Ασκησούλες δικής μας εμπνεύσεως!

[ipios]

coincidence

Αναφέρετε για σχήματα και αθροίσεις σχημάτων. Υπάρχει ένα θεώρημα σχετικά με την εξωτερική γωνία ενός τρίγωνου. Ισούται με της απέναντι δυο. Έχουμε λοιπόν δυο γωνίες και μια τρίτη που είναι το άθροισμα τους. Και η απόδειξη αυτού είναι πολύ απλή και εύκολη. Τι αντίρρηση φέρνετε σε αυτό παρακαλώ; Είναι ένα θεώρημα που χρησιμοποιείται συχνά. Αν δεν ισχύει η άθροιση γωνιών δε θα ισχύουν και πολλά αλλά.

Αγαπητέ φίλε, θα μου επιτρέψεις να κάνω μία παρατήρηση.
Δυστυχώς για μένα, δεν αντιδρώ όπως αντιδρουν οι άλλοι σε μένα. Αντιδρώ με τη συνοδεία αξιωματικής αιτιολογίας σε κάθε ισχυρισμό μου, όπως σωστά επισημαίνεις. Με εξαίρεση την εξαιρετική συνομιλήτρια io-io που ανταπέδωσε ισχυρισμούς και συζητήσαμε επί της ουσίας για να καταλήξει δυστυχώς (ή ευτυχώς θα έλεγα για την ίδια και τα μαθηματικά) στη σιωπή επί των θέσεών μου, αν ψάξεις στο φόρουμ και σε όλα τα φόρουμς, η μοναδική απάντηση που μου δίνεται στα όποια προβλήματα είναι "σου έχουν δοθεί απαλντήσεις"!!!. Βρες εσύ αγαπητέ μια απάντηση που να συνιδεύεται από αιτιολογία αξιωματικής ισχύος και που να αντιπαρατίθεται στους δικούς μου ισχυρισμούς. Η ίδια η παράθεση απαντητικού κειμένου, δεν συνεπάγεται από μόνη της και απάντηση επι των μαθηματικών, ούτε ασφαλώς και η επίδειξη πττυχίου λύνει τα προβλήματα. Κανενός η άποψη δεν έχει αξία στα μαθηματικά αν δεν αιτιολογείται αξιωματικά.

Επί της ουσίας του προβλήματος που θέτεις αγαπητέ φίλε, η απαντησή μου είναι η πιο απλή που υπάρχει: Κανένα θεώρημα, πόρισμα, απόδειξη, δεν αποδεικνύει τίποτα από μόνο του. Το θεώρημα είναι μία πρόταση προς απόδειξη και όχι απόδειξη. Αλλιώς δεν θα γινόταν από μέρους μου η όποια κίνηση ενάντια στο πυθαγόρειο θέωρημα. Το πυθαγόρειο είναι όμοια πρόταση προς απόδειξη όπως και το θεώρημα που επικαλείσαι. Έχει δηλονότι ανάγκη αξιωματικής στήριξης.
Τα θεωρήματα δεν αποδεικνύουν, αλλά αποδεικνύονται και δεν μπορούμε να τα επικαλούμαστε αποδεικτικά επομένως. Εξ αυτού, όντως επειδή "δεν ισχύει η άθροιση γωνιών δε θα ισχύουν και πολλά αλλά", όπως σωστά παρατηρείς. Αυτό ΑΚΡΙΒΩΣ ισχυρίζομαι.
Κάτω από αυτή την υποχρεωτική από τα μαθηματικά οπτική, σε παρακαλώ να μου υποδείξεις την αξιωματική στήριξη του θεωρήματος που επικαλείσαι για να διαπιστώσεις ότι είναι αστήρικτο αξιωματικά και επομένως δεν ανήκει στα μαθηματικά. Ποτέ ένα σχήμα δεν μπορεί να ισούται με διπλάσιο σχήμα. Αυτό λέει εξάλλου ξεκάθαρα το έγγραφο (ανακοίνωση) της ΕΜΕ το οποίο εξέδωσε απαντώντας στους δικούς μου ισχυρισμούς. Δεν προβλέπονται αθροίσεις σχημάτων. Αλλιώς δεν μπορώ να στο πω και εδώ μένω.

Είσαι ευγενικός συνομιλητής και θα σε παρακαλούσα να μου απευθύνεσαι στον ενικό γιατί έρχομαι σε δύσκολη θέση να σου απαντώ στον ενικό. Εκτός και το επιλέγεις οπότε θα αναγκαστώ να χρησιμοποιήσω πληθυντικό που δεν μου αρέσει και τόσο.

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 18 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

 

[coincidence]

Τα θεωρήματα δεν αποδεικνύουν, αλλά αποδεικνύονται και δεν μπορούμε να τα επικαλούμαστε αποδεικτικά επομένως. Εξ αυτού, όντως επειδή "δεν ισχύει η άθροιση γωνιών δε θα ισχύουν και πολλά αλλά", όπως σωστά παρατηρείς. Αυτό ΑΚΡΙΒΩΣ ισχυρίζομαι.

Δήλαδη αγαπητέ φίλε δε μπορούμε να ισχυριστούμε οτι το άθροισμα των γωνιών τριγώνου είναι 180 μοιρες;
Και αν όχι, ποσο είναι;
Δεν υπάρχει απάντηση;

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 18 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

 

[Γιώργος]

Δήλαδη αγαπητέ φίλε δε μπορούμε να ισχυριστούμε οτι το άθροισμα των γωνιών τριγώνου είναι 180 μοιρες;
Και αν όχι, ποσο είναι;
Δεν υπάρχει απάντηση;

Εάν λοιπόν δεν είναι 180 μοίρες, κάποιο σημείο της απόδειξης (που γίνεται με παράλληλη ευθεία που διέρχεται από μία ακμή του, παράλληλη στην απέναντι πλευρά και εντός-εναλλάξ γωνίες) είναι προβληματικό.

1. Η γωνία δύο αντικείμενων ημιευθειών δεν ισούται με 180 μοίρες;
2. Οι εντός εναλλάξ γνωνίες δεν είναι ίσες μεταξύ τους;

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 18 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

 

[ipios]

Προς τους δύο Γιώργους:

Αγαπητοί φίλοι θα σας μιλήσω για το άθροισμα των γωνιών ενός κύκλου επί του οποίου φέρουμε διαμέτρους και ελπίζω να γίνω πλήρως κατανοητός διότι εκφράζει το ακριβές των αξιωματικών προβλέψεων.
Έστω λοιπόν ότι χωρίζουμε τον κύκλο σε 360 μοίρες με διαμέτρους.
Το άθροισμα των μοιρών (μέτρο γωνίας) ενός κύκλου λοιπόν είναι 360 μοίρες, αλλά από τη στιγμή που ο κύκλος έχει "χωριστεί" σε 360 ίσα μέρη, αυτές οι μοίρες δεν μπορούν να αποτελούν συγχρόνως και 1 γωνία 360 μοιρών, ή το ημικύκλιο μία γωνία 180 μοιρών ή το τεταρτημόριο μία γωνία 90 μοιρών κ.τ.λ.
Κάθε μία από αυτές (όλου του κύκλου, του μισού, του ενός τετάρτου κ.τ.λ.) εκφράζει αποκλειστικά ένα άθροισμα ακέραιων μοιρών και όχι μία γωνία όλων των μοιρών που περιέχει. Δεν αθροίζονται τα σχήματα (γωνίες) ώστε τις 90 μοίρες ενός τεταρτημορίου να μπορούμε να τις πούμε συγχρόνως και 90 μοίρες ακέραιες και ανεξάρτητες μεταξύ τους και 1 γνωνία 90 μοιρών που τις περιέχει.
Τα μέτρα (μοίρες) αθροίζονται όπως οι ακέραιοι φυσικοί αριθμοί και οι ακέραιοι φυσικοί αριθμοί που αποτελούνται, σαν συγκείμενον πλήθος, από μονάδες δεν μπορούν να αθροιστούν σε πολλαπλάσιο του 1.
Έτσι π.χ. το άθροισμα των γωνιών ενός τριγώνου μπορεί να είναι 180 μοίρες, μόνο αν χωρίσουμε την κάθε γωνία σε μοίρες, λ.χ. τη μία γωνία 90 μοίρες, την άλλη σε 60 μοίρες και η τρίτη 30 μοίρες. Τότε θα έχουμε άθροισμα 180 ακέραιες μοίρες, αλλά δεν μπορούμε να θεωρήσουμε ότι αθροίζζουμε 1 γωνία 90 μοιρών, μία 60 μοιρών και μία 30 μοιρών, διότι δεν προβλέπεται ούτε σχηματικά, ούτε αριθμητικά, ούτε μετρικά η υπόδειξη ακέραιου πολλαπλασίου.
Αυτά ισχύουν αξιωματικά και το αν ανατρέπονται ισχύουσες μέχρι τώρα αντιλήψεις ή δημιουργούνται δυσκολίες είναι ένα άλλο θέμα ξεχωριστό που δεν έχει να κάνει ασφαλώς με το αξιωματικό σύστημα και τις όποιες δυνατότητες ή αδυναμίες του. Για την ευκολία μας δεν μπορούμε να θεωρούμε σαν ορθές μη προβλέψιμες αξιωματικά απόψεις, με ότι αυτό συνεπάγεται. Οι δυσκολίες είναι δευτερεύον θέμα, ενώ πρωτεύον είναι η συνέπεια με το αξιωματικό σύστημα.
Στη διάθεσή σας.

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 18 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

 

[coincidence]

Δίνω μια άλλη εκφώνηση.

Με τη βοήθεια των παρακάτω θεωρημάτων(ή όποια άλλα) να βρεθεί για ποια χ ο β είναι κατασκευάσιμος.
β=ημ(270/3χ+1)

Θεώρημα του P.L. Wantzel (1837): Aν ένας αριθμός είναι κατασκευάσιμος με κανόνα και διαβήτη τότε είναι ρίζα ενός πολυωνύμου με ακέραιους συντελεστές, ανάγωγου στο σύνολο των πολυωνύμων με ρητούς συντελεστές που ο βαθμός του είναι δύναμη του 2.
Θεώρημα: Aν ένας αριθμός είναι ρίζα ανάγωγου πολυωνύμου βαθμού ν, τότε δε μπορεί να είναι ρίζα άλλου ανάγωγου πολυωνύμου διαφορετικού βαθμού.

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 18 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

 

[Archie]

Ευρεση συναρτησης που η γραφικη της παρασταση αποτελειτε μονο απο το (α,β):

Εχουμε: (x - α)^2 + (y - β)^2 = 0 μια σχεση που αληθευει μονο για (x,y) = (α,β)

αρα (y - β)^2 = - (x - α)^2
ή
y - β = Τ_Ρ(-(x - α)^2)
ή
y = Τ_Ρ(-(x - α)^2) + β
ή για y=f(x)
f(x) = Τ_Ρ(-(x - α)^2) + β

επηδη -(χ - α)^2 <= 0 για καθε χ απο το R και για να οριζεται η τετραγωνικη ριζα πρεπει
-(x - α)^2 >= 0, πρεπει (-(x - α)^2)=0 δηλαδη χ=α, αρα Df = (a) και f(Df) = f(α) = β, δηλαδη η Cf αποτελειτε μονο απο το σημειο (α,β)

αρα η ζητουμενη συναρτηση θα μπορουσε να ειναι η
f(x) = Τ_Ρ(-(x - α)^2) + β
(οπου Τ_Ρ(ξ) = τετραγωνικη ριζα του ξ και ξ^2 = ξ στο τετραγωνο)

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 18 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

 

[Archie]

λοιπον, ειπα να ανεβασω κι εγω καμια ασκησουλα δικης μου εμπνεύσεως, αλλα επηδη δεν εχω φτιαξει ποτε ξανα δικη μου ασκηση μου πηρε καμια ωρα να σκεφτω μια ασκηση που να μπορει να δυσκολεψει καποιον, τελος παντων αν δεν βαριεστε ριξτε μια ματια στην παρακατω ασκηση (μη σας τρομαζουν τα μεγαλα νουμερα, δεν χρειαζονται πολυ μεγαλες πραξεις)

Να λυθει στο συνολο των πραγματικων αριθμων η εξισωση:

4^(4χ^2 + 9y^2 - 0.5) + 2^(32x + 108y - 195) = 2^[(2χ + 3y)^2 - 25]*{[4^(2x - 9)]^(4 - 3y)}

Ελπιζω να μην εχω κανει πουθενα κανενα λαθος, την κοιταξα πολλες φορες αλλα ποτε δεν ξερεις...

Θα ποσταρω τη λυση σε λιγες μερες αν δεν την εχει βρει κανεις μεχρι τοτε

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 17 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

 

[Archie]

λοιπον, ειπα να ανεβασω κι εγω καμια ασκησουλα δικης μου εμπνεύσεως, αλλα επηδη δεν εχω φτιαξει ποτε ξανα δικη μου ασκηση μου πηρε καμια ωρα να σκεφτω μια ασκηση που να μπορει να δυσκολεψει καποιον, τελος παντων αν δεν βαριεστε ριξτε μια ματια στην παρακατω ασκηση (μη σας τρομαζουν τα μεγαλα νουμερα, δεν χρειαζονται πολυ μεγαλες πραξεις)

Να λυθει στο συνολο των πραγματικων αριθμων η εξισωση:

4^(4χ^2 + 9y^2 - 0.5) + 2^(32x + 108y - 195) = 2^[(2χ + 3y)^2 - 25]*{[4^(2x - 9)]^(4 - 3y)}

Ελπιζω να μην εχω κανει πουθενα κανενα λαθος, την κοιταξα πολλες φορες αλλα ποτε δεν ξερεις...

Θα ποσταρω τη λυση σε λιγες μερες αν δεν την εχει βρει κανεις μεχρι τοτε

καλα αφου δεν ασχολειται κανεις πια, γραφω τη λυση...

4^(4χ^2 + 9y^2 - 0.5) + 2^(32x + 108y - 195) = 2^[(2χ + 3y)^2 - 25]*{[4^(2x - 9)]^(4 - 3y)} <=>
4^(4χ^2 + 9y^2)/2 + 2^(32x + 108y - 194)/2 = 2^[(2χ + 3y)^2 - 25]*{4^(2x - 9)*(4 - 3y)} <=>
(2^2)^(4χ^2 + 9y^2) + 2^(32x + 108y - 194) = 2*2^[(2χ + 3y)^2 - 25]*{4^[(2x - 9)*(4 - 3y)]} <=>
(2^(4χ^2 + 9y^2))^2 + 2^(2(16x + 54y - 97)) = 2*2^[(2χ + 3y)^2 - 25]*(2^2)^[(2x - 9)*(4 - 3y)] <=>
(2^(4χ^2 + 9y^2))^2 + (2^(16χ + 54y - 97))^2 = 2*2^[(2χ + 3y)^2 - 25]*2^[2(2x - 9)*(4 - 3y)] <=>
(2^(4χ^2 + 9y^2))^2 + (2^(16χ + 54y - 97))^2 = 2*2^[4χ^2 + 9y^2 + 12χy - 25]*2^[16χ - 12χy - 72 + 54y] <=>
(2^(4χ^2 + 9y^2))^2 + (2^(16χ + 54y - 97))^2 = 2*2^[4χ^2 + 9y^2 + 12χy - 25 + 16χ - 12χy - 72 + 54y] <=>
(2^(4χ^2 + 9y^2))^2 + (2^(16χ + 54y - 97))^2 = 2*2^[4χ^2 + 9y^2 + 16χ + 54y - 97]

θετουμε α=2^(4χ^2 + 9y^2) και β=2^(16χ + 54y - 97)
οποτε εχουμε:

α^2 + β^2 = 2αβ <=> α = β <=> 2^(4χ^2 + 9y^2) = 2^(16χ + 54y - 97) <=>
4χ^2 + 9y^2 = 16x + 54y - 97 <=> (2x)^2 + (3y)^2 - 16x - 54y + 97 = 0 <=>
(2x)^2 + (3y)^2 - 2*4*2x - 2*9*3y + 97 = 0 <=>
(2x)^2 + (3y)^2 - 2*4*2x - 2*9*3y + 81 + 16 = 0 <=>
(2x)^2 + (3y)^2 - 2*4*2x - 2*9*3y + 9^2 + 4^2 = 0 <=>
(2x)^2 - 2*4*2x + 4^2+ (3y)^2 - 2*9*3y + 9^2 = 0 <=>
(2x - 4)^2 + (3y - 9)^2 = 0 <=> 2x - 4 = 0 και 3y - 9 = 0 <=>
x = 4/2 = 2 και y = 9/3 = 3, αρα (χ,y) = (2,3)

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 17 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

 

[Giwrgos4903]

Too easy. Here is my solution...
Έστω S={n, n+1, n+2, n+3, n+4, n+5} σύνολο που αποτελείται απο 6 διαδοχικούς θετικούς ακεραίους. Ας υποθέσουμε ότι το Σ μπορεί ναχωριστεί σε 2 υποσύνολα S1 και S2 τέτοια ώστε τα γινόμενα a1,a2 των στοιχείων τους να είναι ίσα. Τότε a1=a2(mod7) (1). Παρατηρούμε ότι απο τους 6 διαδοχικούς ακεραίους, μόνο ένας το πολύ μπορεί να διαιρεθεί με το 7. Αυτός θα ανήκει στο S1 ή στο S2, άρα 7/a1 ή 7/a2. Επομέςνως η (1) δεν ισχύει όταν στο S περιέχεται ακέραιος διαιρούμενος δια του 7.

Έστω ότι κανείς απο τους 6 ακεραίους διαιρείται με το 7 άρα αφήνουν υπίλοιπα 1,2,3,4,5,6. Απο το θεώρημα όμως του Wilson έχουμε ότι 6!=-1(mod7) και τέλος η ισοτιμία x^2=-1(mod7) δεν έχει λύση. Άρα QED....

Καλά ρε τι ασκήσεις είναι αυτές... full elementary. Στην ολυμπιάδα πέρισυ άλλα μας έβαζες έ??? Α! Γιατί έβαλες ρε πονηρέ ότι το όνομά σου είναι Γιώργος??? Παιδία μη τον πιστέυετε, το κανονικό υο όνομα είναι Bill ή όπως του αρέσει να τον φωνάζουμε Billako χαχααχαχαχαχα

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 17 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

 

[Rempeskes]

Tι ωραία... Εγώ στην ηλικία σας
(σομπ! νοιώθω παππούς) έλυνα χαζομάρες του στυλ "να βρεθεί ο γ...ος τόπος του τάδε όταν ο δείνα κινείται σε υπερβολή" (1). Φακ πανελλήνιες.



1) γεωμετρικός

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 17 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

 

[Archie]

Να λυθει στο R η εξισωση:

3^(6χ^2 - 24y + 12) + 3^(6y^2 + 12x + 18 ) = 9^[(x + y - 1)^2 - 2xy + 4x - 2y + 9/2] - 1

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 17 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

 

[Rempeskes]

Άρτς βάλε κάτι που να μην χρειάζεται πράξεις μόνο αν θες να τους ξυπνήσεις.

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 17 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

 

[Archie]

Οριστε μια ασκηση δικης μου εμπνευσης που ποσταρα και στο mathlinks αλλα ακομα δεν διατυποθηκε λυση

Ασκηση:

Εστω μια Αριθμιτικη Προοδος πραγματικων αριθμων a_n.
Εστω ακομα οτι ισχυει: (a_i)^3 >= (a_[i - 1])^3 + (a_[j + 1] - a_j)^3
για i = 2, 3, 4, ..., n και j = 1, 2, 3, ..., n - 1

Να αποδειξετε οτι:

(a_1/a_2 + a_2/a_3 + ... + a_[k - 1]/a_k)^2 + (a_k/a_[k - 1] + a_[k - 1]/a_[k - 2] + ... + a_2/a_1)^2 >= 2k^2 - 4k + 2
για καθε φυσικο αριθμο k με 2 =< k =< n.

Ποτε ισχυει η ισοτητα;

Καλη Ανασταση

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 17 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

 

[Resident Evil]

Δεν είναι ακριβώς δικής μου έμπνευσης [μου την είπαν χτες για την ακρίβεια], ούτε άσκηση με την κλασσική έννοια [δλδ δεν χρειάζεται να βάλετε "βαριά" μαθηματικά, αλλά ... λογική μέσα], αλλά ... για να δούμε:

Ο Δρακουμέλ μετά από αγωνιώδεις προσπάθειες καταφέρνει να πιάσει τα 10 στρουμφάκια που του χρειάζονται. Επειδή όμως είναι Χριστούγεννα, τον πιάνει κρίση καλοσύνης. Λέει λοιπόν στα στρουμφάκια ότι θα κάνουν το εξής παιχνίδι. Θα τα βάλει σε μια σειρά και θα τους φορέσει κόκκινα ή πράσινα καπέλα (δεν ξέρουν πόσα πράσινα και πόσα κόκκινα καπέλα υπάρχουν].Το κάθε στρουμφάκι θα μπορεί να βλέπει μόνο τα μπροστινά του [δλδ το 5ο πχ. στρουμφάκι θα μπορεί να βλέπει τα καπέλα των 1-4]. Κατά τη διάρκεια που θα είναι στοιχισμένα ΔΕΝ επιτρέπεται να μιλάνε μεταξύ τους. Το μόνο που επιτρέπεται είναι να πουν τη λέξη "πράσινο" ή τη λέξη "κόκκινο". Αν το στρουμφάκι πετύχει το χρώμα του καπέλου που φοράει τότε θα το αφήνει ελέυθερο, αλλιώς θα το πετάει στη χύτρα. Τα υπόλοιπα στρουμφάκια θα μαθαίνουν αν το στρουμφάκι αυτό σώθηκε ή έπεσε στη χύτρα. Επίσης, θα τους αφήσει λίγο χρόνο πριν έρθει να τους φορέσει καπέλα για να συννενοηθούν μεταξύ τους.

Ερώτηση: Τι συννενόηση πρέπει να κάνουν τα στρουμφάκια μεταξύ τους και πόσα στρουμφάκια μπορούν να σωθούν με σιγουριά?

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 17 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

 

[Subject to change]

Η σειρά με την οποία τα ρωτάει είναι συγκεκριμένη;

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 17 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

 

[Resident Evil]

Nαι... Ξεκινάει από το 10ο και καταλήγει στο 1ο.

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 17 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

 

[vendetta]

Είναι και ο ΠαπαΣτρούμφ μέσα σε αυτά;;;

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 17 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

 

[Resident Evil]

χαχαχαχχα!!! Μπα... φήμες αναφέρουν ότι ο παπα-στρουμφ έχει πάει να δει τη μητέρα-φύση και δεν μπορεί να βοηθήσει...Ο δε Σπιρτούλης όπως συνήθως λέει χαζομάρες και δεν βοηθάει την κατάσταση

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 17 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

 

[Tsipouro]

Όχι ρε π**στη μου, πέταξα το βιβλίο των Διακριτών Μαθηματικών όταν τα πέρασα και υπήρχε παρόμοιο πρόβλημα λυμένο σε παράδειγμα εκεί μέσα... Τέσπα, θα σου πω τη λύση το απόγευμα ή αύριο γιατί έχω δουλειά σε λίγο. Θέλει ισχυρή μαθηματική επαγωγή πάντως, ε;

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 17 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

 

[Ηρώ]

Όχι ρε π**στη μου, πέταξα το βιβλίο των Διακριτών Μαθηματικών όταν τα πέρασα και υπήρχε παρόμοιο πρόβλημα λυμένο σε παράδειγμα εκεί μέσα... Τέσπα, θα σου πω τη λύση το απόγευμα ή αύριο γιατί έχω δουλειά σε λίγο. Θέλει ισχυρή μαθηματική επαγωγή πάντως, ε;

Άσχετο τελείως, αλλά γιατί παιδί μου πετάς τα βιβλία σου;

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 17 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.