Συνάρτηση της οποίας το τετράγωνο ισούται με την παράγωγο της.

[lakritidis]

Παίρνοντας αφορμή από την άσκηση της Μισελ θέτω και εγώ το εξής θέμα:

Βρείτε μία συνάρτηση της οποίας το τετράγωνο ισούται με την παράγωγο της.

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 19 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[O'Zorgnax]

Πάει καιρός που έχω να πιάσω μαθηματικά αλλά η f(x)=0 δεν ικανοποιεί αυτά που είπες;

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 19 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[Nessa NetMonster]

Η -1/χ αν δεν κάνω λάθος.

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 19 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[weak and powerless]

δεν κάνεις

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 19 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[Werther]

Αμφότερες απαντήσεις σωστές:
1. Διαιρούμε και τα δύο μέλη της f'(x)=f^2(x) με το f^2(x). Προφανώς, για να γίνεται αυτό πρέπει f(x)<>0, άρα η f(x)=0 είναι σωστή.
2. Πολλαπλασιάζουμε και τα δύο μέλη με το -1.
3. Το -[f'(x)/f^2(x)]=[1/f(x)]'
4. Με ολοκλήρωση έχουμε 1/f(x)=-x+c
5. Λύνοντας προκύπτει ότι c=0...

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 19 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[lakritidis]

Σωστά, με επίλυση της Διαφορικής εξίσωσης df(x)/dx=[f(x) ]^2 προκύπτει ότι
f(x)=0 kai f(x)=-1/x

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 19 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[Puff_Daddy]

Σωστά, με επίλυση της Διαφορικής εξίσωσης df(x)/dx=[f(x) ]^2 προκύπτει ότι
f(x)=0 kai f(x)=-1/x

Σαφώς. Πρόκειται για χωριζομένων μεταβλητών. Είναι πιο μαθηματικά σωστή λύση (αυτή μου αρέσει καλύτερα δηλαδή )

dy/dx=y^2 ==> dy/y^2=dx, όλοκληρώνω και τα δύο μέλη , -1/y=x+c ==> y=-1/(x +c) Πάντα με τον περιορισμό οτι y^2(x) διάφορο του μηδενός. Η y(x) = 0 αποτελεί ιδιάζουσα λύση.

Κάνω λάθος; Δεν είμαι μαθηματικός. Αν κάπου κάνω λάθος πείτε να μάθουμε και μεις οι απλοί

Ρε συ wherther πολύ τερτίπι ρε αδερφέ. Πως υπολογίζεις τη σταθερά c χωρίς να σου δίνονται αρχικές συνθήκες;;;

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 19 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[billthevampire]

Πρώτον η άσκηση είναι λυμένη λάθος από την αρχή. Εννοώ ότι το f(x) = 0 δεν προκύπτει από ολοκλήρωση της σχέσης f '(x) = f^2(x) γιατί για να την λύσεις την διαφορική αυτή εξίσωση με χωριζόμενες μεταβλητές θα πρέπει το f(x) να είναι διάφορο του 0. Τώρα αν ολοκληρώσουμε την σχέση f '(x) /f^2(x) = 1 προκύπτει ότι f(x) = -1/x+c το c δεν χρειάζεται να είναι διάφορο του 0 για να ισχύει ότι f '(x) = f^2(x) γιατί μετα την παραγώγηση της f(x) το c δεν εμφανίζεται πουθενά αλλού εκτός από τον παρονομαστή και προκύπτει ότι f '(x) = 1/(x+c)^2 που είναι το f^2(x). Το c=0 όπως καλά είπε ο Puff_Dady δεν προκύπτει αν δεν μας δώσουν πρώτα αρχικές συνθήκες. Προφανώς το c=0 βγήκε από το νου σας. Το f(x) = 0 δεν είναι μία ιδιάζουσα λύση της f '(x) = f^2(x) αλλά επιπλέον ισχύει ότι f(x)=f '(x) (**) και f(x) = f^2(x) από όπου προκύπτει κιόλας το f '(x) = f^2(x). Ξεκινώντας με το να ολοκληρώσουμε την σχέση (**) βρίσκουμε μετά την ολοκλήρωση της ότι f(x) = a/e^x όπου a?R και την αντικαθιστούμε στις σχέσεις f(x) = f^2(x) και f '(x) = f^2(x) και βρίσκουμε ότι -a = a που αυτό ισχύει μόνο όταν a=0 οπότε αφού a=0 προκύπτει ότι και f(x) = 0. Μπερδευτήκατε μάλλον με το f(x) = 0 γιατί αυτή η συνάρτηση δεν ικανοποιεί μόνο την f '(x) = f^2(x).


ΔΙΟΡΘΩΣΗ :
Έχουμε f(x) = f '(x) <=> f '(x) - f(x) = 0 <=> e^x * f`(x) - e^x * f(x) / e^2x = 0 <=> ( f(x) / e^x )' = 0 οπότε υπάρχει σταθερά a?R τέτοια ώστε
f(x) / e^x = a οπότε f(x) = a * e^x. Όμως f(x) = f^2(x) <=> a * e^x = a^2 * e^2x <=> a = a^2 * e^x έτσι προκύπτει ότι a = 0 ή f(x) = 1. Αν a=0
τοτε f(x) = 0 το f(x) = 1 απορρίπτεται γιατί δεν ικανοποιεί την σχέση f(x) = f '(x). Οπότε η λύση είναι η f(x) = 0.

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 19 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[nikita13]

Πρώτον η άσκηση είναι λυμένη λάθος από την αρχή. Εννοώ ότι το f(x) = 0 δεν προκύπτει από ολοκλήρωση της σχέσης f '(x) = f^2(x) γιατί για να την λύσεις την διαφορική αυτή εξίσωση με χωριζόμενες μεταβλητές θα πρέπει το f(x) να είναι διάφορο του 0. Τώρα αν ολοκληρώσουμε την σχέση f '(x) /f^2(x) = 1 προκύπτει ότι f(x) = -1/x+c το c δεν χρειάζεται να είναι διάφορο του 0 για να ισχύει ότι f '(x) = f^2(x) γιατί μετα την παραγώγηση της f(x) το c δεν εμφανίζεται πουθενά αλλού εκτός από τον παρονομαστή και προκύπτει ότι f '(x) = 1/(x+c)^2 που είναι το f^2(x). Το c=0 όπως καλά είπε ο Puff_Dady δεν προκύπτει αν δεν μας δώσουν πρώτα αρχικές συνθήκες. Προφανώς το c=0 βγήκε από το νου σας. Το f(x) = 0 δεν είναι μία ιδιάζουσα λύση της f '(x) = f^2(x) αλλά επιπλέον ισχύει ότι f(x)=f '(x) (**) και f(x) = f^2(x) από όπου προκύπτει κιόλας το f '(x) = f^2(x). Ξεκινώντας με το να ολοκληρώσουμε την σχέση (**) βρίσκουμε μετά την ολοκλήρωση της ότι f(x) = a/e^x όπου a?R και την αντικαθιστούμε στις σχέσεις f(x) = f^2(x) και f '(x) = f^2(x) και βρίσκουμε ότι -a = a που αυτό ισχύει μόνο όταν a=0 οπότε αφού a=0 προκύπτει ότι και f(x) = 0. Μπερδευτήκατε μάλλον με το f(x) = 0 γιατί αυτή η συνάρτηση δεν ικανοποιεί μόνο την f '(x) = f^2(x).

Σωστές οι παρατηρήσεις σου αλλά έχω μια απορία η ηλικία σου που αναφέρεις είναι πραγματική?

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 19 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[billthevampire]

Σωστές οι παρατηρήσεις σου αλλά έχω μια απορία η ηλικία σου που αναφέρεις είναι πραγματική?

Η ηλικία μου είναι πραγματική αλλά μου τα υπαγορεύει() ένας φίλος μου που ήθελε να μπει στο μαθηματικό αλλά δεν τα κατάφερε.

ΥΓ : Χρηστό δεν καταλαβαίνω από αυτά

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 19 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[nikita13]

Η ηλικία μου είναι πραγματική αλλά μου τα υπαγορεύει() ένας φίλος μου που ήθελε να μπει στο μαθηματικό αλλά δεν τα κατάφερε.

ΥΓ : Χρηστό δεν καταλαβαίνω από αυτά

Λέω και εγώ μήπως είσαι ο νέος αινστάιν!!
Δεν πειράζει έχεις καιρό ακόμη γι'αυτά μην απογοητεύεσαι!Να φανταστείς στη τρίτη λυκείου θα τα κάνεις για πρώτη φορά!!

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 19 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[Nessa NetMonster]

Πρώτον η άσκηση είναι λυμένη λάθος από την αρχή. Εννοώ ότι το f(x) = 0 δεν προκύπτει από ολοκλήρωση της σχέσης f '(x) = f^2(x) γιατί για να την λύσεις την διαφορική αυτή εξίσωση με χωριζόμενες μεταβλητές θα πρέπει το f(x) να είναι διάφορο του 0. Τώρα αν ολοκληρώσουμε την σχέση f '(x) /f^2(x) = 1 προκύπτει ότι f(x) = -1/x+c το c δεν χρειάζεται να είναι διάφορο του 0 για να ισχύει ότι f '(x) = f^2(x) γιατί μετα την παραγώγηση της f(x) το c δεν εμφανίζεται πουθενά αλλού εκτός από τον παρονομαστή και προκύπτει ότι f '(x) = 1/(x+c)^2 που είναι το f^2(x). Το c=0 όπως καλά είπε ο Puff_Dady δεν προκύπτει αν δεν μας δώσουν πρώτα αρχικές συνθήκες. Προφανώς το c=0 βγήκε από το νου σας.

Μέχρι εδώ συμφωνώ, πολύ σωστές οι παρατηρήσεις σου. Αλλά τα παρακάτω

Το f(x) = 0 δεν είναι μία ιδιάζουσα λύση της f '(x) = f^2(x) αλλά επιπλέον ισχύει ότι f(x)=f '(x) (**) και f(x) = f^2(x) από όπου προκύπτει κιόλας το f '(x) = f^2(x). Ξεκινώντας με το να ολοκληρώσουμε την σχέση (**) βρίσκουμε μετά την ολοκλήρωση της ότι f(x) = a/e^x όπου a?R και την αντικαθιστούμε στις σχέσεις f(x) = f^2(x) και f '(x) = f^2(x) και βρίσκουμε ότι -a = a που αυτό ισχύει μόνο όταν a=0 οπότε αφού a=0 προκύπτει ότι και f(x) = 0. Μπερδευτήκατε μάλλον με το f(x) = 0 γιατί αυτή η συνάρτηση δεν ικανοποιεί μόνο την f '(x) = f^2(x).

δεν είναι λογικά. Όπως λες και στην αρχή, "για να την λύσεις την διαφορική αυτή εξίσωση με χωριζόμενες μεταβλητές θα πρέπει το f(x) να είναι διάφορο του 0". Αφού τη λύσουμε λοιπόν, ξαναγυρίζουμε και πιάνουμε την περίπτωση που αγνοήσαμε, την f(x)=0, για να δούμε αν αποτελεί λύση... από εκεί και πέρα αν αυτή η λύση ικανοποιεί και κάποιες άλλες διαφορικές εξισώσεις, δε βλέπω τι σχέση έχει.

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 19 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[billthevampire]

Nessa Netmonster την f(x) = f '(x) δεν την ολοκληρώνουμε με χωριζόμενες μεταβλητές αλλά έχουμε γραμμική διαφορική εξίσωση πρώτης τάξεως. Το μόνο λάθος που έκανα είναι αντί να πολλαπλασιάσω την f '(x) - f(x) = 0 με e^x και να την διεραίσω με e^2(x) έτσι ώστε να φτιάξω παράγωγο πηλίκου πολλαπλασίασα μόνο e^x και έκανα παράγωγο γινομένου λάθος. Τώρα αν φτιάξεις παράγωγο πηλίκου φτιάχνεις την (f(x)/e^x)' = 0 και κάνωντας πράξεις και αντικαταστάσεις στις άλλες σχέσεις βρίσκεις ότι a=0 ή f(x)=1. An a = 0 τότε f(x) = 0 αφού f(x) = a * e^x. Τέλος δεν μπορείς να αγνοήσεις αν η f(x) = 0 ικανοποιεί και άλλες σχέσεις γιατί το f '(x) = f^2(x) προκύπτει από το ότι f(x) = f '(x) και f(x) = f^2(x). Ζητάω συγγνώμη για το λάθος που έκανα στις πράξεις είμαι ελεηνός

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 19 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[KoRaKi]

Παίρνοντας αφορμή από την άσκηση της Μισελ θέτω και εγώ το εξής θέμα:
Βρείτε μία συνάρτηση της οποίας το τετράγωνο ισούται με την παράγωγο της.

Εχει περασει ενας μηνας και ακομη να βρειτε τη σωστη λυση της απλης αυτης ΔΕ??!
Λοιπον εχουμε df/dx = f^2 => df/f^2 =dx =>
-1/f = x+c => f(x) = -1/(x+c)

Αυτη ειναι λυση, και εαν δεν σας δωσουν συνοριακη συνθηκη ΔΕΝ μπορειτε να βρειτε το c. Eτσι και αλλιως εαν παραγωγησεις
το -1/(x+c)  παιρνεις 1/(x+c)^2, ή μηπως ξεχασατε οτι η παραγωγος
της συναρτησης g(x)=1/φ(x) ειναι g'(x) = -φ'(x)/φ(x)^2 ????


ΥΓ: Δεν υπαρχει λογος να ασχολειστε με το σημειο x=0 κλπ. Η λυση f(x)=0 ειναι η τετριμενη λυση της ΔΕ.

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 19 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[billy]

Εχει περασει ενας μηνας και ακομη να βρειτε τη σωστη λυση της απλης αυτης ΔΕ??!
Λοιπον εχουμε df/dx = f^2 => df/f^2 =dx =>
-1/f = x+c => f(x) = -1/(x+c)

Αυτη ειναι λυση, και εαν δεν σας δωσουν συνοριακη συνθηκη ΔΕΝ μπορειτε να βρειτε το c. Eτσι και αλλιως εαν παραγωγησεις
το -1/(x+c) παιρνεις 1/(x+c)^2, ή μηπως ξεχασατε οτι η παραγωγος
της συναρτησης g(x)=1/φ(x) ειναι g'(x) = -φ'(x)/φ(x)^2 ????


ΥΓ: Δεν υπαρχει λογος να ασχολειστε με το σημειο x=0 κλπ. Η λυση f(x)=0 ειναι η τετριμενη λυση της ΔΕ.

Και βεβαια δεν υπαρχει λογος να ασχολουμαστε με το σημειο χ=0 γιατι δεν εχει νοημα το ιδιο επισης ισχυει και με την f(x) = 0 γιατι ο Lakritidis ηταν ξεκαθαρος ειπε να βρουμε μια συναρτηση της οποιας η παραγωγος ισουται με το τετραγωνο της.Δεν ειπε να βρουμε μια συναρτηση η οποια ειναι ιση με την παραγωγο της και με το τετραγωνο της απο οπου προκυπτει κιολας οτι η παραγωγος της ισουται και με το τετραγωνο της συναρτησης αυτης.Τα μαθηματικα μιλανε ξεκαθαρα για να ισχυει ΜΟΝΟ f ' (x) = f^2(x) πρεπει να ισχυει οτι f(x) =/= 0.

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 19 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[Subject to change]

Και βεβαια δεν υπαρχει λογος να ασχολουμαστε με το σημειο χ=0 γιατι δεν εχει νοημα το ιδιο επισης ισχυει και με την f(x) = 0 γιατι ο Lakritidis ηταν ξεκαθαρος ειπε να βρουμε μια συναρτηση της οποιας η παραγωγος ισουται με το τετραγωνο της.Δεν ειπε να βρουμε μια συναρτηση η οποια ειναι ιση με την παραγωγο της και με το τετραγωνο της απο οπου προκυπτει κιολας οτι η παραγωγος της ισουται και με το τετραγωνο της συναρτησης αυτης.Τα μαθηματικα μιλανε ξεκαθαρα για να ισχυει ΜΟΝΟ f ' (x) = f^2(x) πρεπει να ισχυει οτι f(x) =/= 0.

Billy νομίζω παρερμήνευσες τα λεγόμενα του κορακιού. Το f(x)=0 αποτελεί λύση της ΔΕ αλλά τετριμμένη! Δεν είπε οτι δεν αποτελεί λύση!
Αφού είναι απλό:
Αν f(x)=0 => f^2(x)=0 και φυσικά f'(x)=0. Άρα f^2(x)=f'(x) άρα είναι λύση και αυτό. Έχει ειπωθεί τόσες φορές πιο πάνω, δεν καταλαβαίνω ποιο είναι το πρόβλημα σου να το δεχτείς.

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 19 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[KoRaKi]

Billy νομίζω παρερμήνευσες τα λεγόμενα του κορακιού. Το f(x)=0 αποτελεί λύση της ΔΕ αλλά τετριμμένη! Δεν είπε οτι δεν αποτελεί λύση!
Αφού είναι απλό:
Αν f(x)=0 => f^2(x)=0 και φυσικά f'(x)=0. Άρα f^2(x)=f'(x) άρα είναι λύση και αυτό. Έχει ειπωθεί τόσες φορές πιο πάνω, δεν καταλαβαίνω ποιο είναι το πρόβλημα σου να το δεχτείς.

Mπραβο Michelle στο 'μυαλο μου μεσα εισαι'
Σχεδον οι περισσοτερες ΔΕ εχουν τετριμμενες λυσεις, πχ ακομη και η απλουστερη f(x)=f'(x) εχει την f(x)=c e^x, αλλα και την f(x)=0 ...
σε ευχαριστω που το διευκρινισες.

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 19 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[billy]

Mπραβο Michelle στο 'μυαλο μου μεσα εισαι'
Σχεδον οι περισσοτερες ΔΕ εχουν τετριμμενες λυσεις, πχ ακομη και η απλουστερη f(x)=f'(x) εχει την f(x)=c e^x, αλλα και την f(x)=0 ...
σε ευχαριστω που το διευκρινισες.

Παιδια μαλλον εχω την εντυπωση οτι εσεις δεν καταλαβατε αυτο που ειπα,ετσι νομιζω τουλαχιστον.Δεν ειπα οτι δεν ικανοποιει η f(x) = 0 την Δ.Ε αλλα ειπα οτι δεν εχει νοημα να ασχολουμαστε με την συγκεκριμενη λυση γιατι δεν προκυπτει απο το οτι f '(x)=f^2(x) αλλα απο το οτι ισχυει για την f(x)=0 f(x)=f '(x) και f(x)=f^2(x) ο Lakritidis δεν μιλησε για ικανοποιηση της σχεσης f '(x)=f^2(x) αλλα ειπε να βρουμε συναρτηση της οποιας το τετραγωνο ισουται με την παραγωγο αυτης.Αν ηθελε να βρουμε την f(x)=0 θα ελεγε να βρουμε συναρτηση για την οποια ισχυει f(x)=f '(x) και f(x)=f^2(x) απο οπου προκυπτει κιολας οτι f '(x)=f^2(x).και τωρα που το σκεφτομαι αν θυμαμαι καλα απο τοτε που εγραψε την ασκηση δεν εχει ξανα γραψει τιποτα,ουτε για διευκρινηση.

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 19 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[weak and powerless]

διαφωνώ, είναι λύση, έστω και τετριμμένη.

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 19 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[nikita13]

διαφωνώ, είναι λύση, έστω και τετριμμένη.

Θα συμφωνήσω απόλυτα μαζί σου Weak πρέπει να αναφέρεται σαν λύση ακόμα και αν είναι τεττριμένη.Αυτά για την περίπτωση γενικά της τετριμμένης λύσης.
Υπάρχει όμως μια ένσταση αν το πρόβλημα λυθεί έτσι όπως είπε ο billthevampire τότε το f(χ)=0 απόκλείεται αυτομάτως από την λύση της άσκησης γιατί δεν γίνεται να διαιρέσεις με μηδενικό στοιχείο!

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 19 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.