DiavolakoS
Πολύ δραστήριο μέλος
Ο DiavolakoS αυτή τη στιγμή δεν είναι συνδεδεμένος. Έχει γράψει 1,107 μηνύματα.
25-01-08
10:00
Απλά η "επέκταση" αγαπητέ φίλε, είναι πρόβλημα αν είναι όντως επέκταση ή κανιβαλισμός του Ευκλείδη.
Αυτη σου την αποψη περι κανιβαλισμου μπορεις να την εξηγησεις?
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 16 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
DiavolakoS
Πολύ δραστήριο μέλος
Ο DiavolakoS αυτή τη στιγμή δεν είναι συνδεδεμένος. Έχει γράψει 1,107 μηνύματα.
24-01-08
19:56
ipie δεν ειδα στο αρχικο ποστ οτι αναφερωσουν αυστηρα στον ευκλειδη. παντως ενταξει αν δε δεχεσαι καμια επεκταση.οκ παω πασο
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 16 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
DiavolakoS
Πολύ δραστήριο μέλος
Ο DiavolakoS αυτή τη στιγμή δεν είναι συνδεδεμένος. Έχει γράψει 1,107 μηνύματα.
24-01-08
18:03
λοιπον θα συνεχισω λιγο παρακατω..
αρχικα θα αναφερω τα δυο υπολοιπα αξιωματα του PEANO
4.Καθε φυσικος μπορει να ειναι επομενος ενος μονο αλλου φυσικου.
Το αξιωμα 4 διατασσει το συνολο των φυσικων.Μπορουμε να τοποθετησουμε τους φυσικους πανω σε μια ημιευθεια στο ακρο της οποιας θα ειναι ο 1 μετα ο 2 κοκ με τη γνωστη διαταξη
5.Αν ενα υποσυνολο του Ν περιεχει τον αριθμο 1 και μαζι με καθε n,περιεχει και τον επομενο του, τοτε συμπιπτει με το ιδιο το Ν.
Το τελευταιο αξιωμα λεει οτι μπορουμε να διατρεξουμε το συνολο Ν αναδρομικα, δηλαδη ξεκινωντας απο τον 1 και μεταβαινοντας διαδοχικα απο καθε φυσικο στον επομενο του.Ειναι γνωστο, οτι στο αξιωμα αυτο στηριζεται η αποδεικτικη μεθοδος της τελειας επαγωγης.
Καταληγοντας
Στο συνολο Ν οριζονται δυο πραξεις, η προσθεση και ο πολλαπλασιασμος.Η προσθεση με τις συνθηκες Α,Β και ο πολλαπλασιασμος με τις Γ και Δ.
Α.Ο επομενος του χ ειναι ο χ+1
Β.χ+(ψ+1)= (χ+ψ)+1
Γ. χ*1=χ
Δ.χ(ψ+1)=χψ+χ
τα χ,ψ ανηκουν στο Ν
Οι ιδιοτητες των πραξεων που οριζονται ετσι μπορουν να αποδειχτουν με τη βοηθεια των αξιωματων PEANO και των συνθηκων ορισμου.....
Το συνολο των φυσικων προσδιοριζεται τελειως με τα αξιωματα 1-5.Καθε αλλο συνολο που θα ειχε τις ιδιοτητες αυτες θα διεφερε απο το Ν μονο ως προς τη φυση των στοιχειων του και οχι ως προς τη δομη.Αν ομως παρουμε υπ οψη οτι οι αριθμοι, οπως ειπαμε, ειναι ενοιες χωρις ποιοτικα χαρακτηριστικα, καταληγουμε στο συμπερασμα οτι καθε συνολο αριθμων με τις ιδιοτητες 1-5 συμπιπτει με το Ν.Αν ακομη στο δευτερο αυτο συνολο οριστουν πραξεις που ικανοποιουν σχεσεις, οπως Α,Β,Γ,Δ τοτε τα δυο συνολα συμπιπτουν,οχι μονο σα συνολα, αλλα και σαν αλγεβρικες δομες, δηλαδη σαν συνολα εφοδιασμενα με πραξεις.Ολα αυτα βεβαια δεν ειναι αυτονοητα, αλλα η αποδειξη τους δε μας αφορα εδω.
τελος παντων λεει μετα για τους αρχαιους ελληνες που ειχαν επινοησει τα κλασματα που τα θεωρουσαν λογους ευθυγραμμων τμηματων..μπλα μπλα
Λεει οτι δεν ειχαν κατασκευασει αρνητικους τους οποιους επινοησαν οι ινδοι λιγο αργοτερα .
Και τελος λεει οτι στην αναπτυξη των συστηματων αριθμων σημερα στα μαθηματικα, σαν πρωτη επεκταση του Ν ειναι το Ζ ακεραιοι.
Αρα απο ολα αυτα πιστευω οτι το αθροισμα 1+1 μπορει να εκφραζει ακεραιο πολλαπλασιο του 1.
αρχικα θα αναφερω τα δυο υπολοιπα αξιωματα του PEANO
4.Καθε φυσικος μπορει να ειναι επομενος ενος μονο αλλου φυσικου.
Το αξιωμα 4 διατασσει το συνολο των φυσικων.Μπορουμε να τοποθετησουμε τους φυσικους πανω σε μια ημιευθεια στο ακρο της οποιας θα ειναι ο 1 μετα ο 2 κοκ με τη γνωστη διαταξη
5.Αν ενα υποσυνολο του Ν περιεχει τον αριθμο 1 και μαζι με καθε n,περιεχει και τον επομενο του, τοτε συμπιπτει με το ιδιο το Ν.
Το τελευταιο αξιωμα λεει οτι μπορουμε να διατρεξουμε το συνολο Ν αναδρομικα, δηλαδη ξεκινωντας απο τον 1 και μεταβαινοντας διαδοχικα απο καθε φυσικο στον επομενο του.Ειναι γνωστο, οτι στο αξιωμα αυτο στηριζεται η αποδεικτικη μεθοδος της τελειας επαγωγης.
Καταληγοντας
Στο συνολο Ν οριζονται δυο πραξεις, η προσθεση και ο πολλαπλασιασμος.Η προσθεση με τις συνθηκες Α,Β και ο πολλαπλασιασμος με τις Γ και Δ.
Α.Ο επομενος του χ ειναι ο χ+1
Β.χ+(ψ+1)= (χ+ψ)+1
Γ. χ*1=χ
Δ.χ(ψ+1)=χψ+χ
τα χ,ψ ανηκουν στο Ν
Οι ιδιοτητες των πραξεων που οριζονται ετσι μπορουν να αποδειχτουν με τη βοηθεια των αξιωματων PEANO και των συνθηκων ορισμου.....
Το συνολο των φυσικων προσδιοριζεται τελειως με τα αξιωματα 1-5.Καθε αλλο συνολο που θα ειχε τις ιδιοτητες αυτες θα διεφερε απο το Ν μονο ως προς τη φυση των στοιχειων του και οχι ως προς τη δομη.Αν ομως παρουμε υπ οψη οτι οι αριθμοι, οπως ειπαμε, ειναι ενοιες χωρις ποιοτικα χαρακτηριστικα, καταληγουμε στο συμπερασμα οτι καθε συνολο αριθμων με τις ιδιοτητες 1-5 συμπιπτει με το Ν.Αν ακομη στο δευτερο αυτο συνολο οριστουν πραξεις που ικανοποιουν σχεσεις, οπως Α,Β,Γ,Δ τοτε τα δυο συνολα συμπιπτουν,οχι μονο σα συνολα, αλλα και σαν αλγεβρικες δομες, δηλαδη σαν συνολα εφοδιασμενα με πραξεις.Ολα αυτα βεβαια δεν ειναι αυτονοητα, αλλα η αποδειξη τους δε μας αφορα εδω.
τελος παντων λεει μετα για τους αρχαιους ελληνες που ειχαν επινοησει τα κλασματα που τα θεωρουσαν λογους ευθυγραμμων τμηματων..μπλα μπλα
Λεει οτι δεν ειχαν κατασκευασει αρνητικους τους οποιους επινοησαν οι ινδοι λιγο αργοτερα .
Και τελος λεει οτι στην αναπτυξη των συστηματων αριθμων σημερα στα μαθηματικα, σαν πρωτη επεκταση του Ν ειναι το Ζ ακεραιοι.
Αρα απο ολα αυτα πιστευω οτι το αθροισμα 1+1 μπορει να εκφραζει ακεραιο πολλαπλασιο του 1.
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 16 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
DiavolakoS
Πολύ δραστήριο μέλος
Ο DiavolakoS αυτή τη στιγμή δεν είναι συνδεδεμένος. Έχει γράψει 1,107 μηνύματα.
24-01-08
16:05
Σε ενα βιβλιο καπου λεει...
Εννοια του αριθμου
Η ανθρωπινη γνωση ξεκινα απο την εμπειρια.Ο εγκεφαλος δεχεται ερεθισματα απο τον εξωτερικο κοσμο, τα οποια επεξεργαζεται με τις ικανοτητες που εχει - που ειναι κι αυτες προιντα της εξελιξης του, - τα ενσωματωνει στις ηδη κεκτημενες γνωσεις του διευρυνοντας τες για να τις χρησιμοποιησει πανω στον εξωτερικο κοσμο, να δεχτει καινουρια ερεθισματα, να αποκτησει καινουριες εμπειριες και να συνεχιστει ο κυκλος αυτος.
Τα ερεθισματα αυτα που δεχεται ο εγκεφαλος, προερχονται παντα απο συγκεκριμενα αντικειμενα του εξω κοσμου.Μια απο τις σπουδαιοτερες ικανοτητες του, που βεβαια εξαρταται απο το βαθμο εξελιξης της νοησης, ειναι εκεινη της λογικης αφαιρεσης.Κατα τη διαδικασια της αφαιρεσης ''αφαιρουνται'' ιδιοτητες και χαρακτηριστικα απο τις συγκεκριμενες εικονες που εχει απο την εμπειρια.Αυτο δινει τη δυνατοτητα της γενικευσης και του σχηματισμου εννοιων.Για παραδειγμα τα δεντρα που βλεπει κανεις σε ενα δασος ειναι συγκεκριμενα και δινουν συγκεκριμενες εικονες εχοντας το καθενα το δικο του υψος, χρωμα, σχημα κλπ.Αφαιρωντας καθε φορα καποιες απο τις ιδιοτητες αυτες, μπορουμε να κατατασσουμε τις εικονες που εχουμε, σε ομαδες με κοινα χαρακτηριστικα σχηματιζοντας εννοιες.Αν πχ απορριψουμε καποιες ιδιοτητες και κρατησουμε καποιες αλλες κοινες, μπορουμε να μιλησουμε για κωνοφορα δεντρα.Αν προχωρησουμε αλλιως στη διαδικασια αυτη, διαλεγοντας τι θα κρατησουμε και τι θα απορριψουμε μπορουμε καποια στιγμη να μιλησουμε για φυλλοβολα δεντρα.Μετα την αφαιρεση αρκετων ιδιοτητων καποια στιγμη φτανουμε στην εννοια 'δεντρο'........................................................................................................
(Η διαδικασια της αφαιρεσης μπορει να λειτουργησει μονο απο τη στιγμη που εμπειρια προσφερει πληθος εικονων,ετσι ωστε να γινεται συγκριση και εντοπισμος ομοιοτητων και διαφορων)
Ας παμε ξανα στο παραδειγμα του δεντρου που ειπαμε πιο πανω.Ειδαμε πως με μια σειρα αφαιρεσεων φτανουμε στην ενοια 'δεντρο' εχοντας υπ οψη ενα συγκεκριμενο δεντρο.Αν προχωρησουμε τη διαδικασια αφαιρεσης μεχρι τα εσχατα ορια της απορριπτοντας ολες τις φυσικες ιδιοτητες, φτανουμε στην εννοια ''αριθμος ενα'' , μπαινοντας ετσι στον κοσμο των μαθηματικων.
Ας υποθεσουμε τωρα οτι επαναλαμβανουμε την ιδια διαδικασια των αφαιρεσεων απο την εικονα δυο δεντρων.Το προιον των αφαιρεσεων θα ειναι τωρα ο αριθμος δυο, η πιο σωστα, η εννοια του μαθηματικου μη διατεταγμενου ζευγους.Βλεπουμε οτι ξεκινώντας απο διαφορετικες πρωτες εικονες και ακολουθωντας την ιδια διαδικασια μπαινουμε στον κοσμο των μαθηματικων απο διαφορετικους δρομους.Αν μενοντας απο την αρχη μεσα στον κοσμο των μαθηματικων παραθεσουμε την εννοια ''ενα'' στον εαυτο της(με αλλα λογια προσθεσουμε το ενα στον εαυτο του) κατασκευαζουμε με μαθηματικο τροπο τον αριθμο δυο.Αυτη ειναι η πρωτη, η πρωταρχικη μαθηματικη σκεψη.Η τελευταια αυτη διεργασια- η παραθεση του ενα στον εαυτο του- δεν ειναι κατι απλο και αυτονοητο.Αποτελει την αντανακλαση μεσα τον κοσμο των μαθηματικων μιας λειτουργιας που συμβαινει γενικοτερα και εξω απο αυτον και στηριζεται στη διαδικασια της αντιστοιχισης,μιας διαδικασιας ιδιαιτερα χρησιμης στα μαθηματικα.
Οι νομοι και οι ιδιοτητες που διεπουν τις εννοιες, με τις οποιες δουλευουν τα μαθηματικα εχουν τα αντιστοιχα τους στον πραγματικο κοσμο.Ενα παραδειγμα θα εχουμε παρακατω μιλωντας για τα αξιωματα του PEANO και ZERMELO-FRAENKEL που χρησιμοποιουνται στον αξιωματικο τροπο θεμελιωσης των μαθηματικων, δεν ειναι παρα τα μαθηματικα αντιστοιχα ιδιοτητων του πραγματικου κοσμου, οπως αυτες γινονται αντιληπτες με δεδομενες τις ικανοτητες της ανθρωπινης νοησης στο σημερινο επιπεδο αναπτυξης της.
Για τους φυσικους αριθμους
Το συνολο Ν των φυσικων αριθμων οριζεται στα μαθηματικα με τα αξιωματα του PEANO.
Το πρωτο αξιωμα λεει οτι*:
1.Το συνολο Ν περιεχει το στοιχειο 1 ,δεχεται δηλαδη αξιωματικα το ''ενα'' που περιγραψαμε πιο πανω ως προιον λογικης αφαιρεσης.Εχουμε ακομη:
2.Υπαρχει μια απεικονιση του Ν μεσα στον εαυτο του που λεγεται συναρτηση διαδοχης, η οποια σε καθε φυσικο αριθμο απεικονιζει εναν αλλο φυσικο που λεγεται επομενος του πρωτου
3.Δεν υπαρχει φυσικος , του οποιου επομενος να ειναι ο 1.
Το αξιωμα2. αποδιδει την κατασκευη του αριθμου 2 που περιγραψαμε πιο πανω με την παραθεση του 1 και του 1, του 3 με την παραθεση του 2 και του 1 κ.ο.κ.
Το αξιωμα 3. λεει οτι ο 1 ειναι πρωταρχικη εννοια, δεν προκυπτει δηλαδη απο αλλο φυσικο.
..................................................
.................................
..................
*Το συνολο των φυσικων αριθμων οπως το οριζουμε εδω ειναι το συνολο {1,2,,,,,,} Στη βιβλιογραφια πολλες φορες σαν συνολο φυσικων εννοειται το συνολο {0,1,2,....} Η διαφορα ειναι επουσιωδης
Εννοια του αριθμου
Η ανθρωπινη γνωση ξεκινα απο την εμπειρια.Ο εγκεφαλος δεχεται ερεθισματα απο τον εξωτερικο κοσμο, τα οποια επεξεργαζεται με τις ικανοτητες που εχει - που ειναι κι αυτες προιντα της εξελιξης του, - τα ενσωματωνει στις ηδη κεκτημενες γνωσεις του διευρυνοντας τες για να τις χρησιμοποιησει πανω στον εξωτερικο κοσμο, να δεχτει καινουρια ερεθισματα, να αποκτησει καινουριες εμπειριες και να συνεχιστει ο κυκλος αυτος.
Τα ερεθισματα αυτα που δεχεται ο εγκεφαλος, προερχονται παντα απο συγκεκριμενα αντικειμενα του εξω κοσμου.Μια απο τις σπουδαιοτερες ικανοτητες του, που βεβαια εξαρταται απο το βαθμο εξελιξης της νοησης, ειναι εκεινη της λογικης αφαιρεσης.Κατα τη διαδικασια της αφαιρεσης ''αφαιρουνται'' ιδιοτητες και χαρακτηριστικα απο τις συγκεκριμενες εικονες που εχει απο την εμπειρια.Αυτο δινει τη δυνατοτητα της γενικευσης και του σχηματισμου εννοιων.Για παραδειγμα τα δεντρα που βλεπει κανεις σε ενα δασος ειναι συγκεκριμενα και δινουν συγκεκριμενες εικονες εχοντας το καθενα το δικο του υψος, χρωμα, σχημα κλπ.Αφαιρωντας καθε φορα καποιες απο τις ιδιοτητες αυτες, μπορουμε να κατατασσουμε τις εικονες που εχουμε, σε ομαδες με κοινα χαρακτηριστικα σχηματιζοντας εννοιες.Αν πχ απορριψουμε καποιες ιδιοτητες και κρατησουμε καποιες αλλες κοινες, μπορουμε να μιλησουμε για κωνοφορα δεντρα.Αν προχωρησουμε αλλιως στη διαδικασια αυτη, διαλεγοντας τι θα κρατησουμε και τι θα απορριψουμε μπορουμε καποια στιγμη να μιλησουμε για φυλλοβολα δεντρα.Μετα την αφαιρεση αρκετων ιδιοτητων καποια στιγμη φτανουμε στην εννοια 'δεντρο'........................................................................................................
(Η διαδικασια της αφαιρεσης μπορει να λειτουργησει μονο απο τη στιγμη που εμπειρια προσφερει πληθος εικονων,ετσι ωστε να γινεται συγκριση και εντοπισμος ομοιοτητων και διαφορων)
Ας παμε ξανα στο παραδειγμα του δεντρου που ειπαμε πιο πανω.Ειδαμε πως με μια σειρα αφαιρεσεων φτανουμε στην ενοια 'δεντρο' εχοντας υπ οψη ενα συγκεκριμενο δεντρο.Αν προχωρησουμε τη διαδικασια αφαιρεσης μεχρι τα εσχατα ορια της απορριπτοντας ολες τις φυσικες ιδιοτητες, φτανουμε στην εννοια ''αριθμος ενα'' , μπαινοντας ετσι στον κοσμο των μαθηματικων.
Ας υποθεσουμε τωρα οτι επαναλαμβανουμε την ιδια διαδικασια των αφαιρεσεων απο την εικονα δυο δεντρων.Το προιον των αφαιρεσεων θα ειναι τωρα ο αριθμος δυο, η πιο σωστα, η εννοια του μαθηματικου μη διατεταγμενου ζευγους.Βλεπουμε οτι ξεκινώντας απο διαφορετικες πρωτες εικονες και ακολουθωντας την ιδια διαδικασια μπαινουμε στον κοσμο των μαθηματικων απο διαφορετικους δρομους.Αν μενοντας απο την αρχη μεσα στον κοσμο των μαθηματικων παραθεσουμε την εννοια ''ενα'' στον εαυτο της(με αλλα λογια προσθεσουμε το ενα στον εαυτο του) κατασκευαζουμε με μαθηματικο τροπο τον αριθμο δυο.Αυτη ειναι η πρωτη, η πρωταρχικη μαθηματικη σκεψη.Η τελευταια αυτη διεργασια- η παραθεση του ενα στον εαυτο του- δεν ειναι κατι απλο και αυτονοητο.Αποτελει την αντανακλαση μεσα τον κοσμο των μαθηματικων μιας λειτουργιας που συμβαινει γενικοτερα και εξω απο αυτον και στηριζεται στη διαδικασια της αντιστοιχισης,μιας διαδικασιας ιδιαιτερα χρησιμης στα μαθηματικα.
Οι νομοι και οι ιδιοτητες που διεπουν τις εννοιες, με τις οποιες δουλευουν τα μαθηματικα εχουν τα αντιστοιχα τους στον πραγματικο κοσμο.Ενα παραδειγμα θα εχουμε παρακατω μιλωντας για τα αξιωματα του PEANO και ZERMELO-FRAENKEL που χρησιμοποιουνται στον αξιωματικο τροπο θεμελιωσης των μαθηματικων, δεν ειναι παρα τα μαθηματικα αντιστοιχα ιδιοτητων του πραγματικου κοσμου, οπως αυτες γινονται αντιληπτες με δεδομενες τις ικανοτητες της ανθρωπινης νοησης στο σημερινο επιπεδο αναπτυξης της.
Για τους φυσικους αριθμους
Το συνολο Ν των φυσικων αριθμων οριζεται στα μαθηματικα με τα αξιωματα του PEANO.
Το πρωτο αξιωμα λεει οτι*:
1.Το συνολο Ν περιεχει το στοιχειο 1 ,δεχεται δηλαδη αξιωματικα το ''ενα'' που περιγραψαμε πιο πανω ως προιον λογικης αφαιρεσης.Εχουμε ακομη:
2.Υπαρχει μια απεικονιση του Ν μεσα στον εαυτο του που λεγεται συναρτηση διαδοχης, η οποια σε καθε φυσικο αριθμο απεικονιζει εναν αλλο φυσικο που λεγεται επομενος του πρωτου
3.Δεν υπαρχει φυσικος , του οποιου επομενος να ειναι ο 1.
Το αξιωμα2. αποδιδει την κατασκευη του αριθμου 2 που περιγραψαμε πιο πανω με την παραθεση του 1 και του 1, του 3 με την παραθεση του 2 και του 1 κ.ο.κ.
Το αξιωμα 3. λεει οτι ο 1 ειναι πρωταρχικη εννοια, δεν προκυπτει δηλαδη απο αλλο φυσικο.
..................................................
.................................
..................
*Το συνολο των φυσικων αριθμων οπως το οριζουμε εδω ειναι το συνολο {1,2,,,,,,} Στη βιβλιογραφια πολλες φορες σαν συνολο φυσικων εννοειται το συνολο {0,1,2,....} Η διαφορα ειναι επουσιωδης
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 16 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.
DiavolakoS
Πολύ δραστήριο μέλος
Ο DiavolakoS αυτή τη στιγμή δεν είναι συνδεδεμένος. Έχει γράψει 1,107 μηνύματα.
14-12-07
19:49
ασχετο, μου θυμιζετε το good will hunting. O ipios ο καθηγητης και ο rempeskes ο καμενος με το μαθηματικο μυαλο. συνεχιστε..
Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 16 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.