Απλό πρόβλημα εμβαδών στη θεωρία συνόλων

[ipios]

Δίδονται:
1. Τετράγωνο ΑΒΓΔ με τις διαγώνιες ΑΓ και ΒΔ να τέμνονται στο Ο.
2. Τέσσερα ίσα ορθογώνια τρίγωνα ΕΖΗ=ΘΙΚ=ΛΜΝ=ΞΠΡ
Αν ισχύει ΕΖΗ=ΘΙΚ=ΛΜΝ=ΞΠΡ=ΟΑΒ, να αποδειχθεί ότι:
Το τετράγωνο ΑΒΓΔ=ΟΑΒ+ΟΒΓ+ΟΓΔ+ΟΔΑ σαν σημειοσύνολο Σ1 είναι ίσο με το σημειοσύνολο Σ2= ΕΖΗ+ΘΙΚ+ΛΜΝ+ΞΠΡ ώστε το ΑΒΓΔ να είναι ισοδύναμο ή ισεμβαδικό με τα 4 τρίγωνα. Ισχύει Σ1=Σ2;
Θυμίζω ότι σύμφωνα με το αξίωμα του εμβαδού μόνον ίσα σχήματα (σημειοσύνολα) έχουν ίσα εμβαδά, χωρίς να ισχύει και το αντίστροφο.

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 12 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

 

[puzzled]

Σ2=4ΟΑΒ με βάση τα δεδομένα της άσκησης.
Για να ισχύει Σ1=Σ2, αρκεί το Σ1= 4ΟΑΒ, δηλαδή τα 4 τρίγωνα του τετραγώνου να είναι ίσα μεταξύ τους. Για να το αποδείξεις, δες τις ιδιότητες που έχουν οι διαγώνιοι του τετραγώνου και τα κριτήρια ισότητας τριγώνων.

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 12 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

 

[ipios]

puzzled, η ισότητα των παραγόμενων 4 ορθογωνίων τριγώνων από τις διαγώνιες του τετραγώνου δεν είναι ζητούμενο για να το αποδείξω. Θεωρείται δοσμένο (τα 4 τρίγωνα ΟΑΒ, ΟΒΓ, ΟΓΔ,ΟΔΑ από τις διαγώνιες του τετραγώνου είναι εξάπαντος - αποδεδειγμένα - ίσα μεταξύ τους) αλλά και διατυπωμένο στα δοσμένα. Γράφω: Αν ισχύει ΕΖΗ=ΘΙΚ=ΛΜΝ=ΞΠΡ=ΟΑΒ. Το ζητούμενο είναι αν αρκεί η ισότητα μεταξύ ενός εκάστου των τριγώνων εκ του ΑΒΓΔ με το καθένα από τα ΕΖΗ=ΘΙΚ=ΛΜΝ=ΞΠΡ ώστε να αποδειχθεί η ισεμβαδικότητα στο πλαίσιο της θεωρίας συνόλων με το αξίωμα του εμβαδού. Αυτό οδηγεί στην ανάγκη διατύπωσης των παραστάσεων των συνόλων Σ1 και Σ2 σαν σημειοσύνολα και η σύγκρισή τους με κριτήριο τον ορισμό ισότητας των συνόλων. Μόνον ίσα σχήματα (σημειοσύνολα) έχουν ίσα εμβαδά. Το 1 τετράγωνο ΑΒΓΔ με τις διαγώνιες παράγει 4 ίσα ορθογώνια ισοσκελή τρίγωνα το καθένα των οποίων ισούται με το καθένα εκ των ΕΖΗ,ΘΙΚ,ΛΜΝ,ΞΠΡ. Ισούται σαν σημειοσύνολο το δοσμένο μερισμένο σε 4 τρίγωνα τετράγωνο, με τα 4 δοσμένα μη μερισμένα; Αυτό χρειάζεται απόδειξη και όχι η ισότητα των τριγώνων ένα προς ένα που είναι δοσμένη. Σε κάθε περίπτωση σε ευχαριστώ για τη συμμετοχή σου.

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 12 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

 

[puzzled]

ipios, πάνε και αρκετά χρόνια που έχω να ασχοληθώ με μαθηματικά. Και την απόδειξη για την ισότητα για τα 4 τρίγωνα του τετραγώνου την ανέφερα μόνο και μόνο γιατί στο σχολείο μας ζητούσαν τις αποδείξεις ακόμα και για τα πιο αυτονόητα. Νομίζω πως ισχύει η ισότητα Σ1=Σ2. Περιμένω την απόδειξη όταν την βρεις. Μου κίνησες την περιέργεια!

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 12 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

 

[ipios]

Δεν παραθέτω απόδειξη puzzled διότι αυτό είναι το ζητούμενο και θα αφαιρέσω την ευκαιρία από τον όποιον άλλον θελήσει να αποδείξει την ισεμβαδικότητα. Ελπίζω να κατανοείς την αιτία μου που στοχεύει στην μάθηση. Θα σου πω όμως για να ενισχύσω την κατανοητή περιέργειά σου (που με χαροποιεί), ότι το τετράγωνο ΑΒΓΔ με τις διαγώνιες που έχει μετετραπεί σε 4 ίσα ορθογώνια και ισοσκελή τρίγωνα, δεν μπορεί να αποδειχθεί ισοδύναμο ή ισεμβαδικό με τα 4 ξένα μεταξύ τους τρίγωνα όπως έχουν δοθεί και ας ισχύει ΕΖΗ=ΘΙΚ=ΛΜΝ=ΞΠΡ=ΟΑΒ. Ελπίζω να σταθούμε τυχεροί κι εσύ κι εγώ να δούμε κάποια απόδειξη από κάποιον άλλο φίλο ώστε να το συζητήσουμε. Εξακολούθησε τη σοφή συμβουλή σου: Think positive!!!

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 12 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

 

[puzzled]

Έχεις δίκιο...μπορεί και κάποιος άλλος να θέλει να ασχοληθεί με το πρόβλημα αυτό. Ας περιμένουμε λοιπόν. Θα έχει ενδιαφέρον!
Όσο για τη θετική σκέψη, πάντα!!!

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 12 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

 

[Εσχατόγερος]

Δίδονται:
1. Τετράγωνο ΑΒΓΔ με τις διαγώνιες ΑΓ και ΒΔ να τέμνονται στο Ο.
2. Τέσσερα ίσα ορθογώνια τρίγωνα ΕΖΗ=ΘΙΚ=ΛΜΝ=ΞΠΡ
Αν ισχύει ΕΖΗ=ΘΙΚ=ΛΜΝ=ΞΠΡ=ΟΑΒ, να αποδειχθεί ότι:
Το τετράγωνο ΑΒΓΔ=ΟΑΒ+ΟΒΓ+ΟΓΔ+ΟΔΑ σαν σημειοσύνολο Σ1 είναι ίσο με το σημειοσύνολο Σ2= ΕΖΗ+ΘΙΚ+ΛΜΝ+ΞΠΡ ώστε το ΑΒΓΔ να είναι ισοδύναμο ή ισεμβαδικό με τα 4 τρίγωνα. Ισχύει Σ1=Σ2;
Θυμίζω ότι σύμφωνα με το αξίωμα του εμβαδού μόνον ίσα σχήματα (σημειοσύνολα) έχουν ίσα εμβαδά, χωρίς να ισχύει και το αντίστροφο.

Έτσι όπως το θέτεις, δηλαδή ορίζοντας τα Σ1 και Σ2 ως σημειοσύνολα, η ισότητα δεν ισχύει.
Η ισότητα που ισχύει είναι η Ε(Σ1) = Ε(Σ2), όπου Ε() το εμβαδό.

Για να είναι ίσα δύο σύνολα, θα πρέπει να υπάρχει μια αντιστοιχία ένα-προς-ένα στα στοιχεία τους ή, πιο αυστηρά:
Για κάθε σ1 που ανήκει στο Σ1, το σ ανήκει στο Σ2, ΚΑΙ για κάθε σ2 που ανήκει στο Σ2, το σ2 ανήκει στο Σ1.

Τα συγκεκριμένα σύνολα είναι σημειοσύνολα, άρα πρέπει να περιλαμβάνουν τα ίδια σημεία του χώρου. Αυτό δεν ισχύει εν γένει, παρά μόνο σε ειδικές περιστάσεις, όπως π.χ αν Ο = Η = Κ = Ρ = Ν και Α = Ε = Π και Β = Ζ = Θ και Γ = Ι = Μ και Δ = Ξ = Λ ή κάτι ανάλογο, δηλαδή αν τα τέσσερα τρίγωνα που απαρτίζουν το Σ2 είναι διατεταγμένα έτσι ώστε να σχηματίζουν τετράγωνο του οποίου οι κορυφές συμπίπτουν με τις κορυφές του Σ1.

Σε μία πιο χαλαρή περίπτωση που τα τέσσερα τρίγωνα του σημειοσυνόλου Σ2 είναι διατεταγμένα έτσι ώστε να σχηματίζουν τετράγωνο, το οποίο όμως δεν συμπίπτει κατά κορυφάς με το Σ1 (με άλλα λόγια: Η = Κ = Ρ = Ν και Ε = Π και Ζ = Θ και Ι = Μ και Ξ = Λ ή κάτι ανάλογο), τότε έχεις δύο ισεμβαδικά σχήματα, και δύο σημειοσύνολα τα οποία δεν είναι μέν ίσα, αλλά είναι γραμμικώς ισοδύναμα. Δηλαδή, υπάρχει ένας γραμμικός μετασχηματισμός L() έτσι ώστε L(Σ1) = Σ2.

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 11 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

 

[mindcircus]

Εγω που ειμαι παντελως ασχετη με αυτα, μας ζητας να σου λυσουμε την ασκηση?

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 11 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.