1+1=2

[Rempeskes]

Μπα, προτιμώ να αφήσω την τιμή στην ιο, "νοιώθω μια κούραση βαριά" που λέει και ο στέλιος, για να μπούμε στα ίδια όπως το 2003...

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 16 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[ipios]

Rempeskes για μένα είναι τιμή όποιος μαθηματικός και να μου απαντάει.
Αμφιβάλω ωστόσο ότι θα απαντήσει η io-io γιατί είδα κάπου μέσα στο φόρουμ, ότι έχει κάψει το 10% των εγκεφαλικών κυττάρων της ασχολούμενη με μένα. Πρόκειται λοιπόν περί νοητικής ισορροπίας και δεν επιθυμώ να της την διαταράξω. Να είναι καλά και δεν είχα σκοπό να της φέρω σύγχυση. Καλύτερα να μείνει σε αυτά που ξέρει, όπως κι εσύ.
Βέβαια δεν είναι η πρώτη φορά που δεν δέχομαι απαντήσεις και έτσι δεν με απασχολεί.
Χαίρομαι μόνο που έχουμε τουλάχιστον ίδια γούστα (περί Στέλιου) και αυτό είναι ένα από τα αγαπημένα μου τραγούδια που γουστάρω να παίζω με την κιθάρα και να τραγουδάω με την αγριοφωνάρα μου.

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 16 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[io-io]

Λολ, δεν ηθελα να σε προσβαλω! Η αληθεια ειναι, οπως εγραψα, οτι διαβασα πολλες απο τις δημοσιευσεις σου σε αλλα φορα, και ναι, με επιασε πονοκεφαλος. Δεν ειναι και το πιο ευκολο πραγμα να διαβαζεις τοσο μεγαλα κειμενα, να προσπαθεις να τα καταλαβεις, και να εξηγησεις γιατι ειναι λαθος! Συγγνωμη τελος παντων.

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 16 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[ipios]

Το ξέρω καλή μου και δεν σε παρεξηγώ.
Θα πρέπει να σου διευκρινήσω ότι δεν στοχεύω στο πορτοφόλι κανενός και ότι κάνω το κάνω αποκλειστικά από αγάπη προς τα μαθηματικά, που ενώ μπορούν να είναι αληθινή επιστήμη και να εκφράζουν με απόλυτη συνέπεια και αρμονία τη φυσική πραγματικότητα (χωρίς να την αρνούνται, όπως σε κάθε εμπόδιο που εμφανίζεται ή σε όποια δυσκολία, να! το πρόσχημα ότι τα μαθηματικά δεν τα απασχολεί τι κάνει φύση γιατί δουλεύουν αφαιρετικά), αρκούνται σε μια εσωτερική αξιωματική συνέπεια. Το "άυλα και νοερά" δεν αποτελεί εμπόδιο για τα μαθηματικά να είναι επιστήμη με βεβαιωτικό πειραματισμό. Το πραγματικό εμπόδιο για την αγωγή από θεωρητική, σε πρακτική και θεωρητική επιστήμη με απόλυτη συνέπεια και αρμονία, χωρίς αντιφάσεις, είναι το πυθαγόρειο. Το πυθαγόρειο δεν ισχύει στην Ευκλείδεια συνθετική γεωμετρία των μετασχηματισμών και αν αυτό γίνει κατανοητό μεταγγίζεται και στα νεότερα μαθηματικά.
Ότι ισχυρίζομαι δεν είναι άγνωστο στους μαθηματικούς που διερευνούν, αλλά απλά δεν έχουν συνδέσει τις διαφορές που εντοπίζουν με το πυθαγόρειο σφάλμα.

Μεταφέρω απόσπασμα σελίδων 205-207 από το βιβλίο Οι ιστορικές ρίζες των στοιχειωδών Μαθηματικών των συγγραφέων Lucas N. H. Bunt - Philip S. Jones - Jack D. Bedient το οποίο διανέμεται στο μάθημα "Ιστορία των Μαθηματικών" του Μαθηματικού τμήματος στο Πανεπιστήμιο της Πάτρας.

Διαφορά μεταξύ Ευκλείδιας και Συγχρονης μεθόδου σύγκρισης εμβαδών.

[...]O τρόπος με τον οποίο σύγκρινε ο Ευκλείδης τα εμβαδά,είναι εντελώς διαφορετικός από αυτόν,που χρησιμοποιούμε σήμερα για τον ίδιο σκοπό.Με τη σύγχρονη πραγμάτευση αυτού του θέματος το εμβαδόν ενός σχήματος (όπως και το μήκος ενός ευθυγράμμου τμήματος) δηλώνεται με έναν αριθμό.
O Ευκλείδης όμως ούτε μήκη ευθυγράμμων τμημάτων δήλωνε με αριθμούς,ούτε εμβαδά σχημάτων.
Όταν ήθελε να δείξει ότι δυο σχήματα έχουν ίσα εμβαδά,αποδείκνυε ότι το ένα από αυτά μπορεί να χωριστεί σε μέρη τέτοια ώστε,αν κατάλληλα αναπροσαρμοστούν,να παράγουν το άλλο σχήμα.

[...]Οι Πυθαγόρειοι είχαν δεχτεί ότι οι αριθμοί διαδραματίζουν καθοριστικό ρόλο και εκτός των Μαθηματικών.Από εδώ προήλθε η συνήθεια τους να ανάγουν το κάθετι σε αριθμό.
Και ο Πλάτωνας επίσης θεωρούσε ότι ο φυσικός αριθμός κατέχει μια ξεχωριστή θέση.
Όμως οι βάσεις στις οποίες στήριζε την άποψη του ήταν εντελώς διαφορετικές από εκείνες των Πυθαγορείων.Για τον Πλάτωνα,μονάδα είναι μια φιλοσοφική ιδέα.Στον φυσικό κόσμο ανήκουν πράγματα τα οποία λογίζονται ως μονάδες.Πάντοτε όμως κατα Πλάτωνα,είναι φυσικός αριθμός διότι η απόλυτη μονάδα είναι αδιαίρετη.Η χρησιμοποίηση άλλων αριθμών-όχι φυσικών-ήταν απαγορευμένη από τον Πλάτωνα για λόγους καθαρά φιλοσοφικούς και όχι μαθηματικούς.

Πυθαγόρειο θεώρημα

Η τυπική σύγχρονη διατύπωση του είναι η εξής:

Αν ΑΒC ορθογώνιο τρίγωνο με ορθή τη γωνία C τότε: a²+b²=c².
Σε αυτόν τον τύπο τα σύμβολα a,b,c συμβολίζουν μήκη πλευρών.

Εφόσον οι Έλληνες δεν χρησιμοποιούσαν αριθμούς,εξέφραζαν το θεώρημα διαφορετικά.
H διατύπωση του Ευκλείδη ήταν:

Σε κάθε ορθογώνιο τρίγωνο το τετράγωνο που κατασκευάζεται επάνω στην υποτείνουσα είναι ίσο σε εμβαδόν με το άθροισμα των εμβαδών των τετραγώνων που κατασκευάζονται επάνω στις κάθετες πλευρές.

Η απόδειξη του θεωρήματος στηρίχτηκε σε σύγκριση εμβαδών με τον τρόπο που περιγράψαμε αρχικά.[...]

Ελπίζω io-io να μπορείς να διακρίνεις ότι ο ισχυρισμός μου ότι το πυθαγόρειο δεν ισχύει στην Ευκλείδεια γεωμετρία παρά το ότι ο ίδιος ο Ευκλείδης σαν φυσικό πρόσωπο την έχει καταστήσει περιεχόμενό της, βγαίνει σαν αβίαστο συμμπέρασμα από το παραπάνω απόσπασμα.
Μετασχηματισμοί δεν προβλέπονται που να μπορούν να αναπροσαρμόσουν τα μέρη σε όλο από το οποίο τα έχουμε παράγει, αφού δεν προβλέπονται αθροίοσεις σχημάτων. Ούτε βέβαια και η επίκληση του αξιώματος του εμβαδού εκ μέρους της ΕΜΕ μπορεί να τοποθετηθεί στην Ευκλείδεια γεωμετρία. Είναι ένα πρόσχημα για να εξετασθεί το πυθαγόρειο όχι στην Ευκλείδεια που ζητάω εγώ, αλλά στα νεότερα μαθηματικά, όπου όμως και πάλι δεν ισχύει, αν δεν ισχύει στην Ευκλείδεια.
Ούτε εκ του παραπάνω αποσπάσματος μπορεί να θεωρηθεί ορθή η Ευκλείδεια διατύπωση του πυθαγορείου (όπως είναι διατυπωμένη), αφού ο Ευκλείδης ούτε σε αριθμούς μηκών αναφέρεται, ούτε σε αριθμούς εμβαδών. Ο Ευκλείδης "δούλευε" με αβαθμολόγητο χάρακα και διαβήτη. Οι συγγραφείς βρίσκονται σε πλήρη σύγχυση και άλλα λένε σωστά και σε άλλα αντιφάσκουν από παράγραφο σε παράγραφο.
Αν λάβεις υπόψη σου τους ισχυρισμούς μου θα βρεις αμέσως που λένε σωστά και που λαθεμένα πράγματα που όλα όμως καταλήγουν ότι το πυθαγόρειο δεν είναι ορθό.
Να είσαι καλά και να ξέρεις ότι δεν είμαι και τόσο άσχετος.
Μεγαλύτερη απόδειξη δεν υπάρχει από το ότι ο Rempeskes που είναι διαπιστωμένα εξαιρετικός μαθηματικός σου πετάει το μπαλάκι. Το κάνει τάχα από ανωτερότητα ή από αδυναμία;
Εσύ βγάλε τα συμπεράσματά σου.

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 16 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[DiavolakoS]

Σε ενα βιβλιο καπου λεει...

Εννοια του αριθμου

Η ανθρωπινη γνωση ξεκινα απο την εμπειρια.Ο εγκεφαλος δεχεται ερεθισματα απο τον εξωτερικο κοσμο, τα οποια επεξεργαζεται με τις ικανοτητες που εχει - που ειναι κι αυτες προιντα της εξελιξης του, - τα ενσωματωνει στις ηδη κεκτημενες γνωσεις του διευρυνοντας τες για να τις χρησιμοποιησει πανω στον εξωτερικο κοσμο, να δεχτει καινουρια ερεθισματα, να αποκτησει καινουριες εμπειριες και να συνεχιστει ο κυκλος αυτος.
Τα ερεθισματα αυτα που δεχεται ο εγκεφαλος, προερχονται παντα απο συγκεκριμενα αντικειμενα του εξω κοσμου.Μια απο τις σπουδαιοτερες ικανοτητες του, που βεβαια εξαρταται απο το βαθμο εξελιξης της νοησης, ειναι εκεινη της λογικης αφαιρεσης.Κατα τη διαδικασια της αφαιρεσης ''αφαιρουνται'' ιδιοτητες και χαρακτηριστικα απο τις συγκεκριμενες εικονες που εχει απο την εμπειρια.Αυτο δινει τη δυνατοτητα της γενικευσης και του σχηματισμου εννοιων.Για παραδειγμα τα δεντρα που βλεπει κανεις σε ενα δασος ειναι συγκεκριμενα και δινουν συγκεκριμενες εικονες εχοντας το καθενα το δικο του υψος, χρωμα, σχημα κλπ.Αφαιρωντας καθε φορα καποιες απο τις ιδιοτητες αυτες, μπορουμε να κατατασσουμε τις εικονες που εχουμε, σε ομαδες με κοινα χαρακτηριστικα σχηματιζοντας εννοιες.Αν πχ απορριψουμε καποιες ιδιοτητες και κρατησουμε καποιες αλλες κοινες, μπορουμε να μιλησουμε για κωνοφορα δεντρα.Αν προχωρησουμε αλλιως στη διαδικασια αυτη, διαλεγοντας τι θα κρατησουμε και τι θα απορριψουμε μπορουμε καποια στιγμη να μιλησουμε για φυλλοβολα δεντρα.Μετα την αφαιρεση αρκετων ιδιοτητων καποια στιγμη φτανουμε στην εννοια 'δεντρο'........................................................................................................
(Η διαδικασια της αφαιρεσης μπορει να λειτουργησει μονο απο τη στιγμη που εμπειρια προσφερει πληθος εικονων,ετσι ωστε να γινεται συγκριση και εντοπισμος ομοιοτητων και διαφορων)
Ας παμε ξανα στο παραδειγμα του δεντρου που ειπαμε πιο πανω.Ειδαμε πως με μια σειρα αφαιρεσεων φτανουμε στην ενοια 'δεντρο' εχοντας υπ οψη ενα συγκεκριμενο δεντρο.Αν προχωρησουμε τη διαδικασια αφαιρεσης μεχρι τα εσχατα ορια της απορριπτοντας ολες τις φυσικες ιδιοτητες, φτανουμε στην εννοια ''αριθμος ενα'' , μπαινοντας ετσι στον κοσμο των μαθηματικων.
Ας υποθεσουμε τωρα οτι επαναλαμβανουμε την ιδια διαδικασια των αφαιρεσεων απο την εικονα δυο δεντρων.Το προιον των αφαιρεσεων θα ειναι τωρα ο αριθμος δυο, η πιο σωστα, η εννοια του μαθηματικου μη διατεταγμενου ζευγους.Βλεπουμε οτι ξεκινώντας απο διαφορετικες πρωτες εικονες και ακολουθωντας την ιδια διαδικασια μπαινουμε στον κοσμο των μαθηματικων απο διαφορετικους δρομους.Αν μενοντας απο την αρχη μεσα στον κοσμο των μαθηματικων παραθεσουμε την εννοια ''ενα'' στον εαυτο της(με αλλα λογια προσθεσουμε το ενα στον εαυτο του) κατασκευαζουμε με μαθηματικο τροπο τον αριθμο δυο.Αυτη ειναι η πρωτη, η πρωταρχικη μαθηματικη σκεψη.Η τελευταια αυτη διεργασια- η παραθεση του ενα στον εαυτο του- δεν ειναι κατι απλο και αυτονοητο.Αποτελει την αντανακλαση μεσα τον κοσμο των μαθηματικων μιας λειτουργιας που συμβαινει γενικοτερα και εξω απο αυτον και στηριζεται στη διαδικασια της αντιστοιχισης,μιας διαδικασιας ιδιαιτερα χρησιμης στα μαθηματικα.
Οι νομοι και οι ιδιοτητες που διεπουν τις εννοιες, με τις οποιες δουλευουν τα μαθηματικα εχουν τα αντιστοιχα τους στον πραγματικο κοσμο.Ενα παραδειγμα θα εχουμε παρακατω μιλωντας για τα αξιωματα του PEANO και ZERMELO-FRAENKEL που χρησιμοποιουνται στον αξιωματικο τροπο θεμελιωσης των μαθηματικων, δεν ειναι παρα τα μαθηματικα αντιστοιχα ιδιοτητων του πραγματικου κοσμου, οπως αυτες γινονται αντιληπτες με δεδομενες τις ικανοτητες της ανθρωπινης νοησης στο σημερινο επιπεδο αναπτυξης της.

Για τους φυσικους αριθμους


Το συνολο Ν των φυσικων αριθμων οριζεται στα μαθηματικα με τα αξιωματα του PEANO.
Το πρωτο αξιωμα λεει οτι*:
1.Το συνολο Ν περιεχει το στοιχειο 1 ,δεχεται δηλαδη αξιωματικα το ''ενα'' που περιγραψαμε πιο πανω ως προιον λογικης αφαιρεσης.Εχουμε ακομη:
2.Υπαρχει μια απεικονιση του Ν μεσα στον εαυτο του που λεγεται συναρτηση διαδοχης, η οποια σε καθε φυσικο αριθμο απεικονιζει εναν αλλο φυσικο που λεγεται επομενος του πρωτου
3.Δεν υπαρχει φυσικος , του οποιου επομενος να ειναι ο 1.
Το αξιωμα2. αποδιδει την κατασκευη του αριθμου 2 που περιγραψαμε πιο πανω με την παραθεση του 1 και του 1, του 3 με την παραθεση του 2 και του 1 κ.ο.κ.
Το αξιωμα 3. λεει οτι ο 1 ειναι πρωταρχικη εννοια, δεν προκυπτει δηλαδη απο αλλο φυσικο.
..................................................
.................................
..................




*Το συνολο των φυσικων αριθμων οπως το οριζουμε εδω ειναι το συνολο {1,2,,,,,,} Στη βιβλιογραφια πολλες φορες σαν συνολο φυσικων εννοειται το συνολο {0,1,2,....} Η διαφορα ειναι επουσιωδης

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 16 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[ipios]

Εξαιρετικό αγαπητέ φίλε, αλλά δεν αντιλαμβάνομαι πως σχετίζεται το κείμενο με το εισαγωγικό ερώτημα 1+1=2.
Από όσα έγραψες εσύ τι συμπεραίνεις;
Το άθροισμα 2 στην άθροσιη 1+1 μπορεί αξιωματικά να εκφράζει ακέραιο πολλαπλάσιο του 1;

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 16 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[DiavolakoS]

λοιπον θα συνεχισω λιγο παρακατω..

αρχικα θα αναφερω τα δυο υπολοιπα αξιωματα του PEANO

4.Καθε φυσικος μπορει να ειναι επομενος ενος μονο αλλου φυσικου.
Το αξιωμα 4 διατασσει το συνολο των φυσικων.Μπορουμε να τοποθετησουμε τους φυσικους πανω σε μια ημιευθεια στο ακρο της οποιας θα ειναι ο 1 μετα ο 2 κοκ με τη γνωστη διαταξη

5.Αν ενα υποσυνολο του Ν περιεχει τον αριθμο 1 και μαζι με καθε n,περιεχει και τον επομενο του, τοτε συμπιπτει με το ιδιο το Ν.
Το τελευταιο αξιωμα λεει οτι μπορουμε να διατρεξουμε το συνολο Ν αναδρομικα, δηλαδη ξεκινωντας απο τον 1 και μεταβαινοντας διαδοχικα απο καθε φυσικο στον επομενο του.Ειναι γνωστο, οτι στο αξιωμα αυτο στηριζεται η αποδεικτικη μεθοδος της τελειας επαγωγης.

Καταληγοντας

Στο συνολο Ν οριζονται δυο πραξεις, η προσθεση και ο πολλαπλασιασμος.Η προσθεση με τις συνθηκες Α,Β και ο πολλαπλασιασμος με τις Γ και Δ.

Α.Ο επομενος του χ ειναι ο χ+1

Β.χ+(ψ+1)= (χ+ψ)+1

Γ. χ*1=χ

Δ.χ(ψ+1)=χψ+χ

τα χ,ψ ανηκουν στο Ν

Οι ιδιοτητες των πραξεων που οριζονται ετσι μπορουν να αποδειχτουν με τη βοηθεια των αξιωματων PEANO και των συνθηκων ορισμου.....

Το συνολο των φυσικων προσδιοριζεται τελειως με τα αξιωματα 1-5.Καθε αλλο συνολο που θα ειχε τις ιδιοτητες αυτες θα διεφερε απο το Ν μονο ως προς τη φυση των στοιχειων του και οχι ως προς τη δομη.Αν ομως παρουμε υπ οψη οτι οι αριθμοι, οπως ειπαμε, ειναι ενοιες χωρις ποιοτικα χαρακτηριστικα, καταληγουμε στο συμπερασμα οτι καθε συνολο αριθμων με τις ιδιοτητες 1-5 συμπιπτει με το Ν.Αν ακομη στο δευτερο αυτο συνολο οριστουν πραξεις που ικανοποιουν σχεσεις, οπως Α,Β,Γ,Δ τοτε τα δυο συνολα συμπιπτουν,οχι μονο σα συνολα, αλλα και σαν αλγεβρικες δομες, δηλαδη σαν συνολα εφοδιασμενα με πραξεις.Ολα αυτα βεβαια δεν ειναι αυτονοητα, αλλα η αποδειξη τους δε μας αφορα εδω.

τελος παντων λεει μετα για τους αρχαιους ελληνες που ειχαν επινοησει τα κλασματα που τα θεωρουσαν λογους ευθυγραμμων τμηματων..μπλα μπλα

Λεει οτι δεν ειχαν κατασκευασει αρνητικους τους οποιους επινοησαν οι ινδοι λιγο αργοτερα .
Και τελος λεει οτι στην αναπτυξη των συστηματων αριθμων σημερα στα μαθηματικα, σαν πρωτη επεκταση του Ν ειναι το Ζ ακεραιοι.

Αρα απο ολα αυτα πιστευω οτι το αθροισμα 1+1 μπορει να εκφραζει ακεραιο πολλαπλασιο του 1.

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 16 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[ipios]

Με συγχωρείς αγαπητέ φίλε αλλά στο πρόβλημα δεν απαντάς. Το πρόβλημα του 1+1=2 έχω τοποθετήσει αυστηρά εντός του ευκλείδειου αξιωματικού συστήματος (φυσικοί αριθμοί) και ως γνωστόν ο Ευκλείδης με τον Πεάνο ποτέ δεν έφαγαν μαζί μακαρονάδα.

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 16 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[DiavolakoS]

ipie δεν ειδα στο αρχικο ποστ οτι αναφερωσουν αυστηρα στον ευκλειδη. παντως ενταξει αν δε δεχεσαι καμια επεκταση.οκ παω πασο

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 16 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[ipios]

Δεν το κάνω ασφαλώς για να σε απαξιώσω και σέβομαι τον κόπο σου.
Απλά η "επέκταση" αγαπητέ φίλε, είναι πρόβλημα αν είναι όντως επέκταση ή κανιβαλισμός του Ευκλείδη.

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 16 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[DiavolakoS]

Δεν το κάνω ασφαλώς για να σε απαξιώσω και σέβομαι τον κόπο σου.
Απλά η "επέκταση" αγαπητέ φίλε, είναι πρόβλημα αν είναι όντως επέκταση ή κανιβαλισμός του Ευκλείδη.

Φυσικα δε σε παρεξηγησα.Απλα δεν εχω κατι αλλο να πω.Το οτι διαφωνω μαζι σου ειναι δεδομενο

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 16 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[ipios]

Καλέ μου φίλε δύο πράγματα αντιλαμβάνομαι σε σχέση με σένα.
1. Ότι διαφωνείς μαζί μου, όπως όλοι σχεδόν οι μαθηματικοί (είσαι δεν είσαι μαθηματικός).
2. Ότι αυτό το κάνεις χωρίς επιχειρήματα, όπως όλοι ανεξαιρέτως οι μαθηματικοί (είσαι δεν είσαι μαθηματικός).
Σε ότι με αφορά, τις χωρίς επιχειρήματα διαφωνίες τις αντιμετωπίζω χρόνια.
Έχω υπομονή και δεν έχω αναμονή για κανένα είδους προσωπικό κέρδος. Ειδικά τον τελευταίο χρόνο που τον πέρασα, διδασκόμενος στην πράξη επί του ίδιου του εαυτού μου, το πρόσκαιρο...

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 16 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[DiavolakoS]

Απλά η "επέκταση" αγαπητέ φίλε, είναι πρόβλημα αν είναι όντως επέκταση ή κανιβαλισμός του Ευκλείδη.

Αυτη σου την αποψη περι κανιβαλισμου μπορεις να την εξηγησεις?

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 16 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[ipios]

DiavolakoS

Αυτη σου την αποψη περι κανιβαλισμου μπορεις να την εξηγησεις?

Αγαπητέ φίλε θα σου το πω όσο πιο σύντομα μπορώ.
Επέκταση της Ευκλείδεια γεωμετρία σημαίνει ότι π.χ. τα 3 είδη γεωμετριών Λομπατσέφσκι, Ρίμαν, Αναλυτική, που διαφοροποιούνται από την Ευκλείδεια, κατακρατούν όλους τους όρους, αρχικές έννοιες και γενικά τα αξιώματα του Ευκλείδη και διαφοροποιούνται μόνο ως προς το 5ο αίτημα (Λομπατσέφσκι - Ρίμαν), ενώ η Αναλυτική εισάγει άλλη μέθοδο επί του Ευκλείδη.
Αυτό είναι επέκταση της ευκλείδειας γεωμετρίας.
Κανιβαλισμός είναι ότι, ενώ διαφοροποιούνται μόνο ως προς το 5ο αίτημα και δεν εισάγουν δική τους αρχική έννοια π.χ. περί σημείου, αλλά μένουν ότι το σημείο είναι μέρος ουθέν, το κάνουν ότι και όπως γουστάρουν, επειδή δεν υπάρχει έλεγχος της χρήσης της έννοιας του σημείου. Δεν είναι τυχαίο το ερώτημά μου αν δύο τεμνόμενα ευθύγραμμα τμήματα εκφράζουν επιφάνεια με μήκος και πλάτος. Οι κανίβαλοι θεωρούν ότι το σημείο και το σημείο τομής είναι ίδιο και εξ αυτού δεν μπορούν να καταλάβουν, ούτε τον κανιβαλισμό τους, ούτε βέβαια και γιατί το πυθαγόρειο και εξ αυτής της αιτίας (σαν μία από τις πολλές) αποκλείεται να είναι ορθό.
Το ερώτημά σου για να γίνει σε όλο το φάσμα του απαντητό (και όχι ενδεικτικά από το παράδειγμά μου) σημαίνει ότι θα πρέπει να κατανοήσεις γιατί το πυθαγόρειο είναι εσφαλμένο. Τότε δεν θα σου μείνει καμία απορία ότι πρόκειται για κανιβαλισμό και όχι επέκταση.
Αυτά φίλε μου.

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 16 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[panagiotis1988]

συγγνωμη που ειμαι off-topic(αν θελουν οι admin ας το διαγραψουν) αλλα ολοι εσεις που στελνετε ειστε μεταπτυχιακοι φοιτητες, ερευνητες μαθηματικοι??
ποτε αποκτησατε ολες αυτες τι γνωσεις??εγω ειμαι 2ετης φοιτητης στην αθηνα κ δεν εχουμε κανει τπτ αντιστοιχο,θεωρω τελειως ας μου επιτραπει η εκφραση "κουλο" για το αν το άθροισμα 2 στην άθροσιη 1+1 μπορεί αξιωματικά να εκφράζει ακέραιο πολλαπλάσιο του 1;δηλαδη χρειαζεται να εκφραστει αξιωματικα δεν μπορει να προκυπτει απο καποιες προτασεις οι οποιες ισχυουν μονο στους πραγματικους αριθμους?

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 15 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[ipios]

Αγαπητέ φίλε panagiotis1988, σχετικά με το 1+1=2 που όπως λες,

panagiotis1988

δηλαδη χρειαζεται να εκφραστει αξιωματικα δεν μπορει να προκυπτει απο καποιες προτασεις οι οποιες ισχυουν μονο στους πραγματικους αριθμους?

Το αληθές ή ψευδές κάθε πρότασης στα μαθηματικά κρίνεται ΑΠΟΚΛΕΙΣΤΙΚΑ εκ των αξιωμάτων, είτε άμεσα, είτε έμμεσα με την επίκληση άλλων ενδιάμεσων προτάσεων (θεωρήματα, πορίσματα) που είναι ήδη αποδεδειγμένες με αξιωματική στήριξη.

Το ακέραιο πολλαπλάσιο του 1 είναι πολύ αρχαιότερη υπόθεση από τον άξονα των πραγματικών αριθμών και ανάγεται στο πυθαγόρειο, όπου επί ορθογωνίου ισοσκελούς με κάθετες πλευρές 1, το τετράγωνο της υποτείνουσας δείχνεται διπλάσιο του τετραγώνου εκ της κάθετης πλευράς (εσφαλμένα βέβαια και σε αντίφαση με τον ορισμό του 1 και των λοιπών αριθμών).

Ο Ευκλείδης, ορίζει μονάδα και λοιπούς αριθμούς ως:

Στοιχεῖα Εὐκλείδου ζ΄

[Βιβλίον VII]

Ὅροι κγ΄ [23].

α΄ [1]. Μονάς ἐστιν, καθ' ἣν ἕκαστον τῶν ὄντων ἓν λέγεται.

β΄ [2]. Ἀριθμὸς δὲ τὸ ἐκ μονάδων συγκείμενον πλῆθος.



Άλλο αξίωμα ή ορισμός που να προβλέπει ακέραιο πολλαπλάσιο του 1 δεν υπάρχει ούτε στα αρχαία, ούτε στα σύγχρονα μαθηματικά. Το ίδιο ισχύει και για τις προτάσεις και τους ορισμούς περί τον R.

Επομένως το 2 αιτιολογείται μόνο σαν συγκείμενο πλήθος μονάδων και όχι σαν διπλάσιο του 1. Ούτε τα αξιώματα Πεάνο προβλέπουν διπλάσιο του 1 ή όποιο άλλο πολλαπλάσιο του 1.

Δες τι λέει ο καθηγητής μαθηματικών του πανεπιστημίου Κρήτης κύριος Πάρις Πάμφιλος στο κεφάλαιο του για την Ανάλυση.

«Οι ορισμοί και οι ιδιότητες των σχημάτων ανάγονται σε αριθμητικές σχέσεις και επομένως η αλήθειά τους ανάγεται στην αλήθεια των στοιχειωδών ιδιοτήτων των πραγματικών αριθμών. Εδώ τα πάντα είναι προτάσεις. Τα αξιώματα φαίνονται ν` απουσιάζουν. Τούτο είναι μόνο φαινομενικό. Τα αξιώματα κρύβονται, σ' αυτήν την περίπτωση, στο μοντέλο. Π.χ. για το R^2 τα αντίστοιχα αξιώματα είναι αυτά του R, τα οποία συνεπάγονται τα αξιώματα του Ευκλειδείου επιπέδου».

https://translate.google.com/translate?hl=el&sl=en&u=https://www.math.uoc.gr/~pamfilos/&sa=X

Θα πας «Ευκλείδεια γεωμετρία», 1.4. «Αναλυτική μέθοδος», σελίδα 2, για να διαπιστώσεις ότι τα σύγχρονα μαθηματικά δεν είναι αυτόνομα, αλλά έχουν ρίζες στην αρχαιότητα τις οποίες είναι αδύνατο να αγνοήσουμε. Μη το επιχειρείς λοιπόν ούτε εσύ.

Στη διάθεσή σου και να ξέρεις αυτό που εσύ βλέπεις σαν «κουλό» έχει 6 χέρια και ίσως τρία κεφάλια, όπως κάποια θεότητα των Ινδών.

Γεια σου καλέ μου φίλε. ​

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 15 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[Hilbert]

Οι συλλογισμοί του Λάμπρου στα μαθηματικά δεν ευσταθούν (γνώμη μου).
Το ΠΘ μια χαρά είναι. Όπως το 1+1=2.

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 15 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[ipios]

Hilbert
Οι συλλογισμοί του Λάμπρου στα μαθηματικά δεν ευσταθούν (γνώμη μου).
Το ΠΘ μια χαρά είναι. Όπως το 1+1=2.

Αγαπητέ φίλε, αν μιλούσαμε για το δικό σου πυθαγόρειο , τότε ασφαλώς θα μπορούσες να αποφασίσεις ότι είναι μια χαρά. Μιλάμε όμως για το πυθαγόρειο των μαθηματικών και επομένως η άποψή σου υπό μορφή βεβαίωσης δεν "μετράει", χωρίς αξιωματική στήριξη.
Σε ότι αφορά το 1+1=2 ασφαλώς και δεν έχεις κατανοήσει τον ισχυρισμό μου. Ποτέ δεν ισχυρίστηκα ότι το 1+1=2 είναι εσφαλμένο. Άλλο λέω, αλλά για να το καταλάβεις πρέπει να το κατανοήσεις πρώτα και δεν δείχνεις τέτοια διάθεση. Απλά αποφασίζεις...
Να είσαι καλά.

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 15 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[Mathmaniac]

Επί των ακέραιων αριθμών

Στην άθροιση 1+1=2, το άθροισμα 2 μπορεί να αιτιολογηθεί αξιωματικά ότι εκφράζει ένα ακέραιο πολλαπλάσιο του 1 ή εκφράζει αποκλειστικά πλήθος ανεξάρτητων μεταξύ τους μονάδων;

Επεξήγηση:
Οι ακέραιοι αριθμοί αναγνωρίζονται κατά πλήθος (1 μονάδα, πλήθος 2 μονάδων, πλήθος 3 μονάδων κ.τ.λ.) και κατά τάξη (1ος, 2ος, 3ος κ.τ.λ.). Υπάρχει πρόβλεψη στα μαθηματικά, να λέμε 2 και να εννοούμε ένα ακέραιο πολλαπλάσιο του 1 ή αλλιώς ειπωμένο, με το 2 να εννοούμε έναν αριθμό που περιέχει "ενωμένες" τις 2 μονάδες σύμφωνα με την υπόδειξη του συμβόλου της πρόσθεσης +;

Ευχαριστώ όποιον ασχοληθεί.

Κύριε ipios νομίζω πως στο αρχικό μηνυμά σας δεν αναφέρεται πουθενά τον Ευκλείδη ή τα στοιχεία του... Ζητάτε αν μπορεί κάποιος να σας αιτιολογήσει αυστηρά αν το 2 μπορεί να εκφράζει ένα ακέραιο πολ/σιο του 1. Ο φίλος diavolakoS σας έδωσε μια πλήρως τεκμηριωμένη απάντηση την οποία όμως εσείς δεν την δέχεσται παίρνοντας πάντα ως αξιωματική σας βάση τα στοιχεία του Ευκλείδη.
Αν ο Ευκλείδης άφησε κάποια κενά ( άθελα ή ηθελημένα ) γι' αυτό ήρθαν οι μετέπειτα μαθηματικοί ή άλλοι επιστήμονες να τα καλύψουν για να μην μπορεί να υπάρξει αμφισβήτηση περί αυτά μετέπειτα...
Πάντως ειλικρινά θαυμάζω την επιμονή σας!!!

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 15 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[ipios]

Mathmaniac
Κύριε ipios νομίζω πως στο αρχικό μηνυμά σας δεν αναφέρεται πουθενά τον Ευκλείδη ή τα στοιχεία του... Ζητάτε αν μπορεί κάποιος να σας αιτιολογήσει αυστηρά αν το 2 μπορεί να εκφράζει ένα ακέραιο πολ/σιο του 1. Ο φίλος diavolakoS σας έδωσε μια πλήρως τεκμηριωμένη απάντηση την οποία όμως εσείς δεν την δέχεσται παίρνοντας πάντα ως αξιωματική σας βάση τα στοιχεία του Ευκλείδη.
Αν ο Ευκλείδης άφησε κάποια κενά ( άθελα ή ηθελημένα ) γι' αυτό ήρθαν οι μετέπειτα μαθηματικοί ή άλλοι επιστήμονες να τα καλύψουν για να μην μπορεί να υπάρξει αμφισβήτηση περί αυτά μετέπειτα...
Πάντως ειλικρινά θαυμάζω την επιμονή σας!!!

Αγαπητέ φίλε Mathmaniac, υπάρχουν 3 είδη συνομιλητών μου:
α. Αυτοί που απαντούν επί της ουσίας (μέσα στους οποίους δεν συμπεριλαμβάνεται ο χρήστης diavolakos).
β. Αυτοί που απαντούν εκτός θέματος.
γ. Αυτοί που συμπεραίνουν.
Ομολογώ αγαπητέ φίλε ότι δεν έχω δυσκολία να σας κατατάξω στην ανάλογη κατηγορία.
Μέχρι την απάντηση του φίλου χρήστη diavolakos διαβάσατε; Την απάντησή μου δεν την διαβάσατε;
Ακούστε με παρακαλώ. Πολλές φορές κατηγορούμαι ότι ομιλώ φιλοσοφικά αντί μαθηματικά για να κάνω αποδεικτό (όση αξία έχει ή δεν έχει η δική αποδοχή βέβαια) ένα κείμενο εξ αντιγραφής της φιλοσοφίας. Αν είσαστε μαθηματικός, απορώ λοιπόν που είδατε την "πλήρως τεκμηριωμένη απάντηση την οποία δεν δέχομαι". Είναι μαθηματική η απάντηση του φίλου diavolakos απέναντι σε ένα μαθηματικό πρόβλημα όπως είναι η φύση του 2 στην άθροιση 1+1; Εκτός βέβαια και δεν γνωρίζετε ότι μαθηματική είναι η απάντηση που έχει αξιωματική στήριξη και όχι φιλοσοφική. Πέραν αυτού είναι εντελώς εκτός θέματος. Δεν το διακρίνετε;
Θα προσπαθήσω να σας βοηθήσω (εμφανώς το έχετε ανάγκη και μην παρεξηγηθείτε):

1. Περί την απόδειξη
(Καθηγητής μαθηματικών Στέλιος Η. Παπαφλωράτος σελίδα 15, βιβλίο "Γεωμετρία Λονμπατσέφσκι")

Δια του τρόπου τούτου διεξερχόμεθα το πλήρες απαγωγικό (αξιωματικό) σύστημα κατ` ανάδρομον φοράν, ήτοι μεταβαίνοντες εκ των τελευταίων και περιπλόκων προτάσεων του συστήματος εις προηγουμένας απλουστέρας, καταλήγοντες ούτω τελικώς εις τα πρώτας και απλουστάτας προτάσεις, τας προκυπτούσας αμέσως εκ των αξιωμάτων. Κατά συνέπειαν το τελικόν μέρος της αποδείξεως εκάστης προτάσεως στηρίζεται επί των αξιωμάτων, είτε αμέσως, είτε δια της επικλήσεως άλλων ενδιάμεσσων προτάσεων.

Καλέ μου φίλε Mathmaniac, αυτό σημαίνει ότι δεν έχετε το από μαθηματική άποψη το "ελεύθερο" να καταλήξετε να λέτε συμεπρασματικά, ότι ο χρήστης diavolakos μου έδωσε "πλήρως τεκμηριωμένη απάντηση την οποία δεν δέχομαι". Η φιλοσοφική αναφορά δεν αρκεί να θεμελιώσει απάντηση σε αίτημα προς απάντηση αμιγώς μαθηματικό, όπως είναι το δικό μου. Ποια είναι η αξιωματική στήριξη στην "απάντηση" που εσείς θεωρείτε πλήρη από τον φίλο χρήστη diavolakos; Το εκτός θέματος; Μπορείτε να μου πείτε τι μου απαντάει σχετικά με το 2 στην άθροιση 1+1;
Μπορεί λοιπόν από μαθηματική άποψη να μη μπορείτε να στηρίξετε την άποψή σας (η αναφερόμενη απάντηση είναι και εκτός θέματος και χωρίς αξιωματική στήριξη ώστε να χαρακτηριστεί, μαθηματική), μπορείτε όμως εκτός μαθηματικών να θεωρήσετε ότι ο φίλος χρήστης diavolakos μου κάνει μάθημα φιλοσοφίας το οποίο σας βεβαιώνω ότι δεν μου είναι αναγκαίο και μάλιστα εξ αντιγραφής. Σέβομαι την άποψή σας αλλά έχω κι εγώ τη δική μου.

2. Περί τον Ευκλείδη και τα αξιώματα

Πάρις Πάμφιλος καθηγητής μαθηματικών πανεπιστημίου Κρήτης "Ευκλείδεια γεωμετρία" σελίδα 2.

1.4 Αναλυτική μέθοδος
Η αναλυτική μέθοδος αναπτύχθηκε πολύ αργότερα από την συνθετική (Κοφτέσιος 1596-1650). Σ' αυτήν ο χώρος X περιγράφεται με σαφήνεια και ταυτίζεται με ένα σύνολο μαθηματικών αντικειμένων. Π.χ. το Ευκλείδειο Επίπεδο ταυτίζεται με το σύνολο R2. Τα διάφορα σχήματα, όπως λ.χ. οι ευθείες, περιγράφονται ως σύνολα που ικανοποιούν μαθηματικές σχέσεις και οι μετασχηματισμοί, δίδονται από συγκεκριμένους τύπους. Οι ορισμοί και οι ιδιότητες των σχημάτων ανάγονται σε αριθμητικές σχέσεις και επομένως η αλήθειά τους ανάγεται στην αλήθεια των στοιχειωδών ιδιοτήτων των πραγματικών αριθμών. Εδώ τα πάντα είναι προτάσεις. Τα αξιώματα φαίνονται ν' απουσιάζουν. Τούτο είναι μόνο φαινομενικό. Τα αξιώματα κρύβονται, σ' αυτήν την περίπτωση, στο μοντέλο. Π.χ. για το R2 τα αντίστοιχα αξιώματα είναι αυτά του R, τα οποία συνεπάγονται τα αξιώματα του Ευκλειδείου επιπέδου.

Καλέ μου φίλε αν δεν μπορείς να κατανοήσεις τι ακριβώς λέει ο κύριος Πάρις Πάμφιλος δεν θα μπορέσεις να κατανοήσεις και την αναφορά μου στον Ευκλείδη. Μπορώ να λέω διάφορα, αλλά δεν έχω τη δυνατότητα να κάνω τον άλλον να κατανοεί τόσο απλά ή πιο σύνθετα συλλογιστικά σύνδρομα.

Να είσαι καλά και σε ευχαριστώ που ασχολήθηκες έστω και σαν κριτικός...

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 15 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.