Συζήτηση σχετικά με την ορθότητα ή μη του Πυθαγόρειου Θεωρήματος

[ipios]

Το πυθαγόρειο θεώρημα:
Το άθροισμα των εμβαδών των τετραγώνων των κάθετων πλευρών ορθογωνίου τριγώνου, ισούται με το εμβαδόν του τετραγώνου της υποτείνουσας.

Μήπως γνωρίζει κανείς με πόσους τρόπους έχει αποδειχθεί μέχρι σήμερα;

Ευχαριστώ.


[Υποσημείωση: Παραθέτω (κατόπιν αιτήματος του χρήστη Hilbert) απόδειξη του σφάλματος του πυθαγορείου θεωρήματος εντός του ευκλείδειου αξιωματικού συστήματος. Την απόδειξη θα βρείτε σε αυτό το μήνυμα του παρόντος].

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 18 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

 

[Palladin]

Στην wikipedia αναφέρει ότι υπάρχουν τουλάχιστον 367 τρόποι απόδειξης

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 18 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

 

[ipios]

Το θέμα είναι ότι άκουσα για πολλές περισσότερες.
Σε κάθε περίπτωση ευχαριστώ πολύ.

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 18 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

 

[Palladin]

Δεν ξέρω αν πρόσεξες αυτό: "Some arguments based on trigonometric identities (such as Taylor series for sine and cosine) have been proposed as proofs for the theorem. However, since all the fundamental trigonometric identities are proved using the Pythagorean theorem, there cannot be any trigonometric proof. (See also begging the question.)"

Δηλαδή αρκετές αποδείξεις "ακυρώνονται" επειδή βασίζονται σε "μοντέρνα" μαθηματικά όπως τριγωνομετρία ή σειρές Τέιλορ, τα οποία όμως είναι απόρροια του πυθαγορείου θεωρήματος.

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 18 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

 

[ipios]

Στο διαδίκτυο συζητείται ότι αμφισβητούνται πολύ περισσότερες και μάλιστα όλες - αμφισβειτείται ευθέως η ορθότητα του θεωρήματος - από Έλληνα μη μαθηματικό και ελπίζω να μπορέσω να εισάγω τους ισχυρισμούς που συνοδεύουν αυτή την αμφισβήτηση.
Συλλέγω τα στοιχεία για να έχουμε εποικοδομητικό διάλογο με ενδιαφέρον θέμα. Σχετικό είναι το θέμα που εισήγαγα στο φόρουμ, με τα "Τεμνόμενα ευθύγραμμα τμήματα".

Σε ευχαριστώ για το ενδιαφέρον σου.

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 18 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

 

[Γιώργος]

Ένας "απλός" τρόπος (η πρώτη απόδειξη που είδα ever) παρουσιάζεται στο βιβλίο Γεωμετρίας Α' και Β' Λυκείου του ΟΕΔΒ - αν θυμάμαι καλά σχηματίζει τετράγωνα με τις πλευρές του τριγώνου και κάτι κάνει.

edit: Είναι η απόδειξη του Ευκλείδη.

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 18 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

 

[Subject to change]

Κάπου είχα διαβάσει παλιά ότι υπάρχουν πάνω απο 500 αποδείξεις. Περισσότερο δεν το είχα ψάξει.

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 18 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

 

[ipios]

Γιώργος
Ένας "απλός" τρόπος (η πρώτη απόδειξη που είδα ever) παρουσιάζεται στο βιβλίο Γεωμετρίας Α' και Β' Λυκείου του ΟΕΔΒ - αν θυμάμαι καλά σχηματίζει τετράγωνα με τις πλευρές του τριγώνου και κάτι κάνει.

Μα το θέμα είναι ότι το πυθαγόρειο ΔΕΝ ΙΣΧΥΕΙ με σχήματα.
Η απόδειξη αυτή είναι λάθος επομένως, γιατί δεν αναφέρεται σε εμβαδά, όπως αναφέρεται το πυθαγόρειο. Το πυθαγόρειο δεν αφορά σχήματα αλλά ΜΟΝΟ εμβαδά. Διάβασε το στο πρώτο μήνυμά μου να το μάθεις σε παρακαλώ.

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 18 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

 

[Scandal]

Το πυθαγόρειο ισχύει με σχήματα (με τα εμβαδά των σχημάτων).



-petros

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 18 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

 

[ipios]

Petros, μήπως θέλεις να πεις δεν ισχύει μόνο με σχήματα, αλλά μόνο με τα εμβαδά των σχημάτων, όπως αναφέρω; Ή ισχύει και με σχήματα (όπως είναι η απόδειξη του Γιώργου που δεν αναφέρεται σε εμβαδά) και με εμβαδά;
Π.χ. με το άθροισμα των τετραγώνων σχημάτων (μετασχηματισμός) ισχύει ή δεν ισχύει;
Να στο θέσω και αλλιώς:
Χωρίς τη χρήση των μέτρων επιφάνειας, αποδεικνύεται ότι το τετράγωνο σχήμα με πλευρά την υποτείνουσα, ορθογωνίου και ισοσκελούς τριγώνου, είναι ίσο σχήμα με το άθροισμα των τετραγώνων σχημάτων με πλευρές τις κάθετες του ισοσκελούς τριγώνου;
Μπορούμε να αποδείξουμε το πυθαγόρειο χωρίς αναφορά σε εμβαδά; Αν μπορούμε, μόνο τότε θα ισχύει με σχήματα, αλλιώς ισχύει μόνο με τα εμβαδά των σχημάτων. Άλλο το ένα άλλο το άλλο.
Να μου επιτρέψεις να σου πω ότι δεν είσαι σαφής και μπερδεύομαι.
Σε παρακαλώ αν έχεις διάθεση διευκρίνησέ το.

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 18 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

 

[Rempeskes]

Ιpios, να σε ρωτήσω... Από σημείο εκτός ευθείας, πόσες παράλληλες διέρχονται?

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 18 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

 

[ipios]

Δεν αντιλαμβάνομαι αγαπητέ Rempeskes γιατί σε ένα θέμα που αφορά του πυθαγόρειο εισάγεις το 5ο αίτημα και αλλάζουμε κουβέντα. Όμως είσαι ευγενικός και θα σου απαντήσω.
α. Στην Ευκλείδεια γεωμετρία από σημείο εκτός δοσμένης ευθείας διέρχεται μοναδική παράλληλος προς την δοσμένη.
β. Στην γεωμετρία Λομπατσέφσκι, από σημείο εκτός δοσμένης ευθείας διέρχονται δύο παράλληλες και άπειρες άλλες ευθείες που ούτε είναι παράλληλες, ούτε τέμνουν την δοσμένη.
Τώρα την άποψή μου για τη γεωμετρία Λομπαρσέφσκι ή αυτή του Ρίμαν θα μου επιτρέψεις σε παρακαλώ να μην την εκθέσω διότι είναι εκτός του θέματος (και των λοιπών θεμάτων μου που έχεις την καλοσύνη να ασχοληθείς) τα οποία έχω εισάγει. Όταν αγαπητέ Rempeskes απαντηθούν αξιωματικά τα θέματα που έχω εισάγει, τότε θα εισάγω ο ίδιος θέμα περί των μη ευκλείδειων γεωμετριών, να είσαι σίγουρος, διότι έχουν πολύ ενδιαφέρον.
Προς το παρόν ας μείνουμε σε παρακαλώ στα θέματά μου εντός του πλαισίου του αξιωματικού συστήματος του μεγάλου και πρωτοπόρου δάσκαλου Ευκλείδη. Και εδώ έχει τεράστιον ενδιαφέρον και θα σε παρακαλέσω να μη βιάζεσαι.

Σε ευχαριστώ που ασχολήθηκες.

ΥΓ: Ισχύει το πυθαγορείο στη φύση, στην πρακτική εποπτική - γεωμετρία και αφορά αθροίσεις σχημάτων όπως είναι διατυπωμένο (το άθροισμα των τετραγώνων...) ή αφορά αποκλειστικά εμβαδά;
Επί αυτού του θέμος, που είναι το θέμα του τόπικ, αν έχει απαντήσεις θα μου κάνεις πολύ μεγάλη χάρη να τις διατυπώσεις.

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 18 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

 

[Subject to change]

αμφισβειτείται ευθέως η ορθότητα του θεωρήματος - από Έλληνα μη μαθηματικό

Διαφορετικό άτομο απο εσένα εννοείς;

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 18 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

 

[ipios]

Michelle

Διαφορετικό άτομο απο εσένα εννοείς;

Παρακαλώ να με αφήσεις να το ξεκαθαρίσω.
Το ερώτημά σου δεν απαντά στο εισαγωγικό πρόβλημά μου, δηλαδή είναι εκτός θέματος.
Στο φόρουμ (σε κάθε φόρουμ) δεν αντιπαρατίθενται πρόσωπα, αλλά αντιλήψεις.
Επί των αντιλήψεων μου δεκτή η όποια αντιπαράθεση, άλλως αν εγερθεί αίτημα γνωστοποίησης των στοιχείων, θα ήταν σωστό νομίζω να καλύπτει όλους τους χρήστες και στο φόρουμ δεν βλέπω κανένα όνομα και προσωπικά στοιχεία, αλλά μόνο ονόματα κατά συνθήκη ανωνυμίας.
Αυτό που θέλω να σου πω, είναι να διαβάσεις την εξαιρετική και σαφή υπογραφή που ακολουθεί τα μηνύματά σου και μου έχει κάνει εξαιρετική εντύπωση και όχι μόνο να την διαβάσεις αλλά να την τιμήσεις διότι αυτή σε τιμά.

Michelle

Όχι, δεν είναι cool να γράφεις ο,τι σου κατέβει σε πεδία προφίλ που έχουν συγκεκριμένο σκοπό. Αν δεν θέλεις να πεις στα μέλη για παράδειγμα τι δουλειά κάνεις ή που μένεις, μπορείς απλά να μην τα συμπληρώσεις.

Είναι cool κατ` εξαίρεση, στο ερώτημα για το πυθαγόρειο που έχει συγκεκριμένο σκοπό να απαντάς με ερώτηση επί προσωπικού; Πέρα από άτοπο, είναι και εκτός των κανόνων του φόρουμ.
Αν δεν θέλω να πω στα μέλη τίποτα για μένα, χωρίς να ζητάω να μου πουν και τα μέλη πληροφορίες που τα αφορούν προσωπικά, στερούμαι το δικαίωμα να το κάνω;
Είμαι παλιός στο φόρουμ.
Πολύ παλιός.
Ποτέ δεν μου έγιναν τέτοιες ερωτήσεις και μου προξενεί εντύπωση ότι μου γίνονται τώρα που το φόρουμ έχει εξαιρετικά αναβαθμιστεί από δυνατότητες σε σημείο να το ερωτευθώ.
Σε παρακαλώ μη με οδηγήσεις σε διατύπωση προσωπικών παραπόνων, τη στιγμή που θέλω να εκφράσω τα ειλικρινή συγχαρητήριά μου για την αναβάθμιση.

Μαθηματικά δεν είναι μόνο να λύνουμε ασκήσεις τυφλοσούρτη και να συγχαίρουμε ο ένας τον άλλο για τις επιδόσεις. Αν μου επιτρέπεις να καταθέσω την προσωπική μου άποψη, χωρίς από μέρους μου να υπάρχει πρόθεση να σου κάνω μάθημα για να με παρεξηγήσεις, αλλά για να αξιολογήσεις αυτόν προς τον οποίο σου δίνεται η ευκαιρία να αντιπαρατεθείς, πιστεύω ότι στα μαθηματικά, ασύγκριτα σημαντικότερο από την ποσότητα των γνώσεων είναι η τυφλή υπακοή στους νόμους που τα διέπουν, δηλαδή τα αξιώματα, τα οποία είναι το μόνο και αποκλειστικό κριτήριο περί του αληθούς ή ψευδούς της όποιας πρότασης προς διερεύνηση. Οι απλές γνώμες, που δεν υποστηρίζονται από αξίωμα, δεν παίζουν κανένα ρόλο στα μαθηματικά ακόμα και αν είναι προφανώς ορθές, φυσικές και διαισθητικά άψογες να μας ικανοποιήσουν. Ορθότητα στα μαθηματικά αποκλειστικά σημαίνει αξιωματική στήριξη της όποιας απόψης. Έτσι λειτουργώ και μου κάνει ετνύπωση που αντί να χαίρεστε όλοι για το ενδιαφέρον αυτών των συζητήσεων δείχνετε επιφυλακτικοί και απορημένοι. Άνθρωποι είμαστε και συζητάμε. Δεν παίρνουμε κεφάλια.

Σε ευχαριστώ που μου απευθύνθηκες Michelle.

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 18 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

 

[Palladin]

Είμαι παλιός στο φόρουμ.
Πολύ παλιός.
Ποτέ δεν μου έγιναν τέτοιες ερωτήσεις και μου προξενεί εντύπωση ότι μου γίνονται τώρα που το φόρουμ έχει εξαιρετικά αναβαθμιστεί από δυνατότητες σε σημείο να το ερωτευθώ.

μια που αρχίσαμε τα οφφτόπικ, στο προφίλ σου λέει ότι γράφτηκες στο φόρουμ στις 9/12/2007

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 18 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

 

[ipios]

Palladin νομίζω ότι δεν χωρεί πληθυντικός.
Δεν αρχίσαμε. Εμμένω στον on.
Σε ότι αφορά την πρόσφατη εγγραφή μου, μόνο αν δεν γνωρίζεις από δυνατότητες εγγραφών στα φόρουμ, δικαιολογείσαι να απορείς.
Εν τω μεταξύ απορώ κι εγώ. Προς τι η επικέντρωση στα προσωπικά μου και όχι στους ισχυρισμούς μου;
Σε παρακαλώ να εγκαταλείψουμε τις ντεντεκτιβικές δραστηριότητες και αν έχεις να πεις επί των προβλημάτων μου να τα ακούσω με μεγάλη χαρά και να σου απαντήσω με ακόμα μεγαλύτερη.
Μήπως δεν είμαι σαφής στις διατυπώσεις των ερωτημάτων;
Βλέπω πλήθος μηνυμάτων αλλά επί του αντικειμένου ουδέν!
Τα προβλήματα είναι τα απλούστερα δυνατά στα μαθηματικά και ένας μαθηματικός καταρτισμένος μπορεί να τα απαντήσει μέσα σε 5 λεπτά της ώρας. Να συμπεράνω ότι όσοι μου απαντούν δεν είναι συνάδελφοί μου μαθηματικοί;
Έχω υπομονή.

Σε ευχαριστώ που με τίμησες με την απορία σου.

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 18 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

 

[Minkowski]

https://www.cut-the-knot.org/pythagoras/index.shtml

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 18 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

 

[Subject to change]

Minkowski θα σε παρακαλούσα να προσέχεις πως εκφράζεσαι.
Μπορεί όντως ο ipios να είναι αυτός που λες, αλλά η αντιμετώπιση double accounts είναι αρμοδιότητα της ομάδας διαχείρισης.

ipie πολύ απλά, είναι λίγο "κοροιδία" προς τα μέλη να αναφέρεσαι στον εαυτό σου ως τρίτο πρόσωπο και είναι παραβίαση των κανόνων του e-steki να κάνεις δεύτερο account. Θα σου στείλω πμ με τον παλιό λογαριασμό που είχες κάνει να μου πεις ποιόν θες να κρατήσεις ή αν θέλεις να γίνουν merge.
Ευχαριστώ πάντως για τα καλά σου λόγια για την αναβάθμιση.

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 18 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

 

[ipios]

Δεν είδα τι έγραψε ο συνεργάτης του Αϊνστάιν στην ανακάλυψη του χώρου των 4 διαστάσεων Μινκόφσκι, αλλά υποψιάζομαι από την παρατήρηση ότι δεν τον απάσχολησε τι λέω αλλά το ποιος είμαι. Είμαι όποιος θέλω.
Όποιος αισθάνεται δυνατός στα μαθηματικά να απαντήσει στους ισχυρισμούς μου, γιατί τζάμπα μάγκες δεν περνάνε από τον ipios. Παραπομπές σε γνωστές σελίδες δεν γίνονται αποδεκτές.
Ερώτηση:
Το πυθαγόρειο ισχύει στη φύση, ισχύει στην πρακτική - εποπτική γεωμετρία, ισχύει με αθροίσεις σχημάτων (το άθροισμα των τετραγώνων... κ.τ.λ.) ή "ισχύει" αποκλειστικά με εμβαδά;
Εδώ θα φανεί ο μαθηματικός και όλα τα άλλα - τα οποία δεν είδα - είναι υπεκφυγές.
Όταν τα δω θα απαντήσω αναλόγως γιατί ξέρω να μετράω νούμερα που βρίσκουν τρόπους να αλλάζουν θέμα με προοπτική να σβήσουν από τη διαχείριση λόγω συμπεριφοράς...
Ελπίζω να συνεννοηθήκαμε Μινκόφσκι διότι εκτός των άλλων είμαι και ράφτης γούνας να σου φτιάξω κουστούμι να το ζηλεύουν όλοι...

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 18 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

 

[Minkowski]

Kύριε Ipie,δεν έχω κάτι με το άτομο σας,ισα ίσα που συμφωνώ με αρκετές από τις αιτιάσεις σας.Φρονώ όμως πως είναι εκτός κανονισμών φόρουμ,η επανεγγραφή με άλλο nickname και έκανα την παρατήρηση,ίσως με μη κόσμιο τρόπο και με συγχωρείτε για αυτό.

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 18 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.