1+1=2

[ipios]

Hilbert
Κατά δήλωσή σου δεν είσαι μαθηματικός και όμως προβαίνεις σε τέτοιες κρίσεις. Μήπως θα μπορούσα και εγώ, πάντα με την άδειά σου, να προβώ σε μια ψυχολογική ανάλυση των γραφομένων σου, ενώ δεν είμαι ψυχολόγος;

Γιατί εσύ είσαι μαθηματικός; Σε ότι αφορά την άδειά μου αφού την ζητάς, δεν σου τη δίνω!

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 17 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

 

[ipios]

Mathmaniac
Κύριε ipios λέτε:<<Δεν σας κατανοώ διότι δεν έχετε σαφήνεια. Ενοείτε πως ο πολλαπλασιασμός δεν είναι είδος άθροισης; Τέλος τι θα πει καλέ μου φίλε "συγκεκριμένη απεικόνιση"; Πως ορίζεται; Μήπως εννοείτε την αντιστοίχηση του R ένα προς ένα και επί με τα σημεία μιας ευθείας;>>

Δεν εννοώ πως ο πολλαπλασιασμός δεν είναι είδος άθροισης είμαι σίγουρος γι' αυτό...
Πολλαπλασιασμός λέγεται η απεικόνιση f από το R στο R με την οποία δύο στοιχεία α, β που ανήκουν στο R αντιστοιχίζονται σε ένα στοιχείο γ του R με γ = α*β.
Πρόσθεση λέγεται η απεικόνιση g από το R στο R με την οποίδύο στοιχεία α, β του R αντιστοιχίζονται σε ένα στοιχείο γ του R με γ = α + β.

Σύμφωνα με τον ορισμό που σας έδωσα δεν νομίζω να κάνω φανερό σε εσάς ότι αντιλαμβάνομαι τον 2 ως έναν αριμό που περιέχει δύο μονάδες... Ο 2 είναι ίσος με 1+1 κατά πλήθο και κατά τάξη σύμφωνα και με τον δικό μου ορισμό... 2= 2*1 ως πλήθος και τάξη...

Είδατε λοιπόν καλέ μου φίλε ότι και με την παράθεση του ορισμού από μέρους σας και στον R ισχύει ότι ισχύει και με τους φυσικούς του Ευκλείδη; Το 2 είναι συγκείμενον πλήθος μονάδων σε κάθε περίπτωση και γι αυτό επέμενα να παραθέσετε εσείς τον ορισμό. Πως λοιπόν αιτιολογείται είτε στον Ευκλέιδη, είτε στην ανάλυση το διπλάσιο τετράγωνο εκ του πυθαγορείου;
Συμφωνούμε ΑΠΟΛΥΤΑ καλέ μου φίλε και αυτός είναι ο λόγος που μου κάνει εντύπωση το ότι, συγχρόνως υπερασπίζεστε την άποψη του φίλου κυρίου diavolakos ότι το 2 είναι ένας αριθμός που περιέχει δύο ενωμένες μονάδες, με το επιχείρημα ότι "παράθεση" είναι ένωση μονάδων. Αν δεν εννοεί αυτό ο φίλος κύριος diavolakos και συμφωνεί μαζί σας και μαζί μου, δεν έχει νόημα η αντιπαράθεσή του. Τόσο απλό είναι και αυτό με οδήγησε στην εκτίμηση ότι δεν είσαστε μαθηματικός και όχι κάποια απόπειρά μου για προσωπική αιχμή. Το αντίθετο μάλιστα υποστηρίζω με ειλικρίνεια ότι μου είστε εξαιρετικά συμπαθής και η ειλικρίνειά σας με εντυπωσιάζει.
Τώρα τα λέτε πολύ καλά και χαίρομαι ιδιαίτερα, αλλά να ξέρετε ότι θα δεχθείτε επίθεση από τον φίλο Hilbert διότι δεν επιτρέπει άλλη γνώμη από τη δική του. Αν δεν το κάνει (διότι μοναδικός του στόχος είμαι εγώ) θα χαρώ επίσης εξαιρετικά που θα συμφωνεί άμεσα μαζί σας και έμμεσα μαζί μου.
Να είσαστε πάντα καλά.

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 17 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

 

[Mathmaniac]

Μα κύριε ipios δεν νομίζω ότι κανένας από τους κυρίους diavolakoS ή Hilbert θεωρούν το δυο σαν έναν αριθμό που περιέχει δύο μονάδες ( τί είναι για να τις περιέχει? ) απλά νομίζω ότι αυτό που προσπαθούν να πουν είναι ότι ο 2 είναι ακέραιο πολλαπλάσιο του 1 μόνο βάση του πολλαπλασιασμού και αυτό προσπάθησε να αποδείξει εξαρχής ο κύριος diavolakos με τα αξιώματα του Peano. Κανείς, νομίζω ότι δεν δέχεται το 2 σαν παράθεση δύο μονάδων... Αν κάπου χρησιμοποιήθηκε αυτή η λέξη (παράθεση) δεν χρησιμοποιήθηκε κυριολεκτικά έχω την εντύπωση αλλά μεταφορικά... Το 2 είναι ίσο με 2*1 σύμφωνα με την πράξη του πολλαπλασιασμού...
Χαίρομαι πολύ για την συζήτητσή μας παρ' όλα αυτά. Είναι αρκετά εποικοδομητική...

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 17 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

 

[ipios]

ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΟ ΠΡΟΒΛΗΜΑ ΑΠΟ IPIOS

Επί των ακέραιων αριθμών

Στην άθροιση 1+1=2, το άθροισμα 2 μπορεί να αιτιολογηθεί αξιωματικά ότι εκφράζει ένα ακέραιο πολλαπλάσιο του 1 ή εκφράζει αποκλειστικά πλήθος ανεξάρτητων μεταξύ τους μονάδων;

Επεξήγηση:
Οι ακέραιοι αριθμοί αναγνωρίζονται κατά πλήθος (1 μονάδα, πλήθος 2 μονάδων, πλήθος 3 μονάδων κ.τ.λ.) και κατά τάξη (1ος, 2ος, 3ος κ.τ.λ.). Υπάρχει πρόβλεψη στα μαθηματικά, να λέμε 2 και να εννοούμε ένα ακέραιο πολλαπλάσιο του 1 ή αλλιώς ειπωμένο, με το 2 να εννοούμε έναν αριθμό που περιέχει "ενωμένες" τις 2 μονάδες σύμφωνα με την υπόδειξη του συμβόλου της πρόσθεσης +;

Ευχαριστώ όποιον ασχοληθεί.

Mathmaniac
Μα κύριε ipios δεν νομίζω ότι κανένας από τους κυρίους diavolakoS ή Hilbert θεωρούν το δυο σαν έναν αριθμό που περιέχει δύο μονάδες ( τί είναι για να τις περιέχει? ) απλά νομίζω ότι αυτό που προσπαθούν να πουν είναι ότι ο 2 είναι ακέραιο πολλαπλάσιο του 1 μόνο βάση του πολλαπλασιασμού και αυτό προσπάθησε να αποδείξει εξαρχής ο κύριος diavolakos με τα αξιώματα του Peano.

Καλέ μου φίλε είμαι σαφέστατος στο εισαγωγικό πρόβλημα. Αν όλοι συμφωνούσαν μαζί μου με τον εξαιρετικό τρόπο που εσείς συμφωνείτε, τότε δεν θα υπήρχε αντιπαράθεση! Αυτό λοιπόν που προσπαθούν να πουν, είναι αυτό που και εσείς λέτε, δηλαδή ότι υπάρχει ακέραιο πολλαπλάσιο του 1 με βάση και τον πολλαπλασιασμό, αλλά και την άθροιση.
Όμως καλέ μου φίλε δεν υπάρχει ακέραιο πολλαπλάσιο του 1, είτε με τον πολλαπλασιασμό (γινόμενο), είτε με την άθροιση (άθροισμα).
Αυτό που υπάρχει είναι ΜΟΝΟ πλήθος ακέραιων μονάδων.
Ακέραιο πολλαπλάσιο δεν υπάρχει όπως είναι π.χ. 2Χ2 = 4 όταν το 4 εκφράζεται από ΕΝΑ τετράγωνο, όπως δεν υπάρχει και στην άθροιση 1+1+1+1=4 όταν το άθροισμα 4 εκφράζεται από 1 τετράγωνο. Το πυθαγόρειο λ.χ. επί ορθογωνίου ισοσκελούς με κάθετες πλευρές 1, δίνει τετράγωνο της υποτείνουσας διπλάσιο του 1 και αυτό δεν προβλέπετε από την αριθμητική εκ του ορισμού των αριθμών σαν συγκείμενα πλήθη μονάδων ούτε βέβαια την πράξη της πρόσθεσης και του πολλαπλασιασμού.
Μην είσαστε λοιπόν τόσο βέβαιος ότι οι φίλοι κύριοι diavolakoS και Hilbert ΔΕΝ θεωρούν το δυο σαν έναν αριθμό που περιέχει δύο μονάδες. Αν δεν το θεωρούσαν δεν θα υπήρχε λόγος για συζήτηση με αυτό το θέμα τουλάχιστον. Το θεωρούν αφού θεωρούν ορθό το πυθαγόρειο. Τόσο απλό είναι και αυτό δεν αποτελεί το γνωστό μου σχήμα λόγου περί απλότητας, αλλά είναι ουσιαστικό. Ή ισχύει το 2 σαν ακέραιο πολλαπλάσιο του 1 και ισχύει και το πυθαγόρειο ή δεν ισχύει το ακέραιο πολλαπλάσιο αλλά το πλήθος ακέραιων μονάδων (όπως συμφωνούμε) και δεν ισχύει το πυθαγόρειο. Εναλλακτική λύση δεν υπάρχει και το μέγα δέος των μαθηματικών αναφύεται από την ύπαρξη του 2 σαν ακέραιο πολλαπλάσιο του 1 από το πυθαγόρειο σε βαθμό να το θεωρούν θείο μυστικό και να πνίγουν τον Ίππασο τον Μεταποντινό για αυτήν ακριβώς την κουταμάρα!
Είσαστε εξαιρετικός καθώς λέτε: "τί είναι για να τις περιέχει?"
Πολύ το χάρηκα.
Να είσαστε πάντα καλά και ειλικρινά και εγώ χαίρομαι τη συζήτησή μας.

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 17 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

 

[Hilbert]

Συμφωνώ με τον Mathmaniac, που τα λέει πολύ καλά.

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 17 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

 

[ipios]

Εγώ το είπα πρώτος!
Όμως καλέ μου φίλε, με τον εαυτό σου πότε θα συμφωνήσεις δεν ξέρω, γιατί εδώ που τα λέμε και μέχρι σήμερα που διαφωνούσες μαζί μου δεν με απασχολούσε και πολύ, αφού να φανταστείς σε πέρασα για μη μαθηματικό.
Αλήθεια είδες πως το διατυπώνει ο φίλος Mathmaniac; "Τι είναι για να τις περιέχει?".
Τώρα που το κατάλαβες, μέχρι σήμερα τι εννοούσες όταν έλεγες ότι το πυθαγόρειο είναι σωστό; Μεταξύ μας τώρα, τι είχες στο μυαλό σου;

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 17 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

 

[Hilbert]

''...μέχρι σήμερα τι εννοούσες όταν έλεγες ότι το πυθαγόρειο είναι σωστό; ''

Εννούσα ότι το πυθαγόρειο είναι σωστό.

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 17 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

 

[ipios]

Φίλτατε Hilbert, ευτυχώς που δεν το εννοείς ακόμα. Είδες ότι κέρδισες γνωστικά; Κάλλιο αργά παρά ποτέ. Είναι γνωστή η άποψή μου ότι δεν τα πιάνουμε όλοι με την πρώτη, αλλά αυτό δεν είναι και του θανατά που λένε. Είχες και μπόνους αφού όπως είδες εξαιτίας αυτής της νέας αποδοχής σου, ο φίλος Rempeskes σε μπέρδεψε με μένα! Σιγά - σιγά πιστεύω ότι και ο φίλος Rempeskes αν γίνει προσεκτικός αναγνώστης των ισχυρισμών μου, θα φτάσει στο σημείο να τους κατανοήσει όπως εσύ και να πει "είμαι κι εγώ ο Ipios"!
Βρε παιδιά, αφού έχετε και καλά στοιχεία (και όπως αποδεικνύεις με την αποδοχή σου και αρκετό μυαλό) γιατί προβάλετε τα δήθεν σας;
Να είσαι καλά.

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 17 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

 

[xiotis_1]

Δεν ευσταθούν ισχυρισμοί όπως

...Ακέραιο πολλαπλάσιο δεν υπάρχει

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 17 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

 

[ipios]

xiotis_1
Δεν ευσταθούν ισχυρισμοί όπως

...Ακέραιο πολλαπλάσιο δεν υπάρχει

Φίλε xiotis_1 αν θέλεις να κάνουμε κουβέντα να μην είσαι επιθετικός και δεν είμαι καλός αποδέκτης των κάθε είδους αποφάσεων, όπως η δική σου. Αν και η απάντησή σου θα είναι στο ίδιο ύφος δεν πρόκειται να ασχοληθώ άλλο μαζί σου.
Επί της αποφάσεώς σου:
Το ακέραιο πολλαπλάσιο προβλέπεται από τη γνωστή Αρχή των Αρχιμήδη - Εύδοξου και αφορά τη διαδοχικότητα των ευθύγραμμων τμημάτων. Αυτοί οι άνθρωποι (άξιοι μαθηματικοί) δεν την κατέστησαν αξίωμα και έμεινε απλή πρόταση προς απόδειξη, γιατί δεν μπορούσαν να την αποδείξουν. Αυτή την αναπόδεικτη πρόταση, έκανε αξίωμα συνεχείας ο Χίλμπερτ.
Συνδυασμός αρχής Αρχιμήδη - Εύδοξου και αρχής του Καντόρ δημιούργησε το μέτρο σαν ένα αριθμητικό με την έννοια της διαδοχής συνεχές. Η μέτρηση όμως ενός ευθύγραμμου τμήματος ΑΒ+ΒΓ+ΓΔ, όπου ΑΒ=ΒΓ=ΓΔ, με μετρο ΚΛ=1 δεν είναι ακριβής και πολλάκις το έχω αποδείξει.
Θα σου φέρω μια πρόχειρη απόδειξη:
Εάν έχεις 3 διαφορετικά ακέραια μέτρα ΚΛ=1 το καθένα και τοποθετήσεις (σύμφωνα με τη θεωρία μετρήσεως "επιθέσεις") το πρώτο ΚΛ επί του ΒΓ αυτό θα καλύψει και το Β και το Γ σημείο. Τα άλλα 2 ΚΛ=1 το καθένα δεν θα έχεις τρόπο να τα επιθέσεις επί του ΑΒ+ΒΓ+ΓΔ. Ελπίζω να έγινα κατανοητός γιατί έχω βαρεθεί να λέω τα ίδια και τα ίδια.
Επιπλέον το αξίωμα συνεχείας του Χίλμπερτ (που όπως είπαμε είναι η αξιωματικοποίηση της αρχής Αρχιμήδη - Εύδοξου) έρχεται σε αντίφαση με τις έννοιες μέσο και μισό. Τις αντιλαμβάνεται σαν ίδιες έννοιες ενώ δεν είναι. Ελπίζω να έχεις δει τις αποδείξεις μου. Αν δεν τις έχεις δει ευχαρίστως να σου εξηγήσω τι ακριβώς καθιστά διάφορα μεταξύ τους τις έννοιες μέσο και μισό.
Πέρα από αυτά και ενώ στα ευθύγραμμα τμήματα υπάρχει το αξίωμα συνεχείας να αιτιολογήσει (κάπως και τυπικά) τον δογματισμό σου, στις αριθμητικές μονάδες (εκτός γεωμετρίας) δεν υπάρχει δυνατότητα υπόδειξης ακέραιου πολλαπλασίου. Το 1+1=2 δηλώνει αποκλειστικά το άθροισμα 2 σαν 2 συγκείμενες ακέραιες μονάδες. Οι μονάδες δεν έχουν κοινό σημείο όπως τα ευθύγραμμα τμήματα που τα κανιβαλίζει ο Χίλμπερτ, ώστε να τις κανιβαλίσει κάποιος άλλος.
Σε ότι αφορά το πυθαγόρειο (και το Δήλιο πρόβλημα βέβαια για τους ίδιους λόγους) δεν μπορείς να έχεις σχηματικό πολλαπλάσιο δοσμένου τετραγώνου ή κύβου. Αυτό αποδέχθηκε η ΕΜΕ εάν κατά το ελάχιστο με παρακολουθείς.
Να είσαι καλά.

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 17 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

 

[Samael]

Επί των ακέραιων αριθμών

Στην άθροιση 1+1=2, το άθροισμα 2 μπορεί να αιτιολογηθεί αξιωματικά ότι εκφράζει ένα ακέραιο πολλαπλάσιο του 1 ή εκφράζει αποκλειστικά πλήθος ανεξάρτητων μεταξύ τους μονάδων;

Πολύ παλιό θέμα, και έχουν γίνει κάποιες καλές αναφορές.
Επειδή το έχω σκεφτεί και εγώ μερικές φορές...για εμενα η συζήτηση ξεκινάει απο :

Τι ορίζουμε ως πρόσθεση ;
Τι ως ακέραιο πολλαπλάσιο ;
Τι ως 2 ;

Φαινομενικά απλά ερωτήματα εκ πρώτης όψεως, όπως και το αρχικό αλλά καθόλου με μια δεύτερη ματιά.
Προσωπικά θα αποφύγω την αμπελοφιλοσοφία(που αναμφισβήτητα και αυτή έχει την αξία της), και θα πω πως μια σχετικά ικανοποιητική απάντηση μπορεί να δοθεί σε όλα τα προηγούμενα εαν πάμε πίσω στον χρόνο. Τότε που πρωτοδημιουργήθηκε η ανάγκη σοτν άνθρωπο να μετράει. Και σε αυτό έπαιξαν ρόλο οι ανθρώπινες αισθήσεις μας. Όταν βλέπεις ας πούμε ένα μήλο, ξέρεις πως δεν είναι η ίδια κατάσταση με το να βλέπεις δύο μήλα. Άρα κάπως πρέπει σε κάθε κατάσταση, να προσαρτήσεις ένα σύμβολο. Και αφού το κάνεις αυτό, συνεχίζεις. Και οι υπόλοιποι αριθμοί άλλωστε(π.χ. ρητοί, πραγματικοί, μιγαδικοί κτλπ.) προέκυψαν απο την ανάγκη του ανθρώπου να πρέπει να μετρήσει με διάφορους τρόπους και σε διαφορετικές καταστάσεις.

Τέλος πάντων, προφανώς αρκετά απλοϊκή απάντηση, αλλά ίσως εν μέρει να αιτιολογεί κάπως τον "αξιωματικό χαρακτήρα" του 1+1 = 2. Άλλωστε είναι γνωστό πως υπάρχουν και άλλες άλγεβρες, που δεν είναι υποχρεωτικό 1+1 να κάνει 2. Μπορεί να κάνει 1...μπορεί να κάνει και 0.

 

[Memetchi]