Υπόθεση προς συζήτηση

[ipios]

Εάν υποθέσουμε - με στόχο τη συζήτηση - ότι το Πυθαγόρειο θεώρημα είναι εσφαλμένο, όπως υποστηρίζω, ποιες θα είναι οι συνέπειες για το σύνολο των μαθηματικών; Βέβαια αν το πυθαγόρειο είναι όντως εσφαλμένο, οι συνέπειες δεν μπορούν να μας απασχολούν στην αναγνώριση του σφάλματος, ωστόσο ας το συζητήσουμε.

Α. Θα είναι ολέθριες και καταστρεπτικές;

Β. Θα μεταμορφώσουν τα μαθηματικά σε μη χρηστικά και σε μικρότερο βαθμό επιστημονικά και αξιόπιστα;

Γ. Μήπως τα μεταμορφώνουν σε πραγματική επιστήμη, όπου ο πειραματισμός θα βεβαιώνει την αρμονία τους με τη φύση σε εξαιρετικά μεγαλύτερο βαθμό από σήμερα, παρά το αξιωματικό τους αποδεικτικό υπόβαθρο και σε εφαρμογή του αφαιρετικά της φύσης ότι «από τη φυσική πραγματικότητα κρατούμε το σχήμα, το μέγεθος και τις αμοιβαίες θέσεις των σχημάτων επί του επιπέδου»;

Δ. Τι όφελος (που είναι θέμα δευτερεύον αν το πυθαγόρειο είναι λάθος) έχουμε στα μαθηματικά με ορθό του πυθαγόρειο που δεν μπορούμε να το έχουμε με εσφαλμένο; Είναι αδιέξοδη εναλλακτικά, η αναγνώριση του πυθαγόρειου σφάλματος ή ανοίγει νέους δρόμους στα μαθηματικά;

Ε. Είναι επιστημονική συλλογιστική η αποδοχή της ορθότητας ενός θεωρήματος (επικαλούμενοι προφάσεις, προκαλώντας αδυναμίες απαντήσεων και φέρνοντας σε αδιέξοδο τον μαθηματικό λογισμό) με μόνο κριτήριο ότι αυτό ομολογημένα δεν ισχύει στη φύση; Τι κερδίζουμε να θεωρούμε θεμέλιο λίθο των μαθηματικών έναν συλλογισμό - πρόταση που αποδεικνύεται ότι ΔΕΝ ισχύει στην πραγματικότητα και τι μας εμποδίζει να ομολογήσουμε το διαχρονικό σφάλμα;

Μήπως μόνο κριτήριο άρνησης αποτελεί το ότι δεν είμαι μαθηματικός;

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 18 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

 

[Rempeskes]

Δηλαδή ρωτάς, αν ισχύει το 5ο αίτημα.

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 18 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

 

[ipios]

Δεν ρωτάω φίλε Rempeskes για πράγματα που γνωρίζω, αλλά για αυτά που δεν γνωρίζω.
Ξέρω πολύ καλά ότι το 5ο αίτημα ισχύει στην ευκλείδεια γεωμετρία και αποδεικνέται πολύ εύκολα με τα ευκλείδεια αξιώματα, όπως ξέρω ότι δεν ισχύει και το πυθαγόρειο. Και τα δύο δεν συμβαδίζουν σαν ορθά στην ευκλείδεια γεωμετρία. Αν γίνει κατανοητό ότι το πυθαγόρειο είναι εσφαλμένο, θα δειχθεί ορθό το 5ο αίτημα. Το ότι δεν έχει αποδειχθεί ακόμα το 5ο αίτημα οφείλεται στο ότι γίνεται αποδεκτό σαν ορθό το πυθαγόρειο.
Αλλα γιατί ρωτάς αφού δεν έχεις διάθεση (εγώ πιστεύω δυνατότητα) να αντιπαρατεθείς και αφήνεις την io-io στη θέση σου; Δεν βλέπεις ότι μέχρι ένα σημείο μπορεί να φτάσει το φιλαράκι μου;
Αν το κάνεις για να δηλώσεις απλά την παρουσία σου, σου λέω ότι ξέρω ότι είσαι παρών και το χαίρομαι γιατί είσαι παλιός γνώριμος.

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 18 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

 

[Γιώργος]

Το ότι δεν έχει αποδειχθεί ακόμα το 5ο αίτημα...

Είναι κάτι που αναμένουμε, αλλιώς θα το αποκαλούσαμε "Θεώρημα" κι όχι "αίτημα" ή "αξίωμα".


Άλλωστε, το Ευκλείδιο αίτημα έχει αποδειχθεί ότι δεν αποδεικνύεται. (

Disclaimer

Σύμφωνα με τον μαθηματικό μου, δεν έχω κάποια πηγή πρόχειρη στα χέρια μου.

)




Φιλικά.

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 18 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

 

[ipios]

Το 5ο αίτημα είναι μία πρόταση εντός του ευκλείδειου αξιωματικού συστήματος που ζητάει απόδειξη. Όντως με τα ισχύοντα μαθηματικά (που περιέχουν σαν ορθό το πυθαγόρειο) αυτό δεν αποδεικνύεται και έτσι σήμερα έχει μετατραπεί σε αξίωμα, επειδή δεν μπορεί να αποδειχθεί και μετά την απόδειξη να ονομαστεί θεώρημα (αποδεδειγμένο).
Όταν όμως ανατραπεί το πυθαγόρειο κανένα εμπόδιο δεν μπορεί να παρουσιαστεί στην απόδεριξη του 5ου αιτήματος, το οποίο ξανά από την αρχή θα ακολουθήσει τη διαδρομή, αίτημα (κατά Ευκλείση), που γίνεται θεώρημα και δεν χρειάζεται να είναι αξίωμα (μετά τον Λομπατσέφσκι και τον Ρίμαν).
Το ότι έχει αποδειχθεί ότι δεν αποδεικνύεται, δεν αποτελεί και αξεπέραστο δια παντός εμπόδιο (για το μέλλον δηλαδή) του αιτήματος να αποδειχθεί και να καταστεί θεώρημα περιεχόμενο χωρίς αντιφάσεις ή υπερβάσεις των αξιωμάτων, στην ευκλείδεια γεωμετρία. Οι εσφαλμένες συνθήκες δεν επιτρέπουν την απόδειξή του και όχι ότι δεν αρκούν τα αξιώματα και οι αρχικές έννοιες.
Φιλικά.

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 18 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

 

[Γιώργος]

Θα προτιμούσα τότε να αναλύαμε σε αυτό το θέμα τι θα γινόταν με το 5ο αίτημα εάν δεν παίρναμε ως δεδομένο το Πυθαγόρειο (μιας και στο εν λόγω θέμα έχει ήδη γίνει μία ενδιαφέρουσα ανάλυση σχετικά με το Πυθαγόρειο και τα παρελκόμενα).


Στο παρόν θα μπορούσαμε να συζητήσουμε σχετικά με το 5ο αίτημα με δεδομένη την Ευκλείδια Γεωμετρία - η αποτυχημένες προσπάθειές του οδήγησαν σε τρέλα πολλούς μαθηματικούς περασμένων αιώνων άλλωστε.

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 18 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

 

[Rempeskes]

Και τα δύο δεν συμβαδίζουν σαν ορθά στην ευκλείδεια γεωμετρία. Αν γίνει κατανοητό ότι το πυθαγόρειο είναι εσφαλμένο, θα δειχθεί ορθό το 5ο αίτημα. Το ότι δεν έχει αποδειχθεί ακόμα το 5ο αίτημα οφείλεται στο ότι γίνεται αποδεκτό σαν ορθό το πυθαγόρειο.

Μα το ένα συνεπάγεται το άλλο, οπότε είτε ισχύουν και τα δύο, είτε κανένα. Γι' αυτό και λέγεται "Ευκλείδεια" άλλωστε.

Addendum: Σου επαναξαναματαθυμίζω πως το 5ο αίτημα είναι ανεξάρτητο από τα υπόλοιπα αξιώματα.

Αλλα γιατί ρωτάς αφού δεν έχεις διάθεση (εγώ πιστεύω δυνατότητα) να αντιπαρατεθείς και αφήνεις την io-io στη θέση σου;

Αυτή είναι μια διδακτική εμπειρία που δεν την συναντά εύκολα κάποιος στην μαθηματική του εκπαίδευση.

Στα 21, είχα προσληφθεί να κάνω κριτική ανάγνωση μιας "απόδειξης" του τελευταίου θεωρήματος του Φερμά, που είχε δώσει ένας μεγαλο-Αρχιτέκτονας με σοβαρότατο πρόβλημα συμπεριφοράς. Ήταν εποικοδομητικότατο.

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 18 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

 

[ipios]

Γιώργος

Θα προτιμούσα τότε να αναλύαμε σε αυτό το θέμα τι θα γινόταν με το 5ο αίτημα εάν δεν παίρναμε ως δεδομένο το Πυθαγόρειο (μιας και στο εν λόγω θέμα έχει ήδη γίνει μία ενδιαφέρουσα ανάλυση σχετικά με το Πυθαγόρειο και τα παρελκόμενα).


Στο παρόν θα μπορούσαμε να συζητήσουμε σχετικά με το 5ο αίτημα με δεδομένη την Ευκλείδια Γεωμετρία - η αποτυχημένες προσπάθειές του οδήγησαν σε τρέλα πολλούς μαθηματικούς περασμένων αιώνων άλλωστε.

Αγαπητέ φίλε, δεν έχει κανένα νόημα να αποδειχθεί σαν ορθό το 5ο αίτημα ΕΚΤΟΣ της ευκλείδειας γεωμετρίας ή το πυθαγόρειο σαν εσφαλμένο επίσης ΕΚΤΟΣ της ευκλείδειας γεωμετρίας. Ισχυρίζομαι ότι το πυθαγόρειο είναι εσφαλμένο ΕΝΤΟΣ του αξιωματικού συστήματος του Ευκλείδη και ότι η ανατροπή του εντός αυτού του συτήματος συνεπάγεται την απόδειξη του 5ου αιτήματος στο ίδιο αυτό μητρικό αξιωματικό σύστημα.
Υπάρχει ένα απλούστατο ερώτημα - πρόβλημα που ανήκει αποκλειστικά στην ευκλείδεια γεωμετρία αγαπητέ φίλε, που συνδέει πυθαγόρειο θεώρημα, με 5ο αίτημα, καθώς και με τις μη ευκλείδειες γεωμετρίες (Ρίμαν και Λομπατσέφσκι). Η απαντήση σε αυτό το ερώτημα θα ξεκαθαρίσει με μεγάλη σαφήνεια και το 5ο αίτημα το οποίο αποδεικνύει σαν ορθό και ο πυθαγόρειο το οποίο αποδεικνύει σαν εσφαλμένο και τις δυνατότητες ύπαρξης άλλων γεωμετριών εκτός της ευκλείδειας.
Το ερώτημα έχω θέσει ήδη προς συζήτηση στο φόρουμ, αλλά για λόγους που συνδέονται με την αντανακλαστική συμπεριφορά μου αυτό έχει κλειδωθεί από τη διαχείρηση (και με δική μου εν μέρει ευθύνη) και έτσι έγινε κατορθωτό από μαθηματικούς που δεν επιθυμούσαν την ανάπτυξή του να μη συζητηθεί.
Μπορείς να επιλέξεις τόπικ στο οποίο επιθυμείς τη συζήτησή του σαν μία αυτόνομη ενότητα και θα λυθούν όλα τα προβλήματα που σχετίζονται με την ορθότητα του 5ου αιτήματος και το ψευδές του πυθαγορείου. Πρόκειται για το τόπικ με τα τεμνόμενα ευθύγραμμα τμήματα.
Χαίρομαι ειλικρινά που βάζεις το χέρι στα κάστανα και να είσαι σίγουρος ότι όλοι θα έχουμε γνωστικό όφελος. Περιμένω την επιλογή σου.
Φιλικά

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 18 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

 

[ipios]

Rempeskes

Μα το ένα συνεπάγεται το άλλο, οπότε είτε ισχύουν και τα δύο, είτε κανένα. Γι' αυτό και λέγεται "Ευκλείδεια" άλλωστε.

Addendum: Σου επαναξαναματαθυμίζω πως το 5ο αίτημα είναι ανεξάρτητο από τα υπόλοιπα αξιώματα.

Αυτός είναι δικός σου συμπερασμός φίλε Rempeskes. Εξάλλου η γεωμετρία λέγεται "ευκλείδεια" από τον Ευκλείδη και όχι επειδή το πυθαγόρειο και το 5ο αίτημα είτε ισχύουν και τα δύο, είτε κανένα. Σήμερα ισχύει το πυθαγόρειο και δεν ισχύει το 5ο αίτημα. Αύριο θα υπάρξει αντιστροφή. Μην επαναξαναματαθυμίζεις στον Addendum (δεν τον ξέρω τον άνθρωπο) μια προσωπική σου άποψη σαν να πρόκειται για αξίωμα που δεν χρήζει απόδειξης. Αν συμμετάσχεις στη συζήτηση (κάτι που επιμελώς αποφεύγεις) θα αναγκαστείς να αλλάξεις συμπερασμό, είτε το επιθυμείς, είτε δεν το επιθυμείς αγαπητέ φίλε.

ipios
Αλλα γιατί ρωτάς αφού δεν έχεις διάθεση (εγώ πιστεύω δυνατότητα) να αντιπαρατεθείς και αφήνεις την io-io στη θέση σου;

Rempeskes Αυτή είναι μια διδακτική εμπειρία που δεν την συναντά εύκολα κάποιος στην μαθηματική του εκπαίδευση.
Στα 21, είχα προσληφθεί να κάνω κριτική ανάγνωση μιας "απόδειξης" του τελευταίου θεωρήματος του Φερμά, που είχε δώσει ένας μεγαλο-Αρχιτέκτονας με σοβαρότατο πρόβλημα συμπεριφοράς. Ήταν εποικοδομητικότατο.

Αγαπητέ Rempeskes και η αλεπού του Αισώπου είχε λόγους να μη φάει τα σταφύλια...
Δηλαδή παραδίδεις μαθήματα στο φιλαράκι μου io-io;
Τέλος δεν ξέρω τις επιδόσεις σου στην κριτική ανάγνωση περί κάποιας "απόδειξης" του τελευταίου θεωρήματος Φερμά, αλλά αν συμμετέχεις στη συζήτηση με τον τρόπο που τώρα επιχειρείς, θα βρεθείς άοπλος απέναντί μου σχετικά με το περίφημο αυτό θεώρημα, όπως και με την υπόθεση Ρίμαν. Σε βεβαιώνω. Αυτή μάλιστα θα είναι για σένα (και όχι για την io-io) μια διδακτική εμπειρία που δεν την συναντά εύκολα κάποιος στην μαθηματική του εκπαίδευση. Την έχεις και εσύ ανάγκη την εμπειρία αυτή, που ακόμα δεν είναι διδακτική (αφού δεν προβλέπεται σαν διδακτέα ύλη ακόμα) ώστε να καταστεί διδακτική στο μέλλον αγαπητέ φίλε Rempeskes προς όφελος όλων των μαθηματικών και όλων των μαθηματικών.

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 18 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

 

[Γιώργος]

Υπάρχει ένα απλούστατο ερώτημα - πρόβλημα που ανήκει αποκλειστικά στην ευκλείδεια γεωμετρία αγαπητέ φίλε, που συνδέει πυθαγόρειο θεώρημα, με 5ο αίτημα, καθώς και με τις μη ευκλείδειες γεωμετρίες (Ρίμαν και Λομπατσέφσκι). Η απαντήση σε αυτό το ερώτημα θα ξεκαθαρίσει με μεγάλη σαφήνεια και το 5ο αίτημα το οποίο αποδεικνύει σαν ορθό και ο πυθαγόρειο το οποίο αποδεικνύει σαν εσφαλμένο και τις δυνατότητες ύπαρξης άλλων γεωμετριών εκτός της ευκλείδειας.

Τώρα, όντως μετακινούμαστε σε κάτι πολύ ενδιαφέρον.



Θα θέσω το εξής παράδειγμα, εμπνευσμένο από τον πρώτο τόμο "Μηχανική" της σειράς "Φυσική" του Berkley.
Έστω ότι διαλέγω 3 σημεία μπροστά από τον άγνωστο στρατιώτη, μη συνευθειακά. Ποιο το άθροισμα των γωνιών του τριγώνου; Μπορούμε να προσδιορίσουμε με μεγάλη ακρίβεια ότι είναι σχεδόν 180 μοίρες.

Έστω πάλι ότι παίρνουμε 3 σημεία: ένα στη γη του πυρός, ένα στο Όσλο κι ένα στο Τόκυο. Ποιο το άθροισμα των γωνιών του "τριγώνου"; Πολύ μεγαλύτερο από 180 μοίρες.

Γιατί πολύ απλά έχουμε βγει από την Ευκλείδια Γεωμετρία. Έχει όντως ενδιαφέρον το ότι και τα 3 σημεία και τις δύο φορές είναι πάνω στο επίπεδο της Γης, αλλά στη 2η περίπτωση η καμπυλότητα της Γης κάνει αισθητή την παρουσία της, οπότε δεν μπορούμε να μιλήσουμε για ευκλείδια γεωμετρία - και φυσικά πολλά θεωρήματα δεν ισχύουν πια μιας και έχουμε αλλάξει ένα αξίωμα (το γνωστό 5ο αίτημα) και κατά συνέπεια έχουμε διαφορετικά θεωρήματα και πορίσματα.

Εδώ τίθεται το ερώτημα: η Ευκλείδια Γεωμετρία είναι κάτι εξιδανικευμένο; Ανήκει στο "Βασίλειο των ιδεών" που έλεγε κι ο Πλάτων;







Ωστόσο εξακολουθώ να πιστεύω πως με δεδομένα τα 5 αξιώματα του Ευκλείδη, τα γνωστά θεωρήματα {Πυθαγόρειο, κοκ} ισχύουν. Εάν φυσικά αλλάξουμε γεωμετρία, τότε αναμένεται τα γνωστά θεωρήματα, τα οποία στηρίζονταν σε άλλα αξιώματα, να μην ισχύουν.

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 18 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

 

[io-io]

Πω πω, πολυ περαση εχω σε αυτο το τοπικ.

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 18 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

 

[ipios]

Πρώτα το εύκολο και το πλέον ευχάριστο.

io-io
Πω πω, πολυ περαση εχω σε αυτο το τοπικ.

Σε μένα έχεις io-io γιατί μέχρι τώρα με τιμάς με τις απαντήσεις σου ανεξάρτητα από ορθό - εσφαλμένο ή από τις δυνατότητές σου.

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 18 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

 

[ipios]

Από την απάντηση σε αυτό το τόπικ, συνάγω ότι επιθυμείς εδώ τη συζήτηση αγαπητέ φίλε Γιώργο.

Γιώργος

Τώρα, όντως μετακινούμαστε σε κάτι πολύ ενδιαφέρον.

Θα θέσω το εξής παράδειγμα, εμπνευσμένο από τον πρώτο τόμο "Μηχανική" της σειράς "Φυσική" του Berkley.
Έστω ότι διαλέγω 3 σημεία μπροστά από τον άγνωστο στρατιώτη, μη συνευθειακά. Ποιο το άθροισμα των γωνιών του τριγώνου; Μπορούμε να προσδιορίσουμε με μεγάλη ακρίβεια ότι είναι σχεδόν 180 μοίρες.

Η ακρίβεια είναι απόλυτη αγαπητέ φίλε και όχι μεγάλη ή μικρή.
Εκεί που υπάρχει πρόβλημα σύμφωνα με τις δικές μου αντιλήψεις είναι στην αναγνώριση της «φύσης» του αθροίσματος, από την άθροιση. Έστω οι μοίρες ως εξής α=90, β=40 και γ=50.
Για μένα, δεν υπάρχει 1 γωνία 90ο , 1 γωνία 40ο και 1 γωνία 50ο .
Αντίθετα υπάρχουν γωνίες α, β, γ που η κάθε μία από αυτές αποτελείται από 90 γωνίες ακέραιες, της μίας μοίρας η κάθε μία, από 40 ακέραιες γωνίες της μίας μοίρας και από 50 ακέραιες γωνίες της μίας μοίρας. Οι γωνίες αυτές χωρίζονται με τις κοινές πλευρές τους και σαν γωνίες λογίζουμε τα εσωτερικά σημεία μεταξύ των ευθειών.
Θυμίζω ότι οι γωνίες είναι σχήματα και τα σχήματα δεν αθροίζονται π.χ. 3 γωνιές της 1 μοίρας σε μία γωνία 3 μοιρών. Άθροισμα των γωνιών σημαίνει αποκλειστικά άθροισμα των μέτρων των γωνιών αυτών και εν προκειμένω το μέτρο είναι η 1 μοίρα.
Ούτε βέβαια υπάρχει τρόπος τους εκ των μοιρών αριθμούς να τους θεωρήσουμε ότι μπορούν να αθροιστούν σε ακέραιο πολλαπλάσιο του 1 και να υποδείξουμε αριθμητικά ακέραιο 90, 40 ή 50. Οι φυσικοί αριθμοί τους οποίους χρησιμοποιούμε εν προκειμένω, αναγνωρίζονται κατά πλήθος μονάδων (2, 3, 4, …) και κατά τάξη μονάδων (1ος, 2ος, 3ος 4ος …), ενώ δεν υπάρχει αξίωμα στήριξης του ακέραιου πολλαπλασίου ούτε στα μήκη, ούτε στα εμβαδά, ούτε στους φυσικούς αριθμούς.

Έτσι αγαπητέ φίλε, η μεν ακρίβεια είναι απόλυτη, το δε άθροισμα «συγκείμενο πλήθος μονάδων» (κατά Ευκλείδη) ή πληθάριθμος ακέραιων μονάδων κατά σύγχρονη διατύπωση.

Γιώργος

Έστω πάλι ότι παίρνουμε 3 σημεία: ένα στη γη του πυρός, ένα στο Όσλο κι ένα στο Τόκυο. Ποιο το άθροισμα των γωνιών του "τριγώνου"; Πολύ μεγαλύτερο από 180 μοίρες.
Γιατί πολύ απλά έχουμε βγει από την Ευκλείδεια Γεωμετρία. Έχει όντως ενδιαφέρον το ότι και τα 3 σημεία και τις δύο φορές είναι πάνω στο επίπεδο της Γης, αλλά στη 2η περίπτωση η καμπυλότητα της Γης κάνει αισθητή την παρουσία της, οπότε δεν μπορούμε να μιλήσουμε για ευκλείδεια γεωμετρία - και φυσικά πολλά θεωρήματα δεν ισχύουν πια μιας και έχουμε αλλάξει ένα αξίωμα (το γνωστό 5ο αίτημα) και κατά συνέπεια έχουμε διαφορετικά θεωρήματα και πορίσματα.

Αγαπητέ φίλε, είναι μεγάλη κουβέντα το ότι έχουμε φύγει από την Ευκλείδεια γεωμετρία. Απλά κανιβαλίζουμε (μέσω Ρίμαν) τη γεωμετρία του Ευκλείδη, που χωρίζεται σε Επιπεδομετρία και Στερεομετρία. Στη στερεομετρία το πρόβλημα που παραθέτεις είναι απλό και ισχύει κατά Ευκλείδη, σε εφαρμογή της θεωρίας μετρήσεως, ότι δηλαδή ισχύει και στην επιπεδομετρία, διότι απλά ισχύει η αρχική έννοια της ευθείας και ο γεωμετρικός χώρος των 3 διαστάσεων είναι απόλυτα διαπερατός για τον γεωμέτρη.
Όλα αυτά είναι αποτελέσματα της αδυναμίας απόδειξης του 5ου αιτήματος και της ορθότητας του πυθαγόρειου που δεν επιτρέπει την απόδειξη του 5ου αιτήματος ώστε να μπορούν να εμφανιστούν σημεία και τέρατα στα μαθηματικά όπως οι μη ευκλείδειες γεωμετρίες. Αν αποδειχθεί το 5ο αίτημα δεν υπάρχουν άλλες γεωμετρίες αφού από σημείο εκτός δοσμένης ευθείας θα αποδεικνύεται ότι διέρχεται μοναδική ευθεία παράλληλος προς τη δοσμένη.
Μόνη δυνατή γεωμετρία είναι η Ευκλείδεια και αν μου απαντήσεις αγαπητέ φίλε:

Δύο ευθύγραμμα τμήματα ΑΒ και ΓΔ που τέμνονται κάθετα μεταξύ τους στο Ο, σαν όλο σχήμα Κ, αποτελούν αξιωματικά του Ευκλείδη επιφάνεια (ή επίπεδο σχήμα Κ) με μήκος και πλάτος και γιατί;
Τότε θα σε εισάγω σε άλλες συλλογιστικές που θα σε εκπλήξουν.
Θα αποδείξω, αν απαντήσεις σύμφωνα με το αξιωματικό σύστημα του μέγιστου μαθηματικού όλων των εποχών Ευκλείδη, το αίτημά μου:
Από κάθε ευκλείδειο σημείο (μέρος ουθέν) Α, επί ευκλείδειου επιπέδου (μήκους και πλάτους), διέρχεται μία και μόνο μία ευκλείδεια ευθεία ε (μόνο μήκος), αξιωματικά του Ευκλείδη.

Γιώργος

Εδώ τίθεται το ερώτημα: η Ευκλείδεια Γεωμετρία είναι κάτι εξιδανικευμένο; Ανήκει στο "Βασίλειο των ιδεών" που έλεγε κι ο Πλάτων;

Αγαπητέ φίλε, όπως είναι όχι. Αν απαλειφθεί το πυθαγόρειο θεώρημα από περιεχόμενό της και για έναν σημαντικό λόγο από αυτούς που το πυθαγόρειο πρέπει να απαλειφθεί (όπως είναι η απάντηση στο ερώτημα για τα τεμνόμενα ευθύγραμμα τμήματα που έθεσα), η Ευκλείδεια γεωμετρία είναι η ιδανική γεωμετρία για τις ανθρώπινες δυνατότητες και άλλες δεν υπάρχουν.
Όπως αντιλαμβάνεσαι, είμαι παρών να αιτιολογήσω τα ανήκουστα λόγια.
Το μόνο που έχεις να κάνεις είναι να απαντήσεις στηριγμένος στο ευκλείδεια αξιωματικό σύστημα, στο ερώτημα για τα τεμνόμενα ευθύγραμμα τμήματα.


Φιλικά.

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 18 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

 

[Rempeskes]

Αυτός είναι δικός σου συμπερασμός φίλε Rempeskes [...] Μην επαναξαναματαθυμίζεις στον Addendum (δεν τον ξέρω τον άνθρωπο) μια προσωπική σου άποψη σαν να πρόκειται για αξίωμα που δεν χρήζει απόδειξης.

Για να σε πω...
Πως μπορείς έτσι εύκολα να διακρίνεις τι είναι δική μου άποψη και τι επίσημη μαθηματική θέση;

Γιατί εδώ θα επιμείνω.
5ο αίτημα συνεπάγεται Ευκλείδεια γεωμετρία.
Άρνηση του, μη Ευκλείδεια.
Απαλειψή του, γεωμετρία του Βolyai.

Την έχεις και εσύ ανάγκη την εμπειρία αυτή, που ακόμα δεν είναι διδακτική (αφού δεν προβλέπεται σαν διδακτέα ύλη ακόμα) ώστε να καταστεί διδακτική στο μέλλον αγαπητέ φίλε Rempeskes προς όφελος όλων των μαθηματικών και όλων των μαθηματικών.

Λεγεωνάριος - Μα είναι καταπληκτικός!
Καίσαρας - Ποιός?
Λεγεωνάριος - Μα... Εσείς.
Καίσαρας - Α!.. (παύση)... Αυτός.



^^^^^^^^^^__________Θα τρελλαθούμε____________^^^^^^^^^^

η Ευκλείδεια γεωμετρία είναι η ιδανική γεωμετρία για τις ανθρώπινες δυνατότητες και άλλες δεν υπάρχουν.

Και εγώ υποστηρίζω πως το κόκκινο κρασί είναι ιδανικό για τις ανθρώπινες δυνατότητες και άλλα δεν υπάρχουν.

^^^^^^^^^^______________________^^^^^^^^^^



Εδιτ:

Δηλαδή παραδίδεις μαθήματα στο φιλαράκι μου io-io;

Ποσώς. Η σημερινή νεολαία ξέρει τα πάντα και δεν χρειάζεται κανέναν.

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 18 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

 

[ipios]

Rempeskes
Για να σε πω...
Πως μπορείς έτσι εύκολα να διακρίνεις τι είναι δική μου άποψη και τι επίσημη μαθηματική θέση;

Πολύ πιο εύκολα από ότι φαντάζεσαι. Γιατί να με ενδιαφέρει η επίσημη μαθηματική θέση φίλε μου; Η επίσημη μαθηματική θέση είναι ότι το πυθαγόρειο είναι ισχυρό. Τα αξιώματα όμως ισχυρίζονται δεν είναι. Τι υπερισχύει; Η πλειοψηφία; Δημοκρατία με εκλογές είναι τα μαθηματικά;

Rempeskes
Γιατί εδώ θα επιμείνω.
5ο αίτημα συνεπάγεται Ευκλείδεια γεωμετρία.
Άρνηση του, μη Ευκλείδεια.
Απαλειψή του, γεωμετρία του Βolyai.

Γιατί το λες αυτό φίλε μου; Είπα εγώ ότι το 5ο αίτημα δεν συνεπάγεται ευκλείδεια γεωμετρία;
Όχι μόνο συνεπάγεται ευκλείδεια γεωμετρία αλλά είναι και ορθότατο, που αποκλείει την άρνησή του. Εγώ διαφοροποιήθηκα στον αυθαίρετο συνδυασμό που έκανες ότι πυθαγόρειο και 5ο είτημα πάνε μαζί και μάλιστα θέλεις να το θεωρήσω και σαν επίσημη μαθηματική θέση! Το πυθαγόρειο αγαπητέ φίλε Rempeskes ισχυρίζομαι ότι δεν ανήκει στην ευκλείδεια γεωμετρία και όχι το 5ο αίτημα. Μάλλον δεν διαβάζεις προσεκτικά τι λέω και τοποθετείσαι εσύ για μένα σε ότι ισχυρίζομαι.

ipios
η Ευκλείδεια γεωμετρία είναι η ιδανική γεωμετρία για τις ανθρώπινες δυνατότητες και άλλες δεν υπάρχουν.

Rempeskes
Και εγώ υποστηρίζω πως το κόκκινο κρασί είναι ιδανικό για τις ανθρώπινες δυνατότητες και άλλα δεν υπάρχουν.

Αν μπορείς να το αποδείξεις όπως εγώ μπορώ να αποδείξω τη δική μου πρόταση, γιατί να μην αποδεχθώ και τη δική σου; Εγώ όμως έχω αποδεικτικά μέσα (τα αξιώματα) αγαπητέ φίλε ενώ εσύ ίσως κάποιον γευσηγνώστη και η άποψή του δεν μπορεί να καταστεί αντικειμενική όπως η δική μου που έχει αξιωματική στήριξη και μπορεί να είναι εντός του συστήματος αντικειμενικά ορθή ή ψευδής. Λίγο ψηλά βάζεις τον πύχη για σένα νομίζω.

ipios
Δηλαδή παραδίδεις μαθήματα στο φιλαράκι μου io-io;

Rempeskes
Ποσώς. Η σημερινή νεολαία ξέρει τα πάντα και δεν χρειάζεται κανέναν.

Κάτι άλλο απάντησες όμως όταν σε ρώτησα γιατί δεν απαντάς και αφήνεις την io-io φίλε.
Η σημερινή νεολαία έχει τη δυνατότητα να ξερει τα πάντα, αλλά την διδάσκετε λάθος.
Αυτό βέβαια είναι ευθύνη και θέμα συνείδησης. Ο καθένας με τις δικές του ευθύνες και τον δικό του λόγο στη συνείδησή του...

Μπορεί να μην "παραλληλιζόμαστε" όμως χαίρομαι που μπήκες στη συζήτηση Rempeskes...

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 18 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

 

[Rempeskes]

Δημοκρατία με εκλογές είναι τα μαθηματικά;

Το έχω απαντήσει ήδη στο παρακάτω θέμα.

Το πυθαγόρειο αγαπητέ φίλε Rempeskes ισχυρίζομαι ότι δεν ανήκει στην ευκλείδεια γεωμετρία και όχι το 5ο αίτημα. Μάλλον δεν διαβάζεις προσεκτικά τι λέω και τοποθετείσαι εσύ για μένα σε ότι ισχυρίζομαι.

Και εγώ σου λέω ότι δεν γίνεται να χρησιμοποιείς κινητό εκτός δικτύου. Τα δύο τους είναι ισοδύναμα και δεν μπορώ να προσθέσω τίποτα άλλο. Είτε με πιστεύεις είτε δέχεσαι ότι υπάρχει μια απόδειξη (της ισοδυναμίας τους) που ισχύει για όλο το κόσμο πλην εσένα και του Αποκαλυπτικός.

Η σημερινή νεολαία έχει τη δυνατότητα να ξερει τα πάντα, αλλά την διδάσκετε λάθος.

Ίσα πέρα ρε. Και εσύ και εγώ είμασταν εκεί κάποτε και καταλαβαίνεις τι λέω.

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 18 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

 

[ipios]

Ούτε καταλαβαίνω τι λες, ούτε και με απασχολεί.
Εσύ αγαπητέ μπαίνεις σαν κομήτης, βγάζεις μια απόφαση και τελειώνεις.
Με γεια σου με χαρά σου.

Ρίξε μια ματιά:

1. nrs ή nearsighted, όπως θυμάσαι από το matmematikcs που ήτανε ο πλέον ισχυρός αντίπαλος μαθηματικός που αντιμετώπισα (ούτε εγώ, ούτε ο Αποκαλυπτικός)

Eπί των προβληματισμών του κ Μαγκλάρα

α) Πυθαγόρειο Θεώρημα
Στα αξιώματα του Ευκλείδη δεν υπάρχει η αρχή του Αρχιμήδη, ούτε άλλο αξίωμα όπου θα μπορούσε να στηριχθεί μια θεωρία ''μέτρησης''. Συνεπώς οι μετρικές σχέσεις, όπως το ΠΘ, στερούνται αξιωματικής βάσης. (Σημείωση-προσωπική γνώμη: Ο Hilbert εισάγει την αρχή του Αρχιμήδη σαν αξίωμα στο Foundations of Geometry. Πιστεύω ότι είχε υπόψη τέτοιες ατέλειες της ΕΓ και επιχείρησε την αξιωματική ''αποκατάστασή'' της. Πριν την εισαγωγή τέτοιου αξιώματος, το ΠΘ ούτε καν υφίσταται, όπως είπε και ο κ. Αγγελόπουλος. Όμως με την εισαγωγή του αξιώματος του Αρχιμήδη, σαφώς υφίσταται το ΠΘ και έχει αξιωματική στήριξη).
β) Απάντηση της ΕΜΕ
Αποτελεί κλασικό παράδειγμα πρόχειρης απάντησης που θα άρμοζε όχι σε επιστημονικό φορέα, αλλά σε συνδικαλιστικό όργανο των μαθηματικών. Επιχειρείται η ''αποκατάσταση'' της αξιωματικής στήριξης του ΠΘ με την επίκληση αξιώματος εμβαδού. Αν δεν κάνω λάθος, στα ''Στοιχεία'' δεν υπάρχει η λέξη εμβαδόν, ούτε βέβαια ανάλογο αξίωμα. Η έννοια εμδαδόν θεμελιώνεται πολύ αργότερα στο Foundations of Geometry.
γ) Κάθετες ευθείες στο επίπεδο.
Σαφώς και ορίζουν επίπεδο, έχουν μήκος και πλάτος, αλλά η έννοια εμδαδόν λείπει όχι μόνο από το συγκεκριμένο σχήμα αλλά από όλα τα ''Στοιχεία''.
δ)1+1=2
Δεν έχω σαφή γνώμη, καθώς δεν μου είναι ξεκάθαρο ποια είναι τα αξιώματα της ''πρακτικής αριθμητικής''. Βεβαίως υπάρχουν σχετικά αξιώματα στα ''Στοιχεία'', αλλά ομολογώ ότι δεν κατέχω το θέμα επαρκώς για να εκφράσω γνώμη.

2. https://sleeping-butterfly.blogspot.com/2007/08/justin-isis-pythagorean-theorem-was.html

3. Ακόμα φαίνεται δεν έμαθες ότι οι ιδέες μου έχουν φτάσει στο εξωτερικό, ούτε γνωρίζεις ότι ο Αποκαλυπτικός συγγράφει τοπολογία στη Γερμανία με αυτές, ούτε ότι γίνονται στην Νάπολι της Ιταλίας διεργασίες για το πυθαγόρειο, ούτε ότι μέσω της Ιταλίας έφτασε το θέμα σε πανεπιστήμιο της Αμερικής.

Τίποτα δεν ξέρεις φίλε και το μόνο που σου έχει μείνει είναι η εμπάθεια και η στείρα άρνηση.
Λυπάμαι που θα εκτεθούν σύντομα οι Έλληνες μαθηματικοί γιατί στόχος μου ήτανε εμείς να πρωτοπορήσουμε στο θέμα. Δες την ημερομηνία. Αύγουστος του 2007. Το έγγραφο της ΕΜΕ δημοσίευσα τον Μάιο του 2007 και η αρχική συγγραφή μου έχει κατατεθεί στο υπουργεί παιδείας πριν να μπω στο mathematics. Σκέψου πόσα χρόνια πριν σας χτυπάω το καμπανάκι. Τόσα χρόνια παλεύω να σας ανοίξω τα μάτια αλλά όταν κάποιος τα θέλει κλειστά με το επιχείρημα ότι σαν μαθηματικός δεν αντιμετωπίζει μαθηματικό δεν υπάρχει λύση. Αφήστε τους ξένους να σας εκθέσουν. Προσωπικά δεν θα μειωθώ βέβαια, αλλά τι άλλο να κάνω; Βλέπετε Μαγκλάρα και βγάζετε αφρούς.
Πόσο με πιστεύεις δεν με απασχολεί καθόλου, μα καθόλου και αν σου τα λέω αυτά είναι απλά για να μην ασχολείσαι μαζί μου πλεόν, επειδή έχεις προκατάληψη και αδυνατεί το μυαλό σου να καταλάβει ότι δεν είναι πια και αδύνατο να είναι λάθος ένα θεώρημα, έστω και τόσο παλιό...

Σου εύχομαι υγεία φίλε, όπως σε όλους γιατί εμένα μου λείπει.
Καλό είναι να μη μου απευθυνθείς εκ νέου και αν το κάνεις, να μην το κάνεις με θυμό.
Μείνε με τις απόψεις σου κι εγώ με τις δικές μου.
Λάμπρος

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 18 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

 

[Rempeskes]

Καλό είναι να μη μου απευθυνθείς εκ νέου και αν το κάνεις, να μην το κάνεις με θυμό.

..Θυμό; Μιλάω απότομα ναι, αλλά όχι από εμπάθεια. Προς Θεού, δεν χωρίζουμε χωράφι τόσα χρόνια.



Κατά τα άλλα, θυμάμαι πολύ καλά πιο ήταν η τελευταία τοποθέτηση του Νίαρ στον διάλογό σας, και με το να βγάζεις επιλεκτικά κομμάτια -όπως έχεις κάνει και με δικά μου γραπτά χωρίς να προσθέσεις τα συμφραζόμενα- εκτίθεσαι.




Με τις ευχές μου για καλή δύναμη στην περιπέτεια της υγείας σου.

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 18 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

 

[nicotine_kills]

Γιατί το λες αυτό φίλε μου; Είπα εγώ ότι το 5ο αίτημα δεν συνεπάγεται ευκλείδεια γεωμετρία;
Όχι μόνο συνεπάγεται ευκλείδεια γεωμετρία αλλά είναι και ορθότατο, που αποκλείει την άρνησή του.

Ipios,όντως στην γεωμετρία του επιπέδου ή αλλιως στην ευκλείδια γεωμετρία το 5ο αίτημα είναι ορθότατο και δεν μπορεί κανείς να το αρνηθεί,στην ουσία είναι και αυτό που καθορίζει την μορφή της συγκεκριμένης γεωμετρίας.Στην επιφάνεια της σφαίρας ομως ''ζει'' μια εντελως διαφορετική γεωμετρία η λεγόμενη σφαιρική γεωμετρία ή γεωμετρία του Ρίμαν.Στην συγκεκριμένη γεωμετρία σαν ευθεία θεωρούμε το τόξο ενός μέγιστου κύκλου και επειδή κάθε δύο μέγιστοι κύκλοι τέμνονται το 5ο αίτημα παυει να ισχύει γιατί απο σημείο εκτός ευθείας δεν διέρχεται καμία παράλληλη,με αποτέλεσμα να έχουμε την συγκεκριμένη γεωμετρία.

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 18 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

 

[ipios]

nicotine_kills
Ipios,όντως στην γεωμετρία του επιπέδου ή αλλιως στην ευκλείδια γεωμετρία το 5ο αίτημα είναι ορθότατο και δεν μπορεί κανείς να το αρνηθεί,στην ουσία είναι και αυτό που καθορίζει την μορφή της συγκεκριμένης γεωμετρίας.Στην επιφάνεια της σφαίρας ομως ''ζει'' μια εντελως διαφορετική γεωμετρία η λεγόμενη σφαιρική γεωμετρία ή γεωμετρία του Ρίμαν.Στην συγκεκριμένη γεωμετρία σαν ευθεία θεωρούμε το τόξο ενός μέγιστου κύκλου και επειδή κάθε δύο μέγιστοι κύκλοι τέμνονται το 5ο αίτημα παυει να ισχύει γιατί απο σημείο εκτός ευθείας δεν διέρχεται καμία παράλληλη,με αποτέλεσμα να έχουμε την συγκεκριμένη γεωμετρία.

Αγαπητέ φίλε, δεν υπάρχει ορθότητα εντός (του όποιου) αξιωματικού συστήματος χωρίς απόδειξη που άμεσα ή αναγωγικά να στηρίζεται σε αξίωμα του συστήματος.
Το ορθό ή ψευδές έχει μόνο αυτό το κριτήριο και έτερον ουδέν.
Το 5ο αίτημα δεν αποδεικνύεται εντός του αξιωματικού συστήματος του Ευκλείδη και προς τούτο στα σημερινά βιβλία το αναγνωρίζουμε (νεόκοπα μετά τον Λομπατσέφσκι και Ρίμαν) σαν αξίωμα. Δηλονότι η σημερινή του ορθότητα είναι αξιωματική πλέον αφού από 5ο αίτημα έγινε αξίωμα παραλλήλων.
Όπως αντιλαμβάνεσαι, στην ευκλείδεια γεωμετρία που δομείται από τα Στοιχεία του Ευκλείδη και εντός της οποίας τοποθετώ τους προβληματισμούς μου, εξακολουθεί το 5ο αίτημα να είναι αναπόδεικτο. Σήμερα δεν με απασχολεί τι μπορεί να είναι, διότι πλέον δεν αναφερόμαστε για το 5ο αίτημα στο γνήσιο αξιωματικό σύστημα του Ευκλείδη που δεν είναι αξίωμα.
Πρόσεξε τι λέω:
Το 5ο αίτημα εντός του αξιωματικού συστήματος του Ευκλείδη, δεν αποδεικνύεται επειδή ισχύει σαν ορθό το πυθαγόρειο θεώρημα. Αν καταπέσει το πυθαγόρειο, τότε εντός του αξιωματικού συστήματος του Ευκλείδη το 5ο αίτημα αποδεικνύεται. Η απόδειξη όμως του 5ου αιτήματος στο αξιωματικό σύστημα του μεγάλου δασκάλου, αποκλείει αυτόματα μη ευκλείδειες γεωμετρίες, διότι θα αποδεικνύεται πως από σημείο εκτός ευθείας διέρχεται αποκλειστικά μία και μόνο μία παράλληλη. Απλά πράγματα που σημαίνουν ότι η «πτώση» του πυθαγορείου εξαφανίζει όλες τις μη ευκλείδειες γεωμετρίες και αποδεικνύει σαν μόνο δυνατή γεωμετρία την ευκλείδεια.
Πέραν αυτού, η αναγνώριση των λαθών του πυθαγορείου, δεν θα επιτρέπει ούτε την εξαρχής δημιουργία μη ευκλείδειου αξιωματικού συστήματος, αν η όποια προσπάθεια δημιουργίας νέου αξιωματικού συστήματος δεν ορίσει με άλλη αρχική έννοια το σημείο.
Ίσως να μη μπορείς να διακρίνεις ευκρινώς τη σχέση πυθαγορείου με 5ο αίτημα και τις μη ευκλείδειες γεωμετρίες (και της αναλυτικής περιλαμβανομένης), αλλά προσωπικά επειδή γνωρίζω όλο το πλέγμα των αλληλεπιδράσεων, γνωρίζω επίσης καλώς και ιδίως «γιατί» η αναγνώριση του σφάλματος του πυθαγορείου θα αλλάξει ριζικά τα μαθηματικά και ως προς τη γεωμετρία και ως προς τη χρήση των αριθμών και των δυνατών πράξεων.
Αυτή θεωρώ πως είναι μια υποχρέωση αναθεώρησης, πρώτιστα εμάς των ιδίων, δηλαδή των Ελλήνων, που προτείναμε στην παγκόσμια κοινότητα διαχρονικά το πυθαγόρειο σαν ορθό και αυτή αδύνατη να το ελέγξει το έκανε αποδεικτό. Έτσι απόψεις σαν τις δικές μου θα έπρεπε να τύχουν τουλάχιστον διερεύνησης και όχι απαξίας τους με μόνο κριτήριο ότι δεν είμαι μαθηματικός. Υπάρχει ευθύνη μεγάλη των Ελλήνων μαθηματικών για τον τρόπο που με αντιμετωπίζουν με κριτήριο το πτυχίο και όχι τους ισχυρισμούς μου, που δεν υπάρχουν μαθηματικά επιχειρήματα να τους ανατρέπουν.
Υπό το πρίσμα που τα εξετάζεις εσύ, έχεις δίκιο. Αλλά εσύ έχεις κριτήριο ότι το πυθαγόρειο είναι ορθό. Έχουμε άλλες βάσεις εκκίνησης συλλογισμών μεταξύ μας και με την κρατούσα μέχρι τώρα αντίληψη δεν έχεις άδικο.
Αυτά έχω να σου πω αγαπητέ φίλε, θυμίζοντας σου ότι αντιπαλεύω την κρατούσα αντίληψη, χωρίς να είμαι διάνοια ή ιδιοφυία ή μεγαλοφυΐα, αλλά ένας απλά σκεπτόμενος άνθρωπος που (παρά το ότι είμαι αναρχικός) αναγνωρίζω την απόλυτη αρχή των αξιωμάτων.
Γεια σου φίλε μου.

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 18 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.