Αρχική Δημοσίευση από io-io
Εσυ λες οτι 3ΚΛ-ΑΔ>0. Εστω.
Ομως θα συμφωνησεις οτι ισχυει 3ΚΛ-ΑΔ<ε για οποιονδηποτε αριθμο ε. Αλλιως σπρωξτα πιο κοντα.
Για αυτο δεν εχεις κατι να πεις? Ειναι η δεν ειναι αποδειξη του οτι 3ΚΛ-ΑΔ=0?
Και αν το αμφισβητεις, θα ηθελα να μου το αναλυσεις, αλλα με μαθηματικους ορους.
Και βέβαια συμφωνώ. 3ΚΛ-ΑΔ=0. Αυτό τι σημαίνει για σένα; Για μένα σημαίνει ότι υπάρχουν δύο ειδών μηδενικές αποστάσεις.
Α. Η ταύτιση δύο σημείων σε ένα.
Β. Η επαφή (μηδενική απόσταση μεταξύ των σημείων) που σχετίζεται με τη μέτρηση του ΑΔ από το 3ΚΛ.
Στην μεν μία περίπτωση έχουμε ταύτιση σημείων και διαδοχικότητα (διαβήτης) στη δε άλλη επαφή των σημείων των ακραίων ΚΛ1, ΚΛ2, ΚΛ3 (ακέραια μέτρα).
Το αποτέλεσμα αριθμητικά δείχνει ίδιο αλλά στην πραγματικότητα είναι άνισο.
Τα σημεία Β και Γ εν προκειμένω δείχνονται ίσα στο μέτρο ως προς το Α ή το Δ (αντίστροφα), αλλά είναι στην πραγματικότητα άνισα. Πρόσεξε τι εννοώ:
ε……….Α…………………..ΒΓ………………Δ
Έστω το παραπάνω σχήμα επί ευθείας ε ευρίσκονται τα σημεία Α,Β,Γ και Δ.
Δίνω - δικαίωμα του γεωμέτρη - τα ΒΓ να απέχουν μηδενικά μεταξύ τους, δηλαδή να εφάπτονται και να αποτελούν συνέχεια, χωρίς να είναι διαδοχικά.
Αν έχεις αντιρρήσεις να τις διατυπώσεις βέβαια και τις περιμένω.
Για το μέτρο ισχύει: ΑΒ=ΑΓ αφού ΒΓ δεν απέχουν, αλλά εφάπτονται.
Το Β όμως είναι εσωτερικό της ΑΓ και επομένως απέχει μικρότερη απόσταση από το Α σε σχέση με την απόσταση του Γ από το Α, αξιωματικά θεμελιωμένα σαν εσωτερικό σημείο της ΑΓ.
Επομένως το μέτρο (αριθμοί) δεν είναι ακριβές, γιατί εύκολα αποδεικνύουμε ότι το κάθε εσωτερικό σημείο Μ ευθύγραμμου τμήματος ΑΒ απέχει λιγότερο από το κάθε άκρο του ΑΒ από όσο απέχει το Α από το Β.
Προς τούτο (ένα παράδειγμα είναι) η πρακτική - εποπτική γεωμετρία που περιέχει το υποδεκάμετρο, δεν θεωρείται ακριβής στις μετρήσεις και στιγματίζεται σαν αναξιόπιστη από τους γεωμέτρες μαθηματικούς και τείνουν να απαλλαγούν κατά το δυνατό από την διαίσθηση και την εποπτεία και να καταστεί η γεωμετρία ένα καθαρά θεωρητικό – νοητικό οικοδόμημα.
Όμως εμείς βρισκόμαστε στην Ευκλείδεια συνθετική γεωμετρία και αυτά που σου λέω ισχύουν
αξιωματικά. Εκτός και υποδείξεις αξίωμα που να
απαγορεύει στον κάθε γεωμέτρη να τοποθετήσει τα σημεία επί του επιπέδου, σε όσο μικρή ή μεγάλη απόσταση ο ίδιος επιθυμεί, απόλυτα ελεύθερα.
Σου σημειώνω ότι τη συζήτηση αυτή επαναλαμβάνω για πολλοστή φορά και δεν υπήρξε αντίλογος (παρά μόνο αυτός που πιο κάτω εκφράζεται από σένα σαν απορία να κατανοήσεις) και θα σου υποδείξω που αναφέρομαι.
io-io Δεν γινεται να μπω στη λογικη σου και να καταλαβω το πως σκεφτεσαι, αλλα αυτα που λες, δεν ισχυουν. Η αληθεια ειναι οτι δεν καταλαβαινω καποια κομματια της σκεψης σου. Εδω ας πουμε
ipios
Όλα θα ήταν εντάξει λοιπόν αν είχαμε τρόπο να αποδείξουμε ότι στην άθροιση 1+1=2 το άθροισμα 2 μπορεί να εκφράζει ακέραιο πολλαπλάσιο του 1, όπως στις αθροίσεις ευθύγραμμων τμημάτων αυτό το επιτυγχάνουμε με το κοινό σημείο που ενώνει τα μήκη (ΑΒ)=(ΓΔ)=(ΜΝ).
Υπάρχει όμως αριθμός που να ανήκει συγχρόνως σε 2 ακέραιες θετικές μονάδες, διαφορετικές μεταξύ τους όπως διαφορετικά είναι τα ΑΒ και ΓΔ στη γεωμετρία και έχουν σαν μέσο ένωσης το κοινό σημείο Ο;
Ειλικρινά δεν αντιλαμβάνομαι τη δυσκολία σου, αλλά να σου το εξηγήσω. Γι αυτό εξάλλου κάνουμε συζήτηση.
Στον ορισμό άθροισης ευθύγραμμων τμημάτων, που είναι μεταφορά του ορισμού άθροισης μηκών και τελικά άθροιση των μη αρνητικών αριθμών, κάνουμε το εξής:
Έχουμε ευθύγραμμα τμήματα ΑΒ και ΓΔ.
Πως θα τα αθροίσουμε; Το ίδια δεν μπορούμε βέβαια και πάμε στις αθροίσεις των μηκών τους.
Επί ευθείας ε ορίζουμε σημείο Ο και με τον διαβήτη μεταφέρουμε τα μήκη ΑΒ και ΓΔ εκατέρωθεν του Ο σαν ΜΟ και ΟΝ. Το ΜΝ είναι το άθροισμα των μηκών των ΑΒ και ΓΔ. Εδώ ενώσαμε δύο μήκη (ΑΒ) και (ΓΔ) με κοινό σημείο το Ο και κάναμε το ΜΝ. Το Ο αποτελεί διαδοχικό σημείο, δηλαδή όπου τελειώνει το ΜΟ από εκεί ακριβώς (το Ο δηλαδή) αρχίζει το ΟΝ. Το ΜΝ με κοινό το Ο είναι ένα ακέραιο ευθύγραμμο τμήμα που (υποτίθεται) περιέχει τα μήκη των ΑΒ και ΓΔ. Αν μάλιστα ΜΟ=ΟΝ= 1, τότε το ΜΝ=2 ακέραιο πολλαπλάσιο του 1.
Αυτό όμως πως θα επιτευχθεί io-io με τους ακέραιους αριθμούς 1 και 1, χωρίς τη συμβολή των σχημάτων; Για να ενωθούν 2 αριθμητικές μονάδες χρειάζεται ένα «μέσον» όπως σαν μέσον χρησιμεύει το Ο στα ευθύγραμμα τμήματα. Τα ευθύγραμμα τμήματα ως προς τα μήκη τους, με το Ο κοινό, ενώνονται. Οι μονάδες 1 και 1 ποιο κοινό στοιχείο (κοινό αριθμό δηλαδή κατά αντιστοιχία με το κοινό Ο) έχουν ώστε να ενωθούν όπως τα μήκη και να έχουμε στην άθροιση 1+1=2 το 2 ακέραιο πολλαπλάσιο του 1, όπως το έχουμε στα μήκη των ευθύγραμμων τμημάτων; Υπάρχει κοινό αριθμητικό στοιχείο μεταξύ δύο ανεξάρτητων μονάδων ώστε αυτές να μπορούν να ενωθούν;
Σημείωσε ότι αυτή η
αδυναμία ένωσης των 1 και 1 αριθμητικών μονάδων, είναι που
εκλαμβάνεται σαν δυνατότητα στον ορισμό άθροισης ευθύγραμμων τμημάτων μέσω των μηκών τους.
Τι λέω που είναι ακατανόητο;
io-io
Επισης, αφου οπως λες
ipios
Το κενό ανάμεσα στα τμήματα είναι μηδενικό. Τα τμήματα απλά εφάπτονται. Είναι συνεχόμενα χωρίς κενό, αλλά όχι διαδοχικά.
io-io
τοτε πως συμπεραινεις οτι 3ΚΛ>ΑΔ?
Απλά από την εφαρμογή της μεθόδου της επίθεσης του μέτρου επί του μετρούμενου. Τι πιο απλό; Τα μέτρα ΚΛ1, ΚΛ2 και ΚΛ3, δεν έχουν κοινά σημεία αλλά εφάπτονται σε αντίθεση με τα ΑΒ, ΒΓ, ΓΔ που έχουν κοινά τα σημεία Β και Γ αντίστοιχα.
io-io
Επισης, το οτι εφαπτονται αλλα δεν ειναι διαδοχικα, δεν βγαζει νοημα...
Αυτή είναι η απορία σου που αποτελεί τον μοναδικό αντίλογο που ανέφερα πιο πάνω.
Όμως, γιατί δεν βγάζει νόημα io-io; Τα ΚΛ1, ΚΛ2, ΚΛ3, εφάπτονται και δεν έχουν κοινά σημεία ώστε να είναι διαδοχικά. Είναι απλά συνεχόμενα χωρίς τα άκρα τους να απέχουν στις επαφές τους. Που είναι η δυσκολία σου;
io-io
Και τελος, θα στο ξαναπω: Ξερεις τι ειναι infinitesimal?
Ξέρω io-io. Ξέρω και περί αυτού πρόκειται. Μόνο που αθροιστικά το infinitesimal όπως γίνεται εφαρμογή του μέτρου μπορεί να χάσει το νόημά του και να γίνει μετρήσιμο και άπιερα μεγάλο. Αυτό ακριβώς συμβαίνει και με το πυθαγόρειο. Το ίδιο ακριβώς ισχύει και με τα δύο τεμνόμενα ευθύγραμμα τμήματα. Το infinitesimal στο πυθαγόρειο εκφράζει τη διαφορά του ρητού από το άρρητο που μπορεί να είναι όσο θέλουμε απειροελάχιστο. Αυτό δεν σημαίνει ότι δεν χτυπάει την απόλυτη ακρίβεια των θεωρητικών μαθηματικών και η αγνόησή του είναι από αυθαίρετη στην Ευκλείδεια γεωμετρία μέχρι καταχρηστική ελλείψει αξιώματος που να προβλέπει την αγνόησή του. Εγώ ποτέ δεν ισχυρίστηκα ότι το πυθαγόρειο δεν ισχύει για μέγεθος μη infinitesimal. Έχουμε το δικαίωμα σαν άνθρωποι να κάνουμε μερικές αβαρίες ως προς την ακρίβεια, αλλά αυτό το δικαίωμα δεν ενεργοιποιείται όταν μπορούμε να απαλλαγούμε από την ανακρίβεια.
io-io εμβόλιμα προς Γιώργο.
Μα το θεμα ειναι οτι δεν υπαρχει προβλημα! Εκτος εαν δεν καταλαβα καλα τι εννοεις.
edit: οκ, τωρα διαβασα το τελευταιο σου ποστ και καταλαβα!
Έχω την άποψη ότι ούτε τώρα κατάλαβες,
[αφαιρέθηκε προσβλητικό μήνυμα για χρήστη] Καλώς, αλλά απαντήσεις δεν βλέπω με εξαίρεση την io-io που όμως πιστεύω ότι δεν άφησα κενά στις απορίες της.
Καλό είναι αγαπητέ Γιώργο, μέσα στα πλαίσια της Ευκλείδειας γεωμετρίας να μου πεις κι εσύ αν προβλέπεται ακέραιο πολλαπλάσιο του 1 και αν δύο τεμνόμενα ευθύγραμμα τμήματα εκτός από το να ορίζουν επίπεδο, εκφράζουν και επιφάνεια και γιατί.
Είναι εύκολα και δεν τα απαντάς ή διάβασες πουθενά Μαγκλάρεια γεωμετρία;
Ίσως το θεωρείς και δύναμη από πάνω!
