Βοήθεια με ένα ολοκλήρωμα....

mariophys · 2011-08-11T23:37:13+0300

Καλησπέρα σας, θα ήθελα αν είναι δυνατό να λύσει κάποιος αναλυτικά το παρακάτω ολοκλήρωμα γιατί έχουμε κολλήσει με ένα φίλο και δεν μπορούμε να βγάλουμε άκρη.

$\displaystyle\int\frac{d^3 p}{(2\pi)^3}\frac{1}{2 E_{\vec{p}}}e^{-i p(x-y)}$

όπου $p(x-y)$ είναι εσωτερικό γινόμενο 4-διανυσμάτων δηλαδή $p_0 (x^0-y^0)-\vec{p}(\vec{x}-\vec{y})$ και $E_{\vec{p}}=\vec{p}^2+m^2$

Γιατί το ολοκλήρωμα αυτό για $(x-y)^2<0$ είναι $\sim e^{-m|\vec{x}-\vec{y}|}$
Είναι από την Κβαντική Θεωρία Πεδίου,δηλαδή πρέπει να υπολογιστεί εδώ το ολοκλήρωμα αυτό για χωροειδές χωροχρονικό διάστημα μεταξύ των

και

,και πρέπει να βγει τόσο.Δεν καταλαβαίνω πως βγαίνει.Βγαίνει με λογισμό υπολοίπων αλλά δεν καταλαβαίνω πώς.Μπορεί κάποιος να μου υπολογίσει αναλυτικά αυτό το ολοκλήρωμα γι'αυτές τις συνθήκες;Ευχαριστώ.

Rempeskes · 2011-08-12T01:55:16+0300

.Μπορεί κάποιος να μου υπολογίσει αναλυτικά αυτό το ολοκλήρωμα γι'αυτές τις συνθήκες;

...Γράφεις το ολοκλήρωμα ως

$giflatexC5Cint205Cfrac2m5Cvecp2m2ei5Cvec-1.gif$

όπου C σταθερά που ενσωματώνει όλες τις υπόλοιπες (ακα σκουπίδια) ώστε τα δύο ολοκληρώματα να είναι ίσα.
Τώρα παρατηρείς πως το τελευταίο αποτελεί τον μετασχηματισμό Fourier της συνάρτησης

$giflatex5Cvecp5Cmapsto205Cfrac2m5Cvecp2m-1.gif$

υπολογισμένο στο σημείο

.

Oπότε, είτε ξοδεύοντας πολύτιμο χρόνο σχηματίζοντας τετράγωνα στο εκθετικό, είτε από έναν έτοιμο πίνακα μετασχηματισμών Fourier, λαμβάνουμε πως το δοθέν ολοκλήρωμα ισούται με

όπου c σταθερά που ενσωματώνει όλα τα σκουπίδια.

mariophys · 2011-08-12T02:18:21+0300

Ευχαριστώ πολύ για την απάντηση!

Βοήθεια με ένα ολοκλήρωμα....

mariophys

Εκκολαπτόμενο μέλος

Rempeskes

Επιφανές μέλος

mariophys

Εκκολαπτόμενο μέλος

Χρήστες Βρείτε παρόμοια