Ενδιαφέρουσες ασκήσεις πάνω στη θεωρία αριθμών!

[Subject to change]

Έστειλα για το δεύτερο!
Το πρώτο δεν μου αρέσει, too obvious.

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 18 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[ALEX_]

Έστειλα για το δεύτερο!
Το πρώτο δεν μου αρέσει, too obvious.

Πολύ καλά Μισέλ αν και περίμενα μα πιο αυστηρά μαθηματική διατύπωση για το 3 που λες!

Σωστό όμως,of course!

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 18 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[Subject to change]

Πολύ καλά Μισέλ αν και περίμενα μα πιο αυστηρά μαθηματική διατύπωση για το 3 που λες!

Χαχα, μου τη φύλαγες ε;

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 18 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[ALEX_]

Χαχα, μου τη φύλαγες ε;

Χαχαχαχα!

Λοιπόν διαπιστώνω με μεγάλη μου χαρά ότι το επίπεδό μας είναι πολύ καλό γι'αυτό θα επανέλθω με ανεβασμένο επίπεδο ασκήσεων.

Επίσης θα αρχίσω να βάζω πάλι και γρίφους (παλιά έβαζα πολλούς αν θυμάστε) και αυτό είναι απειλή!

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 18 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[io-io]

Μισελ σε πμαρισα για την εικασια της κλεφτρας. Με του Αλεξ θα ασχοληθω σε λιγο.

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 18 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[Subject to change]

Πως λέμε η εικασία του Γκόλντμπαχ; Ένα τέτοιο πράγμα
Σωστή η io-io!

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 18 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[tanos56]

Πράγματι: (Η αιώνια αφηρημάδα του Μαθηματικού). Ζητούσε να δειχθεί ότι δεν είναι τέλειο τετράγωνο και όχι πρώτος. Δίνω απόδειξη.

Γιατί δεν επισυνάπτεται το Word?

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 18 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[tanos56]

ΑΠΌΔΕΙΞΗ
Τελικά βγήκε πιο πάνω η απόδειξη.

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 18 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[tanos56]

Αν βρείτε χρόνο, ασχοληθείτε με την παρακάτω.

Δείξτε ότι ο αριθμός :Σ=1/2+1/3+...+1/ν,
με ν: φυσικό,ν>1, δεν είναι ακέραιος

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 18 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[m3nt0r]

Έλειψα λίγο αλλά επέστρεψα στο ωραίο club μας



Μια προσπάθεια λοιπόν,

έχουμε


Σ = 1/2+1/3+..1/v =

(v!/2 + v!/3 + ..v!/v)/v!


Καθώς όλοι οι όροι του αριθμητή είναι πολλαπλάσια του 2, με το 2^n να βγαίνει κοινός παράγοντας,όπου n = floor(log[2](v!)) - floor(log[2](v)) και καθώς v >= 2, floor(log[2](v)) >= 1,και φυσικά ο μοναδικός όρος του αριθμητή που δεν είναι πολλαπλάσιο του 2 μετά την παραγοντοποίηση είναι ο 2^floor(log[2](v)).

το οποίο σημαίνει ότι στο κλάσμα που προκύπτει απο το άθροισμα, στην πλήρως reduced μορφή του, ο παρονομαστής είναι πάντα άρτιος και ο αριθμητής πάντα περιττός άρα ο Σ δεν μπορεί να είναι ακέραιος.

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 18 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[tanos56]

Φίλε m3ntOr, καιρό έχουμε να τα πούμε.

Προφανώς με τον συμβολισμό «floor», εννοείς το ακέραιο μέρος προς τα κάτω (εδώ το ακέραιο μέρος, αφού μιλάμε για θετικούς αριθμούς).

Αν προσέξεις όμως, η ανισότητα :

floor(log[2]((v!/2 + v!/3 + ..v!/v))) < floor(log[2](v!)), την οποία χρησιμοποιείς -ως

ταυτοανισότητα-, δεν είναι έγκυρη.

Πράγματι δεν είναι αληθής η: log[2](v!/2 + v!/3 + ..v!/v) < log[2]v!, αφού π.χ για ν=5,

είναι: log[2](v!/2 + v!/3 + ..v!/v) > log[2]v!

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 18 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[io-io]

tanos, εχεις πμ!

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 18 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[m3nt0r]

Φίλε m3ntOr, καιρό έχουμε να τα πούμε.

Προφανώς με τον συμβολισμό «floor», εννοείς το ακέραιο μέρος προς τα κάτω (εδώ το ακέραιο μέρος, αφού μιλάμε για θετικούς αριθμούς).

Αν προσέξεις όμως, η ανισότητα :

floor(log[2]((v!/2 + v!/3 + ..v!/v))) < floor(log[2](v!)), την οποία χρησιμοποιείς -ως

ταυτοανισότητα-, δεν είναι έγκυρη.

Πράγματι δεν είναι αληθής η: log[2](v!/2 + v!/3 + ..v!/v) < log[2]v!, αφού π.χ για ν=5,

είναι: log[2](v!/2 + v!/3 + ..v!/v) > log[2]v!

Καλά έκανα διόρθωση το πρωί και δεν έβγαλα το πιο σημαντικό το οποίο όπως σωστά υπέδειξες είναι εσφαλμένο(καθώς λείπει η αφαίρεση του παράγοντα)

Το μέρος που μετράει είναι το ότι

Αν ο αριθμητής παραγοντοποιήται ώς 2^n*c, με c περριτό.
ο παρανομαστής θα παραγοντοποιήται ώς 2^m*d με m = n + floor(log[2](v))
και d περιττό

όπου σαφώς m > n καθώς v >= 2
και καθώς ο 2^floor(log[2](v))-1 στην σειρά όρος στον αριθμητή(δηλαδή αυτός που διαιρείτε με την μεγαλύτερη δύναμη του 2)
μετά την παραγοντοποίηση είναι ο μοναδικός περιττός ο παρονομαστής είναι πάντα άρτιος και ο αριθμητής πάντα περιττός.

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 18 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[io-io]

Δείξτε ότι ο αριθμός :Σ=1/2+1/3+...+1/ν,
με ν: φυσικό,ν>1, δεν είναι ακέραιος


Αν γραψουμε τον αριθμο ως κλασμα, τοτε στον αριθμητη θα εχουμε το αθροισμα των ν γινομενων ν-1 αριθμων. Δηλαδη
αριθμητης = 1.2...(ν-1) + 1.2..(ν-2)ν + ...2.3...ν
παρανομαστης =1.2...(ν-1)ν

Για να ειναι ακεραιος, πρεπει ο αριθμητης να διαιρειται με ολους τους αριθμους απο το 2 μεχρι το ν. Εστω p=πρωτος, ν/2<p<ν.*
O p, θα διαιρει τον παρανομαστη, και ολα τα γινομενα του αριθμητη εκτος απο ενα! Οποτε ο αριθμος δεν γινεται να ειναι ακεραιος.

*Υπαρχει τετοιος p (Bertrand's Postulate).

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 18 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[tanos56]

io-io είσαι κούκλα. m3ntOr θα το δω σήμερα.

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 18 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[Γιώργος]

Και επιστρέφουμε με ένα ακόλουθο προβληματάκι...!
Έχουμε τις παρακάτω λίστες:

• 1 # 1 # 1 = 6
• 2 # 2 # 2 = 6
• 3 # 3 # 3 = 6
• 4 # 4 # 4 = 6
• 5 # 5 # 5 = 6
• 6 # 6 # 6 = 6
• 7 # 7 # 7 = 6
• 8 # 8 # 8 = 6
• 9 # 9 # 9 = 6

Όπου # είναι ένα εκ των:

• +
• -
• *
• /
• ! (παραγοντικό)
• sqrt (τετραγωνική ρίζα)

ή δύο από τα παραπάνω, εάν συνδιάζονται [πουχου: - sqrt(2)]

Άρα συνδιάστε με αυτές τις πράξεις τα τρία νούμερα κάθε ομάδας για να προκύψει αποτέλεσμα 6. Επιτρέπεται η χρήση παρενθέσεων.





Πιες: Για το 8 ούτε εγώ ούτε η Μισέλ βρήκαμε λύση, οπότε μη μας κράξετε!
Αν το βρείτε να μας το πείτε και σε μας, νι.

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 18 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[Γιώργος]

Έχει ασχοληθεί κανείς με αυτά; Με έχει φάει η περιέργεια σε αυτό κυρίως:

• 8 # 8 # 8 = 6

io-io; Άλεξ;

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 18 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[io-io]

Δεν το εχω κοιταξει καθολου, θα του ριξω μια ματια καποια στιγμη αλλα δεν υποσχομαι ποτε γιατι πνιγομαι αυτο το σβκ!!

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 18 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[Γιώργος]

Έχω την υποψία ότι δεν βγαίνει αυτό με τα οχτάρια () και θέλω την άποψη ενός.. ειδικού.

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 18 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[Resident Evil]

Έχω την υποψία ότι δεν βγαίνει αυτό με τα οχτάρια () και θέλω την άποψη ενός.. ειδικού.

πες μου αν αυτό που στέλνω σε πμ επιτρέπεται , και αν οχι

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 18 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.