Ο τίτλος είναι μούφα, για να προσελκύσω αναγνώστες.
...Σύμφωνα με την επίμονη γνώμη του μαθηματικού μου στο Γυμνάσιο, το άθροισμα των γωνιών ενός τριγώνου είναι ένα ακτίνιο π (180 μοίρες) - και τίποτα άλλο. Επειδή πάντα πίστευα ότι μου έλεγαν, με έκπληξη ανακάλυψα ότι τα πράγματα δεν είναι πάντοτε έτσι.
Βέβαια, έπρεπε πρώτα να πείσω τον εαυτό μου πως δεν είχε δίκιο...
(Φωνή της συνείδησης) - Εννοείς δηλαδή πως το άθροισμα των γωνιών δεν είναι π?
- Όχι. Εννοώ πως εξαρτάται από έναν βασικό παράγοντα: το αν καμπυλώνεται ο χώρος γύρω από το τρίγωνο.
(Φωνή της συνείδησης) - Καμπύλωση? Πως γίνεται αυτό να έχει σημασία?
- Γίνεται και παραγίνεται. Βλέπεις ο κόσμος δεν είναι επίπεδος, όπως το χαρτί πάνω στο οποίο ζωγραφίζεις τρίγωνα.
- Εξακολουθώ να είμαι δύσπιστος. Μπορείς να μου το αποδείξεις?
-- Πουρκουά πα? Εξάλλου, μπορεί να μάθεις και κάτι.
Έχεις ακουστά τον τύπο Γκάους-Μποννέ?
- Όχι, δεν τον έχω γνωρίσει.
- Ζώον, εννοώ τη φόρμουλα, την εξίσωση. Οπότε, δεν τη γνωρίζεις, και πάμε από την αρχή...
-
Συγγνώμη. Συνέχισε...
- Από τις πάμπολλες περιπτώσεις καμπύλωσης μιας γεωμετρίας, θα εξετάσουμε κάποιες απλές περιπτώσεις: Τότε όταν η καμπυλότητα είναι σταθερή.
- Χμμμ... Παράδειγμα?
- Το Ευκλείδειο επίπεδο, έχει καμπυλότητα σταθερή και ίση με μηδέν. Αντίθετα, μια σφαίρα - όπως η επιφάνεια της Γης - έχει σταθερή θετική καμπυλότητα.
- Και στη περίπτωση που η καμπυλότητα είναι αρνητική?
- Εδώ χρειάζεται λίγο περισσότερη ενόραση. Μπορείς να φανταστείς μια τέτοια γεωμετρία ως εξής. Ας πούμε ότι είσαι στο δωμάτιο σου, και σηκώνεσαι να βγείς έξω. Όσο περπατάς προς την πόρτα όμως, ανακαλύπτεις με φόβο ότι συρρικνώνεσαι!
Συνεχίζεις με πείσμα να περπατάς προς την πόρτα, μα μικραίνεις όλο και περισσότερο - οπότε η απόσταση που πρέπει να διανύσεις σου φαίνεται να μεγαλώνει. Αυτή η γεωμετρία έχει αρνητική καμπυλότητα, και θα την αποκαλούμε επίπεδο Πουανκαρέ .
- Από τις φυλακές τους δεν θα δραπετεύει κανείς. Συνέχισε όμως. Κάτι έλεγες για έναν τύπο.
- Ναι, ο τύπος Γκάους-Μποννέ. Για να τον διατυπώσουμε, θεώρησε οποιαδήποτε από τις τρεις προηγούμενες γεωμετρίες, και ένα τρίγωνο Τ επί αυτής. Πες ότι οι πλευρές του τριγώνου έχουν την ιδιότητα να ελαχιστοποιούν τοπικά την απόσταση ανάμεσα στα σημεία τους - τότε οι πλευρές ονομάζονται "γεωδαιτικές", και αυτή η παραδοχή απλοποιεί τον τύπο. Πες επίσης ότι οι εσωτερικές γωνίες του Τ είναι α,β,γ. Τότε, ο τύπος Γκάους-Μποννέ αναφέρει ότι
και ελπίζω να μην σε τρομάζει ένα διπλό ολοκλήρωμα - λησμόνησα να σου αναφέρω ότι οι τρεις γεωμετρίες
που εξετάζουμε είναι διδιάστατες.
- Χμμμ... Ωραία. Και τι καταλαβαίνουμε από τον τύπο;
- Δεν καταλαβαίνουμε τίποτα αν δεν τον αξιοποιήσουμε. Ας πάμε για παράδειγμα στο Ευκλείδειο επίπεδο. Είπαμε ότι η καμπυλότητα είναι μηδέν. Αντικαθιστώντας Κ=0 στον προηγούμενο τύπο και έχουμε
όπως επέμενε ο μαθηματικός σου.
- Μάλιστα... Αν είμαστε στην επιφάνεια της Γης, τι συμβαίνει?
- Πάμε πάλι στον τύπο και αντικαθιστούμε Κ=1 (υποτιμώντας κομμάτι την ακτίνα της γης!). Τότε το διπλό ολοκλήρωμα γίνεται το εμβαδόν Ε του τριγώνου, και ο τύπος γίνεται
δηλαδή εδώ το άθροισμα των γωνιών είναι περισσότερο από π, και κατά πόσο περισσότερο εξαρτάται από το εμβαδόν του τριγώνου.
- Ε αυτό είναι πανζουρλισμός! Πως γίνεται μια γωνία να έχει τόσες πολλές μοίρες??
- Γίνεται και παραγίνεται, και είναι γνωστό στους χαρτογράφους πολύ πριν ανακαλυφθεί ο τύπος. Δες το ως εξής. Είσαι στον Βόρειο Πόλο και κατηφορίζεις τον μεσημβρινό προς το Πορτ-Ζεντίλ της Γκαμπόν. Κάθεσαι για ένα αναψυκτικό και κατευθύνεσαι κατα μήκος του Ισημερινού για το Ποντιανάκ της Ινδονησίας. Μόλις φτάσεις και εκεί, πετάς τα λιωμένα σου παπούτσια και ξεκινάς για τον Βόρειο Πόλο πάλι, κατά μήκος του μεσημβρινού.
Αφού έχεις ξεθεωθεί στο περπάτημα, γυρνάς και αθροίζεις τις γωνίες του τριγώνου: Σχεδόν 3π/2, ή 270 μοίρες.
- Προτιμώ να μείνω εδώ που κάθομαι και να τα δω στο γκούγκλ έρθ. Μη σε σταματάω όμως. Μας έχει μείνει το επίπεδο του Πουνκαρ, Πουαναρ...?
- Πουανκαρέ. Εδώ έχουμε χαριστικά Κ=-1, άρα ο τύπος γίνεται
δηλαδή το άθροισμα των γωνιών είναι λιγότερο από π.
- Να πω πως δεν το περίμενα...?
Μάλιστα. Μπορείς να μου δώσεις ένα παράδειγμα επί αυτού?
- Χμ. Θεώρησε πως τρεις ακτίνες φωτός εκπέπονται από το ίδιο σημείο στην επιφάνεια μια μαύρης τρύπας, αλλά δεν καταφέρνουν να ξεφύγουν από το βαρυτικό της πεδίο και εγκλωβίζονται ξανά μέσα της (αλλιώς, θα λεγόταν "φωτεινή τρύπα"). Αυτό το τρίγωνο, δεν το περιμένεις να έχει και το μεγαλύτερο εμβαδόν του κόσμου!
- Μπερδεύτηκα. Δύσκολα τα μαθηματικά γαμ*το...
- Αν σου άρεσαν τα εύκολα, να γινόσουν ΓΓ στο υπουργείο Πολιτισμού. Δεν σου είπα και το άλλο όμως...
- Τι? Έχει και άλλο?
- Αμέ. Τα πυθαγόρεια θεωρήματα.
- Ώπα, περίμενε. Το πυθαγόρειο είναι ένα θεώρημα!
- Χμμμ... Στη πραγματικότητα είναι τρία, ένα για κάθε γεωμετρία.
- Μα πως γίνεται αυτό? Ποιά γεωμετρία είναι λάθος?
- Λάθος, είπες? Καμμία! Ή ίσως και όλες, τώρα που το λες. Γιατί έχουν όλες τον ίδιο βαθμό πιστότητας - αν άυριο μια από αυτές καταρριφθεί επειδή παράγει παράδοξα, τότε όλες τους θα είναι για πέταμα.
- Αν είναι δυνατόν! Συμβαίνουν αυτά στην Βασίλισσα των Επιστημών?
- Και χειρότερα. Αλλά ας μην μπούμε σε αυτή τη κουβέντα. Σου χρωστάω δύο Πυθαγόρεια θεωρήματα, θα σου δώσω το ένα και σκάσε. Πες τα μήκη των πλευρών Α,Β, Γ.
Επί σφαίρας με ακτίνα R,
ισχύει
.
- Xα! Τι μπαρούφα είναι αυτή??? Αυτό δεν είναι το πυθαγόρειο! Με δουλεύεις τόση ώρα...
- Λες και το 'ξερα ότι θα διαφωνήσεις.
Δες το ως εξής. Αναπτύσσοντας το σφαιρικό πυθαγόρειο κατά Τέυλορ, έχουμε
Όταν λεπόν η ακτίνα R είναι κατά πολύ μεγαλύτερη από τις πλευρές, ξεχνάμε το 1/R στον τελευταίο τύπο, και καταλήγουμε στο -γνωστό και στον μαθηματικό σου - Πυθαγόρειο Θεώρημα.
- Μάλιστα... Τι να πει κανείς. Πάω να δω Πρίζον Μπρέηκ.
- Το μυαλό σου και μια λίρα. Έχεις τόσο εγκλιματιστεί στα σκουπίδια, που δεν μπορείς να διακρίνεις τίποτε άλλο.
- Λολ, γουατέβα. Σι γιου...
