Λίγα λόγια για τη θεωρία του Χάους

[epote]

Μετα την αναφορα σε ενα αλλο θεμα θα κανω μια πολυ επιφανιακη εισαγωγη στα χαοτικα μαθηματικα. Το προβλημα με το χαος ειναι οτι εχει μαρκετιστικα ορθο ονομα το οποιο σημαινει οτι οπως και η θεωρια της σχετικοτητας χρησημοποιηται αριστερα και δεξια για να δικαιολογησει τα αδικαιολογητα.

Γραμμικη εξισωση:

Γραμμικη λεγεται η εξισωση που εχει ως γραφικη παρασταση μια ευθεια:

f(x) = ax + b

Μη γραμμικη εξισωση:

Μη γραμμικη λεγεται η εξισωση που ο αγνωστος ειναι υψομενος σε καποια δυναμη διαφορετικη του 1. Εχει γραφικη παραστη μια καμπυλη που αλαζει αναλογα το ειδος της εξισωσης.

πχ
f(x) = ax^2 + bx + c

Συστηματα:

Ενα συστημα ειναι ενα σετ εξισωσεων που περιγραφουν μια κατασταση. Στην φυσικη πρακτικα ολα τα φαινομενα που περιγραφουμε ειναι συστηματα εξισωσεων, δηλαδη υπαρχει μια εξισωση για την ενεργεια, μια για την ταχυτητα, μια για τη θεση και οι κοινες λυσεις των εξισωσεων αυτων μας περιγραφουν σε μια δεδομενη χρονικη στιγμη την κατασταση του φαινομενου.

Γραμμικο ειναι ενα συστημα που αποτεληται μονο απο γραμμικες εξισωσεις. Οι λυσεις του συστηματος *οπτικα* ειναι οι τομες των ευθειων.

Μη γραμμικο ειναι το συστημα που περιεχει τουλαχιστον μια μη γραμμικη εξισωση μεσα. Τα περισοτερα φυσικα φαινομενα περιγραφονται απο μη γραμμικα συστηματα.

Δυναμικο λεγεται το συστημα το οποιο εξαρταται απο το αποτελεσμα του για να περιγραψει τη μελοντικη κατασταση του φαινομενου.

Παραδειγμα ενος μη δυναμικου γραμικου συστηματος θα ηταν το εξις:
f(x) = 2x + 1 αναλογα την τιμη που παιρνει το χ (η τιμη ειναι ανεξαρτητη του φαινομενου θα μπορουσε πχ να ειναι ο χρονος η η μαζα) παιρνουμε και μια λυση.

Ενα γραμμικο δυναμικο συστημα θα εμοιαζε καπως ετσι:
f(x) = 2x + 1 και χ = f(x) δηλαδη στο τελος τροφοδοτουμε στο συστημα τη λυση του. Αν πχ ξεκινησουμε με χ = 1 f(1) = 2*1 + 1 = 2 και χ = 2 οποτε η επομενη κατασταση του συστηματος θα ειναι η f(2) = 2*2 + 1 = 5 κτλ.

Το λεμε δυναμικο γιατι ειναι αυτομεταβαλομενο ας πουμε, το αποτελεσμα του επιρεαζει την μελοντικη του κατασταση.

Η θεωρια του χαους αφορα την μελετη μη γραμμικων δυναμικων συστηματων.

Ενα πολυ απλο παραδειγμα:

Ας παρουμε για παραδειγμα το πιο απλο μη γραμμικο δυναμικο συστημα που μπορουμενα φανταστουμε:

f(x) = x^2 + c και x = f(x) με cεR

η πρωτη τιμη του χ θα προσδιορισει τι θα γινει το συστημα μετα απο n επαναληψεις.

αν θεωρησουμε οτι c = 0 τοτε εχουμε τις εξις πιθανες καταληξεις του συστηματος.

(αν παρουμε την γραφικη παρασταση των τιμων που θα παιρνει το συστημα λεμε οτι εχουμε την "τροχια" του)

Αν το χ > 1 το συστημα παει στο απειρο γιατι:
f(2)=4
f(4)=8
f(8)=64
...

Αν το χ = 1 το συστημα μενει στο 1
f(1)=1
f(1)=1
...

Aν το χ < 1 το συστημα παει στο μηδεν
f(1/2) = 1/4
f(1/4) = 1/8
f(1/8) = 1/64
...

To μηδεν και το απειρο τα λεμε σημεια ελξης της τροχιας του συστηματος (τροχια λεμε τη γραφικη παρασταση των τιμων που παιρνει το συστημα) και το 1 το λεμε σημειο απωθησης. Σε αυτες τις σχετικα απλες περιπτωσεις μπορουμε ευκολα να δουμε οτι το συστημα "καταληγει" καπου, παροτι παιρνει απειρες τιμες σε ολο το χωρο, το μεγαλυτερο μερος αυτων των τιμων "συσορευεται" κοντα στο απειρο η το μηδεν.

Αν βαλουμε το c στο παιχνιδι ως διαφορο του μηδενος και ξεκιναμε με αρχικη τιμη του χ το μηδεν για λογους ευκολιας η συμπεριφορα του συστηματος αλαζει δραματικα.

Για παραδειγμα με το c = 1/4 η τροχια του συστηματος ειναι ετσι:

(το διαγραμμα το κατασκευαζουμε αν τοποθετησουμε τις γραφικες παραστασεις των δυο εξισωσεων που απαρτιζουν το συστημα στη συγκεκριμενη περιπτωση την f(x) = x^2 + 1/4 και την χ = f(x). Ξεκινοντας απο την αρχικη τιμη του χ - οι τιμες του χ βρισκονται στην ευθεια και η πρωτη τιμη ειναι το μηδεν - τραβαμε μια γραμμη που αντιστοιχιζει την τιμη του χ στην τιμη της f(x) που ειναι πανω στην παραβολη πχ χ = 0 αρα f(x) = 1/4, απο εκεινο το σημειο τραβαμε γραμμη στην ΕΠΟΜΕΝΗ τιμη του χ - που θα ειναι το 1/4 - και ξανα στην f(x) - που τωρα θα ειναι το 1/16 + 1/4 κτλ)

Για την τιμη του c = -1/3 το διαγραμμα γινεται ετσι:

Για την τιμη -1.8 γινεται ετσι:

Το συστημα παρουσιαζει την λεγομενη εξαρτηση απο τις αρχικες συνθηκες. Αυτο γιατι πολυ μικρες αποκλισεις στην αρχικη τιμη του c αλαζουν αρδην την τροχια του συστηματος.

Για την τιμη του c = 1 το συστημα γινεται:

επαναληψη 1 : 2
επαναληψη 2 : 5
επαναληψη 3 : 26
επαναληψη 4 : 677

Για την τιμη του c = 1.1

επαναληψη 1 : 2.31
επαναληψη 2 : 6.4361
επαναληψη 3 : 42.52338321
επαναληψη 4: 1809.338119...

Στις τεσερεις επαναληψεις για αποκλιση μολις 0.1 οι τιμες του συστηματος ειναι ΤΕΛΕΙΩΣ διαφορετικες.

Αυτο σημαινει οτι δεν μπορουμε να κανουμε καμια προβλεψη για τι θα κανει το συστημα με αρχικη τιμη 1.00001 βασιζομενοι στην τιμη 1...

Αυτο ειναι πολυ χονδρικα (αλλα ΠΟΛΥ χονδρικα) το χαος.

Ξεκιναμε με ενα απολυτα ντετερμινιστικο και απλο συστημα για να καταληξουμε σε μια τελειως απροβλεπτη συμπεριφορα.

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 17 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

 

[epote]

bifurcations

Αν παρατηρησετε πιο πανω, στο μη γραμμικο δυναμικο συστημα που αναφερω οι τροχιες πεφτουν σε ορισμενα "μοτιβα", δηλαδη συγκεντρωνονται ολες γυρω απο ενα η δυο σημεια (αυτο εξαρτατε απο τις ριζες του συστηματος, δηλαδη αναλογα την τιμη του c το συστημα εχει μια λυση (εκει που η ευθεια εφαπτεται της παραβολης) η δυο (εκει που η ευθεια τεμνει την παραβολη).

Αν αποριψουμε ολες τι τετριμενες τιμες του c και αποριψουμε και ολες τις αρχικες τιμες για καθε επαναληψη ωστε να εχουμε μονο τα σημεια γυρω απο τα οποια ελκεται η τροχια μπορουμε να κανουμ ενα καινουριο διαγραμα που περιγραφει την κατασταση του συστηματος αναλογα με την τιμη του c αυτο λεγεται bifurcation diagram και δειχνει πρακτικα ποτε το συστημα ισοροπει σε μια η δυο τιμες και ΠΟΥ ειναι αυτες οι τιμες.

μοιαζει καπως ετσι:

στον οριζοντιο αξωνα θα βρισκονταν οι τιμες του c και στον καθετο τα σημεια στα οποια οι τροχια του συστηματος σταθεροποιηται

τα σημεια στα οποια οι γραμμες χωριζονται ειναι τα σημεια στα οποια οι τροχιες καταληγουν σε δυο σημεια.

στην αρχη οι τροχιες ειναι σταθερες αλλα οσο αλαζει η τιμη του c διχοτομουνται ξανα και ξανα με τροπο τελειως χαοτικο και απροβλεπτο. Παροτι δεν παρουσιαζεται καποιο μοτιβο συνολικα υπαρχουν τοπικα σημεια επαναληψης και σταθεροτητας (που φαινονται σαν κενα).

αν κανουμε αυτη τη διαδικασια σε συστηματα με περισοτερους βαθμους ελευθεριας προκυπτουν τα καταπληκτικα fractals. Μαθηματικες δομες με κλασματικη διασταση που εχουν self similarity στη δομη τους αλλα ΚΑΜΙΑ περιοδικοτητα.

πχ το manderblot set

αυτο ειναι η αποικονιση ολων των τροχιων της μιγαδικης συναρτησης z(n+1) = z(n)^2 + c που ειναι φραγμενες (δηλαδη δεν καταληγουν στο απειρο - ειναι η η ιδια διαδικασια που μας εδεινε τα περιεργα αποτελεσματα στο πρωτο ποστ που εκανα απλα στους μιγαδικους).

τα χρωματα βγαινουν απο την αποσταση που εχουν τα σημεια απο τα σημεια που ειναι ΜΕΣΑ στο συνολο των φραγμενων τροχιων (αυτες ειναι μαυρες)

Το παραδοξο ειναι οτι αυτα τα πραγματα ΕΧΟΥΝ πρακτικες εφαρμωγες

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 17 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

 

[roumana]

Βρήκα μια συμπαθητική και απλή εξήγηση για την θεωρία του χάους. Οι μαθηματικοί (του στεκιού μας) την εγκρίνουν?

στα μαθηματικα και στην φυσικη
η θεωρια του Χαους περιγραφει την συμπεριφορα
συγκεκριμενων δυναμικων μη-γραμμικων συστηματων,
τα οποια κατω απο συγκεκριμενες συνθηκες εμφανιζουν δυναμικες διαστασεις
οι οποιες ειναι εξαρτωμενες απο τις αρχικες συνθηκες του συστηματος.
(το φαινομενο αυτο ειναι γνωστο ως "το φαινομενο της πεταλουδας").

Σαν αποτελεσμα της ευαισθησιας και εξαρτησης που παρουσιαζει
ενα χαοτικο συστημα απο τις αρχικες συνθηκες που το δημιουργησαν,
το συστημα αυτο δινει την εντυπωση εξ'αρχης οτι η συμπεριφορα του ειναι τυχαια.
Αυτο συμβαινει διοτι ενω τα χαοτικα συστηματα ειναι αποφασιστικα
με την εννοια οτι οι μελλοντικες εξελικτικες δυναμικες του
βρισκονται σε πληρη εξαρτηση απο τις αρχικες συνθηκες που το δημιουργησαν,
και καμια τυχαια παραμετρος δεν παιρνει μερος στην δυναμικη εξελιξης
του συστηματος αυτου.

Αυτη η συμπεριφορα ειναι γνωστη σαν αποφασιστικο χαος 'η απλα Χαος.

Τωρα θα σου εξηγησω ολα τα παραπανω με απλα λογια,
θα χρειαστω ομως την καλη σου θεληση ως προς το να
ακολουθησεις το σκεπτικο μου.

Φαντασου τον εαυτο σου
να στεκεται μπροστα στην πορτα ενος δωματιου το οποιο ειναι κλειστο απο παντου.
Το μεγεθος και το σχημα του δωματιου δεν εχει καμια σημασια.
Το σημαντικο ειναι το δωματιο να ειναι κλειστο απο παντου
και να εχει μονο μια πορτα, μπροστα στην οποια στεκεσαι εσυ.

Φαντασου οτι στα χερια σου κρατας εναν κουβα γεματο με αμμο.
Με μια κινηση ...πετας την αμμο μεσα στο δωματιο.
(μονο την αμμο , οχι τον κουβα)
Η αμμος πεφτει στο πατωμα του δωματιου με εναν τροπο 'η σχηματισμο
που την πρωτη φορα ...φυσικα σου δινει την εντυπωση
του τυχαιου σχηματισμου 'η χαοτικου σχηματισμου.

Βεβαιως την ιδια εντυπωση του χαοτικου 'η τυχαιου σχηματισμου
την εχεις και στις επομενες ριψεις της αμμου.

Οσο ομως το πληθος των προσπαθειων σου αυξανεται...
τοσο αρχιζεις να αντιλαμβανεσαι οτι
ενδεχομενως να υπαρχει μια λογικη ακολουθια 'η βαριαντα 'η πατεντα
που ακολουθουν οι κοκκοι της αμμου οταν πεφτουν στο πατωμα του δωματιου.

Με λιγα λογια...
οσες περισσοτερες φορες ριξεις την αμμο μεσα στο κλειστο δωματιο
τοσο πιο συντομα θα αντιληφτεις οτι ισως να υπαρχει μια λογικη
στον τροπο που απλωνεται η αμμος μεσα στο κλειστο συστημα του δωματιου.

Αρχιζεις λοιπον και ομαδοποιεις τις ριψεις σου.
Τοσες επεσαν με αυτον τον τροπο, τοσες με τον αλλον κλπ, κλπ...

Την στιγμη
που θα με ρωτησεις ποσες φορες ακομα θα ριξεις την αμμο στο πατωμα του δωματιου
εγω θα σου απαντησω
+απειρο φορες
δηλαδη "απειρες ριψεις θα κανεις"

Μολις αντιληφτεις το πληθος των απειρων προσπαθειων σου
τον αριθμο δηλαδη, το πληθος των ριψεων της αμμου
τοτε θα καταληξεις στο συμπερασμα
πως δεν υπαρχει τιποτα τυχαιο στην προσπαθεια σου
γιατι σε " απειρο αριθμο προσπαθειων "
τουλαχιστον δυο ριψεις της αμμου θα εχουν το ιδιο
'η πανομοιοτυπο σχημα πανω στο πατωμα του δωματιου.

Αρα Χαος δεν υπαρχει σε ολη αυτη τη προσπαθεια σου,
ποτε δεν υπηρχε, απο την αρχη της προσπαθειας σου.
Εσυ νομιζες
οτι ηταν τυχαιος ο τροπος που επεφτε η αμμος στο πατωμα.

Επρεπε να ριξεις την αμμο "+απειρο φορες"
για να καταλαβεις οτι τιποτα δεν ηταν τυχαιο.

Αυτη ειναι η θεωρια του Χαους.
Οτι δεν υπαρχει Χαος.]

πηγη

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 17 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

 

[epote]

ε να αυτες τις πομποδεις χαζομαρες ηθελα να αποφυγω "αυτο ειναι η θεωρια του χαους οτι δεν υπαρχει χαος"

ελεος

και οχι δεν εινια ΜΟΝΟ η εξαρτηση στις αρχικες συνθηκες χαρακτιριστικο ενος χαοτικου συστηματος ειναι και αλλα πραγματα (που δεν αναφερω στο κειμενο μου γιατι ειναι πιο τεχνικα, οπως η τοπικη πυκνοτητα γυρω απο τα σημεια ελκυστες κτλ)

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 17 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

 

[swamps]

ε να αυτες τις πομποδεις χαζομαρες ηθελα να αποφυγω "αυτο ειναι η θεωρια του χαους οτι δεν υπαρχει χαος"

ελεος

και οχι δεν εινια ΜΟΝΟ η εξαρτηση στις αρχικες συνθηκες χαρακτιριστικο ενος χαοτικου συστηματος ειναι και αλλα πραγματα (που δεν αναφερω στο κειμενο μου γιατι ειναι πιο τεχνικα, οπως η τοπικη πυκνοτητα γυρω απο τα σημεια ελκυστες κτλ)

LMAO. Φρίκαρες παλι ε? Το περίμενα!

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 17 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

 

[epote]

Με εκνευριζει η χαζοαπλουστευση γιατι παντα μα παντα the devil lies in the details. Συν το οτι εινια προσβλητικο προς τους ανθρωπους που εφτιαξαν το πραγμα to begin with.

Παραδειγμα:

"Ο αινσταιν ειπε οτι ολα ειναι σχετικα"

HE SO DID NOT

Και η εξηγηση με την αμμο που δινει ο παραπανω μπλογκερ ειναι επαρκως βλαμενη και αυτο μονο και μονο για να καταληξει στην χαζοσυναισθηματικη ατακα "η θεωρια του χαους λεει οτι δεν υπαρχει χαος"

Οχι δεν λεει αυτο, η θεωρια του χαους ειναι η μελετη της συμπεριφορας συστηματων που παρουσιαζουν ΑΠΡΟΒΛΕΠΤΗ συμπεριφορα αλλα ειναι ντετερμινιστικα. Και η μελετη αυτη βασιζεται στην μακροσκοπικη επαναληψημοτιτα (αλλα οχι πανομοιοτητα) του συστηματος.

Κοιτα τα παραδειγματα που εχω φερει παραπανω και ισως βγαλεις μια βασικη ακρη, το συστημα πεφτει σε "μοτιβα" τα οποια δεν επαναλαμβανονται ΕΠ ΑΚΡΙΒΩΣ

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 17 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

 

[swamps]

Με εκνευριζει η χαζοαπλουστευση γιατι παντα μα παντα the devil lies in the details. Συν το οτι εινια προσβλητικο προς τους ανθρωπους που εφτιαξαν το πραγμα to begin with.

Παραδειγμα:

"Ο αινσταιν ειπε οτι ολα ειναι σχετικα"

HE SO DID NOT

Και η εξηγηση με την αμμο που δινει ο παραπανω μπλογκερ ειναι επαρκως βλαμενη και αυτο μονο και μονο για να καταληξει στην χαζοσυναισθηματικη ατακα "η θεωρια του χαους λεει οτι δεν υπαρχει χαος"

Οχι δεν λεει αυτο, η θεωρια του χαους ειναι η μελετη της συμπεριφορας συστηματων που παρουσιαζουν ΑΠΡΟΒΛΕΠΤΗ συμπεριφορα αλλα ειναι ντετερμινιστικα. Και η μελετη αυτη βασιζεται στην μακροσκοπικη επαναληψημοτιτα (αλλα οχι πανομοιοτητα) του συστηματος.

Κοιτα τα παραδειγματα που εχω φερει παραπανω και ισως βγαλεις μια βασικη ακρη, το συστημα πεφτει σε "μοτιβα" τα οποια δεν επαναλαμβανονται ΕΠ ΑΚΡΙΒΩΣ

Ήξερα την αντίδραση σου πρίν ακόμα απαντήσεις, και λέω τώρα θα φρικάρει με το που θα δεί
κουβάδες άμμους κ.τ.λ αλλά ξέρεις για κάποιους ανθρώπους είναι λίγο δύσκολο να καταλάβουν με μαθηματική εξήγηση κάποια φαινόμενα, οπότε χρησιμοποιούν θεωρίες που βοηθούν στην κατανόηση όλων αυτων.Οπότε ας μην είμαστε αυστηροί.Ναι έχεις δίκιο Ο θεός βρίσκεται στην λεπτομέρεια και όλα στην ζωή μας είναι μαθηματικά αλλα δεν χάθηκε και ο κόσμος αν κάποιος το κατανοεί με άλλον τρόπο.

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 17 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

 

[ΜΠΕΡΔΕΜΕΝΟΣ]

Ωραίο το θεματάκι.

Πάντως στην αναφορά για "γραμμικές" συναρτήσεις δεν έχει γραφτεί ο ορισμός σύμφωνα με την κλασική Γραμμική Άλγεβρα αλλά έχει στηριχτεί περισσότερο στην ακουστική συσχέτιση των λέξεων γραμμή-γραμμικό (πράγματι, η γραφική παράσταση μιας εξίσωσης ψ = αχ+β έχει σαν σχήμα μια ευθεία γραμμή).
Πάντως ο κανονικός ορισμός είναι ψ(α+β)=ψ(α)+ψ(β) όπου αν θέσουμε α = β= 0 έχουμε ψ(0+0)=ψ(0)+ψ(0) άρα ψ(0) = 2 ψ(0) άρα ψ(0) = 0 άρα το διάγραμμα περνάει απο το σημείο (0,0).
Άρα γραμμικές είναι οι εξισώσεις της μορφής ψ=αχ (με άλλα λόγια ψ=αχ+β, με β=0.

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 17 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

 

[roumana]

Με εκνευριζει η χαζοαπλουστευση γιατι παντα μα παντα the devil lies in the details.

οκ. μου ακουγεται λογικο.[FONT=&quot]

[/FONT]

Και η εξηγηση με την αμμο που δινει ο παραπανω μπλογκερ ειναι επαρκως βλαμενη και αυτο μονο και μονο για να καταληξει στην χαζοσυναισθηματικη ατακα "η θεωρια του χαους λεει οτι δεν υπαρχει χαος"

Ρώτησα με ποια στοιχεία της εξήγησης του διαφωνείς, επειδή εγώ, που δεν έχω γνώσεις μαθηματικών δεν μπορώ να καταλάβω αν λέει ανακρίβειες.
Και οι άσχετοι με τα μαθηματικά έχουν ψυχή βρε εποτε.
Θα ήθελα να καταλάβω κάτι παραπάνω για την θεωρία του Χάους… αν όμως η απλούστευση παραμορφώνει την αλήθεια, θα το πάρω απόφαση ότι ποτέ, μα (ε)ποτε, δεν θα καταλάβω την συγκεκριμένη θεωρία.

Κοιτα τα παραδειγματα που εχω φερει παραπανω και ισως βγαλεις μια βασικη ακρη, το συστημα πεφτει σε "μοτιβα" τα οποια δεν επαναλαμβανονται ΕΠ ΑΚΡΙΒΩΣ

δηλαδη αυτο?

σε " απειρο αριθμο προσπαθειων "
τουλαχιστον δυο ριψεις της αμμου θα εχουν το ιδιο
ή πανομοιοτυπο σχημα πανω στο πατωμα.

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 17 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

 

[epote]

Πάντως στην αναφορά για "γραμμικές" συναρτήσεις δεν έχει γραφτεί ο ορισμός σύμφωνα με την κλασική Γραμμική Άλγεβρα αλλά έχει στηριχτεί περισσότερο στην ακουστική συσχέτιση των λέξεων γραμμή-γραμμικό (πράγματι, η γραφική παράσταση μιας εξίσωσης ψ = αχ+β έχει σαν σχήμα μια ευθεία γραμμή).
Πάντως ο κανονικός ορισμός είναι ψ(α+β)=ψ(α)+ψ(β) όπου αν θέσουμε α = β= 0 έχουμε ψ(0+0)=ψ(0)+ψ(0) άρα ψ(0) = 2 ψ(0) άρα ψ(0) = 0 άρα το διάγραμμα περνάει απο το σημείο (0,0).
Άρα γραμμικές είναι οι εξισώσεις της μορφής ψ=αχ (με άλλα λόγια ψ=αχ+β, με β=0.

lol ελα ρε ανθρωπα του θεου, και τι σκοπο εξυπηρετει αυτο?

ενταξει *τεχνικα* εχεις παραληψει την ομογενεια...

γραμμικο λεγεται το συστημα που υπακουει στην προσθεση

f(x+y) = f(x) + f(y)

KAI ειναι ομογενες ητοι

f(ax) = af(x)

Τεχνικα μιλοντας παλι μη γραμμικο ειναι το συστημα το οποιο δεν ειναι γραμμικο, δηλαδη δεν υπακουει στην αρχη της υπερθεσης (που πρακτικα ειανι αυτο που λεμε παραπανω).

ρουμανα: μην προσπαθεις να συναγεις συμπερασματα απο το κειμενο που εχει παρατεθει με την αμμο, δεν περιγραφει τιποτα, αληθεια ειναι μια χαζομαρα που απλα θελει να καταληξει στο εντυποσιακο "αυτο ειναι το χαος οτι δεν υπαρχει χαος".

ο πιο απλος τροπος να περιγραψεις τη θεωρια του χαους ειναι αυτος:

το χαος αφορα την μελετη συστηματων που παρουσιαζουν φαινομενικα τυχαια συμπεριφορα ΠΑΡΟΤΙ ειναι απολυτα ντετερμινιστικα.

η θεωρια του χαους δεν καταληγει στο συμπερασμα "δεν υπαρχει χαος" ΞΕΚΙΝΑΕΙ ΜΕ ΑΥΤΗ ΤΗΝ ΥΠΟΘΕΣΗ.

Παρε παραδειγμα το πιο απλο χαοτικο συστημα το εκρεμες. Το χαος δεν θα μας πει οτι το συστημα δεν ειναι τυχαιο, το ξερουμε αυτο, θα μας πει ομως οτι αναλογα με τις αρχικες συνθηκες εχει την ταση να παρουσιαζει ταδε συμπεριφορες και οτι μετα απο καποιες ταλαντωσεις χανουμε καθε ικανοτητα προβλεψης (ποσες? Αυτο θα μας το πει η θεωρια του χαους)

Καταλαβαινεις?

Το κειμενο που εχω γραψει ΔΕΝ εχει απαιτητικα μαθηματικα, διαβαστε το και θα καταλαβεται τι ειναι το μη γραμμικο δυναμικο συστημα και κατ επεκταση τι ειναι η θεωρια οτυ χαους (η μελετη των συμπεριφορων αυτου του συστηματος δηλαδη)

Δυστοιχος δεν γινεται να πεις με τελειως απλα λογια τι ειναι η θεωρια του χαους γιατι καταληγεις σε βλακωδεις απλουστευσεις

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 17 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

 

[Tsipouro]

Πάντως στην αναφορά για "γραμμικές" συναρτήσεις δεν έχει γραφτεί ο ορισμός σύμφωνα με την κλασική Γραμμική Άλγεβρα αλλά έχει στηριχτεί περισσότερο στην ακουστική συσχέτιση των λέξεων γραμμή-γραμμικό (πράγματι, η γραφική παράσταση μιας εξίσωσης ψ = αχ+β έχει σαν σχήμα μια ευθεία γραμμή).
Πάντως ο κανονικός ορισμός είναι ψ(α+β)=ψ(α)+ψ(β) όπου αν θέσουμε α = β= 0 έχουμε ψ(0+0)=ψ(0)+ψ(0) άρα ψ(0) = 2 ψ(0) άρα ψ(0) = 0 άρα το διάγραμμα περνάει απο το σημείο (0,0).
Άρα γραμμικές είναι οι εξισώσεις της μορφής ψ=αχ (με άλλα λόγια ψ=αχ+β, με β=0.

Ξέχασες τον πολλαπλασιασμό με στοιχείο του σώματος (R ή C).
Για λ,μ ε R (ή στο C) και στοιχεία α,β του διανυσματικού χώρου που αποτελεί πεδίο ορισμού της απεικόνισης, αν ισχύει f(λ*α+μ*β)=λ*f(α)+μ*f(β) τότε η απεικόνιση f είναι γραμμική. Αυτή η προϋπόθεση εκπληρώνεται μόνο από τις εξισώσεις ευθείας (μια οποιαδήποτε δευτεροβάθμια, τριτοβάθμια κτλ... δεν ικανοποιεί την προϋπόθεση).

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 17 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

 

[Rempeskes]

Ρε συ Εποτέ, σα να έχει δίκιο η καλή μας Ρουμάνα, δεν είναι όλοι οι χρήστες εξοικειωμένοι με διαγράμματα και συντεταγμένες και όλα αυτά τα παλαβά της θεωρίας του (dr) Ηουse. Ήρεμα και απλά, πιο απλά...

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 17 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

 

[fandago]

Το χαος δεν θα μας πει οτι το συστημα δεν ειναι τυχαιο, το ξερουμε αυτο, θα μας πει ομως οτι αναλογα με τις αρχικες συνθηκες εχει την ταση να παρουσιαζει ταδε συμπεριφορες και οτι μετα απο καποιες ταλαντωσεις χανουμε καθε ικανοτητα προβλεψης

Χάνουμε την ικανότητα πρόβλεψης, αλλά παραμένει προβλέψιμο.

Αν κάνω ένα άλμα δηλαδή τώρα και πω ότι ουσιαστικά η θεωρία του Χάους είναι η καθημερινότητα μας, όπου όλα φαίνονται τυχαία, αλλά όλα είναι ντετερμινιστικά, άρα ουσιαστικά η έννοια μοίρα δεν είναι και τόσο άκυρη, θα έχω ξεφύγει πολύ;

Ευχαριστούμε πάντως για τον χρόνο που αφιερώνεις

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 17 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

 

[epote]

Οχι δεν ειναι προβλεψιμο, ειναι ντετερμινιστικο εχει διαφορα.

πχ στο δευτεροβαθμιο συστημα μπορεις να προβλεψεις σε ποια τροχια θα καταληξει αν το c ειναι 1.81?

ξερεις που θα καταληξει για το 1.8, ξερεις για το 1.81? Οχι και αυτο ειναι το ολο νοημα.

fandango:

μπαινεις σε ενα πολυ δυσκολο θεμα που απτεται περισοτερο της φιλοσοφιας, και το το θεμα ειναι το εξις:

Εστω οτι εχεις ενα κουτι, δεν μπορεις να δεις τι εχει μεσα, ουτε να ακουσεις ουτε να οσφρηστεις. Δεν εχεις απολυτος καμια αλληλεπιδραση με το εσωτερικο του κουτιου. Και ουτε θα μπορεσεις ποτε να εχεις.

Το ερωτημα ειναι το εξις ΥΠΑΡΧΕΙ κατι μεσα στο κουτι?

i.e. ενα χαοτικο συστημα δεν ειναι προβλεψιμο, η θεωρια του χαους μας λεει ΠΟΤΕ σταματαει να ειναι προβλεψιμο και τι συμπεριφορες παρουσιαζει αυτη η μη προβλεψημοτητα του, το ερωτημα ειναι δεδομενου οτι δεν ειναι προβλεψιμο ο ντετερμινισμος του ειναι προδιαγεγραμενος?

Η ανικανοτητα μας (η θεμελιοδης και πληρη ανικανοτητα μας) να εχουμε εκ των προτερων γνωση για την καταληξη του στερει την ελευθερια του συστηματος η οχι?

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 17 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

 

[fandago]

Μάλιστα. Τότε κάτι δεν έχω καταλάβει σωστά.

Ντετερμινισμός = αιτιοκρατία = υπάρχει αιτιότητα αλλά δεν ξέρουμε πάντα ποια είναι και γιαυτό δεν είναι προβλέψιμο; Κρίνουμε δηλαδή εκ του αποτελέσματος;

Πάντως αν σε ένα σύστημα μπορούμε να υπολογίσουμε την τιμή του για οποιαδήποτε επανάληψη δωσμένου του c τότε γιατί δεν υπάρχει προβλεψιμότητα;

Ίσως να χρειάζεται μια εξήγηση παραπάνω στη φράση σου "Αυτο σημαινει οτι δεν μπορουμε να κανουμε καμια προβλεψη για τι θα κανει το συστημα με αρχικη τιμη 1.00001 βασιζομενοι στην τιμη 1..." για να το πιάσω κι εγώ

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 17 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

 

[roumana]

Καταλαβαινεις?

δεν ειμαι σιγουρη...
Βέβαια κατανοώ ότι το να καταλάβεις μαθηματικά χωρίς να έχεις βάσεις είναι αδύνατον, απλά επειδή είναι μια διάσημη θεωρία με φιλοσοφικές επεκτάσεις ήθελα να ξέρω περισσότερα.
Ευχαριστώ παντως για τον κόπο σου.

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 17 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

 

[swamps]

Κάποια παραδείγματα χαοτικής κίνησης.Ο καπνός του τσιγάρου που στροβιλίζεται σε πολύπλοκες δίνες.Η ροή του νερού που στάζει απο μια βρύση.Το νερό των κυμάτων που σκάζουν στην ακτή.Το μελάνι που διαχέεται μέσα σε ένα ποτήρι νερού με απρόβλεπτο τρόπο.Στην αστρονομία μπορεί να έχουμε μια τυχαία μεταβολή κάποιας ιδιότητας(κλίση τροχιάς εκκεντρότητα τροχιάς κάποιου πλανήτη(π.χ απο κυκλική κίνηση ο πλανήτης αποκτά κίνηση ωοειδή)Το απρόβλεπτο των τιμών στο χρηματιστήριο, στα ηλεκτρικά κυκλώματα στους χτύπους της καρδιάς στην ροή του νερού η του αίματος μέσα στους σωλήνες οι απότομες μεταβολές του καιρού.
Έχουμε παρατηρήσει το καπνό του τσιγάρου πως κινείται στον χώρο, είναι μια χαοτική κίνηση.Η χαοτική κίνηση δεν διαγράφει τροχιά σχήματος ευκλείδιας γεωμετρίας.Διότι το σχήμα που διαγράφει για παράδειγμα ο καπνός του τσιγάρου με την κίνηση του είναι περίεργο δεν έχει καμία σχέση με σχήμα π.χ κύκλου η τετραγωνου αλλά είναι σχήμα γεωμετρίας FRACTAL. Ο epote έχει παραθέσει ενα σχήμα φρακταλ σε προηγούμενο μήνυμα.
Τα fractal είναι πολύπλοκα γεωμετρικά σχήματα που έχουν αυτοομοιότητα.Μπορεί να περιγράψουν πολλά αντικείμενα με ακανόνιστη μορφή η χωρικά φαινόμενα ανόμοια στην φύση τα οποία είναι αδύνατον να περιγραφούν με την ευκλείδια γεωμετρία.Ο όρος FRACTAL πλασθηκε απο τον πολωνό μαθηματικό Mandelbrot ο οποίος σημαίνει (θρυμματισμένος η σπασμένος)για να εκφράσει την ιδέα ενός σχήματος του οποίου οι διαστάσεις δεν περιγράφονται με ακέραιο αριθμό.Στα ελλήνικα αποδόθηκε με τον όρο Μορφοπλασματική Καμπύλη.Σχήματα χωρών νησιών στον χάρτη είναι σχήματα fractal.Το σχήμα αστεριού που σχεδιάζουμε στο χαρτί είναι ενα σχήμα φρακταλ.
Epote έχω την ίδια απορία με τον fandago Πάντως αν σε ένα σύστημα μπορούμε να υπολογίσουμε την τιμή του για οποιαδήποτε επανάληψη δωσμένου του c τότε γιατί δεν υπάρχει προβλεψιμότητα;Αν γνωρίζουμε έστω την τιμή του c στον άξονα τότε δεν μπορούμε να προβλέψουμε την κίνηση του? Το θέμα είναι να μην γνώριζεις στοιχεία στον xy άξονα εκεί δεν μπορείς να ξέρεις την κίνηση

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 17 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

 

[epote]

Πάντως αν σε ένα σύστημα μπορούμε να υπολογίσουμε την τιμή του για οποιαδήποτε επανάληψη δωσμένου του c τότε γιατί δεν υπάρχει προβλεψιμότητα;

Να σου δωσω ενα μηχανικο παραδειγμα.

Ριχνεις ενα ζαρι, η κινηση του ζαριου ειναι μια σχετικα απλη μελετη νευτωνιας μηχανικης.

Αν ξερεις ακριβως την αρχικη θεση του ζαριου, την ενεργεια με την οποια εφυγε, τις αποστασεις κτλ μπορεις να προβλεψεις σε ποιο αριθμο θα πεσει.

Ας πουμε θα παρεις τις εξισωσεις οι οποιες θα ειναι μια για την ενεργεια, μια για την πιεση και την κινηση του αερα, μια το μεγεθος του ζαριου, μια για τις γωνιες του κτλ.

Μετρας λοιπων και βλεπεις οτι το ζαρι ειναι στην θεση 2μ και εχει ενεργεια ριψης 5j ωραια?

Βαζεις τα νουμερα στις εξισωσεις και σου βγαινει οτι θα πρεπει να πεσει με το 3 στην κορυφη.

Το ριχνεις και πεφτει με το 4...γιατι?

Γιατι οι εξισωσεις που διεπουν την κινηση ειναι μη γραμμικες (πχ χ = 1/2at^2) και οχι μονο ειναι μη γραμμικες αλλα ειναι και δυναμικες γιατι πχ στο χρονο = 1 η καινουρια θεση του ζαριου αλαζει την ενεργεια του η οποια αλαγη της ενεργειας θα αλαξει τη θεση που θα ξανα αλαξει την ενεργεια. Δηλαδη τα αποτελεσματα των εξισωσεων τροφοδοτουν τις ιδιες τις εξισωσεις.

Αυτο δεν θα ηταν προβλημα αν δεν εμπαινε η λεξη "ακριβως" μεσα.

Ποια ειναι η αρχικη θεση του ζαριου? Ειναι τα 2μ? Μηπος ειναι τα 2.2? Οχι η μεζουρα ειναι ακριβης. Ναι αλλα ειναι τα 0.002? Οκ θα μετρησουμε με λειζερ. Ναι αλλα το λειζερ φτανει μεχρι 0.00000002 ακριβια, μετα εχεις κβαντικα φαινομενα μεσα. Ομως σε ενα δυναμικο συστημα αυτη η 0.000000002 αποκλιση μετα απο καμια 10αρια επαναληψεις αλαζει ΤΕΛΕΙΩΣ το αποτελεσμα.

Το χαος δεν ειναι ποσοτικη αλλα ΠΟΙΟΤΙΚΗ αναλυση, μας λεει πχ οτι το συστημα του ζαριου εχει ορισμενα μοτιβα, πχ αν το ριχνεις απο υψος 2 μ εχει τη ταση να πεφτει κυριως στο 4 και το 6, πεφτει σε ολα αλλα περισοτερες φορες εκει. Ετσι προσπαθεις να κανεις μια ποιοτικη αναλυση της καταστασης.

Δηαλδη αν παρουμε παλι αυτο το συστημα που εχω γραψει στο πρωτο ποστ.

Ξερουμε ποιες τιμες θα παρει για c = 1.4 δυστοιχως στην πραγματικοτητα αυτο το 1.4 δεν το ξερουμε ποτε ακριβως. Ξερουμε για την περιοχη 1.4 συν η πλην 0.0000001, αφου εχεις φτιαξει αυτο το διαγραμα bifurcation θα πας σε αυτη τη περιοχη και θα δεις εκει τι συμπεριφορα παρουσιαζει το συστημα, και παλι θα ειναι ομως προσεγκιση γιατι αν "ζουμαρεις" περισοτερο στο 0.000000000001 ας πουμε θα εχει παλι παρομοια οπτικα (αυτοομοιοτητα) συμπεριφορα αλλα ΟΧΙ ΑΚΡΙΒΩΣ

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 17 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

 

[swamps]

Να σου δωσω ενα μηχανικο παραδειγμα.

Spoiler

Ριχνεις ενα ζαρι, η κινηση του ζαριου ειναι μια σχετικα απλη μελετη νευτωνιας μηχανικης.

Αν ξερεις ακριβως την αρχικη θεση του ζαριου, την ενεργεια με την οποια εφυγε, τις αποστασεις κτλ μπορεις να προβλεψεις σε ποιο αριθμο θα πεσει.

Ας πουμε θα παρεις τις εξισωσεις οι οποιες θα ειναι μια για την ενεργεια, μια για την πιεση και την κινηση του αερα, μια το μεγεθος του ζαριου, μια για τις γωνιες του κτλ.

Μετρας λοιπων και βλεπεις οτι το ζαρι ειναι στην θεση 2μ και εχει ενεργεια ριψης 5j ωραια?

Βαζεις τα νουμερα στις εξισωσεις και σου βγαινει οτι θα πρεπει να πεσει με το 3 στην κορυφη.

Το ριχνεις και πεφτει με το 4...γιατι?

Γιατι οι εξισωσεις που διεπουν την κινηση ειναι μη γραμμικες (πχ χ = 1/2at^2) και οχι μονο ειναι μη γραμμικες αλλα ειναι και δυναμικες γιατι πχ στο χρονο = 1 η καινουρια θεση του ζαριου αλαζει την ενεργεια του η οποια αλαγη της ενεργειας θα αλαξει τη θεση που θα ξανα αλαξει την ενεργεια. Δηλαδη τα αποτελεσματα των εξισωσεων τροφοδοτουν τις ιδιες τις εξισωσεις.

Αυτο δεν θα ηταν προβλημα αν δεν εμπαινε η λεξη "ακριβως" μεσα.

Ποια ειναι η αρχικη θεση του ζαριου? Ειναι τα 2μ? Μηπος ειναι τα 2.2? Οχι η μεζουρα ειναι ακριβης. Ναι αλλα ειναι τα 0.002? Οκ θα μετρησουμε με λειζερ. Ναι αλλα το λειζερ φτανει μεχρι 0.00000002 ακριβια, μετα εχεις κβαντικα φαινομενα μεσα. Ομως σε ενα δυναμικο συστημα αυτη η 0.000000002 αποκλιση μετα απο καμια 10αρια επαναληψεις αλαζει ΤΕΛΕΙΩΣ το αποτελεσμα.

Το χαος δεν ειναι ποσοτικη αλλα ΠΟΙΟΤΙΚΗ αναλυση, μας λεει πχ οτι το συστημα του ζαριου εχει ορισμενα μοτιβα, πχ αν το ριχνεις απο υψος 2 μ εχει τη ταση να πεφτει κυριως στο 4 και το 6, πεφτει σε ολα αλλα περισοτερες φορες εκει. Ετσι προσπαθεις να κανεις μια ποιοτικη αναλυση της καταστασης.

Δηαλδη αν παρουμε παλι αυτο το συστημα που εχω γραψει στο πρωτο ποστ.

Ξερουμε ποιες τιμες θα παρει για c = 1.4 δυστοιχως στην πραγματικοτητα αυτο το 1.4 δεν το ξερουμε ποτε ακριβως. Ξερουμε για την περιοχη 1.4 συν η πλην 0.0000001, αφου εχεις φτιαξει αυτο το διαγραμα bifurcation θα πας σε αυτη τη περιοχη και θα δεις εκει τι συμπεριφορα παρουσιαζει το συστημα, και παλι θα ειναι ομως προσεγκιση γιατι αν "ζουμαρεις" περισοτερο στο 0.000000000001 ας πουμε θα εχει παλι παρομοια οπτικα (αυτοομοιοτητα) συμπεριφορα αλλα ΟΧΙ ΑΚΡΙΒΩΣ

Οι εξισώσεις που διέπουν την κίνηση δεν είναι μη γραμμικες πάντα στην περίπτωση του ζαριού όμως είναι διότι η κίνηση του είναι περίεργη και προφανώς μη προβλέψιμη.Η κίνηση ενος σώματος είναι συνάρτηση πολλών παραγόντων και όσο αφορά την τροφοδότηση των εξισώσεων απο τα αποτελέσματα αυτό αν δεν κάνω λάθος γίνεται και στις γραμμικές εξισώσεις όχι μόνο στις μη γραμμικές.
Λες ότι το πρόβλημα είναι ότι δεν μπορούμε να κάνουμε μετρήσεις με ακρίβεια απο ότι κατάλαβα , ακόμα και αν ξέρουμε ότι την τιμή του c στην ουσία δεν είναι αυτή η τιμή του με ακρίβεια, παμε σε κβαντικές καταστάσεις μετα τις οποίες ίσως όμως με κβαντική φυσική μπορούμε να μετρήσουμε με περισσότερη ακρίβεια.Αν παρακολούθούμε την κίνηση κάθε δευτερόλεπτο η μάλλον κάθε κλάσμα δευτερολέπτου ίσως μπορούμε να υπολογίσουμε με κάποια ακρίβεια την κίνηση αλλα πάλι δύσκολο μου φαίνεται.

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 17 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

 

[ΜΠΕΡΔΕΜΕΝΟΣ]

Φιλοσοφικά πάντως (με την έννοια ότι αυτή η "επιστήμη" εμπερικλείει όλες τις άλλες) η θεωρία του χάους θεωρείται ανάλογη με την αρχή της αβεβαιότητας του Heisenberg, με τη μουσική του Bach, με τα θεωρήματα μη-πληρότητας του Godel και με τα χαρακτικά-πίνακες του Escher. Νομίζω.

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 17 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.