Θα αποδειχθεί ποτέ η εικασία του Goldbach;

[truffinho]

Από όλα τα άλυτα μαθηματικά προβλήματα, αυτό που απασχολεί περισσότερο τους θεωρητικούς των αριθμών είναι η εικασία του Γκόλντμπαχ (η οποία θα ήταν πιο ορθό να αποδίδεται στον Όιλερ, αλλά δεν πειράζει). Η εικασία αυτή διατυπώθηκε στις 7 Ιουνίου 1742 από τον Κρίστιαν Γκόλντμπαχ και έχει ως εξής:


Κάθε άρτιος θετικός ακέραιος μεγαλύτερος του 2 μπορεί να γραφεί ως άθροισμα δύο πρώτων αριθμών, έτσι ώστε για κάθε n > 2, 2n = p + q, όπου p, q πρώτοι αριθμοί.


Για παράδειγμα,
4 = 2 + 2
6 = 3 + 3
8 = 3 + 5
10 = 3 + 7 = 5 + 5
12 = 5 + 7
14 = 3 + 11 = 7 + 7 κτλ.


Από κάποιους μαθηματικούς υπάρχει η άποψη ότι σε κλάποια μεγάλα νούμερα (μεγαλύτερα των 60 ψηφίων) το φαινόμενο παύει να ισχύει. Αφού δεν έχει αποδειχθεί αυτό, δεν μπορούμε να πουμε ότι η εικασία είναι λαθεμένη.

Από την άλλη υπάρχουν πολλοί που λένε ότι ισχύει, αλλά ότι είναι αδύνατο να αποδειχθεί. Το ίδιο έλεγαν για το τελευταίο θεώρημα του Φερμά, αλλά το 1993 ο Άντιου Ουάιλς το απέδειξε.

Πιστεύετε ότι μπορεί να αποδειχθεί ποτέ;

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 18 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

 

[lala]

Ναι γιατί όχι...
Πάντως όταν είχα πρωτοακούσει για την εικασία του Γκόλντμπαχ, είχα αρχίσει κι εγώ να τη σκέφτομαι αλλά δεν κατάφερα ακόμα τίποτα... Έχουν βγει και διάφορα λογοτεχνικά βιβλία με αυτό το θέμα αν ενδιαφέρεται κανείς...

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 18 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

 

[fandago]

Από κάποιους μαθηματικούς υπάρχει η άποψη ότι σε κλάποια μεγάλα νούμερα (μεγαλύτερα των 60 ψηφίων) το φαινόμενο παύει να ισχύει. Αφού δεν έχει αποδειχθεί αυτό, δεν μπορούμε να πουμε ότι η εικασία είναι λαθεμένη.

Γιατί δεν δίνουν τότε ένα τέτοιο νούμερο για το οποίο δεν ισχύει, να τελειώσει το θέμα...

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 18 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

 

[Γιάννης]

Ναι γιατί όχι...
Πάντως όταν είχα πρωτοακούσει για την εικασία του Γκόλντμπαχ, ... .

Ρε γμτ και μπήκα να απαντήσω γιατί νόμιζα ότι έχει σχέση με τον άρχοντα των δακτυλιδιών

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 18 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

 

[Subject to change]

Πως γίνεται ένας μαθηματικός να "πιστευει" κάτι, έτσι στο άσχετο, χωρίς απόδειξη;
Πάντως Άγγελε, απ'οτι θυμάμαι, δεν είναι *ακριβώς* έτσι η ιστορία της εικασίας. Αν βρω όρεξη θα ψάξω σε ένα σχετικό βιβλίο να ποστάρω επ'αυτού (μόλις ξύπνησα τώρα)

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 18 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

 

[Γιώργος]

Πως γίνεται ένας μαθηματικός να "πιστευει" κάτι, έτσι στο άσχετο, χωρίς απόδειξη;

Κι ο Ευκλείδης αυτό πίστευε για το 5ο αξίωμά του.
Από σημείο εκτός ευθείας άγεται μοναδική ευθεία παράλληλη σ' αυτήν.

Πόσοι και πόσοι διάσημοι μαθηματικοί δεν "τρελάθηκαν" προσπαθώντας να το αποδείξουν χρησιμοποιώντας τα άλλα 4 αξιώματα;

Και τελικά αποδείχθηκε πως το Ευκλείδιο αίτημα.. δεν αποδεικνύεται.


Μήπως λοιπόν είναι κάτι παρόμοιο; Αξίωμα που αν το δεχτούμε οδηγούμαστε σε άλλες Άλγεβρες κι αν όχι σε διαφορετικές;
Κατ' εμέ η απάντηση είναι αυτή.


(μέχρι αποδείξεως του εναντίου βέβαια )

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 18 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

 

[Subject to change]

Σωστό αυτό για το 5ο αίτημα. Ωστόσο, η περίπτωση αυτή είναι εντελώς διαφορετική.

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 18 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

 

[ALEX_]

Κανένας δεν μπορεί να πει με σιγουριά αν θα αποδειχθεί η όχι.
Πάντως αξίωμα δεν μπορεί να χαρακτηριστεί σε καμία περίπτωση για τον πολύ απλό λόγο ότι...δεν ξέρουμε αν ισχύει,απλά το υποθέτουμε!

Από εκεί και πέρα,όπως απέδειξε και ο Γκέντελ,υπάρχουν κάποια πράγματα τα οποία είναι μη αποδείξιμα!Ίσως είναι ένα από αυτά,ίσως όχι...

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 18 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

 

[truffinho]

Ο Αμπντούλ Αλ Φαρούχ, ένας από τους λαμπρότερους μαθηματικούς του προπερασμένου αιώνα είπε ότι έφτασε κοντά σε απόδειξη μη ορθότητας της εικασίας. Μπορεί να μην τα κατάφερε (και μπορεί να έκανε λάθος) αλλά πάντα έλεγε ότι το ένστικτό του τού λέει ότι δεν αποδεικνύεται

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 18 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

 

[ΜΠΕΡΔΕΜΕΝΟΣ]

Το μόνο "καλό" για όποιον ασχοληθεί μαζί της είναι ότι, όπως έχει αποδειχθεί, η "απόσταση" μεταξύ δύο διαδοχικών πρώτων αριθμών είναι αύξουσα. Δλδ, όσο μεγάλο αριθμό και αν σκεφτεί κάποιος, θα υπάρχουν δύο πρώτοι οι οποίοι θα απέχουν τόσο (ή περισσότερο) και ανάμεσά τους δεν θα υπάρχει άλλος πρώτος. Άρα δεν θα έχει και πολλά (...που λέει ο λόγος) πιθανά ζεύγη πρώτων να εξετάσει ο... φυλακισμένος, ώστε το άθροισμά τους να δίνει τον ζυγό στον οποίο έχει φτάσει... Σκάσε και σκάβε

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 18 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

 

[Minkowski]

Κι ο Ευκλείδης αυτό πίστευε για το 5ο αξίωμά του.
Από σημείο εκτός ευθείας άγεται μοναδική ευθεία παράλληλη σ' αυτήν.

Πόσοι και πόσοι διάσημοι μαθηματικοί δεν "τρελάθηκαν" προσπαθώντας να το αποδείξουν χρησιμοποιώντας τα άλλα 4 αξιώματα;

Και τελικά αποδείχθηκε πως το Ευκλείδιο αίτημα.. δεν αποδεικνύεται.

Μην το πεις αυτό στον Ipio...

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 18 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

 

[psych_odd]

Το θέμα δεν είναι αν θα αποδειχθεί..Το θέμα είναι ότι πλέον κανένας δεν ενδιαφέρεται για να ψάξει για την αλήθεια!! εκτος φυσικά από ορισμένους ερευνητές που στο τέλος το μόνο που πετυχαίνουν είναι να αποκαλούνται ¨αποτυχημένοι¨... Για όσους δεν έχουν καταλάβει αυτό που λέω είναι Επιστήμη για την επιστήμη.. Στην αλήθεια δεν χωράει συμβιβασμός..ή τουλάχιστον δεν πρέπει να χωράει..και όποιος αντέξει..
Α...παιδιά άσχετο μήπως ξέρει κανείς αν για το μεταπτυχιακό μαθηματικών είναι υποχρεωτικές οι εξετάσεις;

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 18 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

 

[eliaskas]

Στα μαθηματικά αν κάτι μπορεί να αποδειχθεί για μία, δύο, τρεις ή τεσσερις επιλογές, τότε θεωρούμε ότι ισχύει και για τις υπόλοιπες επιλογές αριθμών. Αν μπορούσαμε να φτιάξουμε ένα τύπο, μια συνάρτηση σειράς που να εκφράζει τα παραπάνω τότε ίσως να φτάσουμε κάπου. Για την ώρα ισχύει...
Όσο για πραγματικούς επιστήμονες ερευνητές αυτοί δεν υπάρχουν πραγματικά. Απο τέτοιου είδους έρευνες δεν γεμίζουν οι τσέπες ούτε μπορείς να πάρεις επιχορηγήσεις.
Αυτοί που πραγματικά 'ψάχνονται' φαντάζουν γραφικοί για τους υπολοίπους...

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 18 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

 

[Minkowski]

Στα μαθηματικά αν κάτι μπορεί να αποδειχθεί για μία, δύο, τρεις ή τεσσερις επιλογές, τότε θεωρούμε ότι ισχύει και για τις υπόλοιπες επιλογές αριθμών.

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 18 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

 

[Γιώργος]

: μπορεί κάποιος να ισχυριστεί ότι είναι συνάρτηση παραγωγής πρώτων αριθμών, γιατί για

δίνει πρώτους αριθμούς.


Εντούτοις μόνο μέχρι το 41 πάει, μετά δεν παράγει (μόνο) πρώτους αριθμούς.

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 18 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

 

[nikolas17]

Πάντως εγώ για την εικασία του Goldbach έμαθα από έναν βιβλίο, "Ο θείος Πέτρος και η εικασία του Goldbach" (εάν θυμάμαι καλά)!

Δεν νομίζω ότι μπορεί να αποδειχθεί, τουλάχιστον όχι με τα μαθηματικά που ξέρουμε εώς τώρα. Πάντως σύμφωνα με το θε΄ρωημα περί μη πληρότητας του Γκέντελ, πιθανώς να μην μπορείς να αποδειχτεί πότε. Κρίμα που αποδείχτηκε πάντως ότι δεν μπορούμε να ξέρουμε εκ των προτέρων τι μπορεί να αποδειχθεί και τι όχι

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 18 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

 

[Γιώργος]

For the record, το Ευκλείδιο Αίτημα έχει αποδειχθεί ότι δεν αποδεικνύεται.

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 18 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

 

[stratosmath]

Χαιρετώ καταρχήν όλους τους συνφορουμίτες και κάνς το πρώτο μου post στο θέμα που μου τράβηξε την προσοχή. Συγγνώμη για την έκταση του και ελπίζω να μην είναι πολυ κουραστικό αλλά θέλω να ελπίζω οτι θα το βρείτε κατατοπιστικό.
Θα ήθελα να προσθέσω διάφορες πληροφορίες για το Θεώρημα μη πληρότητας του Godel.
Καταρχήν να θυμηθούμε την διατύπωσή του:
Σε οποιοδήποτε συνεπές σύστημα που είναι ισχυρό όσο η Αριθμητική του Peano, υπάρχει αληθής πρόταση του συστήματος τέτοια ώστε ούτε αυτή ούτε η άρνησή της να αποδεικνύεται με εργαλεία του συστήματος.
OGödel, απέδειξε ότι οι μαθηματικές μέθοδοι που χρησιμοποιούνται ήδη από την εποχή του Ευκλείδη δεν επαρκούν για να ανακαλυφθεί, ότι είναι αληθές γύρω από τους φυσικούς αριθμούς. Η ανακάλυψη που υπέσκαψε τα θεμέλια πάνω στα οποία έχει χτισθεί όλο το οικοδόμημα των μαθηματικών έως τον εικοστό αιώνα, απετέλεσε το ερέθισμα να αναζητηθούν εναλλακτικές λύσεις … (Dawson, 1999)
Όμως ποια είναι τα θεμέλια που υπέσκαψε το θεώρημα του Gödel, και τι είδους ζημιά έκανε;
Για να δώσουμε έστω και μια πρώτη απάντηση σʼ αυτές τις ερωτήσεις θυμόμαστε ότι το θεώρημα προϋποθέτει πλήρως αξιωματικά μαθηματικά καθώς επίσης και αξιωματική λογική. Εν τούτοις,
a) μέχρι το 1889 η αριθμητική δεν είχε αξιωματικοποιηθεί.
b) μέχρι το 1899 ούτε η Ευκλείδεια γεωμετρία είχε πλήρως αξιωματικοποιηθεί, και
c) μέχρι τους Frege και Russell δεν υπήρχε καν επαρκής λογική των μαθηματικών. (Ακόμη και μέσα στα Θεμέλια της Γεωμετρίας του Hilbert δεν υπάρχει ούτε ένα λογικό σύμβολο.)
Κατά συνέπεια δεν υπάρχουν οι προϋποθέσεις για να δραματοποιήσουμε το θεώρημα του Gödel όπως παραπάνω.
Στο παρελθόν θεωρούνταν ότι το σύνολο των αξιωμάτων του Peano για το σύστημα των φυσικών αριθμών ήταν πλήρες ή, αν δεν ήταν πλήρες μπορούσε σίγουρα να γίνει με την προσθήκη ενός ή περισσότερων νέων αξιωμάτων. Αυτή η πεποίθηση όμως συντρίφτηκε από το Θεώρημα του Godel. Συνεπώς, κάθε σύνολο αξιωμάτων για το σύστημα των φυσικών αριθμών πρέπει, αν είναι συνεπές, να μην είναι πλήρες. Με άλλα λόγια, ανεξάρτητα από το ποιο συνεπές σύνολο αξιωμάτων θα υιοθετήσουμε για το σύνολο των φυσικών αριθμών, θα υπάρχουν προτάσεις Π για τους φυσικούς αριθμούς, ώστε ούτε η Π ούτε η άρνηση της να μπορεί να αποδειχτεί από τα αξιώματα. Αυτή ήταν μια εκπληκτική και απογοητευτική ανακάλυψη.
Ο Gödel δεν θεώρησε ότι τα θεωρήματα του περί μη πληρότητας αποδεικνύουν την ανεπάρκεια της αξιωματικής μεθόδου, αλλά ότι η εξαγωγή των θεωρημάτων δεν μπορεί να γίνει τελείως μηχανικά. Είχε την άποψη ότι τα θεωρήματά του δικαιώνουν τον ρόλο της ενόρασης στα μαθηματικά.
Το θεώρημα στρέφεται κυρίως κατά της μηχανιστικής θεμελίωσης των μαθηματικών.
Άρα το αισιόδοξο μήνυμα του Godel είναι ότι τα μαθηματικά δεν είναι τελειωμένα, σαν ένα οικοδόμημα το οποίο απλώς υπάρχει και εμείς εξερευνούμε τους χώρους του, αλλά είναι ένα ζωντανός οργανισμός που διαρκώς αναπτύσσεται, εξελίσσεται και μεταλλάσσεται.
Όσον αφορά τώρα την εικασία του Goldbach μπορεί να ανήκει στην κατηγορία των μη αποφάνσιμων προτάσεων (δηλαδή προτάσεων που δεν μπορούμε να αποφανθούμε ουτε θετικά αλλά ούτε και αρνητικά περι της ισχύος τους η μη). Οστόσο θα ήταν χρήσιμο να θυμόμαστε πως όταν δεν μπορούμε να αποδείξουμε κάτι μέσα σε ένα πλαίσιο κανόνων, συχνά βγαίνουμε έξω απο το πλαίσιο και το αποδεικνύουμε σε ένα ευρύτερο. Για παράδειγμα η εξίσωση 2χ+1=0 έχει λύση; Στο σώμα των ακεραίων όχι. Αλλά αν περάσουμε σε ένα μεγαλύτερο σώμα όπως οι ρητοί τότε δεν υπάρχει πρόβλημα. Οι σύγχρονες έρευνες των συνολοθεωρητικών μαθηματικών αλλά και των αριθμοθεωρητικών και λογικιστών στρέφονται σε τέτοια πεδία.
Θα συμβούλευα πάντως όσους ενδιαφέρονται για το θέμα να διαβάσουν τα παρακάτω άρθρα μιας και πολλες απορίες τους θα λυθούν:

1. BOOLE, GEORGE: “An Investigation of the Laws of Thought”, Dover
2. HINTIKKA, JΑΑΚΚΟ: “Logic, Language-Games and Information”, Oxford, 1973.
3. HINTIKKA, JΑΑΚΚΟ: “The Principles of Mathematics Revisited” Cambridge U. press, 1996.
4. HINTIKKA, JΑΑΚΚΟ: “Hilbert Vindicated?”, στο Language Truth and Logic in Mathematics, Selected Papers, vol. 3, Kluwer Academic, 1998.
5. LAKATOS, IMRE: “Proofs and Refutations”, Warrall and Zahar (eds), Cambridge U. press, (1991).
6. RUSSELL, BERNARD: “Recent Work on the Principles of Mathematics”, The International Monthly, 4, (July 1901): 83-101. Επανέκδοση από The Collected Works of Bertrand Russell, vol. .3, p.366.
7. RUSSELL, BERNARD: “Introduction to Mathematical Philosophy”, Simon and Schuster, 1971.
8. RUSSELL, BERNARD: “The Principles of Mathematics”, β΄έκδ. Allen &Unwin (1937)
9. WITTGENSTEIN, LUDWIG: “Remarks on the Foundations of Mathematics”, (tr. G.E.M. Anscombe), Oxford Blackwell, 1978
10. Και φυσικά το πολύ καλό άρθρο των Ευάγγελου Γερονικόλας και Μιχάλη Μυτιληναίου "Ο ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ΞΕΡΕΙ ΓΙΑ ΤΙ ΜΙΛΑΕΙ"https://www.math.uoa.gr/me/faculty/mytilinaios.pdfhttps://www.math.uoa.gr/me/faculty/mytilinaios.pdfhttps://www.math.uoa.gr/me/faculty/mytilinaios.pdfhttps://www.math.uoa.gr/me/faculty/mytilinaios.pdfhttps://www.math.uoa.gr/me/faculty/mytilinaios.pdf

https://www.math.uoa.gr/me/faculty/mytilinaios.pdfhttps://www.math.uoa.gr/me/faculty/mytilinaios.pdf

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 18 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

 

[tulip]

Πως γίνεται ένας μαθηματικός να "πιστευει" κάτι, έτσι στο άσχετο, χωρίς απόδειξη;
Πάντως Άγγελε, απ'οτι θυμάμαι, δεν είναι *ακριβώς* έτσι η ιστορία της εικασίας. Αν βρω όρεξη θα ψάξω σε ένα σχετικό βιβλίο να ποστάρω επ'αυτού (μόλις ξύπνησα τώρα)

Όλα απο μια ιδέα δεν ξεκίνησαν?

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 15 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

 

[SICX]

τα μαθηματικα, οπως και καθε ανθρωπινη επινοηση, ειναι αναγκαστικα ατελη. Τεσπα σωστα τα οσα ειπατε περι μη πληροτητας. Σαφως και προκειται για αξιωμα-αποδειξη, αφου υπαγεται στη θεωρια των αριθμων, εναν μαθηματικο κλαδο που μελετα ιδιοτητες των αριθμων. Και οι ιδιοτητες ειναι αξιωματα.

Η λογικη των μαθηματικων ειναι οτι οι κανονες ισχυουν παντου και για ολους τους αριθμους. Εγω προσωπικα πιστευω οτι η εικασια ειναι λανθασμενη. Οταν ημουν μικρος, πολυ πριν μαθω για την εικασια ειχα παρατηρησει παραξενεμενος οτι αριθμοι αρτιοι προκυπτουν απο την προσθεση περριτων.

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 15 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.