Συνάρτηση της οποίας το τετράγωνο ισούται με την παράγωγο της.

[billy]

Mπραβο Michelle στο 'μυαλο μου μεσα εισαι'
Σχεδον οι περισσοτερες ΔΕ εχουν τετριμμενες λυσεις, πχ ακομη και η απλουστερη f(x)=f'(x) εχει την f(x)=c e^x, αλλα και την f(x)=0 ...
σε ευχαριστω που το διευκρινισες.

KoRaKi η f(x)=0 δεν ειναι τετριμενη λυση της f(x)=f'(x) => f(x)=c e^x αλλα
ειναι μια λυση της απο τις απειρες που εχει αφου ισχυει για καθε c που ανηκει στο R . απλως για c=0 ισχυει f(x)=0.

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 20 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

 

[Puff_Daddy]

Ιδιάζουσα λύση είναι αυτή που δεν προκύπτει από τις αρχικές συνθήκες και την γενική λύση. Η σωστή ορολογία, αν δεν κάνω λάθος, είναι ότι η f(x)=0 είναι ΙΔΙΑΖΟΥΣΑ λύση...

Τετριμμένη λύση δεν νομίζω οτι ορίζεται στα μαθηματικά. Στην φυσική ναι, ορίζεται. Αλλά στα μαθηματικά δεν υπάρχουν τετριμμένες και μη τετριμμένες λύσεις. Στα μαθηματικά, η λύση είναι λύση. Στην αστροφυσική ας πούμε, οι εξισώσεις των Friedmann - Lemaitre, έχουν ως λύσεις το κενό σύμπαν. Αυτό είναι τεττριμένη λύση, επειδή αναφερόμαστε σε φυσική. Στα μαθηματικά όμως;

Το έχω γράψει τρεις σελίδες πίσω.

Όσο για αυτό που λέει η Nikita13, αυτό ακριβώς είναι η ιδιάζουσα λύση. Δεν προκύπτει ούτε από τις αρχικές συνθήκες, ούτε από τη γενική λύση.

Δεν μπόρεσα εν τούτοις να βρω ακριβή ορισμό της "ιδιάζουσας λύσης". Οπότε αφήνω ένα περιθώριο σφάλματος...

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 20 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

 

[Subject to change]

Ιδιάζουσα λύση είναι αυτή που δεν προκύπτει από τις αρχικές συνθήκες και την γενική λύση. Η σωστή ορολογία, αν δεν κάνω λάθος, είναι ότι η f(x)=0 είναι ΙΔΙΑΖΟΥΣΑ λύση...

Τετριμμένη λύση δεν νομίζω οτι ορίζεται στα μαθηματικά. Στην φυσική ναι, ορίζεται. Αλλά στα μαθηματικά δεν υπάρχουν τετριμμένες και μη τετριμμένες λύσεις. Στα μαθηματικά, η λύση είναι λύση. Στην αστροφυσική ας πούμε, οι εξισώσεις των Friedmann - Lemaitre, έχουν ως λύσεις το κενό σύμπαν. Αυτό είναι τεττριμένη λύση, επειδή αναφερόμαστε σε φυσική. Στα μαθηματικά όμως;

Το έχω γράψει τρεις σελίδες πίσω.

Όσο για αυτό που λέει η Nikita13, αυτό ακριβώς είναι η ιδιάζουσα λύση. Δεν προκύπτει ούτε από τις αρχικές συνθήκες, ούτε από τη γενική λύση.

Δεν μπόρεσα εν τούτοις να βρω ακριβή ορισμό της "ιδιάζουσας λύσης". Οπότε αφήνω ένα περιθώριο σφάλματος...

Έχεις δίκιο περι διαφορικών εξισώσεων αλλά άδικο στο οτι δεν υπάρχει στα μαθηματικά τετριμμένη λύση. Θα σου πω ενα πολύ απλό παράδειγμα:
Σε ένα ομογενές γραμμικό σύστημα η λύση x1=x2=x3,...=xN=0 λέγεται τετριμμένη όποιο μαθηματικό και να ρωτήσεις

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 20 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

 

[billy]

Έχεις δίκιο περι διαφορικών εξισώσεων αλλά άδικο στο οτι δεν υπάρχει στα μαθηματικά τετριμμένη λύση. Θα σου πω ενα πολύ απλό παράδειγμα:
Σε ένα ομογενές γραμμικό σύστημα η λύση x1=x2=x3,...=xN=0 λέγεται τετριμμένη όποιο μαθηματικό και να ρωτήσεις

Michelle σε αυτο που λες εχεις απολυτο δικιο δεν αντιλεγω ειναι τετριμενη λυση αλλα με την προυποθεση οτι δεν υπαρχει ο περιορισμος τα Χ1,Χ2,....,ΧΝ να ειναι διαφορα του μηδενος που προφανως δεν υπαρχει στην συγκεκριμενη περιπτωση.Αλλα στην περιπτωση της Δ.Ε για την οποια μιλαμε υπαρχει ο περιορισμος f(X) = 0 που σημαινει οτι δεν μπορει να ειναι λυση της ετσι απλα.Η f(X) = 0 ειναι ''λυση'' της f '(X)=f ^2(X) επειδη η σχεση προκυπτει απο το οτι για την f(X) = 0 ισχυουν και οι σχεσεις
f(X) = f '(X) και f(X) = f^2(X).

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 20 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

 

[Subject to change]

Michelle σε αυτο που λες εχεις απολυτο δικιο δεν αντιλεγω ειναι τετριμενη λυση αλλα με την προυποθεση οτι δεν υπαρχει ο περιορισμος τα Χ1,Χ2,....,ΧΝ να ειναι διαφορα του μηδενος που προφανως δεν υπαρχει στην συγκεκριμενη περιπτωση.Αλλα στην περιπτωση της Δ.Ε για την οποια μιλαμε υπαρχει ο περιορισμος f(X) = 0 που σημαινει οτι δεν μπορει να ειναι λυση της ετσι απλα.Η f(X) = 0 ειναι ''λυση'' της f '(X)=f ^2(X) επειδη η σχεση προκυπτει απο το οτι για την f(X) = 0 ισχυουν και οι σχεσεις
f(X) = f '(X) και f(X) = f^2(X).

Γιατί συνδέεις το παράδειγμα μου με τη διαφορική εξίσωση?
Εγώ το είπα για να δείξω οτι υπάρχει η έννοια της τετριμμένης λύσης και στα μαθηματικά και όχι μόνο στη φυσική, δεν σχετιζόταν με την άσκηση καθόλου.

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 20 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

 

[billy]

Γιατί συνδέεις το παράδειγμα μου με τη διαφορική εξίσωση?
Εγώ το είπα για να δείξω οτι υπάρχει η έννοια της τετριμμένης λύσης και στα μαθηματικά και όχι μόνο στη φυσική, δεν σχετιζόταν με την άσκηση καθόλου.

Το συνδεω γιατι ολοι μιλανε περι τετριμενης λυσης της Δ.Ε. και λεω οτι η εννοια της τετριμενης λυσης που αναφερεται στο παραδειγμα σου δεν σχετιζεται με την Δ.Ε. διοτι υπαρχουν και περιορισμοι.

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 20 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

 

[Subject to change]

Βρε παιδιά, πνίγεστε σε μια κουταλιά νερό!
Τα είπαμε τόσες φορές: Η λύση της ΔΕ f(x)=0 αφενός μεν είναι σωστή αφετέρου είναι ιδιάζουσα. Που είναι το περίεργο και το αμφιλεγόμενο και κολλάτε/ας??

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 20 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

 

[billy]

Βρε παιδιά, πνίγεστε σε μια κουταλιά νερό!
Τα είπαμε τόσες φορές: Η λύση της ΔΕ f(x)=0 αφενός μεν είναι σωστή αφετέρου είναι ιδιάζουσα. Που είναι το περίεργο και το αμφιλεγόμενο και κολλάτε/ας??

Μ' αρεσει παντως που εισαι και σιγουρη οτι εχεις δικιο εσυ και πνιγομαστε εμεις.

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 20 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

 

[billy]

Βρε παιδιά, πνίγεστε σε μια κουταλιά νερό!
Τα είπαμε τόσες φορές: Η λύση της ΔΕ f(x)=0 αφενός μεν είναι σωστή αφετέρου είναι ιδιάζουσα. Που είναι το περίεργο και το αμφιλεγόμενο και κολλάτε/ας??

Το περιεργο ειναι οτι την αποκλειεται την f(x)=0 ως λυση και μετα την αποδεχεσται ως ιδιαζουσα λυση.Δηλαδη αυτα που υποστηριζω εγω ειναι τοσο περιεργα?

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 20 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

 

[Subject to change]

Πρώτον billy όταν θέλεις να επεξεργαστείς κάποιο μήνυμα υπάρχει το κουπάκι "Επεξεργασία", δεν χρειάζεται να κάνεις δεύτερο ποστ.

Κατα δεύτερον, το οτι πνίγεστε σε μια κουταλιά νερό το λέω γιατί ουσιαστικά διαφωνείτε χωρις να ξέρετε σε τι και εαν διαφωνείτε. Τουλάχιστον σαν εξωτερικός παρατηρητής αυτή την εντύπωση μου δίνει το thread.
Τα πράγματα είναι απλά, δεν υπάρχει λόγος σύγχυσης:
Δουλευει το f(x)=0 στην αρχική εξίσωση? Δουλευει. Άρα ο,τι και να λέτε ειναι λύση.
Προκύπτει απο τον γενικό τρόπο επίλυσης? Όχι. Άρα είναι ιδιάζουσα λύση.
Που στο καλό ειναι το πρόβλημα, ακόμα δεν έχω καταλάβει...

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 20 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

 

[weak and powerless]

ουγκ~!

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 20 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

 

[dooo]

ουγκ~!

ουγκ~

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 20 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

 

[KoRaKi]

ουγκ indeed !!

Τωρα σε ο,τι αφορα την ορολογια εχετε δικιο οτι η λυση f(x)=0 δεν ονομαζεται τετριμμενη (trivial) αλλα ιδιαζουσα (singular). Επι της ουσιας ομως δεν αλλαζει τιποτε. Βασικα εκεινα που εγραψα εκει αφορουσαν τη συζητηση για τον προσδιορισμο της σταθερας ολοκληρωσης c, και ειπα οτι εαν δεν εχετε συνοριακη συνθηκη το c δεν υπολογιζεται, οπως σε καθε απλη διαφορικη εξισωση (ODE).

Τα αφηρημενα μαθηματικα κατ' εμε ειναι εντελως ανουσια και εντελως βαρετα. Tα μαθηματικα τα κατανοω σαν ενα χρησιμο εργαλειο να κατανοησει κανεις τον κοσμο, τιποτα περισσοτερο.

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 20 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

 

[Nessa NetMonster]

Μα δεν υπάρχει κλάδος των μαθηματικών που να μην έχει πρακτική εφαρμογή.

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 20 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

 

[Rempeskes]

Μα δεν υπάρχει κλάδος των μαθηματικών που να μην έχει πρακτική εφαρμογή.

Έτσι νόμιζα και γω κάποτε....

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 20 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

 

[tanos56]

Aρχικά ήθελα να ανταποδώσω την καλημέρα στον Πέτρο και να σας εκφράσω τον θαυμασμό μου για τον πανέμορφο τρόπο, με τον οποίο επικοινωνείτε, καθώς και για το είδος των θεμάτων, με τα οποία προβληματίζεστε.

Αν θα θέλατε ένας βαρετός Μαθηματικός, να ταράξει διακριτικά τα νερά της αναζήτησής σας (αν δεν το επιθυμείτε θα το σεβαστώ απόλυτα στο μέλλον), είχα να πώ σχετικά με την προτεινόμενη Δ.Ε - για την οποία η ενδεδειγμένη εκφώνηση είναι "να βρεθούν όλες οι συναρτήσεις οι οποίες......."-τα παρακάτω:

1. Η γενική της λύση-όπως ,πολύ ορθά, μερικοί εξ υμών προσδιόρισαν- είναι πράγματι οι οικογένεια των υπερβολών:
y=1/c-x, ,με c: πραγματική σταθερά.Τ c προσδιορίζεται αν δοθεί αρχική (όχι συνοριακές συνθήκες. Οι συνοριακές αφορούν Δ.Ε ανωτέρας τάξεως ή "μερικές" Δ.Ε).

2. Η προφανής λύση y=0, δεν προκύπτει από το γενικό ολοκλήρωμα, και αποτελεί ιδιάζουσα λύση της Δ.Ε

3. Σχετικά με την στοιχειώδη Δ.Ε στο R, y΄=y,
Η διαίρεση με την συνάρτηση y και η αντιμετώπισή της, ως "χωριζομένων μεταβλητών" , θεωρείται λάθος (γι αυτό πολλαπλασιάζατε τότε με τον παράγοντα EULER) στο στοιχειώδες Λύκειο, διότι δεν γνωρίζουμε στο Λύκειο τα θεωρήματα υπάρξεως και μοναδικότητος λύσεων των Δ.Ε. (Cauchy-Νοgumo.) Συνεπώς αν υποτεθεί ότι η y μηδενίζεται σε κάποια (πεπερασμένου ή απείρου πλήθους) σημεία του R, θα πρέπει να εισάγουμε διαφορετικές σταθερές, αφού μία Δ.Ε επιλύεται σε διάστημα ή ένωση διαστημάτων. Εδώ όμως ισχύει το μονοσήμαντο των λύσεων (όπως και στην προτεινόμενη), με συνέπεια κάθε λύση (ολοκληρωτική καμπύλη) που τέμνει τον πραγματικό άξονα-έστω και σε ένα σημείο- τελικά θα αντιστοιχεί στην ταυτοτικά μηδενική
η οποία όμως έχει εκ προοιμίου και προφανώς προσσδιοριστεί.
4. O "τετριμένος", "τετριμένη" χρησιμοποιείται συχνά στα Μαθηματικά (π.χ : ένας ακέραιος αριθμός α, είναι πρώτος , ανν οιαδήποτε ανάλυσή του ταυτίζεται με την τετριμένη: α=1.α). Καμμία εκδοχή στην Θεωρητική φυσική δεν μπορεί να θεωρηθεί "τετριμένη" αν ο μελετητής δεν δικαιολογήσει τον όρο Μαθηματικά. Η χρήση του όρου είναι επί του πλείονος θέμα "ύφους" παρά επιστημονικής ορολογίας.

σας φιλώ και θα τα ξαναπούμε μετά την ΔΕΥΤΈΡΑ.

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 19 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

 

[Subject to change]

Καλωσόρισες tanos56 και προσωπικά χαίρομαι ιδιαίτερα που έχουμε έναν τόσο αξιολογο και μορφωμένο μέλος στο στέκι.
Ελπίζω μόνο στο μέλλον να εξοικειωθείς και περισσότερο με το μέσον, ώστε να επικοινωνείς αποτελεσματικότερα (μεταφραση: Διάβασε τα pms και τα mails σου!! )

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 19 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.