν περιοδικό αριθμό, το 0,333..., του οποίου τα ψηφία επαναλαμβάνονται χωρίς τέλος. Αυτός ο δεκαδικός χρησιμεύει για μία γρήγορη απόδειξη πως 0,999... = 1. Τρεις φορές το 3 δίνει τον αριθμό 9 σε κάθε ψηφίο, οπότε 3 × 0,333... ισούται με 0,999... . Αλλά 3 × 1 ⁄ 3 ισούται με 1, οπότε 0,999... = 1. Μία άλλη μορφή αυτης της απόδειξης πολλαπλασιάζει το 1 ⁄ 9 = 0,111... με το 9.
Αλγεβρική Απόδειξη
υπόθεση 10 × 0,999... = 9,999...
υπόθεση α = 0,999...
βήμα 1 10α = 9,999...
βήμα 2 10α − α = 9,999... − 0,999...
βήμα 3 9α = 9
απόδειξη α = 1
Μια άλλη απόδειξη προσαρμόζεται ευκολότερα σε άλλους περιοδικούς δεκαδικούς. Όταν ένας αριθμός σε δεκαδικό συμβολισμό πολλαπλασιάζεται με το 10, τα ψηφία δεν αλλάζουν, παρά μόνο η υποδιαστολή μετακινείται μία θέση προς τα δεξιά. Κατά αυτόν τον τρόπο, 10 × 0,999... ισούται με 9,999... που είναι 9 περισσότερο από τον προηγούμενο αριθμό. Για να γίνει φανερό αυτό, υποθέστε ότι η δοκιμή αφαίρεσης του 0,999... από το 9,999... μπορεί να γίνει ψηφίο-ψηφίο· σε καθένα από τα ψηφία μετα την υποδιαστολή, το αποτέλεσμα θα είναι 9 - 9 που κάνει 0. Αλλά τα μηδενικά της ουράς δεν αλλάζουν κανέναν αριθμό, οπότε η διαφορά είναι ακριβώς 9. Το τελευταίο βήμα χρησιμοποιεί άλγεβρα. Έστω α ο ζητούμενος περιοδικός αριθμός. Τότε 10α - α = 9. Αυτό συνεπάγεται 9α = 9. Διαιρώντας και τα δυο μέλη με το 9 ολοκληρώνεται η απόδειξη: α = 1
Κλασματική απόδειξη
υπόθεση 3 × 0,333... = 0,999...
υπόθεση 0.333… = 1⁄3
βήμα1 3 × 0,333... = 3 × 1⁄3
απόδειξη 0,999... = 1
Ένας λόγος για τον οποίο οι δεκαδικοί με άπειρα ψηφία αποτελούν αναγκαία επέκταση των πεπερασμένων είναι η αναπαράσταση κλασμάτων. Κάνοντας ευκλείδια διαίρεση, μια απλή διαίρεση δύο ακεραίων όπως το 1 ⁄ 3 έχουμε ως πηλίκο έναν περιοδικό αριθμό, το 0,333..., του οποίου τα ψηφία επαναλαμβάνονται χωρίς τέλος. Αυτός ο δεκαδικός χρησιμεύει για μία γρήγορη απόδειξη πως 0,999... = 1. Τρεις φορές το 3 δίνει τον αριθμό 9 σε κάθε ψηφίο, οπότε 3 × 0,333... ισούται με 0,999... . Αλλά 3 × 1 ⁄ 3 ισούται με 1, οπότε 0,999... = 1. Μία άλλη μορφή αυτης της απόδειξης πολλαπλασιάζει το 1 ⁄ 9 = 0,111... με το 9.
Αλγεβρική Απόδειξη
υπόθεση 10 × 0,999... = 9,999...
υπόθεση α = 0,999...
βήμα 1 10α = 9,999...
βήμα 2 10α − α = 9,999... − 0,999...
βήμα 3 9α = 9
απόδειξη α = 1
Μια άλλη απόδειξη προσαρμόζεται ευκολότερα σε άλλους περιοδικούς δεκαδικούς. Όταν ένας αριθμός σε δεκαδικό συμβολισμό πολλαπλασιάζεται με το 10, τα ψηφία δεν αλλάζουν, παρά μόνο η υποδιαστολή μετακινείται μία θέση προς τα δεξιά. Κατά αυτόν τον τρόπο, 10 × 0,999... ισούται με 9,999... που είναι 9 περισσότερο από τον προηγούμενο αριθμό. Για να γίνει φανερό αυτό, υποθέστε ότι η δοκιμή αφαίρεσης του 0,999... από το 9,999... μπορεί να γίνει ψηφίο-ψηφίο· σε καθένα από τα ψηφία μετα την υποδιαστολή, το αποτέλεσμα θα είναι 9 - 9 που κάνει 0. Αλλά τα μηδενικά της ουράς δεν αλλάζουν κανέναν αριθμό, οπότε η διαφορά είναι ακριβώς 9. Το τελευταίο βήμα χρησιμοποιεί άλγεβρα. Έστω α ο ζητούμενος περιοδικός αριθμός. Τότε 10α - α = 9. Αυτό συνεπάγεται 9α = 9. Διαιρώντας και τα δυο μέλη με το 9 ολοκληρώνεται η απόδειξη: α = 1
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 17 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.