0,999... = 1 ;

[yioryos]

α = 0,999... => 10α = 9,999... => 10α - α = 9,999... - 0,999... => 9α = 9 => α = 1

Πού είναι το αστείο;

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 18 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

 

[Guest 990498]

Πού είναι το αστείο;

Δεν είναι αστείο, είναι πραγματικό και εντυπωσιακό...

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 18 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

 

[]ifrit[]

Δεν ισχύει πάντως

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 18 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

 

[Guest 990498]

Ισχύει και μάλιστα κανονικότατα.
Απειροστικός 1.

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 18 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

 

[]ifrit[]

Δε πρέπει να αφαιρέσεις ίση ποσότητα από κάθε μέλος για να ισχύει η ισότητα;

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 18 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

 

[Subject to change]

Δεν ισχύει πάντως

Σαφώς και ισχύει. Το έχουμε μάθει μάλιστα απο το δημοτικό ή την πρώτη γυμνασίου

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 18 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

 

[Guest 990498]

Δε πρέπει να αφαιρέσεις ίση ποσότητα από κάθε μέλος για να ισχύει η ισότητα;

Ίση αφαιρώ...

Σαφώς και ισχύει. Το έχουμε μάθει μάλιστα απο το δημοτικό ή την πρώτη γυμνασίου

Αλλά το αποδείξαμε στον απειροστικό 01...

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 18 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

 

[]ifrit[]

Δημοτικό;;;
Πάντως υπάρχουν και άλλες αποδείξεις που βγάζουν το ίδιο αποτέλεσμα, αλλά καμία από αυτές δεν ίσχυαν. Τέλος πάντων, αφού το λέτε!

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 18 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

 

[Guest 990498]

Αν το σκεφτείς, δε κάνω κάτι παράλογο...
Αφαιρώ και πολλαπλασιάζω και από τα δύο μέρη με τις ίδιες ποσότητες.

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 18 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

 

[Subject to change]

Δημοτικό;;;
Πάντως υπάρχουν και άλλες αποδείξεις που βγάζουν το ίδιο αποτέλεσμα, αλλά καμία από αυτές δεν ίσχυαν. Τέλος πάντων, αφού το λέτε!

Ρώτα το μαθηματικό σου
Όπως θα δεις του χρόνου (με το καλό) ισχύουν και παραισχύουν, αν και οι συγκεκριμένες είναι υπεραπλουστευτικές. Υπάρχουν και πιο αυστηρές μαθηματικά αποδείξεις για το θέμα.

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 18 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

 

[]ifrit[]

Μας είχε κάνει μια στον πίνακα με λογαρίθμους, αλλά ήταν προφανές ότι δεν ίσχυε. Επίσης είχα δει και μια άλλη πρόπερσι και την έδειξα κι αυτήν και μου είπε ότι είναι τετριμμένη περίπτωση... Τέλος πάντων, ευχαριστώ!!

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 18 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

 

[Guest 990498]

Ρώτα το μαθηματικό σου
Όπως θα δεις του χρόνου (με το καλό) ισχύουν και παραισχύουν, αν και οι συγκεκριμένες είναι υπεραπλουστευτικές. Υπάρχουν και πιο αυστηρές μαθηματικά αποδείξεις για το θέμα.

Έχει δίκιο...
Αυτό που βλέπεις εδώ σε μία γραμμή γίνεται και σε τρείς σελίδες...

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 18 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

 

[ALEX_]

Oh,yes...ισχύει.
Και για την ιστορία κάπου στην ύλη της β γυμνασίου είναι νομίζω.

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 18 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

 

[coincidence]

Στα μαθηματικά, το 0,999... είναι ένας περιοδικός αριθμός που είναι ακριβώς ίσος με τον αριθμό 1. Με άλλα λόγια τα σύμβολα «0,999...» και «1» αντιπροσωπεύουν τον ίδιο πραγματικό αριθμό. Οι μαθηματικοί έχουν διατυπώσει πολλές αποδείξεις αυτής της ταυτότητας, οι οποίες διαφέρουν ως προς το επίπεδο της αυστηρότητας, την προτιμώμενη ανάπτυξη των πραγματικών αριθμών, τις αρχικές υποθέσεις, το ιστορικό υπόβαθρο και το κοινό στο οποίο απευθύνονται.

Κλασματική απόδειξη
υπόθεση 3 × 0,333... = 0,999...
υπόθεση 0.333… = 1⁄3
βήμα1 3 × 0,333... = 3 × 1⁄3
απόδειξη 0,999... = 1

Ένας λόγος για τον οποίο οι δεκαδικοί με άπειρα ψηφία αποτελούν αναγκαία επέκταση των πεπερασμένων είναι η αναπαράσταση κλασμάτων. Κάνοντας ευκλείδια διαίρεση, μια απλή διαίρεση δύο ακεραίων όπως το 1 ⁄ 3 έχουμε ως πηλίκο έναν περιοδικό αριθμό, το 0,333..., του οποίου τα ψηφία επαναλαμβάνονται χωρίς τέλος. Αυτός ο δεκαδικός χρησιμεύει για μία γρήγορη απόδειξη πως 0,999... = 1. Τρεις φορές το 3 δίνει τον αριθμό 9 σε κάθε ψηφίο, οπότε 3 × 0,333... ισούται με 0,999... . Αλλά 3 × 1 ⁄ 3 ισούται με 1, οπότε 0,999... = 1. Μία άλλη μορφή αυτης της απόδειξης πολλαπλασιάζει το 1 ⁄ 9 = 0,111... με το 9.

Αλγεβρική Απόδειξη
υπόθεση 10 × 0,999... = 9,999...
υπόθεση α = 0,999...
βήμα 1 10α = 9,999...
βήμα 2 10α − α = 9,999... − 0,999...
βήμα 3 9α = 9
απόδειξη α = 1

Μια άλλη απόδειξη προσαρμόζεται ευκολότερα σε άλλους περιοδικούς δεκαδικούς. Όταν ένας αριθμός σε δεκαδικό συμβολισμό πολλαπλασιάζεται με το 10, τα ψηφία δεν αλλάζουν, παρά μόνο η υποδιαστολή μετακινείται μία θέση προς τα δεξιά. Κατά αυτόν τον τρόπο, 10 × 0,999... ισούται με 9,999... που είναι 9 περισσότερο από τον προηγούμενο αριθμό. Για να γίνει φανερό αυτό, υποθέστε ότι η δοκιμή αφαίρεσης του 0,999... από το 9,999... μπορεί να γίνει ψηφίο-ψηφίο· σε καθένα από τα ψηφία μετα την υποδιαστολή, το αποτέλεσμα θα είναι 9 - 9 που κάνει 0. Αλλά τα μηδενικά της ουράς δεν αλλάζουν κανέναν αριθμό, οπότε η διαφορά είναι ακριβώς 9. Το τελευταίο βήμα χρησιμοποιεί άλγεβρα. Έστω α ο ζητούμενος περιοδικός αριθμός. Τότε 10α - α = 9. Αυτό συνεπάγεται 9α = 9. Διαιρώντας και τα δυο μέλη με το 9 ολοκληρώνεται η απόδειξη: α = 1

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 18 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

 

[tanos56]

Δεν καταλαβαίνω γιατί η απόδειξη να είναι 2 γραμμές, ή 3 σελίδες.

Η παραπάνω διαφορά των δύο άρρητων (μη περιοδικών δεκαδικών) ,δεν εκλαμβάνεται ως διαφορά αριθμών άλλα ως όριο διαφοράς. (Άθροισμα απείρων όρων απολύτως φθινουσών γεωμετρικών προόδων).(αύριο θα στείλω την απόδειξη πλήρη). Καλό θα είναι βέβαια -από άποψη μαθηματικής ορθογραφίας-, να μη γράφουμε 9,999...-0,999...=, αφού ή παραπάνω διαφορά έχει οριακή υπόσταση. Π.χ θα είχαμε σοβαρό πρόβλημα να γράψουμε: 9,999...-2, ωστόσο ο φίλος όταν γράφει: 9,999...-0,999... προφανώς αναφέρεται στο όριο της διαφοράς των παραπάνω αθροισμάτων.
Πολύ ωραία τα 3 προβλήματα που έδωσες, και θα τα δω.
Σας φιλώ όλους....

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 18 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

 

[coincidence]

Δεν καταλαβαίνω γιατί η απόδειξη να είναι 2 γραμμές, ή 3 σελίδες.

Η παραπάνω διαφορά των δύο άρρητων (μη περιοδικών δεκαδικών) ,δεν εκλαμβάνεται ως διαφορά αριθμών άλλα ως όριο διαφοράς. (Άθροισμα απείρων όρων απολύτως φθινουσών γεωμετρικών προόδων).(αύριο θα στείλω την απόδειξη πλήρη). Καλό θα είναι βέβαια -από άποψη μαθηματικής ορθογραφίας-, να μη γράφουμε 9,999...-0,999...=, αφού ή παραπάνω διαφορά έχει οριακή υπόσταση. Π.χ θα είχαμε σοβαρό πρόβλημα να γράψουμε: 9,999...-2, ωστόσο ο φίλος όταν γράφει: 9,999...-0,999... προφανώς αναφέρεται στο όριο της διαφοράς των παραπάνω αθροισμάτων.
Πολύ ωραία τα 3 προβλήματα που έδωσες, και θα τα δω.
Σας φιλώ όλους....

Αγαπητέ tano56, αφού έχετε σκοπό να ασχοληθείτε με τα τρία προβληματάκια, να σας ενημερώσω πως το πρώτο είναι ανεξάρτητο του δεύτερου. Δε θα πρέπει να χρησιμοποιηθεί η αποδείξει του πρώτου για το πέρας του δεύτερου.
Και αφού τελειώσετε με αυτά να σας ρωτήσω κάτι να μου δώσετε τα φώτα σας, μιας που η μόρφωσή σας και η εμπειρία σας το επιτρέπει αυτό!

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 18 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

 

[tanos56]

Λοιπόν πρώτα η θεωρία αριθμών:

Έστω, λοιπόν, χyzxyz o εξαψήφιος αριθμός.Το υπόλοιπο της διαιρέσεως ενός ακεραίου κατά την διαίρεσή του, με τους 7,11,13 είναι S1-S2, όπου S1,S2 τα αθροίσματα των τριμελών-κατά διαμέριση, τουλάχιστον από πέρας του αριθμού , υποομάδων.
Εδώ τα αθροίσματα αυτά είνα αμφότερα χ+y+z, με συνέπεια να είναι αμέσως: υπ[χyzxyz:11]=υπ[χyzxyz:7]==υπ[χyzxyz:13]=0

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 18 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

 

[coincidence]

Λοιπόν πρώτα η θεωρία αριθμών:

Έστω, λοιπόν, χyzxyz o εξαψήφιος αριθμός.Το υπόλοιπο της διαιρέσεως ενός ακεραίου κατά την διαίρεσή του, με τους 7,11,13 είναι S1-S2, όπου S1,S2 τα αθροίσματα των τριμελών-κατά διαμέριση, τουλάχιστον από πέρας του αριθμού , υποομάδων.
Εδώ τα αθροίσματα αυτά είνα αμφότερα χ+y+z, με συνέπεια να είναι αμέσως: υπ[χyzxyz:11]=υπ[χyzxyz:7]==υπ[χyzxyz:13]=0

Δε διαφωνώ καθόλου και μάλιστα εντυπωσιάστηκα. Συγχαρητήρια!
Δίνω τη δική μου εκδοχή, πολύ πιο απλή βέβαια, στο θέμα «Ενδιαφέροντα μαθηματικά προβλήματα προς λύση».
Με ενδιαφέρει παρά πολύ το πώς θα λύσετε το δεύτερο θέμα!

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 18 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

 

[yioryos]

Η παραπάνω διαφορά των δύο άρρητων (μη περιοδικών δεκαδικών) ,δεν εκλαμβάνεται ως διαφορά αριθμών άλλα ως όριο διαφοράς.

Καταρχάς, οι δύο αριθμοί δεν είναι αρρητοι. Εφόσον μπορούν να παρασταθούν ως κλάσματα είναι σίγουρα ρητοί (και μάλιστα φυσικοί).

Κατα δεύτερο λόγο, εφόσον οι αριθμοί αυτοί είναι όπως το λέει το όνομά τους αριθμοί, έχουν δηλαδή συγκεκριμένη μοναδική τιμή, η διαφορά τους τι άλλο μπορεί να είναι εκτός από διαφορά αριθμών;

Αλλά ακόμη και αν δούμε το αποτέλεσμα της αφαίρεσης μεταξύ των αριθμών αυτών, ως όριο μιας διαφοράς, το όριο αυτό είναι ένας συγκεκριμένος αριθμός, το 0, οπότε και πάλι μπορούμε να πούμε ότι το αποτέλεσμα της αφαίρεσης είναι ένας συγκεκριμένος αριθμός.

Καλό θα είναι βέβαια -από άποψη μαθηματικής ορθογραφίας-, να μη γράφουμε 9,999...-0,999...=, αφού ή παραπάνω διαφορά έχει οριακή υπόσταση. Π.χ θα είχαμε σοβαρό πρόβλημα να γράψουμε: 9,999...-2, ωστόσο ο φίλος όταν γράφει: 9,999...-0,999... προφανώς αναφέρεται στο όριο της διαφοράς των παραπάνω αθροισμάτων.

Δεν καταλαβαίνω την ανορθογραφία στην γραφή: 9,999...-0,999... Πολύ περισσότερο δεν καταλαβαίνω το πρόβλημα στο 9.999...-2
Ολοι οι προηγούμενοι αριθμοί είναι συγκεκριμένοι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις μεταξύ τους είναι καλά ορισμένες και οδηγούν σε συγκεκριμένους πραγματικούς αριθμούς ως αποτέλεσμα (9 στην πρώτη περίπτωση και 8 στην δεύτερη). Αν υπάρχει κάποιο πρόβλημα ή ανορθογραφία στις προηγούμενες δύο περιπτώσεις, τότε παραστάσεις της μορφής, ( sqrt(5) -1)/2 ή cos(e) πώς θα τις χαρακτηρίζαμε;

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 18 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

 

[tanos56]

Προφανώς και οι αριθμοί που δόθηκαν είναι ρητοί. Εκ παραδρομής δεν γράφτηκε το π-e, (δεν έγινε paste) ως αντιπαράδειγμα που έγραψα στο Word. Tώρα επί του προκειμένου: όταν γράφεις 1,999...-0,999... τι εννοούμε με τον τρόπο που γράφουμε αυτό το στοιχείο?
Αν με "-" παριστούμε το, σύνηθες, σύμβολο της αφαίρεσης στο R, αυτό αναφέρεται και έχει νόημα (όπως και το +) για πεπερασμένο πλήθος όρων και διαδικασιών,διαφορετικά υπεισέρχεται η έννοια του ορίου. Όταν γράφουμε 1,999...-2 , πρέπει να θεωρήσουμε την διαφορά δύο ακολουθιών και όχι δύο αριθμών. (Το 2 παριστά την σταθερή ακολουθία αν=2, ν: φυσικός) .Προφανώς λοιπόν, ενοούμε την διαφορά των ομοτάξιων όρων Γεωμετρικών σειρών απολύτως φθινουσών, δηλαδή ακολουθιών.Δεν υπάρχει διαφορά ακολουθίας και πραγματικού αριθμού)
Συνεπώς η παραπάνω διαφορά, συγκλίνει (όπως και κάθε όρος ξεχωριστά) σε ρητό και μάλιστα φυσικό αριθμό.
Θα ήταν λοιπόν δόκιμο, να γράψουμε: 1/ν=0?
Όταν λέμε ότι κάθε περιοδικός δεκαδικός ισούται με ρητό, που έχει αριθμητή την βασική περίοδο και παρονομαστή τόσα ενιάρια-όσα ψηφία έχει η βασική περίοδος-εννοούμε σιωπηλά από το Δημοτικό-μέχρι και την Β΄Λυκείου-όπου δεν έχει διδαχθεί η έννοια του ορίου-, ότι: "το όριο της σειράς αυτής είναι ...."
Τώρα για το cos(e), το οποίο αναφέρεις δεν αντιλαμβάνομαι τον παραλληλισμό ή το πρόβλημα. Η συνάρτηση y=cosx, ορίζεται σε όλο το R και για άπειρα πραγματικά ασύμμετρα ορίσματα δίνει τιμές ακέραιες-διότι έτσι ορίστηκε η βασική έννοια "cos" γεωμετρικά, δίχως να προαπαιτείται η έννοια του άπειρου.

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 18 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.