Δεν νομίζεις λογικότερο οτι για καποιον που δεν ξερει ανώτερα μαθηματικά είναι πιο σωστό να δει τις έννοιες περιγραφικά;
α ναι, πως δεν το σκέφτηκα...
σωστό. Aς πάμε παρακάτω.
Είναι γνωστό το θεώρημα των παραλλήληων αξόνων της ροπής αδράνειας I=I(κυρίου άξονα) + ΜR^2
Το θεώρημα ισχύει μόνο για παραλλήληους άξονες σε σχέση με κάποιον απο τους κύριους καθοτι, αν λαμβάναμε υπόψην μας έναν τυχαίο ως προς το ν κύριο, τότε προκύπτουν στις εξισώσεις παράγοντες της μορφής IxxIzz IyyIzz, κτλ, δηλαδή συνιστώσες της ροπής αδράνειας κατά τυχαίες διευθύνσεις οι οποίες είναι αδύνατον να απλοποιηθούν με συνέπεια να μην μπορούμε να προχωρήσουμε στις πράξεις, ή το αποτέλεσμα που μας δίνεται ειναι πρακτικά μη εφαρμόσιμο αφού ποτέ δεν θα μπορουσαμε να τις υπολογίσουμε με κάποια μέθοδο, είτε θεωρητικά είτε πειραματικά.
Εφάρμοσε τώρα αυτή τη λογική αναλογικά για την τριχοτόμηση γωνιών και θα καταλάβεις, σε ένα βαθμό που έγκειτα το κόλλημα του προβλήματος.
Εχμμμ...
χμ, χμ.
Μου λες δλδ ότι υπάρχουν συμβάσεις που κάνουν την ζωή ευκολότερη;
Αυτό το αποδέχομαι και το παραδέχομαι, είναι κλασικό κόλπο του επαγγέλματος
Ας πάμε όπως λες, "αναλογικά", στο θέμα της (ντ)ροπής αδρανείας.
Aναφέρεις όμορφα και ωραία τον τύπο που ισχύει για συγκεκριμένες διευθύνσεις: ας πούμε πως αυτό το θέμα καλύπτει την απόδειξη του Όυλερ, την δύσκολη και μακροσκελή.
Αντί να αναφέρεις πόσο περίπλοκο είναι να εξηγηθεί αυτή η απόδειξη, θα μπορούσες να εισάγεις κάποια άλλη, όχι βέβαια
απλούστερη, μα σίγουρα λιγότερο προβληματική για τους μη γνωρίζοντες...
Πως να το θέσω "αναλογικά";
Πχ, η ροπή αδρανείας σε τυχαία διεύθυνση. Με τον τρόπο που αναφέρεις, γίνεται προβληματική.
Εάν αντίθετα επέμενες στο να κατασκευάσεις την Χαμιλτονιανή της κίνησης στο χώρο των φάσεων, και παρήγαγες τις διαφορικές εξισώσεις Όυλερ-Λαγκραντζ, τότε ίσως είχα μια ελπίδα να καταλάβω, καθώς θα μου εξηγούσες "μην αγχώνεσαι. βρίσκω την ολική ενέργεια και την ελαχιστοποιώ, λολ;"
και εγώ θα ήμουν xάπι, και εσύ...
Αυτό λοιπόν που προτίθεμαι να κάνω τώρα δια την ευγενήν ψυχαγωγίαν σας, ειναι
"αναλογικά" (κοπιραϊτ: μαριοφυς) να κατασκευάσω μια σύντομη, ευχάριστη και πάνω από όλα, κατανοητή από τον μέσο απόφοιτο λυκείου
Θα μου πεις "μα ο Όυλερ κλπ κλπ"..
Ε ναι, ο Όυλερ έγραφε έχοντας υπόψη πως μιλάει σε άλλους γνώστες
εμείς εδώ, ίσως έχουμε μια ελπίδα.
Ενα δισκλέημερ: Πίσω από την φαινομενικά απλή απόδειξη, υπάρχει μια μηχανή τούρμπο, αυτό που είχα αναφέρει κάτι σελίδες πριν ως "θεωρία Γκαλουά".
Επαναλαμβάνω πως, δεν πιστεύω ένας απόφοιτος λυκείου θα βρει δυσνόητα τα ακόλουθα
(εκτός απο μερικές λεπτομέρειες. μα θα έχει δίκιο. ο Γκαλουά δηλαδή για πλάκα έγραφε;
)
* * *
Δεν υπάρχει η γωνία
που να κόβεται στα τρία...
τραγουδούσε κάποτε μια λαϊκή βάρδος.
Απόψε, θα δείξουμε πόσο δίκιο είχε
Μια εισαγωγή: To Μιγαδικό i...!
Όταν πηγαίναμε μαζί σχολείο
καθόμασταν στο διπλανό θρανίο.
Και όταν μου έδινες το βιβλίο, μου λεγες...
"Λύσε αυτό:"
χ²+1=0
Όποιος έχει περάσει από την άλγεβρα του σχολείου, θυμάται πολύ τρυφερά την μία εξίσωση της οποίας την ρίζα
δεν μπορούσε να κατανοήσει
Πράγματι, όταν (παμε να) λύσουμε το τριώνυμο χ²+1=0, κανένας αριθμός -ρητός ή άρρητος- δεν μπορεί να είναι λύση
Αυτό το συμβάν δεν ταλαιπωρεί μόνο τους μαθητές. Κάποτε πονοκεφάλιαζε πολύ, πάρα πολύ κόσμο, καθώς από την μία τέτοιος αριθμός δεν γίνεται να υπάρχει, και από την άλλη είναι απίστευτα βολικό να τον έχουμε στο μαθηματικό μας οπλοστάσιο
Ο "αριθμός" αυτός καλείται μιγαδική μονάδα και υπακουει σε όλους τους κανόνες της άλγεβρας, πέραν του ασυνήθιστου (όπως είπαμε) i²+1=0.
Κεφ 1:
Επέκταση σώματος
Όχι, ο τίτλος δεν χαρακτηρίζει τα περιττά κιλά
Είναι μια σύμβαση που θα έχουμε μεταξύ μας, όταν αντιμετωπίζουμε την εξής κατάσταση:
Ένα πολυώνυμο δεν έχει ρίζες στο ίδιο σύνολο με το οποίο ανήκουν οι συντελεστές του.
Αυτη η κατάσταση, παρατηρούμε, δεν περιορίζεται στην μιγαδική μονάδα:
Πχ, το πολυώνυμο √2*χ+√5=0 δεν έχει λύση ρητό αριθμό.
Λολ, τι μας νοιάζει!
Πάμε παρακάτω...
Κεφ 2:
Οι χαζες ερωτησεις
του χαζού λυκειορεμπεσκέ.
Ας δούμε λίγο πιο κοντά αυτό το i...
Θα μπορούσε να είναι ρίζα μιας εξίσωσης μικρότερου βαθμού;
Δηλαδή, ας πούμε, υπάρχει κάποιο πολυώνυμο της μορφής ax+b=0, με a,b πραγματικούς
για το οποίο η μιγαδική μονάδα αποτελεί λύση;
Αμ έπος, αμ έργον... Αντικαθιστούμε και: ai+b=0 ή i=-b/a.
Άρα, αν υπήρχε τέτοιο πολυώνυμο, η μιγαδική μονάδα θα ήταν ο πραγματικός αριθμός -b/a, ενα γεγονός που ο
καλός κόσμος αποκαλεί
άτοπο. Άρα, για να περάσουμε σε λύσεις που αποτελούν
επεκτάσεις σώματος (δες Κεφ.1)
θα πρέπει να ασχοληθούμε με εξισώσεις δευτέρου βαθμού
και άνω.
Κεφ.3:
Πάλι ο Όυλερ
Τελικά, το πρόβλημα με τους γίγαντες της διανόησης, είναι ότι δεν τους ...υποσκελίζεις έτσι εύκολα.
Προς αυτό, ας δούμε μια γνωστή, πασίγνωστη
ταυτότητα της τριγωνομετρίας:
cos(3Θ) = 4cos³Θ - 3cosΘ.
Ονομάζουμε χ το cosΘ, και λαμβάνουμε cos(3Θ) = 4χ³ - 3χ ή
4χ³ - 3χ - cos(3Θ)=0 (εξισωση Μ)
Κεφ 4:
Και που κολλάνε όλα αυτά
με την τριχοτόμηση γωνίας;
Σωστό... Δεν κολλάνε πουθενά! Πλακα σας έκανα για να διαβάσετε ως εδώ ^ο^
Νοτ.
Ουσιαστικά, το να δουλεύουμε με χάρακα και διαβήτη, όπως ξέρει κάθε σωστός μαθηματικός του 18ου αιώνα,
είναι ισοδύναμο με το να δουλεύουμε με διαβήτη. Και αυτό γιατί, ο χάρακας χαράσσει χαρακιές, δηλαδή ευθείες,
δηλαδή εξισώσεις πρώτου βαθμού (θυμηθείτε την εξίσωση ευθείας: αχ+β=0)
Ενώ ο διαβήτης, χαράσσει εξισώσεις δευτέρου βαθμού, όπως γνωρίζει όποιος έχει δει την άλγεβρα του λυκείου (Θυμηθείτε την εξίσωση κύκλου: χ²+y²+...=0). Καταλήγουμε δηλαδή στο ότι, η Ευκλείδια γεωμετρία κατασκευάζει λύσεις για εξισώσεις το πολύ μέχρι δεύτερου βαθμού.
Τώρα πιστεύω ότι γίνεται πιο ξεκάθαρο το πρόβλημα με την
τρι-χοτόμηση...
Κεφ 5:
Γιατί τα διάβασα όλα αυτά;
Επειδή, για να τριχοτομηθεί μια γωνία ω
με χάρακα και διαβήτη,
θα πρέπει η εξίσωση Μ (αν θυμάστε από το Κεφ.3) 4χ³ - 3χ - cos(ω)=0,
να ανάγεται σε εξίσωση
δευτέρου βαθμού ως προς το συνημίτονο.
Ή, αν προτιμάτε,
η ρίζα αυτής της εξίσωσης να ανήκει στο σύνολο της μορφής
α+β*cos(ω) για κάποιους ρητούς α,β
ένα γεγονός που βρίσκεται "αναλογικα" (κοπιραϊτ: μαριοφυς
) σε σχέση με το γεγονός
ότι μια εξίσωση της μορφής γχ²+δχ+ε=0 με πραγματικούς συντελεστές γ, δ, ε
έχει γενική λύση
ζ+η*i για κάποιους πραγματικούς ζ,η.
(πς. δεν πιστεύω να ξέχασε κανείς την μιγαδική μονάδα
. Όλο δεν υπάρχει μας λένε και όλο εκεί βρίσκεται... κατι σαν τον σιντ
)
Με βάση αυτή την παρατήρηση, μπορούμε να εξετάσουμε το απλό παράδειγμα της γωνίας ω=90°:
Το πολυώνυμο προς εξέταση γίνεται 4χ³ - 3χ =0 ή 4χ² - 3=0, δευτέρου βαθμού
με λύσεις ±√3/2,
οι οποίες
όπως καταλάβατε επειδή είστε έξυπνα παιδιά
αντιστοιχούν στο συνημίτονο της γωνίας 90°/3=30°
Αντίθετα, αν πάμε σε μια άλλη γωνία, όπως εκείνη των 60°, το πολυώνυμο θα γίνει 4χ³ - 3χ - 1/2=0.
Το αφήνω σε σας να εξετάσετε κατά πόσο το πολυώνυμο αυτό έχει ρητές ρίζες.
+ Τελος +
Υγ. Όποιος ενδιαφέρεται για περισσότερα περί της αλγεβρικής θεωρίας των επεκτάσεων σώματος...
ας πάει στο πανεπιστήμιο
Εμένα προσωπικά με αηδιάζει η άλγεβρα
...γι αυτό ο κακός Θεούλης την βάζει συνεχώς μπροστά μου σαν εμπόδιο
Υγ2. Επεκτάσεις σώματος στο
Μαθγουορλντ
για ...γνώστες, όπως λέει και ο μαριο.
