Πιθανότητες επιτυχίας άσκησης Σ-Λ με γνωστό ποσοστό απαντήσεων

[Subject to change]

Έστω ότι ένας μαθητής έχει να λύσει μια άσκηση με 100 Σ-Λ και δεν έχει διαβάσει τίποτα. Γνωρίζει όμως ότι το ποσοστό των Σωστών είναι 80%
Τον συμφέρει περισσότερο να βάλει 80% Σ και 20% Λ ή να τα βάλει όλα Σ?

Προφανώς στην πρώτη περίπτωση το ποσοστό επιτυχίας του κυμαίνεται από 60%-100% ενώ στη δεύτερη έχει σίγουρο το 80%.
Θα απαντούσε κανείς ότι κατά μέσο όρο 80% θα πάρει και στις δύο περιπτώσεις (εκτός αν είναι πολύ γκαντέμης ή πολύ τυχερός )

Έλα όμως που προσωπικά διαπίστωσα ότι στην πρώτη περίπτωση μειώνεται αρκετά το μέσο ποσοστό επιτυχίας του! Γιατί; Χάνω κάτι;

Το πραγματικό μου πρόβλημα δεν έχει να κάνει ούτε με μαθητές, ούτε με Σ-Λ ασκήσεις. Κάτι μαθηματικά παρόμοιο με το παραπάνω μου προέκυψε σε ένα πρόγραμμα που γράφω και το απλούστευσα παραπάνω για να γίνει πιο κατανοητή η ουσία και να μην σας μπλέξω με περιττές λεπτομέρειες.

Το να είναι τυχαίο ότι μικραίνει το ποσοστό επιτυχίας δεν παίζει, λόγω του μεγάλου πλήθους των επαναλήψεων αλλά και των δεδομένων.

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 17 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

 

[Subject to change]

Μιας και στο "Χρειάζομαι βοήθεια με μια άσκηση" δεν φαίνεται να το διάβασαν και πολλοί, το έκανα χωριστό θέμα γιατί με καίει λίγο...

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 17 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

 

[io-io]

Σου εξηγω το παραδειγμα με 4 στα 5 για ευκολια και θα καταλαβεις γιατι συμβαινει και σε μια πιο γενικη περιπτωση.

Αν βαλεις 5 Σ εχεις ποσοστο 80%

Αν βαλεις 4 Σ και 1 Λ υπαρχουν 5 πιθανοι συνδυασμοι:
ΣΣΣΣΛ, ΣΣΣΛΣ, ΣΣΛΣΣ, ΣΛΣΣΣ και ΛΣΣΣΣ

Απο αυτους, ο ενας σου δινει ποσοστο 100% και οι αλλοι 4 60%, οποτε, το expected αποτελεσμα ειναι 1/5*100%+4/5*60%=68%

Ουσιαστικα λοιπον, το λαθος στη λογικη σου ειναι εκει που λες

Θα απαντούσε κανείς ότι κατά μέσο όρο 80% θα πάρει και στις δύο περιπτώσεις

αφου η πιθανοτητα να παρει 100% ειναι μικροτερη απο την πιθανοτητα να παρει 99% η οποια ειναι μικροτερη απο την πιθανοτητα να παρει 98% κλπ....

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 17 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

 

[frappe]

Βρήκα ότι ο μέσος όρος δίνεται από τη σχέση ΕΧ = λ^2 + (1-λ)^2,
όπου λ η αναλογία των Σ επί του συνόλου.

Δηλ στο παράδειγμα είναι λ=0.8 και ΕΧ=0.68

Ή ισοδύναμα ΕΧ = (μ^2+1)/(μ+1)^2, όπου μ η αναλογία Σ:Λ

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 17 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

 

[Subject to change]

Σας ευχαριστώ πάρα πολύ!!
Πωπω, τελικά τίποτα δεν είναι τόσο προφανές όσο φαίνεται.

Δηλαδή να υποθέσω (χωρίς να το έχω σκεφτεί και πολύ) ότι η βέλτιστη λύση είναι να τα βάλει όλα Σ?

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 17 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

 

[io-io]

Ναι, γιατι τοτε θα παρει στανταρ το 80%, ενω στην αλλη περιπτωση, ενω παιζει να πιασει και 100%, το αναμενομενο αποτελεσμα ειναι 68%.

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 17 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

 

[Subject to change]

Ναι βρε, αυτό το κατάλαβα, απλά αναρωτιόμουν φωναχτά αν υπάρχει κάποια άλλη, καλύτερη λύση εκτός από το να τα βάλει όλα Σ...

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 17 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

 

[Nininaou]

Ναι βρε, αυτό το κατάλαβα, απλά αναρωτιόμουν φωναχτά αν υπάρχει κάποια άλλη, καλύτερη λύση εκτός από το να τα βάλει όλα Σ...

Να ρωτήσει το Μητσοτάκη και να βάλει τα ανάποδα

Πέρα απ'την πλάκα, δεν νομίζω να υπάρχει άλλη πιο σίγουρη λύση
Ψάξ'το πάντως...

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 17 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

 

[frappe]

Ναι βρε, αυτό το κατάλαβα, απλά αναρωτιόμουν φωναχτά αν υπάρχει κάποια άλλη, καλύτερη λύση εκτός από το να τα βάλει όλα Σ...

Όχι, αυτή είναι η καλύτερη επιλογή

Περιγράφω με συντομία τη λύση μου (τη γεωμετρική ερμηνεία)
Σχεδιάζουμε ένα τετράγωνο με πλευρά 1
Στη μία πλευρά βρίσκουμε το σημείο που αντιστοιχεί στο ποσοστό α των Σ στη σωστή απάντηση (το υπόλοιπο είναι το 1-α)
Στην άλλη πλευρά βρίσκουμε το σημείο που αντιστοιχεί στο ποσοστό β των Σ στην απάντηση που δίνει ο μαθητής (το υπόλοιπο είναι το 1-β)
Σχηματίζουμε δύο ορθογώνια:
Το ένα με διαστάσεις α*β
Το άλλο (1-α)(1-β)
Το εμβαδόν των ορθογωνίων δείχνει την αναμενόμενη βαθμολογία (στην κλίμακα 0-1, ή αλλιώς αν τη μετράμε σε ποσοστά)
Τα άλλα όλα είναι απλώς η απόδειξη
Ευχαριστώ προκαταβολικά όποιον θα έχει την όρεξη να διαβάσει τα παρακάτω ...
____________________________________________________________________

Έστω Ν το πλήθος των ερωτήσεων.
Οι Ν απαντήσεις σχηματίζουν μία συμβολοσειρά που αποτελείται από Σ και Λ. Θα ονομάζουμε αυτήν τη συμβολοσειρά "σωστή απάντηση". Ο μαθητής υποβάλλει μία συμβολοσειρά από Σ και Λ, την οποία θα ονομάζουμε "προτεινόμενη απάντηση"

Έστω Α το πλήθος των Σ μέσα στη σωστή απάντηση. Θέτω α = Α/Ν
Έστω Β το πλήθος των Σ μέσα στην προτεινόμενη απάντηση. Θέτω β = Β/Ν

Θεώρημα
Η αναμενόμενη βαθμολογία που θα πάρει ο μαθητής (με άριστα το 1)
είναι ίση με αβ+(1-α)(1-β)

Για ευκολία θα συμβολίζω το Σ με 1 και το Λ με 0
Έστω Μ=C(Ν,Α) , οι συνδυασμοί των Ν ανά Α
Σχηματίζω έναν πίνακα με Μ γραμμές και Ν στήλες. Κάθε γραμμή του πίνακα περιέχει και ένα διαφορετικό συνδυασμό των Ν ανά Α

Πχ για Ν=5 και Α=3 ο πίνακας είναι ο παρακάτω:

1    1    1    0    0
1    1    0    1    0
1    1    0    0    1
1    0    1    1    0
1    0    1    0    1
1    0    0    1    1
0    1    1    1    0
0    1    1    0    1
0    1    0    1    1
0    0    1    1    1

Ας μετρήσουμε πόσα 1 υπάρχουν στην πρώτη στήλη. Ας πάρουμε μόνο τις γραμμές οι οποίες ξεκινούν με 1. Το υπόλοιπο κομμάτι καθεμιάς από αυτές τις γραμμές αποτελείται από Ν-1 συνολικά στοιχεία και περιέχει ακριβώς Α-1 μονάδες. Και όλες αυτές οι γραμμές είναι διαφορετικές μεταξύ τους. Έτσι λοιπόν, η πρώτη στήλη περιέχει τόσες μονάδες, όσοι είναι και οι συνδυασμοί των Ν-1 ανά Α-1. Και λόγω συμμετρίας μεταξύ των στηλών (κάθε στήλη μπορεί να γίνει πρώτη) έχουμε:

Κάθε στήλη του πίνακα περιέχει ακριβώς C(N-1, Α-1) μονάδες

Ας υποθέσουμε ότι ο μαθητής μαρκάρει τις Β πρώτες ερωτήσεις σαν Σ(ωστές) και τις υπόλοιπες Ν-Β σαν Λ(ανθασμένες)

Πχ για Β=2 έχουμε

[COLOR=#ed1c24][B]1    1[/B][/COLOR]    1    0    0
[COLOR=#ed1c24][B]1    1[/B][/COLOR]    0    1    0
[COLOR=#ed1c24][B]1    1[/B][/COLOR]    0    0    1
[COLOR=#ed1c24][B]1    0[/B][/COLOR]    1    1    0
[COLOR=#ed1c24][B]1    0[/B][/COLOR]    1    0    1
[COLOR=#ed1c24][B]1    0[/B][/COLOR]    0    1    1
[COLOR=#ed1c24][B]0    1[/B][/COLOR]    1    1    0
[COLOR=#ed1c24][B]0    1[/B][/COLOR]    1    0    1
[COLOR=#ed1c24][B]0    1[/B][/COLOR]    0    1    1
[COLOR=#ed1c24][B]0    0[/B][/COLOR]    1    1    1

Ο μαθητής απαντά ΣΣΛΛΛ, το κόκκινο δείχνει ποιες έχει απαντήσει σαν Σ (με μαύρο όσες έχουν απαντηθεί σαν Λ)

Για να βρούμε τη βαθμολογία του μαθητή, βρίσκουμε τη γραμμή που αντιστοιχεί στη "σωστή απάντηση".
Πχ αν η σωστή απάντηση είναι ΛΣΣΣΛ, η αντίστοιχη γραμμή είναι η
0 1 1 1 0
Στη συνέχεια, μετράμε πόσα κόκκινα 1 έχουμε και πόσα μαύρα 0. Το αποτέλεσμα μας δίνει τη βαθμολογία που πήρε ο μαθητής
_________________________________________________________________________________

Τώρα ας βρούμε την αναμενόμενη βαθμολογία
Κάνουμε την ίδια δουλειά για κάθε γραμμή. Το συνολικό αποτέλεσμα S το διαιρούμε δια του πλήθους Μ των γραμμών

Όμως μπορούμε πολύ εύκολα να βρούμε το σύνολο χωρίς να μετρήσουμε όλα τα 0 και 1
Μας ενδιαφέρει πόσα κόκκινα 1 υπάρχουν και πόσα μαύρα 0
Αλλά όπως είπαμε, υπάρχουν C(N-1, Α-1) μονάδες σε κάθε στήλη. Αρα τα υπόλοιπα είναι μηδενικά.
Επομένως υπάρχουν και C(N, Α) - C(N-1, Α-1) = C(N-1, Α) μηδενικά σε κάθε στήλη

Τώρα όλα είναι εύκολα
Εφόσον έχω Β κόκκινες στήλες και Ν-Β μαύρες, το σύνολο είναι

Β.C(N-1, Α-1) κόκκινα 1 και
(Ν-Β).C(N-1, Α) μαύρα 0

Το συνολικό άθροισμα είναι S = Β * C(N-1, Α-1) + (Ν-Β) * C(N-1, Α)
Το S μετά από πράξεις γράφεται:
S = Ν * C(N-1, Α) + B * C(N,Α) * (2Α-N)/N

Και αναμενόμενη βαθμολογία So = S/M = S : C(N,Α) =

= (N-Α) + B(2Α-N)/N

= N + 2B(Α/N) - A - B

Πχ στο παραπάνω παράδειγμα με Ν=5, Α=3, Β=2 το αναμενόμενο αποτέλεσμα θα είναι 2.4 σωστές ερωτήσεις.

Για να το ανάγουμε στην κλίμακα [0,1] (ή αλλιώς σε ποσοστό) πρέπει να διαιρέσουμε
το So με το Ν

Έτσι παίρνουμε ΕΧ = So/N = 1 + 2(B/N)(A/N) - (A/N) - (B/N) =>

ΕΧ = 1 + 2αβ - α - β =>

EX = αβ+(1-α)(1-β)

Η συνάρτηση y = αχ +(1-α)(1-χ) = (2α-1)χ+(1-α) έχει τις ιδιότητες:
Αν α>0.5 είναι γν. αύξουσα με μέγιστο το α για x=1
Αν α<0.5 είναι γν. φθίνουσα με μέγιστο το 1-α για x=0
Αν α=0.5 είναι σταθερή και ίση με 0.5

Επομένως, συμφέρει το μαθητή να απαντήσει
όλες Σ αν ξέρει ότι οι περισσότερες είναι Σ
όλες Λ αν ξέρει ότι οι περισσότερες είναι Λ

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 17 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

 

[Subject to change]

Σωστός φραπέ!
(εκ πρώτης όψεως τουλάχιστον, είμαι πολύ κουρασμένη για να το σκεφτώ περισσότερο)

Γμτ αυτό αποτελεί μεγάλο πρόβλημα για το πρόγραμμα μου
Σιτ.

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 17 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

 

[frappe]

Τελικά ποιο είναι το αντικείμενο του προγράμματος που θέλεις να γράψεις; Γιατί αυτό αποτελεί πρόβλημα;

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 17 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

 

[Subject to change]

Επειδή αφορά λίγο και το e-steki δεν μπορώ να πω

Πάντως η ουσία είναι η εξής:
Έχει κάποια δεδομένα, για τα οποία πρέπει να μαντέψει για το καθένα τους το σωστό (οι πιθανές "απαντήσεις" είναι 2-3, αναλόγως το δεδομένο). Το "τροφοδοτώ" με κάποιους κανόνες για να προσδιορίζει ποια είναι η σωστή "απάντηση", οι οποίοι έχω διαπιστώσει στατιστικά ότι ισχύουν με ποσοστό πάνω από 80%. Επειδή οι κανόνες είναι πολλοί (κάπου 600 επί του παρόντος), μπορεί στο ίδιο δεδομένο να δώσει καλύτερη "απάντηση" κάποιος άλλος κανόνας από αυτόν που αναμένεται. Το ποσοστό επιτυχίας όταν ακολουθούσε τον πρώτο κανόνα που ταίριαζε (τους έχω ιεραρχήσει έτσι ώστε ο έλεγχος να γίνεται κατά σειρά επιτυχίας του κάθε κανόνα) πάντα ήταν κάπου 75% (δεδομένου ότι για κάποια από τα δεδομένα απαντάει τυχαία, όταν δεν ταιριάζει κανένας κανόνας). Όταν το έβαλα να ακολουθεί τον κάθε κανόνα (αν ταιριάζει με το δεδομένο), ανάλογα με το ποσοστό επιτυχίας αυτού (πχ αν έχει 85% ποσοστό επιτυχίας, να τον εφαρμόζει με 85% πιθανότητα), το ποσοστό επιτυχίας έπεσε στο ~66%!
Μάλλον θα το κάνω να υπολογίζει τις πιθανότητες ποια από τις τρεις "απαντήσεις" είναι η σωστή για κάθε δεδομένο, εφαρμόζοντας ΟΛΟΥΣ τους κανόνες και στο τέλος να αποφασίζει ανάλογα με την πιθανότητα της κάθεμιας, δλδ να μην τελειώνει ο αλγόριθμος μόλις βρεθεί κατάλληλος κανόνας (κατά ικανό ποσοστό). Το κακό είναι ότι τότε θα αυξηθούν κατά πολύ οι πόροι που απαιτεί το πρόγραμμα (οι οποίοι ήδη είναι αρκετοί)

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 17 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.