Io-io
Ε τοτε ας χρησιμοποιησουμε την ορολογια που χρησιμοποιει και ο υπολοιπος κοσμος ωστε να συννενοηθουμ. Συμφωνουμε οτι το R δεν ειναι μετρησιμο, ενω το N ειναι?
Αφού διαπίστωσες ότι με το "μετρημένα" σαφώς εννοώ και αναφέρομαι ρητά στα πεπερασμένα και δεν είναι θέμα δικής σου εκτίμησης ή υπόδειξης ότι «μπορεί αυτό να εννοώ» όπως υποψιάζεσαι (!) ούτε το R θεωρώ μετρήσιμο, ούτε τα σημεία ενός σημειοσυνόλου.
Τους φυσικούς τους θεωρώ μετρήσιμους αενάως αφού δεν είναι πεπερασμένοι αλλά άπειροι.
io-io
Τι αναγνωριζουμε ως μοναδα? Τι μοναδα? Δηλαδη αν παρω το συνολο {1,2} που εχει δυο στοιχεια, τα αναγνωριζω ως μοναδα? Δεν καταλαβαινω..
Δεν αμφιβάλω ότι δεν καταλαβαίνεις φιλαράκι γιατί αν καταλάβαινες δεν θα μου έκανες αυτή την ερώτηση. Βεβαίως και τα θεωρείς σαν μονάδα (χωρίς να είναι βέβαια στην πράξη πέρα από την θεώρηση) και αυτό όχι επειδή το λέω εγώ, αλλά ο ορισμός του Καντόρ περί συνόλων.
ΣΥΝΟΛΑ
Ορισμός Καντόρ
Σύνολο είναι μια συλλογή, μια ομάδα από αντικείμενα, διαφορετικά (διακεκριμένα) μεταξύ των,
που τα θεωρούμε σαν ένα πράγμα, σαν μία ολότητα.
Το σύνολο θα πρέπει να είναι «καλά ορισμένο ή καθορισμένο» δηλαδή τα αντικείμενα που το ΑΠΑΡΤΙΖΟΥΝ θα πρέπει να αναγνωρίζονται μεταξύ τους, να καταλαβαίνουμε δηλαδή αν ένα αντικείμενο είναι ή δεν είναι στοιχείο του συνόλου.
io-io
Αυτο ξαναπεστο.
Σοβαρα τωρα, δεν καταλαβαινω τι εννοεις με το δεν μπορουμε να τα εχουμε. Που να τα εχουμε? Και ποιοι να τα εχουμε?
Δες τον ορισμό φιλαράκι.
1.
Που να τα έχουμε; Εντός του συνόλου σαν στοιχεία του.
2.
Ποιοι να τα έχουμε; Αυτοί ακριβώς που τα θεωρούμε σαν ένα πράγμα. Ποιοι τα θεωρούμε σαν ένα πράγμα; Οι ίδιοι είμαστε λοιπόν που θα τα έχουμε.
Τι απορίες είναι αυτές;
Μιλάς για τα σύνολα και δεν ξέρεις ούτε τον ορισμό που προβλέπει και που θα τα έχουμε και ποιοι θα τα έχουμε; Πάντως όχι οι εξωγήινοι.
io-io
Ναι, λεει κοινο σημειο. Επισης, λεει διαδοχικα ευθυγραμμα τμηματα. Δεν λεει διαδοχικο σημειο, ποσο μαλιστα διαδοχικα σημεια.
Ορθότατο. Δεν αναφέρει διαδοχικά σημεία, αλλά διαδοχικά ευθύγραμμα τμήματα με μέσο διαδοχής των τμημάτων αυτών το κοινό σημείο. Ορθότατη παρατήρηση λοιπόν και σε ευχαριστώ που μου έδωσες την ευκαιρία να το αποσαφηνίσω στον εαυτό μου. Όμως αυτό φιλαράκι δεν αλλάζει καθόλου τις συνθήκες εποπτείας του όλου θέματος. Εκτός και βρεις κάπου να υποστηρίζω ότι λόγω διαδοχικότητας ισχύει το Α και όχι το Β. Κάθε αναφορά μου στα σημεία του επιπέδου ή μιας ευθείας είναι με την εξής διατύπωση:
Τα σημεία του επιπέδου ή της ευθείας είναι συνεχή και διαδοχικά εννοώντας (από σφάλμα μου) το κοινό σημείο των άκρων σαν διαδοχικό. Το ορθό είναι ότι κάθε εσωτερικό σημείο Γ ευθύγραμμου τμήματος ΑΒ, διαιρεί το ΑΒ σε δύο διαδοχικά ευθύγραμμα τμήματα ΑΓ και ΓΒ. Με αυτή την εντύπωση ονομάτισα διαδοχικά τα κοινά άκρα, ενώ διαδοχικά είναι τα ευθύγραμμα τμήματα. Συμφωνώ μαζί σου απόλυτα. Λάθος έκφραση δική μου αλλά δεν αλλάζει η ουσία.
io-io
Κι εμένα με συγχωρείς φιλαράκι που δεν μπορώ να γράφω κείμενα που να διαβάζονται μόνα τους σε χρόνο μηδέν και να σου δίνουν το συμπέρασμα.
Γιατί το λες αυτό φιλαράκι; Δεν παραπονέθηκα όπως εσύ και είναι ειλικρινά χαρά μου να διαθέτω χρόνο να επεξεργάζομαι τις απόψεις σου (και όπως βλέπω μάλιστα να κερδίζω και γνωστικά όπως συμβαίνει με την έννοια της διαδοχής). Ειδικά τις δικές σου απόψεις που είσαι η μοναδική μαθηματικός με θάρρος στο φόρουμ που αναφέρεσαι στα μαθηματικά με την επίκληση αξιωμάτων και όχι με προσωπικές γνώμες όπως οι άλλοι, αν και αυτό το κάνεις σε ένα αντικείμενο (σύνολα) που δεν αποτελεί τη δική μου προτεραιότητα ισχυρισμών.
“
Ipios
Ο Ευκλείδης λέει για εφαπτόμενα και τα εφαπτόμενα επειδή δεν υπάρχουν άλλα στοιχεία στη γεωμετρία του πέραν των σημείων, είναι ΥΠΟΧΡΕΩΤΙΚΑ εφαπτόμενα σημεία είτε πρόκειται για ευθύγραμμα τμήματα, είτε για σχήματα.
Io-io
Εεεεε... και ποιος τα υποχρεωνει να ειναι εφαπτομενα σημεια. Μπορει να ειναι ας πουμε, λεω εγω τωρα, κοινο σημειο (πωωωωω τι μπρεινστορμινγκ ειναι αυτο!)
Εεεεε... και
ποιος τα υποχρεωνει να μην ειναι εφαπτομενα σημεια. Μπορεί φιλαράκι, αλλά το κοινό σημείο δεν λέγεται εφαπτόμενο, αλλά κοινό σημείο!!! Έτσι εφαπτόμενα λέγονται μόνο αυτά που απέχουν μηδενικά μεταξύ τους αλλά δεν ταυτίζονται. Αν πάλι έχεις την άποψη ότι δεν αιτιολογούνται αξιωματικά τα εφαπτόμενα με την έννοια που εγώ δίνω και στην οποία έννοια αναφέρεται και ο Ευκλείδης, δεν έχεις παρά να μου υποδείξεις αξίωμα που να προβλέπει ότι όσα σημεία απέχουν μηδενικά ταυτίζονται υποχρεωτικά. Σου έφερα παράδειγμα την τομή επιπέδου από ευθεία.
Τα σημεία των ακμών των δύο ημιεπιπέδων, απέχουν μηδενικά αφού η ευθεία δεν έχει πλάτος, αλλά δεν ταυτίζονται αφού ανήκουν αμφότερα σε διαφορετικά ημιεπίπεδα. Πως θα το ξεπεράσεις αξιωματικά αυτό το παράδειγμα που είναι αξιωματικά θεμελιωμένο; Σε αυτό «από τότε» δεν μου έχεις απαντήσει. Ή κάνω λάθος για μία ακόμα φορά φιλαράκι;
Ipios
Οι «επαφές» γίνονται μόνο μέσω σημείων εκτός και μου υποδείξεις εσύ ότι μπορεί να γίνεται μέσω κάτι άλλου.
io-io
Ναι, μεσω σημειων. Συμφωνουμε. Κοινων σημειων.
Βάσει ποιου αξιώματος όχι σημείων, αλλά κοινών σημείων;
Με ενδιαφέρει πολύ να το δω, αλλιώς φιλαράκι θα πρέπει να δεχθούμε ότι οι επαφές δεν γίνονται, ούτε μέσω σημείων, ούτε μέσω κοινών σημείων, αλλά μέσω απόφασης σου.
io-io
Ε κοιτα, ειναι λιγο τρομερο. Δηλαδη, γραφει ο ανθρωπος τα αξιωματα. Εχει στο μυαλο του τον ορισμο των εφαπτομενων σχηματων, που συμφωνα με εσενα γινεται μεσω εφαπτομενων σημειων. Μετα, παει να γραψει την προταση, και μπερδευεται, και χρησιμοποιει κοινο σημειο αντι για εφαπτομενα σημεια. Και μενει και στην ιστορια. Ατιμη ζωη, σε αλλους τα δινεις ολα απλοχερα.
Δεν μένει στην ιστορία για την απόδειξή του io-io. Μένει για το αξιωματικό του σύστημα. Εξάλλου δεν είναι το πρώτο λάθος που κάνει, αφού έχει αποδεχθεί την ορθότητα του πυθαγορείου την οποία επιχειρεί με μετασχηματισμούς που κοινά ομολογημένα δεν προβλέπονται ελλείψει αξιώματος που να προβλέπει αθροίσεις σχημάτων. Που είναι το τρομερό λοιπόν; Πήγαινε στις αποδείξεις του πυθαγορείου από Πυθαγόρα και Ευκλείδη που σου παραθέτω, να δεις μετασχηματισμούς που σήμερα τις αρνείται η ΕΜΕ (αλλά δεν το λέει και πουθενά!) ώστε να διαπιστώσεις το σφάλμα του Ευκλείδη που το βρίσκεις τόσο τρομερό να έχει συμβεί!
Πυθαγόρας
https://users.ira.sch.gr/thafounar/Genika/PythagorioTheorima/apodPythagora.html
Ευκλείδης
https://users.ira.sch.gr/thafounar/Genika/Pyth-Euclidis/euclidis.htm
Io-io
Μα τον Θεο, δεν καταλαβα. Οταν δε βαριεμαι θα ψαξω να σου βρω που ειπες διπλανο σημειο. Αλλα δεν εχει σημασια, εστω οτι εκανα λαθος και δεν χρησιμοποιησες ποτε τον ορο διπλανα σημεια.
Δεν θα τα βρεις πουθενά. Αντίθετα θα βρεις στο μήνυμά μου στο φίλο που ήθελε να πληρώσει το επίπεδο με την κίνηση μιας ευθείας, ότι είναι αδύνατο να βρει διπλανό ή αμέσως επόμενο σημείο, σημείου ευθύγραμμου τμήματος, επειδή μεταξύ δύο σημείων όσο κοντινών και να θέλουμε «χωρούν» άπειρα σημεία. Αυτό θα βρεις σε πολλές αναφορές μου και πουθενά ότι υποστηρίζω την ύπαρξη διπλανών σημείων αν και όπως σου είπα στο αξίωμα συνεχείας προβλέπεται ένα τελευταίο σημείο πριν το Ο και ένα πρώτο μετά το Ο, επί σημείου Ο επί ευθείας ε.
io –io
Αν δεν ειναι μετρησιμο το "συνολο" τοτε δεν μπορουν να υπαρχουν "διαδοχικα σημεια".
Ναι?
Αυτό το είπαμε ότι είναι έτσι όπως το λες και σε ευχαρίστησα για την υπόδειξη φιλαράκι. Μένει έναν πράγμα. Πως θα το χρησιμοποιήσεις ενάντια στις απόψεις μου. Ποια άποψή μου ανατρέπει;
Wilmarth
Καλημερα. Συγγνωμη αλλα ως καινουριος δεν εχω μπορεσει να διαβασω ολα τα προηγουμενα μηνυματα. Μηπως μπορει καποιος να μου δωσει τον ορισμο των 'εφαπτομενων σημειων' ;
Wilmarth
Εφαπτόμενα ή απτόμενα αγαπητέ φίλε στα ελληνικά σημαίνει αυτά που εγγίζουν το ένα το άλλο και σε μεταφορά τους στα μαθηματικά ή έννοια δηλώνει τα σημεία που απέχουν μηδενικά μεταξύ τους χωρίς να ταυτίζονται. Θα σου παραθέσω πιο κάτω που η έννοια εφαπτόμενα περιέχεται από τον Ευκλείδη στα αξιώματα, αλλά άποψή μου είναι ότι θα ήταν χρησιμότερο για όλους μας, από το να ζητάς τον ορισμό των εφαπτόμενων σημείων, να μας παραθέσεις αξίωμα - αν γνωρίζεις - που να απαγορεύει δύο σημεία ή άλλο πλήθος σημείων, να μπορούν να απέχουν μεταξύ του όσο λίγο ή πολύ θέλει ο γεωμέτρης, ώστε σε περίπτωση που αναφερόμαστε σε αξιώματα στην έννοια της "επαφής" αυτά να θεωρούνται ότι δεν μπορούν να απέχουν μηδενικά αλλά αποκλειστικά να ταυτίζονται.
Καλώς τον καινούργιο μας φίλο λοιπόν, που ελπίζω όμως να είναι παλιός και έμπειρος μθηματικός ώστε να συνεισφέρει. Το ότι δεν γνωρίζει ότι τα εφαπτόμενα προβλέπονται δεν αποτελεί βέβαια κριτήριο περί την εμπειρία του, αφού από τα φαινόμενα, κανένας μαθηματικός δεν φαίνεται να έχει διαβάσει τα στοιχεία του Ευκλείδη τον οποίο απαξιώνουν (άδικα φρονώ) εκκινώντας από Ντε Καρτ, Χίλμπερτ, Καντόρ κ.τ.λ.
Σε ότι με αφορά σε καλωσορίζω αγαπητέ φίλε Wilmarth και σου ικανοποιώ το αίτημα.
Στοιχεῖα Εὐκλείδου δ΄
[Βιβλίον IV]
Ὅροι ζ΄ [7].
α΄ [1]. Σχῆμα εὐθύγραμμον εἰς σχῆμα εὐθύγραμμον ἐγγράφεσθαι λέγεται, ὅταν ἑκάστη τῶν τοῦ ἐγγραφομένου σχήματος γωνιῶν ἑκάστης πλευρᾶς τοῦ, εἰς ὃ ἐγγράφεται, ἅπτηται.
β΄ [2].Σχῆμα δὲ ὁμοίως περὶ σχῆμα περιγράφεσθαι λέγεται, ὅταν ἑκάστη πλευρὰ τοῦ περιγραφομένου ἑκάστης γωνίας τοῦ, περὶ ὃ περιγράφεται, ἅπτηται.
γ΄ [3]. Σχῆμα εὐθύγραμμον εἰς κύκλον ἐγγράφεσθαι λέγεται, ὅταν ἑκάστη γωνία τοῦ ἐγγραφομένου ἅπτηται τῆς τοῦ κύκλου περιφερείας.
δ΄ [4].Σχῆμα δὲ εὐθύγραμμον περὶ κύκλον περιγράφεσθαι λέγεται, ὅταν ἑκάστη πλευρὰ τοῦ περιγραφομένου ἐφάπτηται τῆς τοῦ κύκλου περιφερείας.
ε΄ [5]. Κύκλος δὲ εἰς σχῆμα ὁμοίως ἐγγράφεσθαι λέγεται, ὅταν ἡ τοῦ κύκλου περιφέρεια ἑκάστης πλευρᾶς τοῦ, εἰς ὃ ἐγγράφεται, ἅπτηται.
ς΄ [6]. Κύκλος δὲ περὶ σχῆμα περιγράφεσθαι λέγεται, ὅταν ἡ τοῦ κύκλου περιφέρεια ἑκάστης γωνίας τοῦ, περὶ ὃ περιγράφεται, ἅπτηται.
ζ΄ [7]. Εὐθεῖα εἰς κύκλον ἐναρμόζεσθαι λέγεται, ὅταν τὰ πέρατα αὐτῆς ἐπὶ τῆς περιφερείας ᾖ τοῦ κύκλου.
