Ενδιαφέρουσες ασκήσεις πάνω στη θεωρία αριθμών!

[Tetragrammaton]

Είπες το πλήθος των πρώτων διαιρετών. Οι διαιρέτες του 1400 συνολικά είναι οι παραπάνω και διάφορα πολλαπλάσιά τους, αλλά τα πολλαπλάσια δεν είναι πρώτοι αριθμοί. Άρα το πλήθος είναι 4.

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 17 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

 

[Tsipouro]

Σωστό το έχεις, δεν πρόσεξα ότι είχα βάλει και το 7 στις λύσεις. Έκανα edit στο προηγ. ποστ.

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 17 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

 

[Mathmaniac]

1400=1*2*2*2*5*5*7

Άρα οι πρώτοι που το διαιρούν είναι το 1, το 2, το 5 και το 7. Πλήθος 4.

Φιλικά, η απάντηση είναι λάθος γιατί το 1 δεν είναι πρώτος αριθμός. Πρώτος λέγεται κάθε n >1 που διαιρείται μόνο με το ένα και τον εαυτό του. Άρα το πλήθος των πρώτων διαιρετών του 1400 είναι 3.

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 17 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

 

[Tsipouro]

Φιλικά, η απάντηση είναι λάθος γιατί το 1 δεν είναι πρώτος αριθμός. Πρώτος λέγεται κάθε n >1 που διαιρείται μόνο με το ένα και τον εαυτό του. Άρα το πλήθος των πρώτων διαιρετών του 1400 είναι 3.

Υπάρχει το bolded στον ορισμό του πρώτου αριθμού; Ρωτάω επειδή νόμιζα ότι και το 1 άνηκε στους πρώτους...

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 17 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

 

[Palladin]

Υπάρχει το bolded στον ορισμό του πρώτου αριθμού; Ρωτάω επειδή νόμιζα ότι και το 1 άνηκε στους πρώτους...

κι όμως δεν είναι, ο mathmaniac έχει δίκιο

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 17 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

 

[Tsipouro]

Ναι, έχετε δίκιο. Η ακολουθία των πρώτων αριθμών ξεκινά από 2.

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 17 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

 

[Mathmaniac]

Για να συμπληρώσουμε ένα ωραίο ερώτημα στην παραπάνω άσκηση προσπαθήστε να βρείτε το πλήθος όλων των διαιρετών του 1400...

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 17 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

 

[Tsipouro]

Λοιπόν.
1400=2*700=2*2*350=2*2*2*175=2*2*2*5*35=2*2*2*5*5*7 (ε; )
Δηλαδή 2^3*5^2*7.
Μπορώ να διαλέξω το 2 0,1,2 ή 3 φορές (4 επιλογές)
Μπορώ να διαλέξω το 5 0, 1 ή 2 φορές (3 επιλογές)
το 7 0 ή 1 φορά (2 επιλογές)

Από κανόνα γινομένου: 4*3*2 διαιρέτες για το 1400

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 17 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

 

[Mathmaniac]

Σωστός

Παραθέτω και μια εναλλακτική λύση...

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 17 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

 

[Speedy]

Ας ξεθαψω ένα thread τώρα που έπεσα στην ανάγκη μαθηματικών
Η άσκηση είναι κλασική θεωρίας αριθμών και έχει ώς εξής:
[FONT=Bookman Old Style, serif]Αποδείξτε ότι [/FONT]9^1980-7^1980 = 0 mod 130
όπου = όχι ίσον αλλά ισότιμο δηλαδή όχι απαραίτητα 130 αλλά κάποιο πολλαπλάσιο του...
Όποιος το κατέχει ας ρίξει τα φώτα του...

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 15 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

 

[Subject to change]

Ας ξεθαψω ένα thread τώρα που έπεσα στην ανάγκη μαθηματικών
Η άσκηση είναι κλασική θεωρίας αριθμών και έχει ώς εξής:
[FONT=Bookman Old Style, serif]Αποδείξτε ότι [/FONT]9^1980-7^1980 = 0 mod 130
όπου = όχι ίσον αλλά ισότιμο δηλαδή όχι απαραίτητα 130 αλλά κάποιο πολλαπλάσιο του...
Όποιος το κατέχει ας ρίξει τα φώτα του...

Αρχικά παρατηρούμε ότι 130 = 9² + 7².

Μετά με τη γνωστή ταυτότητα, έχουμε:
9^1980 - 7^1980 = (9-7)(9^1979 + 9^1978*7 + 9^1977*7^2 + 9^1976*7^3 + ... + 9^2*7^1977 + 9*7^1978 + 7^1979)

Στο δεύτερο άθροισμα, βγάζεις κοινό παράγοντα από τετράδες:
9^1979 + 9^1978*7 + 9^1977*7^2 + 9^1976*7^3 + ... + 9^2*7^1977 + 9*7^1978 + 7^1979 =
9^1976(9³ + 9²*7 + 9*7² + 7³) + 9^1972*7^4(9³ + 9²*7 + 9*7² + 7³) + 9^1968*7^8(9³ + 9²*7 + 9*7² + 7³) + ...

έχουμε 1980 όρους, άρα γίνονται τετράδες διότι 4|1980.

Έπειτα βγάζουμε κοινό παράγοντα το (9³ + 9²*7 + 9*7² + 7³), όμως αυτό διαιρείται με το 130 διότι:
9³ + 9²*7 + 9*7² + 7³ = 9³ + 9*7² + 9²*7 + 7³ = 9(9² + 7²) + 9² + 7² = 130 * 10

QED

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 15 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

 

[woochoogirl]

με προλαβαν

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 15 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

 

[Γιώργος]

Αρχικά παρατηρούμε ότι 130 = 9² + 7².

Αυτό μου άρεσε πάντα στην θεωρία αριθμών. Μυρίζεις τα νύχια σου και λες "παρατηρώ ότι ο γάιδαρος πετάει".


Αν και to be honest όντως μπορεί να το μυριστεί κάποιος από το 0 mod 130, ότι κάτι παίζει με το 130. Ο_ο

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 15 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

 

[Mathmaniac]

Λοιπόν γράφοντας το 1980=48χ41 +2 έχουμε

9^1980 = 9^(48χ41) χ 9^2 τότε από θεώρημα Euler προκύπτει ότι

9^1980 = 49 mod (130) ομοίως έχουμε 7^1980 = 49 mod(130)

Συνεπώς 9^1980 - 7^1980 = 0 mod(130)

Αν δεν τα λέω πολύ αναλυτικά συγχωρηστε με απλά δεν έχω χρόνο αυτή τη στιγμή!!!

-----

Και μερικές επεξηγήσεις: από την συνάρτηση του Euler έχουμε φ(130) = 48. Τότε από θεώρημα του Euler ( ισχύει στην συγκεκριμένη περίπτωση γιατί τα 7,9,130 είναι πρώτα μεταξύ τους ) προκύπτει ότι 9^48 = 1mod(130) και 7^48 = 1mod(130)

Τότε 9^(48x41) = 1 mod(130) και 7^(48x41) = 1 mod(130).

Άρα 9^1980 = 9^2 mod(130) = 81 mod(130) = 49 mod(130). Ομοίως 7^1980 = 7^2 mod(130) = 49 mod(130)

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 15 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

 

[Subject to change]

Αυτό μου άρεσε πάντα στην θεωρία αριθμών. Μυρίζεις τα νύχια σου και λες "παρατηρώ ότι ο γάιδαρος πετάει".

Αν και to be honest όντως μπορεί να το μυριστεί κάποιος από το 0 mod 130, ότι κάτι παίζει με το 130. Ο_ο

Well, αν κάποιος θέλει τυφλοσούρτηδες, μάλλον η θεωρία αριθμών δεν είναι το στοιχείο του.

Όταν θέλουμε κάτι να είναι ισουπόλοιπο με το 0 mod 130, ουσιαστικά θέλουμε το 130 να το διαιρεί (πιο συνήθες είναι το notation 130 | x). Σχεδόν πάντα προσπαθούμε να βρούμε έναν τρόπο να το βγάλουμε κοινό παράγοντα, είτε ολόκληρο είτε επιμέρους παράγοντες του πρώτους μεταξύ τους (συνήθως αφότου το γράψουμε σε κανονική μορφή).

Mathmaniac wow, είχα να δω το θεώρημα Euler από εποχές διαγωνισμών... Μπράβο, much better η λύση σου!

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 15 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

 

[Speedy]

Λοιπόν γράφοντας το 1980=48χ41 +2 έχουμε

9^1980 = 9^(48χ41) χ 9^2 τότε από θεώρημα Euler προκύπτει ότι

9^1980 = 49 mod (130) ομοίως έχουμε 7^1980 = 49 mod(130)

Συνεπώς 9^1980 - 7^1980 = 0 mod(130)

Αν δεν τα λέω πολύ αναλυτικά συγχωρηστε με απλά δεν έχω χρόνο αυτή τη στιγμή!!!

-----

Και μερικές επεξηγήσεις: από την συνάρτηση του Euler έχουμε φ(130) = 48. Τότε από θεώρημα του Euler ( ισχύει στην συγκεκριμένη περίπτωση γιατί τα 7,9,130 είναι πρώτα μεταξύ τους ) προκύπτει ότι 9^48 = 1mod(130) και 7^48 = 1mod(130)

Τότε 9^(48x41) = 1 mod(130) και 7^(48x41) = 1 mod(130).

Άρα 9^1980 = 9^2 mod(130) = 81 mod(130) = 49 mod(130). Ομοίως 7^1980 = 7^2 mod(130) = 49 mod(130)

Φίλε μου σε ευχαριστώ πάρα πολύ... Είσαι άψογος.. Λία σε ευχαριστώ κ σένα!

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 15 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

 

[Mathmaniac]

Γι' αυτό είναι συναρπαστική η θεωρία αριθμών και γενικότερα τα μαθηματικά γιατί ο καθένας μπορεί να αποδείξει ένα πρόβλημα με τον δικο του τροπο και κάθε απόδειξη να είναι εξίσου σημαντική!!!

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 15 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

 

[Speedy]

Πάμε ένα ακόμα που είναι των 5 λεπτών νομίζω αλλα είναι πέρα απο τις δυνάμεις μου να το λύσω.. Περιττώ να πώ ότι οι ασκήσεις αυτές είναι παντελώς άσχετες με το μάθημα και γιαυτό τον λόγο αναγκάστηκα να ζητήσω βοήθεια... Δεν έχουν καμία σχέση με αυτά που έχουμε κάνει στο μάθημα και απο θεωρία αριθμών έχω πεθάνει στο διάβασμα και μέχρι πριν 4 μέρες δεν ήξερα καν τι είναι το modulo!

Αποδείξτε ότι α^p+b^p=(a+b)^p mod p

Ευχαριστώ εκ των προτέρων για οποιαδήποτε βοήθεια και μπορώ να φανταστώ για ποιον λόγο αυτός ο τομέας είναι τρομερός αν έχεις μεράκι...

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 15 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

 

[Mathmaniac]

Πάμε ένα ακόμα που είναι των 5 λεπτών νομίζω αλλα είναι πέρα απο τις δυνάμεις μου να το λύσω.. Περιττώ να πώ ότι οι ασκήσεις αυτές είναι παντελώς άσχετες με το μάθημα και γιαυτό τον λόγο αναγκάστηκα να ζητήσω βοήθεια... Δεν έχουν καμία σχέση με αυτά που έχουμε κάνει στο μάθημα και απο θεωρία αριθμών έχω πεθάνει στο διάβασμα και μέχρι πριν 4 μέρες δεν ήξερα καν τι είναι το modulo!

Αποδείξτε ότι α^p+b^p=(a+b)^p mod p

Ευχαριστώ εκ των προτέρων για οποιαδήποτε βοήθεια και μπορώ να φανταστώ για ποιον λόγο αυτός ο τομέας είναι τρομερός αν έχεις μεράκι...

Μάλλον η άσκηση θα σου δίνει ότι ο p είναι πρώτος γιατί αυτό ισχύει μόνο τότε. Με την προυπόθεση λοιπόν ότι λέει για p πρώτο αριθμό έχουμε και λέμε:

Από θεώρημα Euler - Fermat ισχύει a^p = a(modp) και b^p = b(modp) για κάθε a,b ακέραιους αριθμούς. Τότε από τις ιδιότητες modulo προκύπτει ότι a^p + b^p = a+b (modp).

Επίσης (a+b)^p = a+b (modp) από Euler - Fermat και προκύπτει το ζητούμενο, ότι δηλαδή a^p + b^p = (a+b)^p (modp)

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 15 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

 

[Speedy]

Μάλλον η άσκηση θα σου δίνει ότι ο p είναι πρώτος γιατί αυτό ισχύει μόνο τότε. Με την προυπόθεση λοιπόν ότι λέει για p πρώτο αριθμό έχουμε και λέμε:

Από θεώρημα Euler - Fermat ισχύει a^p = a(modp) και b^p = b(modp) για κάθε a,b ακέραιους αριθμούς. Τότε από τις ιδιότητες modulo προκύπτει ότι a^p + b^p = a+b (modp).

Επίσης (a+b)^p = a+b (modp) από Euler - Fermat και προκύπτει το ζητούμενο, ότι δηλαδή a^p + b^p = (a+b)^p (modp)

Ακριβώς έτσι είναι.. Παρέλειψα κομμάτι της εκφώνησης και το έβγαλες μια χαρά.. Τι να σου πω.. Σε χιλιοευχαριστώ ειλικρινα.. Εάν χρειαστείς ποτέ τπτ απο προγραμματισμό που το έχω μη διστάσεις... πμ me.. Και πάλι σε ευχαριστώ πάρα μα πάρα πολυ...

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 15 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.