Ενδιαφέροντα μαθηματικά προβλήματα προς λύση

[Archie]

Παραθέτω εδώ μια πρόχειρη λύση γιατί δεν έχω και πολύ χρόνο για αυτά....

Η εξίσωση παίρνει τη μορφή Αχ +Βy +Cz=0 όπου Α=-5+2*5^n και Β=-10+3*5^n και C=-1+5^n.

Προφανώς (x,y,z)=(-B,A,0) και (C,0,-A) είναι 2 λύσεις της εξίσωσης. Ενώ όλες οι λύσεις δ΄θνονται απο (x,y,z)=n(-B,A,0)+m(C,0,-A), όταν βέβαια n,m είναι ακέραιοι. Άρα έχουμε άπειρες λύσεις..QED.

PS: Στο ξανατόνισα! Μη δουλεύεις με χαζά ''σχολικά'' θεωρήματα. Αυτή ήταν μια απλή διοφαντική εξίσωση όπου φυσικά ο κ. ....... (άλλα μας είχε πει το καλοκαίρι στα μαθήματα προετοιμασίας, τέλοςπάντων) την αντέγραψε απο το βιβλίο του Barbeau (Polynomials).

Για να ειναι η εξισωση διοφαντικη δεν πρεπει να ζητειται επιλυση της στους ακεραιους; η κανω λαθος; Γιατι με διοφαντικες εξισωσεις εχω ψιλοασχοληθει (εχει αρκετες μεσα ενα βιβλιο θεωριας αριθμων της ΕΜΕ που εχω)

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 17 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

 

[Giwrgos4903]

ακριβώς. εδώ οι n,m,χ,y,z είναι ακέραιοι λογικά. Αφού όμως έχεις ασχοληθεί με διοφαντικές προσπάθησε να λύσεις αυτή... 2χ^3=1+y^2

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 17 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

 

[Archie]

ακριβώς. εδώ οι n,m,χ,y,z είναι ακέραιοι λογικά. Αφού όμως έχεις ασχοληθεί με διοφαντικές προσπάθησε να λύσεις αυτή... 2χ^3=1+y^2

εχω ασχοληθει αλλα μονο με γραμμικες (χωρις τετραγωνα, κυβους κλπ), αλλα θα κανω μια προσπαθεια χωρις να ειμαι σιγουρος, διορθωσε με αν κανω καμια βλακεια

2χ^3=1+y^2 <=>
2χ^3 - y^2 = 1

θετουμε α= χ^3, β= -y^2
οποτε η εξισωση γινεται
2*α + 1*β = 1

τωρα η (α,β)=(1,-1) ειναι μια προφανης ριζα
και επηδη (1,2) = 1 ολες οι ριζες δινονται απο τους τυπους
α = 1 + t , β = -1 - 2t , οπου t: ακεραιος

εχουμε λοιπον: χ^3 = 1 + t <=> x = Κ_Ρ[t + 1] , οπου Κ_Ρ: κυβικη ριζα
και -y^2 = -1 -2t <=> y^2 = 1 + 2t <=> y = +-T_P[2t + 1]
οπου t: θετικος ακεραιος (για να οριζονται και οι ριζες)

επηδη ομως θελουμε οι χ,y να ειναι ακεραιοι, οι ριζες ειναι ολα τα ζευγη αριθμων της μορφης (χ,y) = (Κ_Ρ[t + 1], +-T_P[2t + 1]), οπου t θετικος ακεραιος για τον οποιο ο αριθμος t + 1 ειναι τελειος κυβος ακεραιου ενω ο αριθμος 2t + 1 ειναι τελειο τετραγωνο ακεραιου.

Εκανα μια προσπαθεια, τωρα μπορει να μην υπαρχουν απειροι αριθμοι t ωστε να ισχυουν τα παραπανω οποτε θα εχουμε πεπερασμενο πληθως λυσεων, αλλα αυτα δεν τα εχω μελετησει τοσο καλα ακομα.

EDITED: Τελικα ναι εχει πεπερασμενο πληθος λυσεων ((1,1), (1,-1)).
Ειμουν σχεδον σιγουρος οτι αυτην την ειχα ξαναδει στο mathlinks, μπηκα λοιπον ξανα τωρα πριν λιγο και την ξαναειδα μαζι με τη λυση της, τελικα απαιτει χρηση δυσκολων εξωσχολικων γνωσεων που δεν εχω

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 17 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

 

[Archie]

Βρηκα λιγο χρονο και ασχοληθηκα με τα θεματα που δημοσιευσε χτες η ΕΜΕ (αυτα των προκριματικων για τις ολυμπιαδες), καταφερα λοιπον να βγαλω 2.5/4 θεματα (των μικρων , γιατι των μεγαλων με τις εξωσχολικες γνωσεις που διαθετω... ουτε σε 2 μηνες δε τα βγαζω). Φαινονται καλες ασκησεις παντως και αφου η ΕΜΕ δεν εχει δημοσιευσει ακομα τις λυσεις, οποιος θελει μπορει να ασχοληθει και να ανεβασει εδω καμια λυση

Τα θεματα των μεγαλων:
https://www.hms.gr/eme/modules/wfsection/article.php?articleid=1295

Τα θεματα των μικρων:
https://www.hms.gr/eme/modules/wfsection/article.php?articleid=1296

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 17 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

 

[Skeptikistis]

Βλέπω οτι υπάρχει ενδιαφέρον για τα μαθηματικά και θα ηθελα και εγώ να θέσω ενα πρόβλημα που με ταλαιπωρεί 15 χρόνια.
με όσους το εχω συζητήσει δεν εχω πάρει απάντηση. Αρχίζω να πιστευω οτι δεν υπάρχει λύση.
Θέτω λοιπόν το πρόβλημα και αν κάποιος μπορεί να απαντησει θα του εκανα ενα Μνημείο στον κήπο μου.!

Δεν θα μείνω σε τύπους παραγοντικών κλπ μιας και το παράδειγμα θα μιλήσει απο μόνο του

Εστω οτι εχω τις εξής αριθμοσειρές.

1,2,3,4
1,2,3,5
1,2,3,6
1,2,3,7
1,2,3,8
..............
7,8,9,10

Το παραγωντικό δηλαδή 10 ανα 4 .
Ολες οι αριθμοσειρές που παίρνουμε ειναι στο σύνολο 210. Ας ονομάσουμε αυτο το πακέτο Αριθμοσειρών Α
Ζητείτε το Υποσύνολο του Α όπου να υπάρχει τουλάχιστον μια στήλη που να εχει 3 σημεία απο την οποια τυχαία στήλη και να διαλέξουμε του πακέτου Α.

Ξέρω οτι στα μαθηματικά το 90% ειναι η διατύπωση και ξέρω οτι δεν το διατυπώνω καλα.
Θέτω λοιπόν ενα παράδειγμα με λίγα νούμερα όπου ελπίζω ο ερευνητης να κατανοήση και να μας δώσει και την μαθηματική διατύπωση.

Εστω οτι το πακέτο Α ειναι το παραγοντικο 5 ανα 3. (Ν ανα Κ)
Οι αριθμοσειρές ειναι οι εξής 10 στο πλήθος.
1. 1,2,3
2. 1,2,4
3. 1,2,5
4. 1,3,4
5. 1,3,5
6. 1,4,5
7. 2,3,4
8. 2,3,5
9. 2,4,5
10. 3,4,5

Ας δούμε τωρα το υποσύνολο των στηλών που διάλεξα.
1. 1,2,3 "καλύπτει τις αριθμοσειρές" εχει (Κ-1) δηλαδή 2 ομοια με τις αριθμοσειρές 1-2-3 , 1-2-4, 1-2-5 , 1-3-4, 1-3-5, 2-3-4 , 2-3-5

2. 2,4,5 "καλύπτει τις αριθμοσειρές " 2,4,5 και 3,4,5


Αρα ο ελάχιστις αριθμός που επαληθέυουν το Κ-1 Ομοια με ολες τις αριθμοσειρές του Α πακέτου ειναι 2 η 1,2,3 και η 2,4,5.
ας πούμε οτι εχω το παραγοντικο 200/10 εκει τα πράγματα μπλεκουν.

Ζητούμενο Α : Ζητητε ο τύπος που μας δείχνει τις ελάχιστες δυνατές αριθμοσειρές που θα χρειαστώ
Ζητούμενο Β: Ζητείτε ποιες ειναι αυτες οι αριθμοσειρές.

Αν βρεις βεβαια το Β τότε εχεις αυτόματα και το Ζητουμενο Α.
Προσωπικά Θεωρώ οτι οι μαθηματικοι τις παρέας θα σηκώσουν τα χέρια ψηλά.
Θα πεθάνω ηρεμος αν μέχρι να γεράσω εχει βρεθεί ο τύπος.
Θεωρώ οτι ειναι ΑΔΥΝΑΤΗ η λύση τους.

Με τα χρόνια εχω βρει πολλά ελάχιστα υποσύνολα αλλα με βοήθεια υπολογιστή και μόνο οταν οι συνδιασμοί ειναι μικροί αλλα αυτο γίνετε και με χαρτί και μολύβι.
Ειμαι σίγουρος οτι υποάρχει τύπος αλλα δεν τον εχουν ανακαλύψει ακόμα.
Αυτο που εχω παρατηρήσει ειναι οτι το κάθε στοιχείο του υποσυνόλου Β που ψάχνω εχει ΙΣΟΚΑΤΑΝΟΜΗ αλλα δεν ειναι απόλυτο.
Δηλαδή οσες φορές παίζει το 1 παίζει και το2 και το 3 και ολα τα στοιχεία του Ν.

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 17 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

 

[Skeptikistis]

Ακρα του τάφου σιωπή??????
μα ουτε ενας ρε παιδιά απελπίστηκα μάλλον δεν το εχει διαβάσει κανεις το τοπικ εκτος απο τους admins/moderators

Η απάντηση θα δημοσιευθεί στις 1.1.2009 (τους λόγους τους καταλαβαίνετε νομίζω.)
Ελπίζω εως τότε ο καθηγητης της παρέας να εχει προσεγγίσει το θέμα ή κάποιος γνώστης συνδιαστικής.

Υ.Γ
Για να σας βοηθησω λίγο.
Το μόνο που χρειάετε ειναι μαθηματικό μυαλο που στροφάρει,και προσθέσεις με πολλαπλασιασμούς.
Μην ψάχνετε την λύση σε διαφορικές εξισώσεις και μιγαδικούς

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 17 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

 

[Subject to change]

Ίσως η άκρα του τάφου σιωπή να οφείλεται στο ότι κανείς δεν κατάλαβε το ζητούμενο του προβλήματος σου έτσι όπως είναι διατυπωμένο.

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 17 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

 

[Skeptikistis]

Διαβασέ το παράδειγμα ποιο σαφές δεν γίνετε.
Αφου σου εχω παράδειγμα.
Υπάρχει και αλλος που δεν κατάλαβε το ζητούμενο??????
Αν ναι να το επαναδιατυπώσω με χρωματάκια και οχι με νούμερα.
Κάτι σαν Master mind ειναι για να βοηθήσω.

εστω οτι εχουμε 4 συνδιασμούς


Κάποιος εχει διαλέξει εναν απο τους 4 παρακάτω συνδιασμούς

Α1--> ΑΡΚΟΥΔΑΚΙ-ΖΩΑΚΙ-ΣΚΟΥΛΑΡΙΚΑΚΙ
Α2--> ΑΡΚΟΥΔΑΚΙ-ΖΩΑΚΙ-ΚΟΥΚΛΑΚΙ
Α3--> ΑΡΚΟΥΔΑΚΙ-ΣΚΟΥΛΑΡΙΚΑΚΙ-ΚΟΥΚΛΑΚΙ
Α4--> ΚΟΥΚΛΑΚΙ-ΣΚΟΥΛΑΡΙΚΑΚΙ-ΜΠΑΝΑΝΑ
Ζητούμενο:
Καλούμε να επιλέξω Χ συνδιασμούς ετσι ώστε οποιος και να ειναι ο σωστός εγω να εχω 2 ή και παραπάνω απο τα αντικείμενα που περιέχονται στον σωστό συνδιασμό.

Παίρνω λοιιπόν τους συνδιασμούς

Α1.ΑΡΚΟΥΔΑΚΙ-ΖΩΑΚΙ-ΣΚΟΥΛΑΡΙΚΑΚΙ
Α4.ΚΟΥΚΛΑΚΙ-ΣΚΟΥΛΑΡΙΚΑΚΙ-ΜΠΑΝΑΝΑ


Εστω οτι ο σωστός ητανε ο Α1 εγώ κερδίζω και τα 3 αντικείμενα αφου το Υποσύνολο μου των 2 συνδιασμών που εχω επιλέξει περιέχει 3 στα 3 κοινά με την σωστη επιλογή.
Αν όμως σωστός ητανε ο Α2 εγώ κερδίζω μονο το Αρκουδάκι και το Ζωάκι αρα 2 αντικείμενα
Αν τώρα σωστός ειναι ο Α3 εγώ κερδίζω πάλι 2 αντικείμενα το αρκουδάκι και το σκουλαρικάκι
αν σωστός ειναι ο Α4 κερδίζω 3 αντικείμενα αφου τον εχω επιλέξει στο Υποσύνολο μου.

Συμπερασμα.
Οποιος και να ειναι ο σωστός συνδιασμός εγώ θα κερδίσω τουλάχιστον 2 απο τα 3 δώρα που θα εχει ι Αγνωστη επιλογή αλλα και με πολλες πιθανότητες να κερδίσω και τα 3.

Αρα με 2 συνδιασμούς μπόρεσα να πετύχω το ζητούμενο που ειναι να εχω 2 και περισότερα δώρα.
Αυτο ειναι και το ζητούμενο ο ελαχιστος αριθμός συνδιασμών που να επαληθευει το οτι θα κερδίσω 2 και περισότερα δώρα.

ελπίζω τώρα να μην αφησα αμφιβολίες για το προβληματάκι.
Οπως είπα η λύση θα δημοσιευθεί 1.1.2009.

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 17 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

 

[frappe]

Ωραίος προβληματισμός, Skeptikistis!

Έχουμε λοιπόν συνδυασμούς των Ν αντικειμένων ανά Κ και θέλουμε να μαντέψουμε τουλάχιστον Κ-1 από τα Κ επιλεγμένα αντικείμενα. Σκοπός μας είναι να ελαχιστοποιήσουμε τις δοκιμές

Όντως μοιάζει πολύ με το mastermind. Αλλά πιστεύω ότι σε ενδιαφέρει πιο πολύ επειδή θέλεις να το εφαρμόσεις στο λόττο ή κάτι τέτοιο. Το λόττο είναι ειδική περίπτωση του παραπάνω παιχνιδιού, όπου θέσαμε Ν=49 και Κ=6. Ζητείται ο ελάχιστος αριθμός στηλών που πρέπει να παίξουμε έτσι ώστε να εξασφαλίσουμε βέβαιο 5άρι
__________________________________________________________________

Συμβολίζω με Δ=Δ(Ν,Κ) το ελάχιστο πλήθος των δοκιμών που απαιτούνται. Αρχικά παρατηρούμε ότι Δ(Ν,Ν)=1 για κάθε Ν. Πραγματικά, αν από 5 αριθμούς ξέρουμε ότι έχουν επιλεγεί και οι 5, τότε απαιτείται μόνο μία δοκιμή (ομοίως θα μπορούσε να πει κάποιος ότι Δ(Ν,0)=1, δηλαδή στην περίπτωση κατά την οποία δεν έχει επιλεγεί κανείς αριθμός)
Έτσι λοιπόν έχει νόημα να ψάχνουμε το Δ(Ν,Κ) μόνο για Κ=1,2,3,...,Ν-1

Με τη βοήθεια του υπολογιστή έχω βρει ότι μάλλον υπάρχει μία συμμετρία ανάμεσα στις τιμές Δ(Ν,Κ) που έχουν ίδιο Ν

Συγκεκριμένα:
Για Ν=4 και για Κ=1,2,3 οι αντίστοιχες τιμές του Δ είναι 1,2,1
Για Ν=5 και για Κ=1,2,3,4 οι αντίστοιχες τιμές του Δ είναι 1,2,2,1
Για Ν=6 και για Κ=1,2,3,4,5 οι αντίστοιχες τιμές του Δ είναι 1,3,2,3,1

Και συγκεντρωτικά με το Ν να παίρνει τιμές από 2 μέχρι 8 τα παραπάνω αποτελέσματα φαίνονται στον πίνακα:
2: 1
3: 1 1
4: 1 2 1
5: 1 2 2 1
6: 1 3 2 3 1
7: 1 3 4 4 3 1
8: 1 4 5 6 5 4 1

Η "συμμετρία" που ανέφερα πιο πάνω περιγράφεται από τη σχέση Δ(Ν,Κ) = Δ(Ν,Ν-Κ)
Ίδια με τη συμμετρία που έχουν οι συνδυασμοί των Ν ανά Κ, δηλαδή C(N,K) = C(N,N-K)

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 17 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

 

[lina26]

Ομολογώ οτι το πρόβλημα του σκεπτικιστή ηταν η αιτία που γραφτηκα στο φορουμ εδώ.
Ειναι οντως πολύ δυσκολο και αλυτο συνάμα.(Αλήθεια γιατι τον στείλατε τον ανθρωπο καλε; τι σας εκανε; εγώ διασκέδαζα πάντως με τα μηνύματα του)


Και εγώ το κοίταξα και μπόρεσα με τα λίγα μαθηματικά που ξέρω ( Λυκείου ) να δώσω λύση αλλα δεν τα κατάφερα.
Κοιτάζω την απάντηση σου φραππέ αλλα ομολογώ οτι δεν κατάλαβα το ελυσες; η και εσύ το ψάχνεις ακόμα;
Εγώ είπα να το εφαρμόσω στο Κίνο ( λόττο εσύ καλα πάμε νομίζω )


Σκεπτικιστή αν μας βλέπεις δεν μας δίνεις την λύση; εστω και σε PM
Αντε και εγώ μετα θα αποτάξω τον Ιησού και θα σου ανοίξω ενα φόρουμ να είμαστε τα δύο μας .

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 17 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

 

[frappe]

Κοιτάζω την απάντηση σου φραππέ αλλα ομολογώ οτι δεν κατάλαβα το ελυσες; η και εσύ το ψάχνεις ακόμα;

Τα νούμερα που δίνω είναι όσα έχω βρει μέχρι στιγμής.
Δεν το έχω λύσει με μαθηματικά. Έχω γράψει ένα πρόγραμμα στον υπολογιστή που τα βρίσκει, αλλά είναι εξαιρετικά αργό.

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 17 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

 

[lina26]

Ευχαριστώ γιατι ενοιωθα ηλίθια.
Πάντως νομίζω οτι το διατύπωσε πολύ σωστά (αν και λίγο ειρωνικός στην δευτερη διατύπωση του)

Πιστευω οτι ουτε αυτος εχει βρεί την λύση μου κάνει εντύπωση ομως που ενα τόσο φαινομενικά απλό προβληματάκι δεν εχει καμμια απάντηση απο "ειδήμονες" που δηλώνουν και μαθηματικοί. Μα τέτοια απαξίωση πια?

Σκεπτικιστη μαζι σου
Εσύ με τι ασχολείσαι αν επιτρέπετε ?

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 17 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

 

[frappe]

Στα παρακάτω θα συμβολίζουμε με C(N,K) τους συνδυασμούς των Ν ανά Κ.
Δηλαδή C(N,K) = Ν!/(Κ!(Ν-Κ)!)

Θα βρούμε ένα κάτω φράγμα για το Δ(Ν,Κ).

Ας πάρουμε πρώτα ένα παράδειγμα, για Ν=7 και Κ=3. Δηλαδή η κλήρωση βγάζει 3 αριθμούς από το σύνολο {1,2,3,4,5,6,7}

Οι πιθανές τριάδες είναι:
1 2 3
1 2 4
1 2 5
1 2 6
.....
4 5 7
5 6 7
το πλήθος C(7,3)=35

Ας υποθέσουμε ότι στην τριάδα που έχω παίξει περιλαμβάνεται το ζεύγος 1-2. Θα έχω κέρδος στην περίπτωση που η τριάδα που θα κληρωθεί θα είναι μία από τις 123,124,125,126,127.
Δηλαδή με ένα ζευγάρι καλύπτω 5 διαφορετικές τριάδες.
Επειδή υπάρχουν συνολικά 35 τριάδες, στην καλύτερη περίπτωση θα χρειαστώ 35:5=7 διαφορετικά ζεύγη
Όμως, κάθε τριάδα από αυτές που έχω παίξει περιέχει τρία ζεύγη. Επομένως, στην καλύτερη περίπτωση θα χρειαστώ μόνο 7:3=2.33 τριάδες
Δηλαδή Δ(7,3)>=2.33 που σημαίνει αναγκαστικά Δ(7,3)>=3 (όντως είναι ίσο με 4)

Στη γενική μορφή που έχουμε Ν ανά Κ οι παραπάνω σχέσεις γράφονται:

• Συνολικά C(N,K) δυνατές Κ-άδες
• Με κάθε (Κ-1)άδα καλύπτω Ν-Κ+1 Κ-άδες
• Στην καλύτερη περίπτωση θα χρειαστώ C(N,K)/(N-K+1) το πλήθος (Κ-1)άδες
• Και αυτό πρέπει να το διαιρέσουμε με το Κ, γιατί τόσες είναι οι (Κ-1)άδες που περιέχονται σε μία Κ-άδα

Τελικά βγάζουμε το χρήσιμο Δ(Ν,Κ) >= C(Ν,Κ-1)/Κ^2

που μπορεί να μην είναι καλή προσέγγιση, είναι όμως ένα κάτω φράγμα, αρκετό για να μας απογοητεύσει αφού στην περίπτωση του ΛΟΤΤΟ θα πάρουμε Δ(49,6) >= C(49,5)/6^2 = 52969

Δηλαδή για να εξασφαλίσουμε βέβαιο 5άρι πρέπει να παίξουμε σίγουρα περισσότερες από 52969 στήλες, που είναι κάτι ασύμφορο αν υπολογίσουμε ότι θα μας κοστίσουν περισσότερο από 7945 ευρώ ενώ το 5άρι συνήθως δίνει γύρω στα 1000 ευρώ μέσο όρο με μέγιστο 2300 ευρώ για όλο το 2007

Παρατήρηση
Το 52969 είναι μόνο ένα κάτω φράγμα, η αληθινή τιμή μπορεί να είναι πολύ μεγαλύτερη

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 17 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

 

[tsta]

Γεια χαρά σε ολους!!θελω να βάλω ένα πρόβλημα το οποίο προκύπτει από μία παρατήρηση που έχω κανει και είναι η εξής:Πρακτικά είναι αδύνατον κάποιος να ρίξει 1000 φορές ενα νόμισμα και να έχει φέρει μόνο κορόνα ή μόνο γράμματα και τις χίλιες.Εστω κάποιος επιλέγει κορώνα ή γράμματα υπάρχει ενας ελάχιστος ακέραιος επαναλήψεων ρίψης του νομίσματος τετοιος ώστε το ενδεχόμενο να φέρει τουλάχιστον μια φορά κορώνα ή γράμματα να είναι σίγουρο;

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 17 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

 

[Subject to change]

Δεν υπάρχει κάτι τέτοιο. Απλά μπορείς να βρεις αριθμό ρίψεων όπου να γίνεται πολύ μικρή (το πόσο μικρή τη θες θα το ορίσεις εσύ) η πιθανότητα να μην φέρεις μέχρι τότε και τα 2.
Μαθηματικώς όμως, πάντα υπάρχει πιθανότητα να φέρεις μόνο πχ κορώνα, ακόμα και εκατομμύρια φορές να το ρίξεις το νόμισμα. Απλά είναι πάρα πολύ μικρή.

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 17 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

 

[dark_knight]

Spoiler

Βλέπω οτι υπάρχει ενδιαφέρον για τα μαθηματικά και θα ηθελα και εγώ να θέσω ενα πρόβλημα που με ταλαιπωρεί 15 χρόνια.
με όσους το εχω συζητήσει δεν εχω πάρει απάντηση. Αρχίζω να πιστευω οτι δεν υπάρχει λύση.
Θέτω λοιπόν το πρόβλημα και αν κάποιος μπορεί να απαντησει θα του εκανα ενα Μνημείο στον κήπο μου.!

Δεν θα μείνω σε τύπους παραγοντικών κλπ μιας και το παράδειγμα θα μιλήσει απο μόνο του

Εστω οτι εχω τις εξής αριθμοσειρές.

1,2,3,4
1,2,3,5
1,2,3,6
1,2,3,7
1,2,3,8
..............
7,8,9,10

Το παραγωντικό δηλαδή 10 ανα 4 .
Ολες οι αριθμοσειρές που παίρνουμε ειναι στο σύνολο 210. Ας ονομάσουμε αυτο το πακέτο Αριθμοσειρών Α
Ζητείτε το Υποσύνολο του Α όπου να υπάρχει τουλάχιστον μια στήλη που να εχει 3 σημεία απο την οποια τυχαία στήλη και να διαλέξουμε του πακέτου Α.

Ξέρω οτι στα μαθηματικά το 90% ειναι η διατύπωση και ξέρω οτι δεν το διατυπώνω καλα.
Θέτω λοιπόν ενα παράδειγμα με λίγα νούμερα όπου ελπίζω ο ερευνητης να κατανοήση και να μας δώσει και την μαθηματική διατύπωση.

Εστω οτι το πακέτο Α ειναι το παραγοντικο 5 ανα 3. (Ν ανα Κ)
Οι αριθμοσειρές ειναι οι εξής 10 στο πλήθος.
1. 1,2,3
2. 1,2,4
3. 1,2,5
4. 1,3,4
5. 1,3,5
6. 1,4,5
7. 2,3,4
8. 2,3,5
9. 2,4,5
10. 3,4,5

Ας δούμε τωρα το υποσύνολο των στηλών που διάλεξα.
1. 1,2,3 "καλύπτει τις αριθμοσειρές" εχει (Κ-1) δηλαδή 2 ομοια με τις αριθμοσειρές 1-2-3 , 1-2-4, 1-2-5 , 1-3-4, 1-3-5, 2-3-4 , 2-3-5

2. 2,4,5 "καλύπτει τις αριθμοσειρές " 2,4,5 και 3,4,5


Αρα ο ελάχιστις αριθμός που επαληθέυουν το Κ-1 Ομοια με ολες τις αριθμοσειρές του Α πακέτου ειναι 2 η 1,2,3 και η 2,4,5.
ας πούμε οτι εχω το παραγοντικο 200/10 εκει τα πράγματα μπλεκουν.

Ζητούμενο Α : Ζητητε ο τύπος που μας δείχνει τις ελάχιστες δυνατές αριθμοσειρές που θα χρειαστώ
Ζητούμενο Β: Ζητείτε ποιες ειναι αυτες οι αριθμοσειρές.

Αν βρεις βεβαια το Β τότε εχεις αυτόματα και το Ζητουμενο Α.
Προσωπικά Θεωρώ οτι οι μαθηματικοι τις παρέας θα σηκώσουν τα χέρια ψηλά.
Θα πεθάνω ηρεμος αν μέχρι να γεράσω εχει βρεθεί ο τύπος.
Θεωρώ οτι ειναι ΑΔΥΝΑΤΗ η λύση τους.

Με τα χρόνια εχω βρει πολλά ελάχιστα υποσύνολα αλλα με βοήθεια υπολογιστή και μόνο οταν οι συνδιασμοί ειναι μικροί αλλα αυτο γίνετε και με χαρτί και μολύβι.
Ειμαι σίγουρος οτι υποάρχει τύπος αλλα δεν τον εχουν ανακαλύψει ακόμα.
Αυτο που εχω παρατηρήσει ειναι οτι το κάθε στοιχείο του υποσυνόλου Β που ψάχνω εχει ΙΣΟΚΑΤΑΝΟΜΗ αλλα δεν ειναι απόλυτο.
Δηλαδή οσες φορές παίζει το 1 παίζει και το2 και το 3 και ολα τα στοιχεία του Ν.

@Σκεπτικιτής:

Το πρόβλημα που σε απασχολεί στα μαθηματικά ονομάζεται θεωρία σχεδιασμών, εκτός από το λόττο έχει πολλές εφαρμογές και στη στατιστική, συγκεκριμένα στο σχεδιασμό πειραμάτων, έτσι ώστε να βρεις έναν σχεδιασμό, όπου κάθε ζεύγος πειραματόζωων θα ανήκει σε χ ομάδες, κάθε τριάδα πειραματόζωων θα ανήκει σε ψ ομάδες κ.ο.κ. Από τα λίγα που γνωρίζω είναι ένα αρκετά απαιτητικό κομμάτι των διακριτών μαθηματικών (πχ. στο μαθηματικό δεν θυμάμαι να υπάρχει κάποιο τέτοιο μάθημα, ενώ στη ΣΕΜΦΕ υπάρχει σίγουρα καθώς τυγχάνει να έχω το βιβλίο του!), ενώ γενική λύση δεν έχει βρεθεί ακόμα. Ψάξε στο ίντερνετ για lotto designs, design theory και θα βρεις μερικά ενδιαφέροντα άρθρα, πχ. αυτό ή αυτό, ενώ εδώ έχει ένα προγραμματάκι που υπολογίζει τέτοιους σχεδιασμούς για λογικές τιμές των παραμέτρων.

Θα πεθάνω ηρεμος αν μέχρι να γεράσω εχει βρεθεί ο τύπος.

Γενικός τύπος χλωμό. Για συγκεκριμένες τιμές (πχ. Λόττο (49,6)) μπορείς να ελπίζεις.

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 14 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

 

[Italian dream...]

Να βάλω κι εγώ ένα που είδα κάπου αλλά δεν μπόρεσα να βρω λύση, και θα με ενδιεφερε πολύ αν μπορούσε να το λύσει κάποιος...

Σε ένα καράβι, λέει, επιβαίνουν 30 άτομα, εκ των οποίων οι 15 είναι φίλοι του καπετάνιου. Κάποια στιγμή δημιουργείται ένα πρόβλημα στην μηχανή και το καράβι κινδυνεύει να βουλιάξει, οπότε και πρέπει να ελαττωθεί το φορτίο κατά το ήμισυ. Εφόσον πρέπει να βουτήξουν 15 επιβάτες στην θάλασσα αλλά, φυσικά, κανένας δεν θέλει να το κάνει, ο καπετάνιος αποφασίζει να μπουν όλοι σε έναν κύκλο και να πέφτει κάθε φορά στην θάλασσα ο 9ος στο μέτρημα. Πώς πρέπει να τοποθετήσει ο καπετάνιος τους επιβάτες στον κύκλο, ωστε να γλιτώσουν οι 15 φίλοι του;

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 11 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.