preface: ειλικρινα συγνωμη για το ΤΕΡΑΣΤΙΟ ποστ, δεν μπορω με τις γνωσεις μου να το κανω πιο πυκνο, καντε υπομονη εχει ενδιαφερον
SWAMPS:
Οι μεταφορα της γνωσης (οποιας γνωσης απο τις καλυτερη μεχρι τις χειροτερη) ειναι το ΕΝΑ πραγμα που μας ξεχωριζει απο τα υπολοιπα ζωα. Ειναι βαθυτατη πεποιθηση μου οτι οι ανθρωποι που ΧΡΕΩΝΟΥΝ για να μεταφερουν γνωσεις καθυστερουν την εξελιξη της ανθρωποτητας...
Fandango:
Φαντασου το συστημα:
f(x) = x + c και x = f(x) (δηλαδη χωρις το τετραγωνο)
Αν ξεκινησεις με αρχικη τιμη του χ = 0, και δινεις τιμες στο c, τι θα βγαλεις?
Αν c = 1 το συστημα θα ειναι
f(0) = 0 + 1
f(1) = 1 + 1
f(2) = 2 + 1
f(3) = 3 + 1
κτλ δηλαδη η τροχια του συστηματος θα ειναι μια ευθεια που παει προς το απειρο.
Αν τωρα c = 2 τι γινετε? Ε ειναι σχετικα απλο, οι τροχια του συστηματος θα ειναι η ιδια με την προηγουμενη απλα θα ξεκιναει απο το 2 αντι για το 1.
Αν c = 10 παλι το ιδιο αλλα θα ξεκιναει απο το 10 κτλ.
Δεν χρειαζεται για ΚΑΘΕ τιμη του c να υπολογιζεις τροχιες απο την αρχη, αν ξερεις ΜΙΑ τροχια μπορεις να συναγεις και ολες τις υπολοιπες. Ειναι αναλογες, δηλαδη η τροχια για c = 0.000001 ειναι μια ευθεια μετατοπισμενη κατα 0.000001 απο την τροχια του c = 0
Στο χαοτικο συστημα η τροχια c = 0 και c = 0.000001 δεν εχουν ΚΑΜΙΑ σχεση. Και μαλιστα στο χαοτικο συστημα ΟΣΟ μικρη και να ειναι η διαφορα οι τροχιες (μετα απο αρκετες επαναληψεις) ειναι ΤΕΛΕΙΩΣ διαφορετικες. Αντιθετα στο προβλεψιμο συστημα οι τροχιες ειναι ιδιες και αναλογες.
Επίσης αδυνατώ να κατανοήσω την έννοια "οι τιμές έλκονται από ένα σημείο". Με τα μαθηματικά μου να βρίσκονται λίγο παραπάνω από το επίπεδο Λυκείου, γνωρίζω ότι στην f(x) = x² + c το c ουσιαστικά μετατοπίζει την γραφική παράσταση κατά τον άξονα y = f(x). Οπότε μάλλον έχω κάποια σοβαρή έλλειψη
Το ειχα εξηγησει αυτο αλλα μαλλον οχι αρκετα αναλυτικα στο πρωτο ποστ μου.
Δεν μιλαμε για τις τιμες της εξισωσης f(x) = x^2 + c αλλα για τις τιμες που παιρνει ΟΛΟΚΛΗΡΟ το συστημα f(x) = x^2 + c ΚΑΙ χ = f(x).
TEΡΑΣΤΙΑ διαφορα γιατι κοιτα να δεις, η εξισωση
f(x) = x^2 + c για c =1/4 τι τιμες παιρνει?
f(0) = 1/4
f(1) = 1 + 1/4 = 5/4 = 1.25
f(2) = 4 + 1/4 = 17/4 = 4.25
f(3) = 9 + 1/4 = 9.25
f(4) = 16 +1/4 = 16.25
κ.ο.κ βασικα εχεις μια παραβολη κατω φραγμενη απο το 1/4, ναι?
Αν παρεις το γραφιμα ΟΛΩΝ των γραφικων παραστασεων για ΚΑΘΕ τιμη του c αναμεσα στο 1/4 και το -2 τι θα σου βγει? Απλα θα σου βγουν παραβολες η μια κατω απο την αλλη καθε φορα κατω φραγμενες απο την τιμη του c. Ετσι δεν ειναι?
Συνεπως αν σου πω, τι γραφικη παρασταση θα εχεις αν c = -1.8134560009815 μπορεις πολυ ευκολα να μου απαντησεις οτι ειναι μια παραβολη κατω φραγμενη απο το (αυτο που εγραψα τεσπα). Και αν το c = -1.8134560009816? Θα ειναι μια παραβολη παλι 0.0000000000001 πιο κατω.
Κοιτα τωρα το συστημα f(x) = x^2 + c ΚΑΙ χ = f(x) τι τιμες παιρνει:
f(0) = 0 + 1/4 = 0.25
f(1/4) = 1/8 + 1/4 = 3/8 = 0.375
f(3/8) = 9/64 + 1/4 = 25/64 = 0.390625
f(25/64) = [...] = 1646/4096 = 0.40185546875
κ.ο.κ αν το βαλεις σε ενα υπολογιστη ολο αυτο το πραγμα θα δεις οτι μετα απο αρκετες επαναληψεις οι τιμες ολες κινουνται προς το 0.5 (1/2 δηλαδη).
Τωρα προσεξε για την τιμη c = 1/4 = 0.25 το συστημα δεν ειναι ακομα χαοτικο, δηλαδη αν παρουμε το 0.250001 μπορουμε παλι να προβλεψουμε οτι το συστημα θα παει παλι στο 1/2, με διαφορετικο ρυθμο βεβαια αλλα παλι εκει θα παει. Το συστημα γινεται χαοτικο καπου στην τιμη του c = -1.8.
Aπο εκει και περα ΔΕΝ ΜΠΟΡΕΙΣ να ξερεις τι τροχιες θα παρει το συστημα ΕΚΤΟΣ αν τις υπολογισεις για ΟΛΕΣ τις τιμες τους (πραγμα αδυνατων) και μαλιστα για ΟΣΟ μικρη διαφορα και να παρεις ΠΑΛΙ δεν μπορεις να βγαλεις συμπερασματα για τις τροχιες.
Δηλαδη θυμησου το προηγουμενο συστημα που ηταν απλα το f(x) = x^2 + c
Οπως σου ειπα για c = -1.8 η τροχια ειναι μια παραβολη κατω φραγμενη απο το -1.8, μπορεις πολυ ευκολα να προβλεψεις οτι για το c = -1.800000001 παλι θα εχεις μια παραβολη λιγο πιο κατω.
Για το ΧΑΟΤΙΚΟ συστημα ομως, αυτη η διαφορα δινει ΤΕΛΕΙΩΣ διαφορετικες τροχιες.
Καταλαβες?
Το εξηγησα λιγο καλυτερα?
Για να το δεις λιγακι οπτικα πρεπει να καταλαβεις τι εννοουμε "η τροχια του συστηματος", η τροχια του συστηματος (ιστοδιαγραμμα) ειναι κατι σαν την γραφικη παρασταση μιας συναρτισης μονο που δεν αφορα ΜΙΑ συναρτηση αλλα ενα συστημα ολοκληρο.
Σε αυτη τη περιπτοση δηλαδη εχεις μια ευθεια ΚΑΙ μια παραβολη, η γραφικη παρασταση του συστηματος ειναι οι τιμες της ευθειας που αντιστιχιζονται πανω στην παραβολη, η οποια τιμη της παραβολης αντιστιχειζεται πανω στην ευθεια, η οποια καινουρια τιμη της ευθειας παει πανω στη παραβολη κτλ.
Φαντασου πως κανεις την γραφικη παρασταση μιας συναρτησης πανω στους καθετους αξωνες του καρτεσιανου επιπεδου μονο που τωρα αντι για ευθειες οι αξωνες ειναι μια παραβολη και μια ευθεια.
(μαλιστα αν το πας ακομα πιο τεχνικα το θεμα, οι τιμες του συστηματος προσδιοριζουν ενα τοπολογικο χαρτη που προσδιοριζεται απο την παραβολη και την ευθεια...)
Γιατί αν έχει καθορισμένο αποτέλεσμα και ξέρουμε τις αρχικές του συνθήκες, τότε μόνο η υπολογιστική μας ισχύς μας περιορίζει, αλλά το γεγονός είναι ότι θεωρητικά μπορεί να προβλεφθεί.
Οχι, γιατι ποση υπολογιστη ισχυς χρειαζεται για να μετρησεις ολους τους πραγματικους αριθμους απο το 0 μεχρι το 1?
Φαντασου την προβλεψη του καιρου που ειναι ενα χαοτικο συστημα οκ?
Για να προβλεψεις τον καιρο χρειαζεσαι ορισμενες εξισωσεις που αφορουν την θερμικη κινηση ρευστων, την περιστροφη της γης κτλ.
Μετραμε τις αρχικες συνθηκες, μεχρι 7 μερες μπορουμε να προβλεψουμε οτι το βαρομετρικο, η θερμικη κινηση κτλ θα καταληγουν σε 1-2-5-10 σταθερα σημεια οποτε παρα το γεγονος οτι ανεξαρτητα απο το οτι πρακτικα δεν μπορουμε να μετρησουμε τις αρχικες συνθηκες ΤΕΛΕΙΑ ξερουμε οτι ΟΛΟ το ευρος ας πουμε θερμικης μετακινησης ενος αεριου ογκου σημαινει οτι θα βρεξει στην αθηνα.
Δηλαδη ειτε στην θεσαλλονικην το βαρομετρικο ειναι 10 ειτε 15 παλι θα βρεξει στην αθηνα, αρα η προβλεψη μας ειναι καλη.
Ομως μετα απο εφτα μερες το συστημα γινεται χαοτικο και ετσι αν το βαρομετρικο στην θες ειναι 10 στην αθηνα θα βρεξει αν ειναι 10.0000001 θα κανει λιακαδα.
Το προβλημα δεν ειναι μονο υπολογιστικο για δυο λογους, μετα απο αρκετες επαναληψεις οι αλαγες στην τροχια ειναι μεγαλες ΑΝΕΞΑΡΤΗΤΑ απο το ποσο καλα γνωριζουμε τις αρχικες συνθηκες, ο μονος τροπος να ειναι προβλεψημο το συστημα ειναι να γνωριζουμε ΑΠΕΙΡΟΣ καλα τις αρχικες συνθηκες και καθε φορα να κανουμε προβλεψη για ΑΠΕΙΡΟΣ μικρη διαφορα της μεταβολης του συστηματος.
Αυτο δεν γινεται ουτε θερωρητικα αλλα ΣΙΓΟΥΡΑ δεν γινεται πρακτικα γιατι μετρας τις αρχικες συνθηκες οκ? Μετρας πχ τη θεση του ζαριου. Με ποση ακριβια τη μετρας?
Με χαρακα εχει τραγικα κακη ακριβια στο 0.01 του μετρου, μετρας με μικρομετρο φτανεις στα 0.0001 του μετρου, παλι ειναι κακο, μετρας με λειζερ φτανεις στα 0.000000001 του μετρου, μετα? Μετα πεφτεις πανω σε ενα ΤΟΙΧΟ που λεγεται αρχη της απροσδιοριστιας του heizenberg που σου λεει (κραδαινοντας ενα τεραστιο κωλοδαχτυλο) οτι ΔΕΝ ΜΠΟΡΕΙΣ να μετρησεις με απολυτη ακριβια ΟΤΙ και να κανεις, η ιδια η φυση σου λεει οτι δεν γινεται.
Οποτε εισαι εκ των πραγματων περιορισμενος απο την ιδια τη φυση, το συστημα ειναι χαοτικο καισ την καλυτερη περιπτοση θεωρια του χαους μπορει να σου πει οτι μετα απο 7 μερες το συστημα ειναι χαοτικο και δεν μπορεις να κανεις καμια ποσοτικη προβλεψη, αν και μπορεις ποιοτικα να ξερεις οτι την ανοιξη εχει ΓΕΝΙΚΑ καλες θερμοκρασιες.
