Να είσαι καλά.
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 15 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
coincidence
Φιλέ μου, θεωρώ ότι η σκέψη σου είναι περισσότερο κοντά στη φυσική παρά στη μαθηματική λογική. Καταλαβαίνω νομίζω τι εννοείς. Το σημείο Μ που ανήκει; Στο ΜΑ ή στο ΜΒ για να είναι διαιρεμένο σε δυο ίσα μέρη; Μάλλον δε πρέπει να ανήκει πουθενά. Όλη αυτή η σκέψη δε μπορεί να ειπωθεί εφόσον το σημείο δεν έχει διαστάσεις. Καλό Πάσχα!
Νομίζεις φίλε μου ότι ανατρέχω στη φυσική. Η φυσική δεν έχει σημεία μέρη ουθέν. Είμαι στη γεωμετρία αποκλειστικά. Κατ` αρχάς το σημείο Μ ανήκει στο ΑΒ σαν μέσο σημείο. Επομένως δεν μπορείς να λες ότι δεν ανήκει πουθενά, από το πουθενά της τεκμηρίωσης! Αφού ανήκει στο ΑΒ, ισοδύναμα ανήκει και στο ΑΜ. Γιατί λες ότι δεν ανήκει πουθενά; Εκτός και δεν ανήκει και στο ΑΒ, γιατί αν ανήκει στο ΑΒ δεν μπορείς - αναιτιολόγητα - να το εξαιρείς από το να ανήκει και στο ΑΜ. Εξάλλου εκ της συμμετρίας βλέπουμε ότι συμμετέχει σαν "ανήκον" και στο ΑΜ και στο ΜΒ. Τι συμπέρασμα είναι αυτό; Αν μπορείς θα χαρώ να μου εξηγήσεις το γιατί το Μ δεν ανήκει πουθενά όπως λες. Το ότι δεν έχει κανένα μέγεθος δεν πάιζει κανένα ρόλο εν προκειμένω. Εξάλλου κανένα σημείο δεν έχει μέγεθος και επομένως αν αυτό παίζει ρόλο σημαντικό στο συλλογισμό σου, τότε ούτε το ΑΒ μπορούμε να αναφέρουμε επειδή και το Α και το Β δεν έχουν μεγέθη και κατά την άποψή σου δεν ανήκουν πουθενά, μηδέ του ΑΒ εξαιρουμένου.
Επι πλέον θέλω να σου γνωρίσω ότι το σημείο δεν μερίζεται και επομένως δεν εξάγω συμπέρασμα πουθενά ότι "είναι διαιρεμένο σε δυο ίσα μέρη", όπως συμπεραίνεις εσύ για μένα.
Καλό Πάσχα.
ΥΓ: Με το "μάλλον" που χρησιμοποίησες δεν γίνονται μαθηματικά.
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 15 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
Όταν βρεις τις επίδοξες διάνοιες και μάλιστα αυτές που θεωρούν ότι το σημείο δεν είναι μέρος ουθέν, αλλά έχει μήκος, να τις ρωτήσεις. Μήπως απαντάς σε άλλο θέμα που αφορά διάνοιες; Εδώ είμαστε όλοι νορμάλ και με χαμηλό δείκτη νοημοσύνης.
Αν πάλι θεωρείς ότι εγώ αντιλαμβάνομαι πως το σημείο έχει μήκος, μάλλον βλέπεις άλλο έργο.
Να είσαι καλά.
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 15 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
coincidence
Οπότε και ΑΜ=ΒΜ.
Αγαπητέ φίλε coincidence (με την ευκαιρία χαίρομαι που τα λέμε και πάλι), μου αποδεικνύεις ότι το ΑΒ έχει ένα συμμετρικό μέσο σημείο Μ, σύμφωνα και με τον ορισμό του μέσου σημείου. Δεν ήταν ανάγκη να κάνεις όλη αυτή τη διαδικασία με τους κύκλους, αφού αρκούσε να επικαλεστείς τον ορισμό περί μέσου σημείου Μ παντός ευθύγραμμου τμήματος. Όμως φίλε μου, δεν διαιρείς το ΑΒ σε 2 ίσα τμήματα, αφού το ΑΒ εξακολουθεί να είναι ένα, ανεξάρτητα από το πόσα εσωτερικά σημεία του θα μου υποδείξεις. Το ότι το Μ είναι συμμετρικό ως προς Α και Β, δηλαδή ισχύει ΜΑ=ΜΒ δεν συνεπάγεται ότι έχεις διαιρέσει το ΑΒ σε 2 ίσα μέρη, αφού δεν υπάρχουν μέρη στο ακέραιο ΑΒ. Η συμμετρία είναι άλλο και άλλο η διαίρεση. Θα σου φέρω παράδειγμα.
Α...........Μ΄........Μ...........Β
Εδώ ισχύει από κατασκευή ΑΜ=Μ΄Β. Συνεπάγεται ότι το ΑΒ είναι διαιρεμένο σε 2 ίσα μέρη μόνο και μόνο επειδή υπάρχει συμμετρία;
Διαίρεση (την οποία ζητώ) εν προκειμένω, σημαίνει ότι πρέπει να επαληθεύσεις ότι υπάρχουν 2 τμήματα ΜΑ και ΜΒ. Πρόσεξε:
Α................Μ...............Β
Αφού διαιρείς το ΑΒ σε δύο ίσα μέρη (αυτό είναι το πρόβλημα) αφαίρεσε το ένα μέρος εκ των δύο ίσων μερών, έστω το ΑΜ. Αν αφαιρέσεις το ΑΜ το υπόλοιπο που μένει από την αφαίρεση ΑΒ-ΑΜ είναι μικρότερο του ΑΜ ή αλλιώς διατυπωμένο ισχύει ΑΒ-ΑΜ<ΑΜ, αφού το Μ που είναι ένα, ανήκει στο αφαιρούμενο τμήμα ΑΜ. Επομένως δεν έχεις δύο ίσα μέρη του ΑΒ δείχνοντας το συμμετρικό Μ, αλλά ένα μεγαλύτερο στο οποίο ανήκει το Μ, δηλαδή το ΑΜ και ένα μικρότερο από το οποίο ελλείπει το Μ.
Ελπίζω να είμαι σαφής καλέ μου φίλε και καλές γιορτές.
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 15 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 15 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
coincidence
Γεια σας! Όταν χρησιμοποιώ το θεώρημα του Θαλή για να χωρίσω ένα ευθύγραμμο τμήμα σε όσα τμήματα ίσα θέλω, τι επαλήθευση χρειάζεται παρακάτω;
Με το θεώρημα δεν μπορείς να χωρίσεις. Έτσι απλά είναι τα πράγματα. Το θεώρημα (όπως και κάθε θεώρημα) δεν αποδεικνύει τίποτα από μόνο του. Το θεώρημα χρήζει το ίδιο απόδειξης που να στηρίζεται σε κάποιο αξίωμα. Αν αποδειχθεί ορθό σύμφωνα με το αξίωμα στήριξής του, τότε αποκτά αποδεικτική δυναμική ενδιάμεσης πρότασης αφού έχει τη στήριξη του αξιώματος. Το ίδιο ισχύει και με το πυθαγόρειο θεώρημα. Θεώρημα είναι και όχι αξίωμα και γι αυτό χρήζει αξιωματικής στήριξης που στο πλαίσιο της ευκλείδειας γεωμετρίας δεν το έχει αφού δεν προβλέπονται αθροίσεις σχημάτων. Τι το περίεργο λέω; Που πάσχει ο συλλογισμός μου; Στην απαίτηση για αξιωματική στήριξη της όποιας πρότασης ή του όποιου πίσματος ή της όποιας απόδειξης του όποιου μαθηματικού πρβλήματος ή άσκησης; Δική μου είναι αυτή η απαίτηση είναι είναι καιολική απαίτηση όλων των αξιωματικών σσυτημάτων; Εγώ την εισάγω; Εγώ απλά σημειώνω ότι επί αυτού δε ν χωρούν εξαιρέσεις. Π.χ. σχετικά με το πυθαγόρειο μπορεί κανείς να υποστηρίξει σήμερτα ότι αυτό στηρίζεται στο αξίωμα του εμβαδού. Έλα όμως που ο Ευκλέιδης στα Στοιχεία του ούτε τη λέξη εμβαδόν ή μέτρο επιφάνειας αναφέρει πουθένα!
Ας πάμε τώρα στον Θαλή επί του οποίου φρονείς ότι δεν χρήζει περαιτέρω απόδειξης:
1. Τα σχήματα δεν μετακινούνται επί του επιπέδου παρά μόνο σαν εικονικά ή ομόλογα. Αυτό σημαίνει ότι ένα ευθύγραμμο τμήμα ΑΔ δεν μπορείς να το χωρίσεις αυτό καθαυτό, αλλά μόνο να θεωρήσεις ότι το χωρίζεις π.χ. σε 3 ίσα μέρη ΑΒ=ΒΓ=ΓΔ. Όμως με διαδοχικά τα Β και Γ το ΑΔ είναι ή εξακολουθεί να είναι ακέραιο και αδιαίρετο.
2. Σε αυτή την πρακτική της μετρήσεως ελλοχεύει το σφάλμα. Αν από το ΑΔ αφαιρέσεις με τον διαβήτη το μεσαίο μήκος π.χ. ΒΓ, μαζί με τα Β και Γ, τότε τα δύο ακραία ευθύγραμμα τμήματα δεν θα έχουν το μεν εξ αριστερών πέρας Β αφού αυτό θα έχει αφαιρεθεί, το δε εκ δεξιών αρχή Γ για τον ίδιο λόγο.
3. Ηδιαίρσεη αγαπητέ δεν είναι μία πράξη τελεσίδικη. Για να αποδειχθεί χρειάζεται την επαλήθευσή της. Τι επαλήθευση των μηκών θα κάνεις υπό τις παραπάνω προϋποθέσεις;
4. Είναι σημαντικό να βρεις αξίωμα στήριξης της διαίρεσης ενός ευθύγραμμου τμήματος ΑΔ υπό την μορφή ΑΒ+ΒΓ+ΓΔ=ΑΔ και (ΑΒ)+(ΒΓ)+(ΓΔ)=(ΑΔ). Κοντολογής εμφανίζεται η ανάγκη να βρεις αξίωμα στήριξης του ακέραιου πολλαπλασίου του 1, αφού αν (ΑΒ)=1 τότε έχουμε 1+1+1=3 και το 3 δείχνεται ακέραιο πολλαπλάσιο του 1, επειδή θεωρείς ότι το έχει χωρίσει ενώ δεν το έχεις χωρίσει αξιωματικά στηριγμένα. Σου λείπει ένα αξίωμα και σε καλώ να το βρεις για να στηρίξεις την διαίρεση του Θαλή.
Αγαπητέ φίλε για να μην ψάχνεις και σπαταλάς το χρόνο σου, σου λέω ότι την στήριξη θα βρεις στον ορισμό περί μέσου σημείου Μ ευθύγραμμου τμήματος ΑΒ όπου ισχύει (!) ΑΜ+ΜΒ=ΑΒ και (ΑΜ)+(ΜΒ)=(ΑΒ).
Όμως, αυτός ορισμός αφορά το αξίωμα πως κάθε ευθύγραμμο τμήμα έχει ένα μόνο μέσο.
Το ότι όμως το ένα μόνο μέσο συνεπάγεται και 2 ίσα μέρη ΑΜ=ΜΒ δεν είναι αποδεδειγμένο αλλά στηρίζεται στο προφανές και μπορώ να σε παραπέμψω στην απόδειξη που παραθέτουν τα σχολικά εγχειρίδια αν σε ενδιαφέρει. Ένα ευθύγραμμο τμήμα ΑΒ έχει ένα μέσο Μ, όμως δύο ευθύγραμμα τμήματα δεν μπορούν να έχουν ένα μέσο. Αν έχουν ένα μέσο είναι ένα ευθύγραμμο τμήμα σύμφωνα με τον ορισμό όπως ένα είναι το ΑΒ με το μέσο Μ σαν ΑΜΒ. Αν είναι όμως γίνει αποδεκτό, ότι το ένα είναι και συγχρόνως και δύο, πως επί των δύο ευθύγραμμων τμημάτων θα ευρεθεί ένα μέσο; Το αξίωμα καλύπτει μόνο το ένα ευθύγραμμο τμήμα και όχι τα δύο ευθύγραμμα τμήματα.
Εάν έχεις ενστάσεις ή απορίες στη διάθεσή σου και σε ευχαριστώ που ασχολήθηκες.
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 16 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
Μόνο που στις αποσκευές μας έχουμε απαράλλακτες τις αρχικές έννοιες του Ευκλείδη περί σημείου, ευθείας και επιπέδου που τον καθιστά σύγχρονο. Η νεότερη τυποποίηση της ευκλείδειας γεωμετρίας από τον Χίλμπερτ δεν προτείνει αλλιώς τις αρχικές έννοιες. Ο μέγας Ευκλείδης δεν ήταν, εξακολουθεί να είναι η δεσπόζουσα φυσιογνωμία στο χώρο των μαθηματικών. Να θυμίσω επίσης ότι στην αναλυτική μέθοδο, τα πάντα είναι προτάσεις και τα αξιώματα δείχνουν να απουσιάζουν. Αυτό όμως είναι μόνο φαινομενικό. Τα αξιώματα κρύβονται σε αυτή την περίπτωση στο μοντέλο. Π.χ. για το R^2 τα αντίστοιχα αξιώματα είναι αυτά του R τα οποία συνεπάγονται τα αξιώματα του ευκλείδειου επιπέδου.Rempeskes
Mα... Νόμιζα ότι είμαστε ήδη στο μέλλον, σε σχέση με τον Ευκλείδη πάντα...
Αυτό σημαίνει ότι σε σχέση με τον Ευκλείδη είμαστε στο μέλλον χρονολογικά, ως προς τις ιδέες του όμως περί τα μαθηματικά, ο μεγάλος δάσκαλος είναι παρών και ανυπέρβλητος. Κανείς δεν έχει ούτε δικαίωμα, ούτε τη δυνατότητα όσο και να το επιθυμεί, να τον διαγράψει ή να μειώσει την ένταση του φωτός του πνεύματός του.
Σε ευχαριστώ που ασχολείσαι.
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 16 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
Αγαπητέ Rempeskes, αν η μόνη εναλλακτική λύση ήταν αυτή, θα ήσουν ορθότατος.Rempeskes
Καταλήγουμε λοιπόν, ότι η Ευκλείδια γεωμετρία είναι εκτός των δυνατοτήτων της Ευκλείδιας γεωμετρίας...
Μπορεί να αποδειχθεί διαίρεση σχημάτων χωρίς επαλήθευση;
Άλλο σημαντικό ερώτημα είναι:
Αν υπάρχει λάθος θα πρέπει να μας απασχολήσει ή για να μη χαλάσουμε το μαθηματικό οικοδόμημα πρέπει να κλείσουμε τα μάτια και να πάμε σκυφτοί προς το μέλλον; Ή μήπως οι μαθηματικοί δεν έχουν πρόσβαση στο σφάλμα;
Εσύ αγαπητέ Rempeskes ποια προτεραιότητα θα είχες;
Διαπιστώνω, ότι αντί να απαντάς στους ισχυρισμούς μου, απλά συμπεραίνεις!
Που ακριβώς δυσκολεύεσαι μήπως μπορώ να βοηθήσω, διότι όλες σου οι απαντήσεις είναι μεν ευγενικές αλλά θυμίζουν, επέτρεψέ μου να σου το πω, φιρμάνια. Λες κάτι και έχεις την εντύπωση ότι τελείωσε, χωρίς να αναγνωρίζεις κάποια ανάγκη για θεμελίωσει των λακωνικών σου αποφάσεων.
Σε κάθε περίπτωση σε ευχαριστώ θερμά έστω και για την απλή συμμετοχή σου.
Απάντησε σε παρακαλώ αν είναι ορθοί ή εσφαλμένοι οι ισχυρισμοί μου και γιατί (αξιωματικά θεμελιωμένα) και ο συμπερασμός είναι επόμενο στάδιο και ακόμα πιο επόμενο το πως θα διαχειριστούμε τον όποιο συμπερασμό.
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 16 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
-
Το forum μας χρησιμοποιεί cookies για να βελτιστοποιήσει την εμπειρία σας.
Συνεχίζοντας την περιήγησή σας, συναινείτε στη χρήση cookies στον περιηγητή σας.