Ενδιαφέροντα μαθηματικά προβλήματα προς λύση

[Palladin]

Ναι προφανώς εννοεις (9^7240+8 )^8457=...
Βάλε βάλε κι άλλη

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 19 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

 

[tanos56]

Δίνω τρία θέματα στον αέρα, οπότε ο καθένας επιλέγει το οικείο πεδίο:

1. ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ (απλή)

20 ανόμοια αντικείμενα τοποθετούνται τυχαια σε 10 συρτάρια.
Ποιά η πιθανότητα να τοποθεθηθούν 5 στο 5ο συρτάρι?

2. ΑΝΑΛΥΣΗ (δύσκολη)

Δίνεται συνάρτηση f συνεχής στο [1,e], παραγωγισιμη στο (1,e), για την οποία ισχύουν f(1)=e+1, f(1)=2. Aποδείξτε οτι υπάρχουν δύο τουλάχιστον α,β στο (1,e), ώστε:
f΄(α)f΄(β)=1.

3. ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ (απλή)

Βρείτε τους φυσικούς α,β ώστε ο αριθμός 4*(α^4)+β^4, να είναι πρώτος.

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 19 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

 

[io-io]

Θεωρια αριθμων:

4*(α^4) +β^4 = [2*(α^2)]^2 +(β^2)^2 = [2*(α^2) + β^2]^2 -4*(α^2)*(β^2) =

= [2*(α^2) + β^2 -2*α*β]*[2*(α^2) + β^2 + 2*α*β]

Για να ειναι πρωτος, θα πρεπει ενας απο τους παραγοντες να ειναι =1.

Προφανως, αυτος θα πρεπει να ειναι ο μικροτερος απο τους δυο παραγοντες αφου ο αριθμος ειναι θετικος.

Αρα, 2*(α^2) + β^2 -2*α*β = 1

=> (α-β)^2 +α^2 = 1

=> (α-β)^2 =1 και α^2 =0 ή (α-β)^2 =0 και α^2 =1

=> α=0 και β=1 ή α=β=1

Η πρωτη περιπτωση μας δινει 4*(α^4) +β^4 = 1 που δεν ειναι πρωτος.

Η δευτερη μας δινει 4*(α^4) +β^4 = 5, δεκτη.

Αρα, α=β=1.

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 19 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

 

[m3nt0r]

Δίνω τρία θέματα στον αέρα, οπότε ο καθένας επιλέγει το οικείο πεδίο:

1. ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ (απλή)

20 ανόμοια αντικείμενα τοποθετούνται τυχαια σε 10 συρτάρια.
Ποιά η πιθανότητα να τοποθεθηθούν 5 στο 5ο συρτάρι?

Προσπάθεια

Επειδή κάθε αντικείμενο μπορεί να υπάρχει σε ένα συρτάρι κάθε φορά σε κάθε διάταξη έχουμε συνολικά: 10^20 μοναδικές διατάξεις,στην ουσία δηλαδή έναν 20ψήφιο αριθμό στο δεκαδικό σύστημα όπου η θέση του ψηφίου είναι το αντικείμενο και η τιμή του σε ποιο συρτάρι είναι . Για την πιθανότητα τώρα ένα απο τα 10 συρτάρια να έχει 5 αντικείμενα έχουμε:

Κρατώντας σταθερή μία απο τις 20!/(5!*15!) πεντάδες έχουμε 9^15 μοναδικούς συνδυασμούς των άλλων αντικειμένων και άρα οι πιθανές μοναδικές διατάξεις με 5 οποιαδήποτε αντικείμενα είναι συνολικά: 9^15 * 20!/(5!*(20-5)!) οπότε αποτελούν και τό 0.03192136112 του χώρου πιθανοτήτων.

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 19 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

 

[io-io]

Αναλυση:

Καταρχας, φανταζομαι οτι εννοεις f(1)=e+1, f(e)=2. Σωστα?

Λοιπον,

Θεωρουμε μια νεα συναρτηση g(x)= f(x) -x-1.

Η συναρτηση προφανως ειναι συνεχης στο [1,e] και παραγωγισιμη στο (1,e).

Επισης:
g(1) = f(1) -2 = e-1>0
g(e) = f(e) -e-1 = 1-e <0.

Τοτε, απο το θεωρημα των ενδιαμεσων τιμων (ετσι δεν λεγεται?) εχουμε οτι υπαρχει χ στο διαστημα (1,e) με g(x)=0.

Αρα, f(x) = x+1 για αυτο το χ.

Τωρα θα εφαρμοσουμε το θεωρημα της μεσης τιμης για την συναρτηση f 2 φορες.

Μια στο διαστημα (1,χ) και αλλη μια στο (χ,e).

1) Υπαρχει α που ανηκει στο (1,χ) τετοιο ωστε f'(α) = (f(x) - f(1))/(x-1) = (x+1 -e-1)/(x-1) = (x-e)/(x-1).

2) Υπαρχει β που ανηκει στο (x,e) τετοιο ωστε f'(β) = (f(e) - f(χ))/(e-χ) = (2-x-1)/(e-x) = (1-x)/(e-x).

Τοτε, εχουμε οτι f'(α) f'(β) = (x-e)(1-x)/(x-1)(e-x) =1

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 19 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

 

[tanos56]

Θα ζητήσω χίλια συγνώμη.
Είναι f(e)=e+1, f(1)=2

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 19 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

 

[tanos56]

Είδα την απόδειξη της io io.
io io εισαι δυνατή. Μπράβο
Οταν έχεις χρόνο ασχολήσου και με την άσκηση της ανάλυσης, μετά την διόρθωση στα δεδομένα, που έδωσα.Αξίζει το κόπο.

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 19 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

 

[io-io]

Επειδη βαριεμαι να τα ξαναγραφω, νομιζω μετα τη διορθωση σου η λυση ειναι η ιδια σαν αυτη που εδωσα αλλα με g(x)=f(x)+x-e-2.

Τι λες?

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 19 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

 

[tanos56]

m3ntOr είσαι σωστός. Τέλεια!!!

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 19 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

 

[tanos56]

Με "καθαρίσατε σαν αυγό". Μάλλον πρέπει να ανεβάσουμε το επίπεδο.

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 19 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

 

[io-io]

Ειχα αρκετο καιρο να ασχοληθω με τα μαθηματικα ετσι, χωρις να διαβαζω για εξετασεις! Περιμενω την συνεχεια με ανυπομονησια!!

Εριξα μια ματια στη γεωμετρια αλλα με δυσκολεψε. Θα την ξαναπροσπαθησω ομως γιατι δεν προκειται να παραδεχτω οτι εχω ξεχασει οτι ηξερα

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 19 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

 

[m3nt0r]

β. Μία από τις ωραιότερες ασκήσεις Γεωμετρίας

Δίνονται δύο σημεία Δ,Ε επί των πλευρών ΑΒ, ΑΓ, αντιστοιχα τριγώνου ΑΒΓ, ώστε ΒΔ=ΓΕ. Αν Μ,Ν τα μέσα των ΒΓ, ΔΕ αντιστοιχα , και Αχ η εσωτερική διχοτόμος της Α, δείξτε ότι ΜΝ//Αχ

Στο άθλιο σχήμα που παραθέτω και θα αλλάξω σύντομα, μπορούμε να δούμε οτι σχηματίζοντας το τετράπλευρο, περιστρέφοντας το αρχικό τρίγωνο κατά 180 μοίρες, το σημείο M αποτελεί το κέντρο επι της διαγωνίου αυτού(καθώς δίνετε ότι βρίσκετε στην διάμεσο της ΒΓ) και η NM καθώς βρίσκεται επι σημείου του κέντρου δεν ανακλάται σε αντίθεση με την Aχ η οποία αποκτά σημεία ανάκλασης με άξονα την ΝΜ, έχοντας σημείο π και αντίστοιχα σημείο π' επί της Αχ με σημείο ανάκλασης το π' , χρησιμοποιούμαι την ιδιότητα(που πρέπει όμως να αποδείξουμε κάπου) ότι αν ευθύγραμμο τμήμα ανακλαθέν περί άξονα διατηρήσει την κλίση του τότε είναι παράλληλο του άξονος αυτού αποδεικνύουμε το ζητούμενο του προβλήματος.

Συγχωρέστεμε για την προχειρότητα της εξήγησης(μακάρι να είχα το ρημάδι το λέγειν :p) και του σχήματος.

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 19 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

 

[Palladin]

Απίστευτο! Κι εγώ παιδευτηκα αρκετά αλλά δεν την κατάφερα.

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 19 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

 

[tanos56]

Να με συγχωρέσει ο φίλος m3ntOr, που θα δω την πρότασή του αύριο, το μεσημέρι, αλλά τα μάτια μου κλείνουν.
Υπάρχει στο αέρα -αυτή η άσκηση Γεωμετρίας, (που μπορεί να λύθηκε από τον φίλο) και άλλες τρεις, λίγο πιο ανεβασμένες από τις προηγούμενες.

1.Θεωρούμε τους "πρώτους μεταξύ τους " φυσικούς α,b.Δείξτε ότι οι αριθμοί α+b και α^2-αb+b^2, δεν έχουν άλλο κοινό διαιρέτη μέγαλύτερο της μονάδας, εκτός ίσως κάποιων αριθμών, που όλοι είναι δύναμη του 3.

2. Ποιά είναι η πιθανότητα χωρίζοντας -στην τύχη- μία 12μελή ομάδα σε 3 τετραμελείς υποομάδες, τέσσερις συγκεκριμένοι φίλοι να βρεθούν στην ίδια υποομάδα?

3. Υπάρχει συνάρτηση f παραγωγίσιμη στο R, η οποία να ικανοποιεί την
f ΄(x)=1+(f (x))^2, στο R?

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 19 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

 

[m3nt0r]

2. Ποιά είναι η πιθανότητα χωρίζοντας -στην τύχη- μία 12μελή ομάδα σε 3 τετραμελείς υποομάδες, τέσσερις συγκεκριμένοι φίλοι να βρεθούν στην ίδια υποομάδα?

Προσπάθεια

Έχουμε συνολικά 12!/(4!*8!) = 495 διαφορετικές μοναδικές υποομάδες των 4 ατόμων απο 12 συνολικά άτομα

έχουμε συνολικά ((12!/(4!*8!) * 8!*(4!*4!))/3!)= 5775 τρόπους να φτίαξουμε 3 τέτοιες ομάδες

Για να έχουμε 4 φίλους σε μία ομάδα κρατάμε σταθερά τα 4 αυτά άτομα και σχηματίζουμε συνολικά 8!*(4!*4!)/2! μοναδικά ζευγάρια 4άδων με τους υπόλοιπους οπότε το ποσοστό αυτών στο σύνολο του χώρου πιθανοτήτων είναι:

(8!*(4!*4!)/2!) / ((12!/(4!*8!) * 8!*(4!*4!))/3!) = .006060606061 ή 1/165

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 19 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

 

[Subject to change]

tanos γιατί δεν λες και το αριθμητικό αποτέλεσμα ώστε να μπορούμε να ελέγξουμε τη λύση μας; Κάτι έχω στο μυαλό μου αλλά φοβάμαι να το ρισκάρω γιατί δεν τα θυμάμαι καλά, μην γίνω ρόμπα

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 19 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

 

[io-io]

Εγω προσπαθησα να μην διαβασω τις λυσεις που εχετε ηδη γραψει και να τα παλεψω αυριο γιατι τωρα κλεινουν τα ματια μου! Καληνυχτα!!

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 19 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

 

[Rempeskes]

Επειδή μόλις βλέπω διαφορ(ετ)ική γυρνάει το μάτι μου, διαλέγω ακριβώς αυτή.

Χωρίζω την δικιά μου, ε συγνώμη τις μεταβλητες εννοώ, και έχω

και όπως έλεγε η αξέχαστη διαφήμιση, να ολοκληρώσω θέλω,

αλλά τη τελευταία φορά που άνοιξα τον απειροστικό ('97) μου έμεινε χαραγμένο ότι

και δεν μπορώ να ηρεμήσω με τέτοιες αναμνήσεις.

Β' τρόπος (ψέμα)

Μου είχαν πει κάποτε (και πάντα, σαν καλό παιδί, πίστευα ό,τι μου έλεγαν) ότι "όλα είναι αριθμητική ανάλυση". Ας το πάρω αλλιώς.

(άλλοι έλεγαν: "όλα είναι χημεία", "όλα είναι σωματιδιακή φυσική", "όλα είναι ένα ψέμα, μια ανάσα μια πνοή" - οπότε, δεν ξέρω τι είναι "όλα", αλλά ξέρω ότι οι γνώμες του κόσμου είναι για τα μπάζα)

...αριθμητική ανάλυση όπως έλεγα, και ορίστε μια λύση που θα άφηνε ευτυχισμένους τους μηχανικούς αλλά και τον Cauchy. Από τη δοθείσα, η y' παραγωγίζεται, και η y'' ομοίως, οπότε η λύση είναι απείρως παραγωγίσιμη (μουράτος, ποιητικός όρος) ή αλλιώς C^{\infty} (μουντός, επιστημονικός όρος, γιατί εδώ δε περνάει το ρομάντζο αλλά οι αποδείξεις).

...όπως έλεγα πάλι, δηλαδή εύκολα -αν y(0)=c- έχουμε

και ο τύπος (που έκλεψε ο) Τaylor μας λέει

και είμαστε κομπλέ. Ανοίγουμε το pc (σημ: καταραμένα μακ) και βλέπουμε μια ταινία, για να χαλαρώσουμε.

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 19 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

 

[Subject to change]

Rempeske ο τρόπος που γράφεις όταν δεν το παίζεις αλαζόνας είναι απολαυστικότατος!!

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 19 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

 

[dooo]

αλαζόνας και μπουλσιτ. μια χαρά παιδί που βλέπει badmovies είναι

ρεμπεσκέ, μακάρι να σπούδαζες φυσική.. θα μεγαλουργούσες στα ποστς

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 19 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.