Απορία με αριθμητική ακολουθία

[Πατρεύς]

Πριν λίγο έβλεπα στο μέγκα το τηλεπαιχνίδι «Η εκδίκηση της ξανθιάς» (ξέρω, το έχω ρίξει στην ποιότητα τελευταία). Παρ' όλ' αυτά υπήρψε μια ερώτηση σχετική με μαθηματικά που μου κέντρισε την περιέργεια: Έλεγε, με βάση μια συγκεκριμλενη μαθηματική σχέση, να βρείτε ποιός αριθμός συνεχίζει την αριθμητική ακολουθία 5,8,13. Ο παίκτης απάντησε 21 με την λογική ότι ο επόμενος αριθμός είναι το άθροισμα της πρόσθεσης των προηγουμένων (5+8=13, 13+8=21). Αυτή η απάντηση θεωρήθηκε και σωστή. Παρ' όλ' αυτά, πολλές κοπέλες («ξανθιές») και μαζί με αυτές και εγώ απάντησαν το 20, με βάση τη λογική ότι 5+3=8, 8+5=13 άρα 13+7=20, δηλαδή θεωρήσαμε ότι κάθε φορά ο αριθμός ο οποίος προσθέτει τους όρους της ακολουθίας μεταξύ τους είναι ο επόμενος περιττός (3,5,7). Το ερώτημά μου είναι με ποιά λογική η πρώτη σκέψη θεωρήθηκε σωστή και αυτή που ακολουθήσα εγώ και πολλές κοπέλες ήταν λανθασμένη. Και μια γενικότερη σκέψη: Βλέποντας μια αριθμητική ακολουθία, πώς μπορείς να πεις ότι μπορεί να συνεχιστεί οπωσδήποτε με τον έναν ή τον άλλον τρόπο; Φυσικά αυτό το ερώτημα, όσοι ασχολείστε και με τις θετικές επιστήμες, μπορεί να το θεωρήσετε τελείως χαζό και αφελές. Τουλάχιστον όμως δικαιολογήστε με επειδή υπήρξα μαθητής της θεωρητικής κατεύθυνσης και τώρα σπουδάζω φιλολογία οπότε η σχέση με την μαθηματική σκέψη δεν είναι και πολύ μεγάλη...

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 15 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[Guest 990498]

Με τη λογική σου, πως προέκυψε το 5;

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 15 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[da capo]

Πρόκειται για την ακολουθία Fibonacci αγαπητέ..., κάθε αριθμός είναι ίσος με το άθροισμα των δύο προηγούμενων. Αν είχες διαβάσει τον Κώδικα Ντα Βίντσι του Dan Brown θα το ήξερες ... Επίσης αν σπούδαζες μαθηματικά

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 15 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[Πατρεύς]

Με τη λογική σου, πως προέκυψε το 5;

Τώρα κατάλαβα ότι με βάση και την ακολουθία fibonacci 0+1=1,1+1=2, 1+2=3, 2+3=5 κλπ άρα είναι 1,2,3,5,8,13,21. Άρα είναι σίγουρο ότι έχω άδικο. Από την άλλη, γιατί να μην ήταν 4+1=5, 5+3=8, 8+5=13, 13+7=20 κλπ; Και θα μου πεις δικαίως , θα μπορούσε να ξεκινήσει μαθηματική ακολουθία από το 4; Και θα απαντήσω εγώ, γιατί όχι; Είναι υποχρεωτικό η αριθμητική ακολουθία να ξεκινά από το 0;

Τέλος πάντων, είναι προφανές ότι έχω άδικο, αλλά μην βαράτε. Είπαμε, φιλόλογος

Ευχαριστώ πάντως Borat και Da Capo για την διαφώτιση

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 15 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[Guest 990498]

Πρόκειται για την ακολουθία Fibonacci αγαπητέ..., κάθε αριθμός είναι ίσος με το άθροισμα των δύο προηγούμενων. Αν είχες διαβάσει τον Κώδικα Ντα Βίντσι του Dan Brown θα το ήξερες ... Επίσης αν σπούδαζες μαθηματικά

Αυτή είναι:

αλλά δεν απαντάς στο ερώτημα του φίλου.

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 15 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[Guest 990498]

Τώρα κατάλαβα ότι με βάση και την ακολουθία fibonacci 0+1=1,1+1=2, 1+2=3, 2+3=5 κλπ άρα είναι 1,2,3,5,8,13,21. Άρα είναι σίγουρο ότι έχω άδικο. Από την άλλη, γιατί να μην ήταν 4+1=5, 5+3=8, 8+5=13, 13+7=20 κλπ; Και θα μου πεις δικαίως , θα μπορούσε να ξεκινήσει μαθηματική ακολουθία από το 4; Και θα απαντήσω εγώ, γιατί όχι; Είναι υποχρεωτικό η αριθμητική ακολουθία να ξεκινά από το 0;

Τέλος πάντων, είναι προφανές ότι έχω άδικο, αλλά μην βαράτε. Είπαμε, φιλόλογος

Ευχαριστώ πάντως Borat και Da Capo για την διαφώτιση

Δε βαράμε ρε


Και πως προέκυψε το 4 (αφού εξάντλησες τον μονό 1);

Είναι υποχρεωτικό η αριθμητική ακολουθία να ξεκινά από το 0;

Τσου.

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 15 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[Πατρεύς]

Λογικά δεν προκύπτει από πουθενά. Απλώς θεωρώ ότι αυτή η αριθμητική ακολουθία ξεκινά από το 4... Θεωρητικά είναι λάθος να ξεκινήσεις μια αριθμητική ακολουθία από το 4;

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 15 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[Guest 990498]

Όχι, αν την ορίσεις έτσι.
Βσκ είναι μπακαλίστικη η ερώτηση και δεν έχεις και άδικο, με σωστή διατύπωση θα είχες.

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 15 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[da capo]

Θεωρητικά είναι λάθος να ξεκινήσεις μια αριθμητική ακολουθία από το 4;

Όχι , αλλά θα προκύψει μια νέα αριθμητική ακολουθία , η ακολουθία pitg21, οπότε τους όρους θα τους θέτεις εσύ...
Κι εγώ της θεωρητικής είμαι , τι να σου πω?

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 15 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[Πατρεύς]

Οπότε, με βάση και αυτά που γράψατε, αντιλαμβάνομαι ότι το κλειδί για την κατανόηση του τί ακριβώς ζητούσε η ερώτηση είναι η φράση «με βάση μια συγκεκριμένη μαθηματική σχέση». Άρα, αυτή η μαθηματική σχέση όπως πολύ σωστά είπες Da Capo, είναι η ακολουθία Fibonacci. Αλλιώς ο καθένας θα μπορούσε να γράψει ό,τι ήθελε...

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 15 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[gademis]

Βλέποντας μια αριθμητική ακολουθία, πώς μπορείς να πεις ότι μπορεί να συνεχιστεί οπωσδήποτε με τον έναν ή τον άλλον τρόπο; Φυσικά αυτό το ερώτημα, όσοι ασχολείστε και με τις θετικές επιστήμες, μπορεί να το θεωρήσετε τελείως χαζό και αφελές. Τουλάχιστον όμως δικαιολογήστε με επειδή υπήρξα μαθητής της θεωρητικής κατεύθυνσης και τώρα σπουδάζω φιλολογία οπότε η σχέση με την μαθηματική σκέψη δεν είναι και πολύ μεγάλη...

Είσαι πιο διορατικός από πολλούς της θετικής σε αυτο το θέμα. Η αλήθεια είναι ότι όλα τα προβλήματα του τύπου "2 4 6 βρές τη συνέχεια" αν δεν συνοδεύονται από περιορισμούς του τύπου της ακολουθίας είναι μουφα.

Τι είναι interpolation:
interpolation είναι ένας αλγόριθμος για να βρούμε μια πολυονυμική συνάρτηση δεδομένων γνωστών σημείων της. Για παράδειγμα όταν μου πείτε "βρες μου τη συνάρτησή που έχει f(1)=2 και f(2)=4 εγώ θα κάνω interpolation για να βρω οτι f(x)=2*x.

Τώρα οι λύσεις του interpolation δεν είναι μοναδικές. Συγκεκριμένα για ν σημεία υπάρχουν x λύσεις ν+χ-1 βαθμού. Για δυο σημεία υπάρχει μια συνάρτηση 1ου βαθμού 2 συναρτήσεις 2ου 3 συναρτήσεις 3ου κ.ο.κ. που τα ικανοποιούν. Για 3 σημεία έχουμε μια συνάρτηση 3ου βαθμού, 2 τετάρτου και πάει λέγοντας.
Εν ολίγοις όταν θέλω μια συνάρτηση που να ικανοποιεί συγκεκριμένα σημεία , αυτή υπάρχει (εκτός ειδικών περιπτώσεων, σημεια με ίδιο χ πχ).

Που το πάω τώρα..

Έστω οτι μου δίνετε μια ακολουθία 0,1,2,3 και μου λέτε να βρω τι πάει μετά. Απαντάω 1821. Είναι σωστό. Υπάρχει συνάρτηση f(x) που έχει f(0)=1 f(1)=2 f(2)=3 και f(3)=1821 και άρα εγώ θεωρώ ότι η ακολουθία είναι X(n+1)=f(X(n)) (το προηγούμενο βήμα της ακολουθίας περασμένο από τη συνάρτηση) και απαντάω σωστά 1821. Και όλοι γύρω γύρω είναι με τις ντομάτες στα χέρια και υπολογίζουν στο μυαλό τους παραβολικές τροχιές με το κεφάλι μου σαν λύση.

Τα πάντα είναι θέμα ορισμού του προβλήματος. Εγώ θεώρησα ότι έρπεπε να λύσω το "βρές μια ακολουθία που να έχει τα δεδομένα σου σαν πρώτα στοιχεία και πες μας το επόμενο". Αυτός που με ρώτησε θα έρπεπε να πει "έχω στο μυαλό μου μια ακολουθία που έχει τα εξης στοιχεία (1,2,3,4). Μάντεψε τη συγκεκριμένη ακολουθία και πες μου το επόμενο στοιχείο. Δεδομένου λοιπόν ότι υπάρχουν άπειρες τέτοιες ακολουθίες το πρόβλημα εύρεσης της συγκεκριμένης που σκεύτεται ο άλλος ειναι πρόβλημα που λύνεται μόνο με τηλεπάθεια ή εφαρμοσμένη κρυπτανάλυση.

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 15 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[Subject to change]

Μα και αυτό που κατάλαβες θα μπορούσε να εκφραστεί με μαθηματική σχέση και είναι μια χαρά μαθηματική ακολουθία (απλά όχι η Fibonacci).

Εσύ κατάλαβες ότι είναι η ακολουθία:
aₓ = aₓ₋₁ + 2x + 1
a₀ = 0, a₁ = 3

η απάντηση σου είναι επίσης σωστή μαθηματικά. Ηλίθια τηλεπαιχνίδια.

Την ίδια ένσταση έχω και για διάφορα IQ tests με pattern recognition όπου μπορεί να υπάρχουν πάνω από 1 διαφορετικά patterns, τα οποία οδηγούν σε διαφορετική απάντηση (συχνά με μαθηματικές ακολουθίες επίσης)

edit: Είχα ανοιχτό το θέμα από πριν ποστάρει ο Γκαντέμης. Πολύ σωστά και τα όσα λέει, απλά το πήγα πιο απλά εγώ (το interpolation είναι πανεπιστημιακή ύλη, οι ακολουθίες διδάσκονται και στη Β λυκείου).

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 15 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[dark_knight]

Πολύ εύλογη η απορία του Πέτρου και πολύ σωστές οι δύο παραπάνω απαντήσεις. Απλά να προσθέσω ότι το παράδοξο αυτό μπορείτε να το βρείτε και σαν παράδοξο του Βιτγκενστάιν. Το είχα συναντήσει επίσης στην "Ακολουθία της Οξφόρδης" του Γκιγιέρμο Μαρτίνες (εκδ . Πατάκη):

Η δουλειά τού Φρανκ ήταν να προετοιμάζει και να αξιολογεί τα τεστ για τους υποψήφιους σε διάφορα επαγγέλματα. [...] Όλη του τη ζωή ασχολήθηκε με το να προετοιμάζει λογικές ακολουθίες, της πιο στοιχειώδους μορφής, σαν εκείνη που σας έδειξα. Με δεδομένα τρία σύμβολα στην ακολουθία, έπρεπε κανείς να γράψει το τέταρτο. [...] Ο Φρανκ ήταν σχολαστικός, παθιασμένος. Του άρεσε να ελέγχει στοίβες από τεστ ένα προς ένα. Άρχισε να παρατηρεί ένα πραγματικά παράξενο φαινόμενο. Υπήρχε μια ομάδα που τραβούσε περισσότερο την προσοχή του Φρανκ. Επρόκειτο για σχεδόν τέλεια τεστ, τεστ στα οποία όλες οι απαντήσεις ήταν οι αναμενόμενες εκτός από μία, όμως η διαφορά τους σε σχέση με τις κανονικές περιπτώσεις ήταν ότι το λάθος σε εκείνη τη μοναδική διαφορετική απάντηση έμοιαζε εκ πρώτης όψεως να είναι μια καθαρή ανοησία, μια ακολουθία διαλεγμένη με κλειστά μάτια, που όμως βρισκόταν έξω από το φάσμα των συνηθισμένων λαθών. Ο Φρανκ, από καθαρή περιέργεια, ζήτησε από τους υποψήφιους εκείνης της μικρής ομάδας να αιτιολογήσουν τις απαντήσεις τους και τότε ένιωσε την πρώτη έκπληξη. Οι απαντήσεις που εκείνος είχε θεωρήσει εσφαλμένες, στην πραγματικότητα ήταν μια άλλη πιθανή και απολύτως έγκυρη λύση για τη συνέχεια της ακολουθίας, μόνο που είχαν ένα πιο πολύπλοκο σκεπτικό. [...] Ο Φρανκ ξαφνικά κλονίστηκε. Οι ακολουθίες του δεν είχαν μία και μοναδική λύση, απαντήσεις που θεωρούσε μέχρι τότε λανθασμένες μπορεί να αποτελούσαν εναλλακτικές και επίσης "φυσιολογικές" λύσεις, και δεν έβλεπε καν να υπάρχει κάποιος τρόπος προκειμένου να ξεχωρίσει μια απάντηση που είχε δοθεί στην τύχη από μια ακολουθία που είχε επιλεγεί από μία διαφορετική και πολύ αθλητική εφυιία. Σε εκείνο το σημείο ήρθε να με δει και αναγκάστηκα να του ανακοινώσω τα δυσάρεστα νέα.
-Το παράδοξο του Βιτγκενστάιν για τους πεπερασμένους κανόνες, είπα.
-Ακριβώς. Ο Φρανκ είχε ανακαλύψει στην πράξη αυτό που ο Βιτγκενστάιν είχε αποδείξει θεωρητικά πριν από δεκαετίες: Την αδυναμία να καθορίσει κανείς ένα μονοσήμαντο κανόνα και "φυσικούς" κώδικες. Η ακολουθία 2,4,8, μπορεί να συνεχιστεί με τον 16, τον 10 ή το 2007. Πάντα μπορεί να δοθεί μια αιτιολογία, ένας κανόνας, που να επιτρέπει να προσθέσει κανείς οποιονδήποτε αριθμό ως τέταρτο όρο.

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 13 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[Heptamer]

Σαφως και οταν δοθει μια τριαδα αριθμων,δεν υπαρχει μονοσημαντος τροπος ευρεσης του 4ου αριθμου.

Αλλος μπορει να σκεφτει την ακολουθια Fibonacci,αλλος μια συγκεκριμενη συναρτηση κλπ.

Τα παντα ειναι θεμα ορισμου,ερμηνειας,αρχικων συνθηκων κλπ.

Ωστοσο,για να καθησυχασω το θεματοθετη,η ζητουμενη απαντηση στο κουιζ ηταν η ακολουθια Fibonacci,γιατι

α) απλουστατα σε ενα τηλεκουιζ (που εχει και συγκεκριμενο χρονικο περιθωριο) δε μπορεις να βαλεις κατι που χρειαζεται εξειδικευμενη μαθηματικη γνωση - κατι που ο μεσος ερωτηθεμενος δε διαθετει.

βου) την εν λογω ακολουθια ειναι και η πιο γνωστη.... λιγο πολυ την ξερει (ή την εχει ακουστα) ή την εχει τυπωσει συνηθως η πλειοψηφια των ερωτηθεντων,αφου αποτελει παγια μαθηματικη τροφη ήδη απο τη βασικη εκπαιδευση. Και ως επι το πλεστον, η εν λογω ακολουθια,λογω της "παρασκευης" της,μενει στη μνημη μας για παντα.

Συνηθως δε,σε μια ακολουθια (αριθμων) καθ ορος προκυπτει ως συναρτηση των προηγουμενων - ετσι τουλ. οριζουμε μια ακολουθια. Το να προσθετεις καθε φορα εναν διαφορετικο περιττο ή αλλο αριθμο,προκειμενου να δημιουργεις εναν ορο της ακολουθιας,ειναι με κατι που σου παραγει μια σειρα αριθμων,αλλα οχι μια ακολουθια αριθμων,με την μαθηματικα οριζομενη εννοια.

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 13 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[dark_knight]

Το να προσθετεις καθε φορα εναν διαφορετικο περιττο ή αλλο αριθμο,προκειμενου να δημιουργεις εναν ορο της ακολουθιας,ειναι με κατι που σου παραγει μια σειρα αριθμων,αλλα οχι μια ακολουθια αριθμων,με την μαθηματικα οριζομενη εννοια.

Καθ' όλα νόμιμη ακολουθία είναι και ο αναδρομικός τύπος που την ορίζει είναι αυτός που έγραψε παραπάνω η Λία:

aₓ = aₓ₋₁ + 2x + 1
a₀ = 0, a₁ = 3

Έτσι και αλλιώς ο ορισμός της ακολουθίας είναι "Κάθε συνάρτηση ".

η ζητουμενη απαντηση στο κουιζ ηταν η ακολουθια Fibonacci

Η ζητούμενη απάντηση ήταν αυτή, αλλά τα δεδομένα της εκφώνησης δεν επαρκούσαν για να βρεθεί. Η ερώτηση θα έπρεπε να είναι "Να βρεθεί ο επόμενος όρος της ακολουθίας Φιμπονάτσι: 1,1,2,3,5,8, ?". Τότε η μοναδική απάντηση θα ήταν το 13.

Πάντως λογικά θα υπάρχει ένας τρόπος, δοθείσης μιας ακολουθίας, να μπορείς να δέχεσαι ως σωστή μόνο μία απάντηση, εκείνη την απάντηση που έχει τη μικρότερη πολυπλοκότητα και όταν λέω πολυπλοκότητα εννοώ μια έννοια που θα οριστεί κατάλληλα. πχ. για την ακολουθία του παραδείγματος η "σωστή" λύση είναι η ακολουθία που ορίζεται από τον αναδρομικό τύπο

ενώ η "λάθος" λύση η:


Με κάποιο τρόπο θα μπορούσαν να συγκριθούν οι δύο αυτοί αναδρομικοί τύποι, να βρεθεί ο λιγότερο "σπάταλος" και από όλες τις πιθανές λύσεις να επιλεγεί ως σωστή αυτή, ή αυτές αν δεν είναι μοναδική, με την "απλούστερη μορφή".

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 13 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[Heptamer]

Η ζητούμενη απάντηση ήταν αυτή, αλλά τα δεδομένα της εκφώνησης δεν επαρκούσαν για να βρεθεί. Η ερώτηση θα έπρεπε να είναι "Να βρεθεί ο επόμενος όρος της ακολουθίας Φιμπονάτσι: 1,1,2,3,5,8, ?". Τότε η μοναδική απάντηση θα ήταν το 13.

Εαν η ερωτηση ηταν "Να βρεθεί ο επόμενος όρος της ακολουθίας Φιμπονάτσι: 1,1,2,3,5,8, ?". ,τοτε θα ηταν πολυ ευκολο,πολυ τετριμμενο για την πλειοψηφια των ερωτηθεντων - κατι που δεν ειναι στοχος του ερωτηματος.

Σκοπιμως ΔΕΝ αναφερεται στο ερωτημα πως προκειται για την ακολουθια Φιμπονατσι,ουτως ωστε να καταλαβουν πως προκειται για αυτη,να την αναφερουν και να απαντησουν,μονο οι αρκουντως καταρτισμενοι. Το οτι προκειται για την ακολουθια Φιμπονατσι,(ηταν σχεδιασμενο πως) θα αποκαλυπτοταν ως μερος της απαντησης - και στιγμιαιας επιμορφωσης του ευρεως κοινου - γιατι το κουιζ πρεπει να εχει και (εκ)παιδευτικο χαρακτηρα...

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 13 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.