Νιοστή παράγωγος της εφχ

[Subject to change]

Που λέτε μου κόλλησε το σάββατο να βρώ τύπο για την νιοστή παράγωγο της εφχ. Δεν τη βρήκα όμως. Χάθηκα στις πράξεις, ίσως να έκανα και κανένα λάθος, και δεν κατάφερα να βρω κάποια τέτοια κανονικότητα ώστε να βγάλω τύπο (ίσως φταίει που είχα κοιμηθεί μόνο 2-3 ώρες κι αυτές μέσα σε λεωφορείο του ΚΤΕΛ ). Τελικώς κοιμήθηκα πάνω στις πράξεις μου. Έκτοτε δεν ξαναπροσπάθησα. Μήπως μπορείτε να βρείτε εσείς;

Σημείωση για τους νεότερους (ή για όσους τα έχουν ξεχάσει):
Έστω οτι η συνάρτηση που έχουμε είναι η f(x) = 1/x.
Αρχίζουμε και βρίσκουμε τις παραγώγους της.
f'(x) = -1*x^(-2)
f"(x) = 2*x^(-3)
f'''(x) = -2*3*x^(-4)
Παρατηρούμε μια κανονικότητα, η οποία εικάζουμε ότι θα μπορούσε να αντιστοιχεί στον τύπο:
f^(n)(x) = (-1)^n*n!*x^(-n-1)
τον οποίο αποδεικνύουμε με επαγωγή.
Αν η συνάρτηση είναι η f(x) = εφχ τι τύπο θα μπορούσαμε να βγάλουμε;

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 19 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

 

[Founes]

Που λέτε μου κόλλησε το σάββατο να βρώ τύπο για την νιοστή παράγωγο της εφχ. Δεν τη βρήκα όμως. Χάθηκα στις πράξεις, ίσως να έκανα και κανένα λάθος, και δεν κατάφερα να βρω κάποια τέτοια κανονικότητα ώστε να βγάλω τύπο (ίσως φταίει που είχα κοιμηθεί μόνο 2-3 ώρες κι αυτές μέσα σε λεωφορείο του ΚΤΕΛ ). Τελικώς κοιμήθηκα πάνω στις πράξεις μου. Έκτοτε δεν ξαναπροσπάθησα. Μήπως μπορείτε να βρείτε εσείς;

Σημείωση για τους νεότερους (ή για όσους τα έχουν ξεχάσει):
Έστω οτι η συνάρτηση που έχουμε είναι η f(x) = 1/x.
Αρχίζουμε και βρίσκουμε τις παραγώγους της.
f'(x) = -1*x^(-2)
f"(x) = 2*x^(-3)
f'''(x) = -2*3*x^(-4)
Παρατηρούμε μια κανονικότητα, η οποία εικάζουμε ότι θα μπορούσε να αντιστοιχεί στον τύπο:
f^(n)(x) = (-1)^n*n!*x^(-n-1)
τον οποίο αποδεικνύουμε με επαγωγή.
Αν η συνάρτηση είναι η f(x) = εφχ τι τύπο θα μπορούσαμε να βγάλουμε;

βίτσιο και αυτό Σαββατιάτικα...

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 19 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

 

[Subject to change]

βίτσιο και αυτό Σαββατιάτικα...

Χαχα και να φανταστείς οτι ήταν και ένα απο τα ελάχιστα ΣΚ που είχα πάει να δω το φίλο μου . Ξεκίνησα να του δείχνω πως μπορούμε να βρούμε νιοστή παράγωγο μιας συνάρτησης, και τελικά κόλλησα (και χάλασα όλες τις χαρτοπετσέτες του τραπεζιού μας στο εστιατόριο) για να βρώ τη νιοστή παράγωγο της εφχ. Άσε που όταν πήγαμε σπίτι συνέχισα σε ένα τετράδιο που είχε (νταξ, είχε κι αυτός διάβασμα, οπότε δεν θα κάναμε ούτως ή άλλως κάτι μαζί), μέχρι που με πήρε ο ύπνος πάνω του (πάνω στο τετράδιο, όχι πάνω στο φίλο μου ) .

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 19 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

 

[Γιώργος]

Με κάποιους πρόχειρους υπολογισμούς, η ν-παράγογος της tanx πρέπει να είναι:

• = 2^[(ν-1)/2] * [1 + (tanx)^2], για ν περιττό
• = 2^(ν/2) * tanx, για ν άρτιο

Δοκίμασε να το δείξεις με επαγωγή, έβγαλα τον τύπο βάση.. εμπειρίας!!




Κάψιμο rulez ρε!!

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 19 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

 

[ALEX_]

Μισέλ μου με μια πρώτη ματιά θα έλεγα ότι δεν υπάρχει κανονικότητα στην n-στη παράγωγο της εφχ.Θα το κοιτάξω πιο προσεκτικά πάντως.

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 19 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

 

[Subject to change]

Γιώργο θα το κοιτάξω το βράδυ γιατί πρέπει να ξεκινήσω διάβασμα σε λίγο για το μάθημα που έχω στις 3...
Πάντως θα προτιμούσα ένα γενικό τύπο, άσχέτως περιττού-άρτιου ν, αν και ίσως αυτό να είναι αδύνατο, dunno...

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 19 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

 

[ALEX_]

Να το διορθώσω λίγο,τύπο πρέπει να μπορούμε να βγάλουμε,εννοούσα ότι δεν υπάρχει "κανονικότητα" με την απλή έννοια που υπάρχει στο f(x)=x^n για παράδειγμα.

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 19 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

 

[Γιώργος]

Γιώργο θα το κοιτάξω το βράδυ γιατί πρέπει να ξεκινήσω διάβασμα σε λίγο για το μάθημα που έχω στις 3...
Πάντως θα προτιμούσα ένα γενικό τύπο, άσχέτως περιττού-άρτιου ν, αν και ίσως αυτό να είναι αδύνατο, dunno...

Δεν νομίζω ότι γίνεται.... Αλλά και πάλι, μπορεί να κάνω λάθος!



Εγώ πάντως στηρίχτηκα στο ότι (tanx)' = 1 + (tanx)^2.
Θα δοκιμάσω αργότερα να τους αποδείξω με επαγωγή.


Τώρα έβγαλα τις 8 πρώτες παραγώγους, είδα ποιο pattern ακολουθούν κι έβγαλα τον τύπο!

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 19 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

 

[Founes]

Χαχα και να φανταστείς οτι ήταν και ένα απο τα ελάχιστα ΣΚ που είχα πάει να δω το φίλο μου . Ξεκίνησα να του δείχνω πως μπορούμε να βρούμε νιοστή παράγωγο μιας συνάρτησης, και τελικά κόλλησα (και χάλασα όλες τις χαρτοπετσέτες του τραπεζιού μας στο εστιατόριο) για να βρώ τη νιοστή παράγωγο της εφχ. Άσε που όταν πήγαμε σπίτι συνέχισα σε ένα τετράδιο που είχε (νταξ, είχε κι αυτός διάβασμα, οπότε δεν θα κάναμε ούτως ή άλλως κάτι μαζί), μέχρι που με πήρε ο ύπνος πάνω του (πάνω στο τετράδιο, όχι πάνω στο φίλο μου ) .

Ρε!!! δεν πάτε καλά!!! Αφήστε τα μαθηματικά και απολαύστε την στιγμή του φαγητού που είσαστε μαζί, αλλά και μετά τις λίγες στιγμές που είχατε ακόμα μαζί κάντε κάτι καλύτερο... γουτσου-γουτσου ξερω γω...
anyway... είπαμε... βίτσια είναι αυτά!

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 19 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

 

[ALEX_]

Για δοκίμασε με τον τύπο του Leibniz για n-στή παράγωγο σύνθεσης συναρτήσεων και σπάσε την εφχ σε δύο σύνθετες.

Δυστυχώς δεν μπορώ να σου γράψω τον τύπο εδώ γιατί με τον τρόπο γραφής δεν θα βγάζαμε άκρη και για κάποιον παράξενο λόγο δεν μπορώ να κάνω paste από mathematica(γιατί όντως?).

Anyway,μια ιδέα είναι,δεν είμαι σίγουρος αν θα δουλέψει στάνταρ.

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 19 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

 

[Subject to change]

Εγώ πάντως στηρίχτηκα στο ότι (tanx)' = 1 + (tanx)^2.

Ομολογώ οτι αυτόν τον τύπο τον είχα ξεχάσει εντελώς Μάλλον γι'αυτό μπλέχτηκα τόσο... Κριμα που δεν έχω χρόνο να ασχοληθώ τώρα γμτ

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 19 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

 

[Γιώργος]

Ομολογώ οτι αυτόν τον τύπο τον είχα ξεχάσει εντελώς Μάλλον γι'αυτό μπλέχτηκα τόσο... Κριμα που δεν έχω χρόνο να ασχοληθώ τώρα γμτ

Ε, χρησιμοποίησε αυτόν πέντε-έξι φορές και θα δεις ότι έτσι βγαίνει.



Κάνα πιζάκι να μας το δείξει επαγωγικά; Εγώ βαριέμαι!

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 19 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

 

[Subject to change]

Ρε!!! δεν πάτε καλά!!! Αφήστε τα μαθηματικά και απολαύστε την στιγμή του φαγητού που είσαστε μαζί, αλλά και μετά τις λίγες στιγμές που είχατε ακόμα μαζί κάντε κάτι καλύτερο... γουτσου-γουτσου ξερω γω...
anyway... είπαμε... βίτσια είναι αυτά!

Σιγά μωρέ, σε 4 μήνες θα έχουμε άπειρες στιγμές μαζί 'Ασε που όταν σου κολλήσει κάτι στα μαθηματικά, πίστεψε με, μόνο η νύστα το διώχνει και τίποτε άλλο...

ALEX καλή ιδέα (αν και πρέπει να ψάξω στα βιβλία μου να βρω τον τύπο, έχω ξεχάσει πολλά γμτ), αν και μου φαίνεται πλέον αρκετά εύκολο με τον τύπο που θυμήθηκα τώρα απο το Γιώργο.

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 19 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

 

[tanos56]

Η νιοστή παράγωγος:

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 19 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

 

[ΜΠΕΡΔΕΜΕΝΟΣ]

Ελπίζω κάποιος να το πετάξει στη σωστή ενότητα.

Είναι σωστό μαθηματικά να λέμε ότι ο κύκλος στο επίπεδο, με κέντρο ας πούμε το σημείο Ο (α, β) και ακτίνα ρ>0 είναι το σύνολο των σημείων που κατασκευάζουμε "υλικά" με το όργανο του διαβήτη;

Εννοάω, πώς απο την εξίσωση (χ-α)^2 + (ψ-β)^2 = ρ^2 είμαστε σίγουροι πως λύσεις της είναι τα σημεία που "γράφει" το μαραφέτι που λέμε διαβήτη (και μόνο αυτά);
Μήπως είναι κάτι το λίγο-πολύ εμπειρικό;

Αν βοηθάει, λέω πως υπάρχουν πολλοί τρόποι να ορίσει κανείς "απόσταση" σε ένα σύνολο (στο επίπεδο, εν προκειμένω). Επομένως υπάρχουν και αντίστοιχοι "κύκλοι" με κέντρο το Ο και ακτίνα ρ. Παρ' όλα αυτά εμείς κατασκευάζουμε το συγκεκριμένο σχήμα (που μπορεί, όχι μόνο να μην είναι ο "κύκλος" για τη δεδομένη μετρική ( d(χ,ψ) = ρίζα [ (χ1 - χ2)^2 + (ψ1 - ψ2)^2] ), αλλά να μην είναι κύκλος για καμία "απόσταση").

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 17 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

 

[Δεσμώτης]

νιοστή παράγωγος εφχ

Αρχικά, ποτέ δε θα χωνέψω ότι ο διεθνής όρος για την εφαπτομένη (tan)
είναι ίδιος ετυμολογικά με το μαύρισμα από τον ήλιο.

Rick liked the jacket, but would have preferred it in tan.

Στον Ρικ άρεσε το μπουφάν, αλλά θα το προτιμούσε σε ταμπά.

ή

Having dark skin as a result of exposure to the sun.

ή

Lea Verou (aka Subject to tan) had been tanning on the KTEL all afternoon about trigonometry, lolz.


ΥΓ. Μου λείπει η Λία (ανώμαλος).​

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 6 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.