Έλλειψη: Απόσταση εστιών και περίμετρος.

[iJohnnyCash]

Μέχρι στιγμης αυτά που έχω καταλάβει απο τα ελάχιστα αλλά και περιληπτικά που έχω διαβάσει σχετικά με την έλλειψη είναι ότι η περίμετρος της έλλειψεις εξάρταται (και() απο την απόσταση των εστιών. Αυτό που με προβληματίζει είναι αν ο λόγος περίμετρως προς απόσταση των εστιών είναι σταθερος. (Δυο μαθηματικους ρώτησα και κανεις δεν ήξερε να μου απαντήση )

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 19 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[Leviathan]

Μέχρι στιγμης αυτά που έχω καταλάβει απο τα ελάχιστα αλλά και περιληπτικά που έχω διαβάσει σχετικά με την έλλειψη είναι ότι η περίμετρος της έλλειψεις εξάρταται (και() απο την απόσταση των εστιών. Αυτό που με προβληματίζει είναι αν ο λόγος περίμετρως προς απόσταση των εστιών είναι σταθερος. (Δυο μαθηματικους ρώτησα και κανεις δεν ήξερε να μου απαντήση )

χμμμ
Εγω λεω οτι οχι. Οχι δεν ειναι σταθερος ο εν λογω λογος, αλλα ουτε και εξαρταται η περιμετρος απο την αποσταση των 2 εστιων. Βεβαια εγω δεν θυμαμαι τιποτε περι ελλειψεων (ουτε τιποτα αλλο ) απο αυτα που ειχα μαθει στο σχολειο, οποτε πολυ πιθανον να κανω λαθος. (οι γνωστες του αντικειμενου ας μας διαφωτισουν).

Η περιμετρος εξαρταταται βασικα απο τους ημιαξονες θα ελεγα, οι οποιοι δεν μπορουν να πρoσδιοριστουν απο την αποσταση των εστιων και μονο. αν ειχαμε πχ και την εκκεντρικοτητα, τοτε κατι γινεται..

απο ενα γρηγορο google search που εκανα φαινεται δεν υπαρχει απλη και ωραια formula για την περιμετρο (οπως στον κυκλο, 2πr). Οποτε για τον λογο, και μαλιστα σταθερο, μαλλον ξεχνα το.

Εγω σκεφτομαι, οτι απλα και λογικα (και πιθανως αφελως ? )... πχ αμα προδιορισεις το κεντρο του κυκλου, δεν σου λεει τιποτα για την περιμετρο (ειναι ασχετο, αυτο που θες ειναι η ακτινα). Ετσι και για την ελλειψη. Και που ζωγραφισες στο χαρτι σου 2 εστιες (και αρα ορισες την αποσταση μεταξυ τους) και τι ? Δεν σου λεει αυτο τιποτα για την 'περιμετρο' της ελλειψης, αφου με αυτες τις 2 εστιες μπορεις να ζωγραφισεις απειρες ελλειψεις, με διαφορετικη περιμετρο η καθε μια... (που θα εξαρταται απο την 'ακτινα' δηλ αθροισμα των αποστασεων απο τις εστιες)

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 19 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[iJohnnyCash]

Εχεις δικαιο απο δυο εστιες μπορουμε να φερουμε απειρες ελλειψες οποτε το ερωτημα μου ειναι ακυρο, σωστα; . Τελος το ερωτημα μου προηλθε απο την σκεψη οτι αφου εχουν τοσα κοινα η ελλειψη με τον κυκλο γιατι να μην έχει και η ελλειψη καποιο "π"

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 19 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[Subject to change]

Το ίδιο π έχει Πάνο, και θα το δεις σε αρκετούς τύπους για την έλλειψη. Άλλωστε ουσιαστικά ο κύκλος είναι μια έλλειψη στην οποία συμπίπτουν οι εστίες.

Όσον αφορά το ερώτημα, μήπως ξέρει/θυμάται/μπορεί να βρει κανείς τον τύπο για την περίμετρο ώστε να μην μιλάμε στον αέρα;

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 19 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[Leviathan]

Εχεις δικαιο απο δυο εστιες μπορουμε να φερουμε απειρες ελλειψες οποτε το ερωτημα μου ειναι ακυρο, σωστα; .

εμενα 'ακυρο' μου φαινεται, με την λογικη οτι αφου απο 2 συγκεκριμενες εστιες, περνανε απειρες ελλειψεις, ο λογος 'περιμετρος/αποσταση εστιων' αποκλειεται να ειναι σταθερος. Aλλα οπως ειπα, δεν γνωριζω τα των ελλειψεων, οποτε πιθανον να κανω λαθος...

Τελος το ερωτημα μου προηλθε απο την σκεψη οτι αφου εχουν τοσα κοινα η ελλειψη με τον κυκλο γιατι να μην έχει και η ελλειψη καποιο "π"

Το οτι δεν εχει και τοσο σημασια αυτος ο λογος (που ΔΕΝ ειναι σταθερος, ισχυριζομαι), δεν σημαινει να ξεχασουμε το π γενικα (και ως προς την περιμετρο συγκεκριμενα)...

ο κυκλος ειναι 'ειδικη περιπτωση' της ελλειψης. (Αυτο το θυμαμαι απο το σχολειο.. ) Ειναι ελλειψη οπου οι 2 εστιες ειναι .. μια (αποσταση μεταξυ τους =0). Αρα, ο κυκλος ειναι ελλειψη. Η ελλειψη ομως δεν ειναι κυκλος. Ο κυκλος ως ιδιαιτερη περιπτωση της ελλειψης εχει καποια χαρακτηριστικα, που δεν τα εχουν οι αλλες ελλειψεις, μεταξυ των οποιων, εκκεντρικοτητα=0, και η περιμετρος του δινεται ευκολα: 2πr). To π υπαρχει γενικα στα μαθηματικα (παντου σχεδον ξεφυτρωνει το ατιμο ) αρα η σκεψη σου οτι η περιμετρος της ελλειψης κατι πρεπει να εχει να κανει με το π, δεν ειναι λαθος...
Απλως η περιμετρος δινεται 'στο περιπου' απο ευκολες φορμουλες, η ακριβως απο περιπλοκες (και δεν υπαρχει το ωραιο, κομψο, απλο και ακριβες: 2πr) αλλα,

αν βαφτισουμε P την περιμετρο (και α, ειναι ο μεγαλος ημιαξονας, β ο μικρος), τοτε:
'ακριβως' (και πολυπλοκως):
P/2πα = με το αθροισμα των απειρων ορων της μορφης (-1)/(2n-1) [(2n)!/(2n n!)2]2 e2n. για n=0,1,2,.. oo
δηλ
P/2πα =1 - [1/4]e2 - [3/64]e4 - [5/256]e6 - [175/16384]e8 - [441/65536]e10 ...
(e2n: e εις την 2n)

Οπως βλεπεις ομως, το π ζει και βασιλευει.. Και αν στο παραπανω βαλεις e=0 (εκκεντρικοτητα = 0, δηλ κυκλος, τοτε... (μηδενιζονται τα παντα εκτος απο τον ασσο στην αρχη), και μενει ...
P/2πα= 1
δηλ P=2πα
(και α ειναι ο ημιαξονας, αλλα στο κυκλο ειναι ενας. α=β=r,η ακτινα δηλ) Αρα ο γνωστος μας γνωριμος P=2πr ... Aρα η ελλειψη, δεν παραβαινει τον κανονα που σωστα σκεφτηκες (θελουμε να εχει π μεσα ), απλως ειναι πιο πολυπλοκη περιπτωση απο τον κυκλο. Ο κυκλος ειναι απλος, επειδη ειναι ειδικη περιπτωση..)
και

'κατα προσεγγιση' (απλες φορμουλες αλλα οχι ακριβεις):
P = π sqrt(2(a2+b2) - (a-b)2/2)
ή
P = π [ 3(a+b) - sqrt((3a+b) (a+3b))]
ή.. (υπαρχουν και αλλες)

επισης, πανω οριο (απο τον Euler - 1773):
P = π sqrt(2(a2+b2))
και κατω οριο (απο τον Κepler -1609):
P = 2 π sqrt(ab)
(sqrt: τετραγωνικη ριζα.. Πως μπορω να την γραψω εδω ? )

... Ομως το π, δεν λειπει απο πουθενα...!!!

Απλως απο οτι φαινεται, το να πει κανεις 'η περιμετρος της ελλειψης' ειναι ευκολο στα λογια, αλλα το να την υπολογισει ειναι αλλη υποθεση... Αρα, σε πολυπλοκα πραγματα σκονταψες με την απλη και φυσιολογικη απορια σου ...

Τα παραπανω βεβαια ειναι απο google γιατι σιγα μην τα ξερω εγω, ή να τα θυμαμαι (ΑΝ τα ειχα μαθει ποτε σε προηγουμενη ζωη).

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 19 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[Leviathan]

Το ίδιο π έχει Πάνο, και θα το δεις σε αρκετούς τύπους για την έλλειψη. Άλλωστε ουσιαστικά ο κύκλος είναι μια έλλειψη στην οποία συμπίπτουν οι εστίες.

Όσον αφορά το ερώτημα, μήπως ξέρει/θυμάται/μπορεί να βρει κανείς τον τύπο για την περίμετρο ώστε να μην μιλάμε στον αέρα;

μεχρι να γραψω τις ερημες τις φορμουλες (εψαχνα να δω πως θα γραψω ριζα και τεραγωνο, που νομιζω οτι γινεται, αλλα δεν καταφερα να ανακαλυψω πως ), με προλαβες... Απλως, αυτα που εγραψα ηταν πριν διαβασω το δικο σου post για το π, οτι ο κυκλος ειναι ελλειψη που συμπιπτουν οι εστιες κλπ.. για αυτο κατεληξα να γραφω παρομοια και αχρηστα πραγματα.. )

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 19 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[Subject to change]

Αν θυμάμαι καλά λέγεται εκκεντρότητα, όχι ...εκκεντρικότητα (λολ)

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 19 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[Leviathan]

Αν θυμάμαι καλά λέγεται εκκεντρότητα, όχι ...εκκεντρικότητα (λολ)

Αν σου πω οτι εγω προβληματιζομουν για το αν λεγεται εκκεντρο..κατι ή ελλειπτικοτητα? . Σαν να θυμαμαι τη λεξη 'ελλειπτικοτητα' απο την γεωμετρια, ή επισης 'ελλειπτικοτητα της τροχιας' κλπ. Τελος παντων, στα αγγλικα ειναι eccentricity.(ελληνιστι εκκεντρικοτητα γενικα, και εκκεντροτητα στη γεωμετρια). Βεβαια τωρα γιατι διεθνως παιρνουν την ελληνικη λεξη εκκετνρικοτητα για να περιγραψουν την ελλειψη (ποσο πλακουτσωτη ή στρογγυλεμενη ειναι, ποσο εκκεντρικη δηλ ) και εμεις εδω ξανα-μεταφραζουμε το eccentricity γιατι η η 'εκκεντρικοτητα' μας φαιενται εκκεντρικη για μαθηματικο ορο, ειναι αλλη υποθεση)
Ασε που πως θα πεις " Η τροχια ειναι λιγο/πολύ .. εκεντρη" ? Οποτε λεμε 'ελλειπτικη' και ξεφευγουμε απο τον σκοπελο της εκκεντρικοτητας...

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 19 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[Rempeskes]

Το μήκος δεν υπολογίζεται στοιχειωδώς...

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 19 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[Subject to change]

Ναι, μου φαίνεται το είχα διαβάσει σε ένα βιβλίο αλλά επειδή το συζητήσαμε με τη Leviathan στο msn ξέχασα να το γράψω

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 19 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[tanos56]

Αγαπητέ φίλε Administrator

Ίσως οι δύο Μαθηματικοί συνάδελφοι, στους οποίους απευθύνθηκες, να μην είχαν συγκρατήσει το μήκος ελλειψης (και αυτό δεν είναι κακό), ωστόσο η απάντηση στο ερώτημά σου είναι προφανής, αφού το πηλίκο δύο σταθερών-με διαιρέτη όχι μηδέν- είναι σταθερός (σταθερός αριθμός). Αν λοιπόν δοθεί η έλλειψη: χ^2/α^2+ψ^2/β^2=1, (α>β), τότε η εστιακή απόσταση γ, προσδιορίζεται μονοσήμαντα από την: γ^2=α^2-β^2.
Το μήκος της έλλειψης προσδιορίζεται από το επικαμπύλιο ολοκλήρωμα
Sds επάνω στο ίχνος της και είναι επίσης σταθερός αριθμός.
Επειδή τώρα παίζω σκάκι το βραδάκι θα στο υπολογίσω αναλυτικά....

xαιρετισμούς σε όλους και καλές διακοπές...
tanos56

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 18 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[Demelene]

Επειδή και εγώ δεν θυμόμουν τίποτα
https://en.wikipedia.org/wiki/Ellipse

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 18 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[Rempeskes]

Επειδή τώρα παίζω σκάκι το βραδάκι θα στο υπολογίσω αναλυτικά....

: Καμμία λύση.
Έχω κατασκευάσει μια υπέροχη απόδειξη, αλλά πριν ένα λεπτό ορκίστηκα να μην ξανασχοληθώ με μαθηματικά.

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 18 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[Subject to change]

: Καμμία λύση.
Έχω κατασκευάσει μια υπέροχη απόδειξη, αλλά πριν ένα λεπτό ορκίστηκα να μην ξανασχοληθώ με μαθηματικά.

Α ρε Fermat εσύ!

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 18 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[Palladin]

: Καμμία λύση.
Έχω κατασκευάσει μια υπέροχη απόδειξη, αλλά πριν ένα λεπτό ορκίστηκα να μην ξανασχοληθώ με μαθηματικά.

καμία λύση >2

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 18 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[Subject to change]

καμία λύση >2

Και για x,y,z,n ε Ν

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 18 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[Rempeskes]

Kαι για περιττά n.

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 18 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[Subject to change]

Kαι για περιττά n.

Είσαι σίγουρος;

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 18 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[Rempeskes]

Nαι, είσαι σίγουρος. Το ότι δεν υπάρχουν λύσεις για άρτια n, είναι απλή άλγεβρα.

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 18 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[Subject to change]

Nαι, είσαι σίγουρος. Το ότι δεν υπάρχουν λύσεις για άρτια n, είναι απλή άλγεβρα.

E αει σιχτίρ
Έτσι όπως το πες νόμιζα οτι για άρτια n υπάρχουν και λέω τι στο καλό, δεν έχει περάσει πια και τόσος καιρός απο τότε που ασχολιόμουν

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 18 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.