Άλλα μηνύματα του μέλους WhaleOilBeefHooked σε αυτό το thread

WhaleOilBeefHooked · 9 Απριλίου 2021

Σε ένα σύστημα κρυπρογραφησης, καταγράψαμε ότι το κείμενο !Gl2G δίνει "Jq9P. Ένας χρήστης εισάγει ένα password που κρυπτογραφείται σε id}7{. Ποιος ήταν ο κωδικός του?

Αυτόματη ένωση συνεχόμενων μηνυμάτων: 9 Απριλίου 2021

Αρχική Δημοσίευση από klean:
Ντάξει δικής μου εμπνεύσεως δεν είναι αλλά έχει πλάκα:
Βρείτε το μοτίβο στην ακολουθία: 6, 16, 1116, 3116, 132116, 1113122116, ...

Και για τους πιο geek: Φτιάξτε μια συνάρτηση (πχ σε python) που να λαμβάνει όρισμα τον πρώτο όρο n0 και να επιστρέφει μια λίστα με τους n πρώτους όρους της ακολουθίας.

Το κοιτούσα πόση ώρα μες στη βαρεμάρα μου και τώρα το κατάλαβα

hint: Πείτε την ακολουθία αριθμό-αριθμό με λόγια

Μια στα γρήγορα σε Python - describe function:

Python:

from itertools import groupby
# grouper credits: https://stackoverflow.com/a/6352456
grouper = lambda x: [(k, sum(1 for i in g)) for k,g in groupby(x)]
describe = lambda x: ''.join([str(times) + chr for chr, times in grouper(x)])
# describe('311311222116') -> '13211321322116'

WhaleOilBeefHooked · 09-04-21

Αρχική Δημοσίευση από WhaleOilBeefHooked:
Να βάλω και εγώ ένα ωραίο προβληματάκι μου θυμάμαι πριν από πολλά χρόνια από την 1η λυκείου (με διαφορετικούς αριθμούς φυσικά).

1.
Ν.δ.ο.
$\frac{2021}{2020} < \frac{2020}{2019}$
To ίδιο πρόβλημα σε πιο light έκδοση:

Να μελετήσετε ως προς μονοτονία τη συνάρτηση $f(x)=\tfrac{5-x}{x-1}$

Και ένα ακόμα υπολογιστικό με πίνακες, δε θυμάμαι αν τους διδάσκουν στο λύκειο.

2.
Αν πίνακας
$\textbf{M} = \begin{bmatrix}1 & 0 & 1\\1 & 1 & 0\\0 & 1 & 1\end{bmatrix}$
, να υπολογίσετε τη δύναμη $\textbf{M}^{22}$ .

Αρχική Δημοσίευση από bovid19:
Για να δουλέψει το λατεκ: {latex} ο κώδικας σου {/latex} όμως αντί για {} βάζεις [].
Στο 1:
$2020^2-1^2<2020^2 \leftrightarrow (2020-1)(2020+1)<2020*2020 \leftrightarrow \frac{2021}{2020} < \frac{2020}{2019}$ . Η μονοτονία της συνάρτησης είναι προφανής απ'το πρόσημο της παραγώγου (παντού αρνητικό)

Το 2 είναι απλά κουραστικές πράξεις, βρήκα τα $M^2,M^4,M^8$ και μετά βαρέθηκα. Συνεχίζοντας μπορούμε να το βρούμε ως $M^{22}=M^8*M^8*M^4*M^2=((M^8*M^8)*M^4)*M^2$

Ωραία η λύση της (1), αλλά η ιδέα των 2 ασκήσεων ήταν να αποφύγουμε τις πράξεις. Οι λύσεις που είχα στο μυαλό μου ήταν:

$\frac{2021}{2020} < \frac{2020}{2019} \Leftarrow \\ \frac{2020+1}{2020} < \frac{2019+1}{2019} \Leftarrow \\ \frac{1}{2020} < \frac{1}{2019}$
Με $f(x)=\frac{1}{x}$ γν. φνίν. έχω $f(2020)<f(2019)$

Για την μονοτονία της $f(x)=\tfrac{5-x}{x-1}, \quad x \neq 1$ ,
$y:=x-1 \Rightarrow x=y+1, \, 5-x = 4-y$ :
$f(x) = f(y+1) = \frac{4-y}{y} = \frac{4}{y} - 1 \Rightarrow f(y) = \frac{4}{y-1} - 1$ .
Άρα η f(x) είναι η υπερβολή 4/x μετατοπισμένη κατά 1 προς τα κάτω και 1 δεξιά. Από δω η μονοτονία είναι άμεση.

Για να πω την αλήθεια η (2) δεν είναι δική μου, είναι από

Για να σκιαγραφήσω τη λύση του:

$\textbf{M} = \textbf{I}_3 + \textbf{C}$ , όπου
$\textbf{I}_3 = \begin{bmatrix}1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{bmatrix}$ , $\textbf{C} = \begin{bmatrix} 0 & 0 & 1\\ 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 \end{bmatrix}$
Binomial theorem:
$\textbf{M}^{22} = ( \textbf{I}_3 + \textbf{C})^n = \sum_{k=0}^{22}\frac{25!}{k!(22-k)!}\textbf{I}^{22-k}\textbf{C}^k = \sum_{k=0}^{22}\frac{22!}{k!(22-k)!}\textbf{C}^k$
Άρα αρκεί να μπορώ να υπολογίσω την $\textbf{C}^k , \quad k=0,\ldots,22$
Παρατηρώ ότι $\textbf{C}^2 = \begin{bmatrix} 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1\\ 1 & 0 & 0\\ \end{bmatrix}, \quad \textbf{C}^3 = \textbf{C}\textbf{C}^2 = \textbf{I}_3$ άρα γενικά
$\textbf{C}^n = \left\{ \begin{array}{ll} \textbf{I}_3, & n = 3k, \quad k \in N\\ \textbf{C}, & n = 3k+1, \quad k \in N\\ \textbf{C}^2, & n = 3k+2, \quad k \in N\\ \end{array} \right.$
Αφού ξέρω τις δυνάμεις ανά 3, σπάω και άθροισμα ανά 3 σε
$\sum_{k=0}^{22}\frac{22!}{k!(22-k)!}\textbf{C}^k = \underbrace{\sum_{\substack{k=0, \\ k+=3}}^{21}\frac{22!}{k!(22-k)!}}_{\alpha_1}\textbf{I}_3 + \underbrace{\sum_{\substack{k=1, \\ k+=3}}^{22}\frac{22!}{k!(22-k)!}}_{\alpha_2}\textbf{C} + \underbrace{\sum_{\substack{k=2, \\ k+=3}}^{20}\frac{22!}{k!(22-k)!}}_{\alpha_3}\textbf{C}^2$
Μένει να υπολογίσω τους συντελεστές $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$ με ένα for loop και τελείωσε.

WhaleOilBeefHooked · 9 Απριλίου 2021

Να βάλω και εγώ ένα ωραίο προβληματάκι μου θυμάμαι πριν από πολλά χρόνια από την 1η λυκείου (με διαφορετικούς αριθμούς φυσικά).

1.
Ν.δ.ο. 2021/2020 < 2020/2019
To ίδιο πρόβλημα σε πιο light έκδοση:

Να μελετήσετε ως προς μονοτονία τη συνάρτηση f(x) = (5-x)/(x-1)

Και ένα ακόμα υπολογιστικό με πίνακες, δε θυμάμαι αν τους διδάσκουν στο λύκειο.

2.
Αν πίνακας Μ =

1	0	1
1	1	0
0	1	1

, να υπολογίσετε τη δύναμη Μ^22.

Δε δουεύει το Latex εδώ? :/

Άλλα μηνύματα του μέλους WhaleOilBeefHooked σε αυτό το thread

WhaleOilBeefHooked

Νεοφερμένος

WhaleOilBeefHooked

Νεοφερμένος

WhaleOilBeefHooked

Νεοφερμένος

Λοιπές Σελίδες