Ενδιαφέροντα μαθηματικά προβλήματα προς λύση

[Puff_Daddy]

Ακόμα;

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 17 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[Puff_Daddy]

Πάντως ακόμα τίποτα στο δικό μου . . . .

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 17 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[ΜΠΕΡΔΕΜΕΝΟΣ]

Με τους αριθμούς 1, 3, 4, 6, και χρησιμοποιώντας ΟΛΟΥΣ τους, μόνο ΜΙΑ φορά τον καθένα, και ΜΟΝΟ τις βασικές πράξεις (+,-, %, χ ) , όσες φορές θέλετε την καθεμία, αλλά ΜΟΝΟ αυτές, να μου "φτιάξετε" τον αριθμό 24.

Απαγορεύονται οι δυνάμεις, οι περιοδικοί αριθμοί, οι συγκλίσεις κατά Taylor (και ότι άλλο έχω ακούσει κατά καιρούς σαν λύση )

Greetings

Βρήκα μια λύση, αλλά έχει δυνάμεις:
(6x4)*(1^3)

Μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε "παραθέσεις" μεταξύ των αριθμών που δίνονται; π.χ. Μπορώ να χρησιμοποιήσω τον αριθμό 63;

Περιμένοντας απάντηση στο παραπάνω, βρήκα μια λύση, θεωρώντας σαν "ναι" την απάντηση στο παραπάνω...
(14-6)*3

Μια τρεεεεεεελή που μου ήρθε:
[ max {4, (1+3)} ] * 6



Ένα προβληματάκι:
Σε ένα μοναστήρι υπάρχουν 100 καλόγεροι και ο ηγούμενος. Οι καλόγεροι έχουν κάνει μεταξύ τους όρκο σιωπής. Κανείς δεν έχει το δικαίωμα να μιλήσει με κανέναν. Ο ηγούμενος δεν δεσμεύεται από τον όρκο.
Κάποια μέρα ο ηγούμνενος μαθαίνει (ως δια μαγείας, ας πούμε) πως στο μοναστήρι υπάρχει μια κατάρα. Το επομενο πρωί στη λειτουργία λέει στους καλόγερους:
"Αδελφοί μου, κάποιοι από εσάς (τουλάχιστον ένας) έχουν μια κατάρα. Όποιος την έχει, έχει ένα κόκινο σημάδι στο μέτωπό του. Όποιος έχει την κατάρα, πρέπει να εγκαταλείψει το μοναστήρι".
Κάθε απόγευμα η πόρτα της μονής ανοίγει, ώστε να φύγει όποιος θέλει (όποιος δηλαδή έχει πειστεί πως έχει την κατάρα). Προφανώς μπορούν να φεύγουν και περισσότεροι από έναν, την ίδια μέρα.
Με δεδομένο πως η ανακοίνωση έγινε Δευτέρα πρωί και πως ο τελευταίος (ή ΟΙ τελευταίοι) καταραμένος έφυγε την Παρασκευή, πόσοι ήταν οι καταραμένοι;

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 17 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[Puff_Daddy]

@Μπερδεμένος: Και οι 3 λύσεις λάθος. Απαγορεύονται οι δυνάμεις, όχι, δεν μπορείς να χρησιμοποιήσεις τους οπτικούς συνδυασμούς των αριθμών (12, 63, 46....) παρά μόνο τους ίδιους καθαρούς αριθμούς. Επομένως, και οι 3 λύσεις....στου χαντάκ'

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 17 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[ΜΠΕΡΔΕΜΕΝΟΣ]

Μη μου το παίζεις εμένα "κάποιος"!... Για δοκίμασε και το δικό μου...
Πλάκα κάνω, έτσι;
Άλλο ένα προβληματάκι στρατηγικής: Σε ένα στρατόπεδο συγκέντρωσης μπαίνει ο αξιωματικός και δίνει στους κρατούμενους ένα κουτί με σκουφάκια, άσπρα και μαύρα. Τους λέει να πάρουν από ένα ο καθένας και να το φορέσουν, αλλά υπάρχει απόλυτο σκοτάδι κι έτσι δεν ξέρει κανένας τί χρώμα σκουφάκι φοράει. "Τώρα, τους λέει, βγείτε στην αυλή. Απαγορεύεται να μιλήστε ή να κάνετε νοήματα. Σε λίγη ώρα θα βγω έξω και θέλω να έχετε σχηματίσει ΜΙΑ γραμμή έτσι ώστε όσοι φοράνε άσπρα σκουφάκια να είναι στην αρχή και όσοι φοράνε μαύρα σκουφάκια στο τέλος, ή αντιστροφα".
Τί στρατηγική εφάρμοσαν οι κρατούμενοι; (Προφανώς κάθένας μπορεί να βλέπει τί φοραει κάθε άλλος). Επίσης (προφανως) είναι αδύνατον να αρχίσουν να μπαίνουν σε μια σειρά στην τύχη.. Κάποιο μαγείρεμα θα πρέπει να σκεφτούν..

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 17 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[frappe]

Με τους αριθμούς 1, 3, 4, 6, και χρησιμοποιώντας ΟΛΟΥΣ τους, μόνο ΜΙΑ φορά τον καθένα, και ΜΟΝΟ τις βασικές πράξεις (+,-, %, χ ) , όσες φορές θέλετε την καθεμία, αλλά ΜΟΝΟ αυτές, να μου "φτιάξετε" τον αριθμό 24.

Απαγορεύονται οι δυνάμεις, οι περιοδικοί αριθμοί, οι συγκλίσεις κατά Taylor (και ότι άλλο έχω ακούσει κατά καιρούς σαν λύση)

Μία λύση θα μπορούσε να είναι η 6/(1-3/4)

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 17 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[fandago]

Αν και όχι ακριβώς σχετικό με το θέμα, θέλω να παραθέσω μια είδηση που ίσως ενδιαφέρει κάποιους. Σύμφωνα με αυτήν την πηγή, βρέθηκε λύση σε ένα μαθηματικό πρόβλημα που απασχολούσε τους μαθηματικούς για πάνω από 140 χρόνια. Το πρόβλημα έχει να κάνει με την χρήση της φόρμουλας των Schwarz-Christoffel η οποία όμως δεν εφαρμοζόταν σε όλα τα σχήματα. Πλέον με τις προσθήκες που έκανε ο καθηγητής εφαρμοσμένων Μαθηματικών Crowdy του κολεγίου Imperial στο Λονδίνο, η φόρμουλα μπορεί να χρησιμοποιηθεί για πιο πολύπλοκα σχήματα.

Αν και δεν έχω ιδιαίτερη σχέση για να καταλάβω τι ακριβώς σημαίνει αυτό, φαίνεται σημαντικό

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 17 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[Archie]

αν θελετε ριξτε και μια ματια στην ασκηση που εφτιαξα και εβαλα στο αλλο thread
https://www.e-steki.gr/showthread.php?t=550&page=6

μη την ξαναγραφω εδω...

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 17 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[Bill]

Βάζω ένα για όποιον έχει όρεξη.

Έστω ότι έχουμε ένα πρωτάθλημα με αγώνες σκακιού.Δύο εκ των συμμετεχόντων είναι η Μαρία και ο Γιώργος.
Αυτοί οι δύο αποχώρησαν από το πρωτάθλημα ,πριν αυτό τελειώσει, έχοντας το ίδιο πλήθος αγώνων.
Το συνολικό πλήθος παρτίδων του πρωταθλήματος που παίχτηκαν είναι 23(μαζί με αυτές του Νίκου και της Μαρίας).
Έγινε αγώνας μεταξύ Μαρίας και Νίκου;
Αν θέλετε να το κάνουμε και πιο ενδιαφέρον μπορούμε να το κάνουμε και με πμ αντί να ποστάρετε κατευθείαν την απάντηση.


*Με μία παρτίδα εννοούμε ότι 2 συμμετέχοντες έχουν παίξει μεταξύ τους 2 αγώνες.

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 17 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[fandago]

63-year-old solves riddle from 1970

Avraham Trahtman, a mathematician who also toiled as a laborer after moving to Israel from Russia, succeeded where dozens failed, solving the elusive "Road Coloring Problem."

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 17 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[fandago]

Πως να γυρίσεις μια σφαίρα τα μέσα έξω:
https://video.google.com/videoplay?docid=-6626464599825291409
Πολύ καλό video με τρισδιάστατη απεικόνιση και καλή επεξήγηση

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 17 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[georgeb]

Βρείτε το σύνολο όλων των θετικών ακεραίων n για τους οποίους το σύνολο {n, n+1, n+2, n+3, n+4, n+5} μπορεί να χωριστεί σε 2 υποσύνολα, τέτοια ώστε το γινόμενο των αριθμών του ενός συνόλου, να είναι ίσο με το γινόμενο των αριθμών του άλλου συνόλου.

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 17 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[Archie]

Άρτς βάλε κάτι που να μην χρειάζεται πράξεις μόνο αν θες να τους ξυπνήσεις.

οκ, μολις μου ηρθε μια αλλη ενω κοιτουσα κατι μαθηματικα στο wikipedia

Να αποδειξετε οτι για καθε θετικο ακεραιο ν, ισχυει:

1/1 + 1/(2^2) + 1/(3^2) + ... + 1/(ν^2) >= (ν^2)/(1^2 + 2^2 + 3^2 + ... + ν^2)

Ποτε υσχιει η ισοτητα;

Δεν την σκευτικα αρκετα οποτε μπορει να βγαινει και με καποιο τροπο πολυ ευκολοτερο απο αυτον που ξερω.

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 17 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[Guest 990498]

Mε επαγωγή ειναι αρκετά εύκολο...

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 17 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[Archie]

Mε επαγωγή ειναι αρκετά εύκολο...

ναι το φανταστηκα οτι μπορει να βγαινει με επαγωγη αλλα δεν το δοκιμασα επιδη βιαζομουν (ειχα φροντιστηριο), παντως ετσι οπως την σκευτικα θεωρησα οτι βγαινει αμεσος με εφαρμογη της ανισωτητας cauchy-swartz

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 17 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[georgeb]

1/1 + 1/2^2 +...+ 1/n^2 >= (1+1+...+1)^2/1^2+2^2+...+n^2 = n^2/1^2 +2^2 +...+n^2 απο Andreescu and QED. xaxaxa

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 17 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[georgeb]

Για κάποιους με ''δυνατό μυαλό''...

Problem:
Σ'ένα μαθηματικό διαγωνισμό δόθηκαν τρία θέματα A,B,C. Απο τους συμμετέχοντες υπήρξαν 25 μαθητές που έλυσαν τουλάχιστον ένα πρόβλημα ο καθένας. Απ'όλους τους διαγωνιζόμενους που δεν έλυσαν το πρόβλημα Α, ο αριθμός εκείνων που έλυσαν το Β ήταν διπλάσιος εκείνων που έλυσαν το C. Ο αριθμός των μαθητών που έλυσαν μόνο το Α ήταν ένας παραπάνω απο τον αριθμό των μαθητών που έλυσαν το Α και τουλάχιστον ένα ακόμη πρόβλημα. Απ'όλους τους μαθητές που έλυσαν ένα ακριβώς πρόβλημα, μισοί δεν έλυσαν το πρόβλημα Α. Πόσοι μαθητές έλυσαν μόνο τπ πρόβλημα Β?

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 17 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[io-io]

6?

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 17 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[Giwrgos4903]

6 ειναι αλλά πως το έβγαλες αυτό το αποτέλεσμα?

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 17 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[georgeb]

Μιά ζωή όλο ερωτήσεις είσαι lol...
here is my solution...

Έστω x αυτοί που έλυσαν μόνο το Α, y αυτοί που έλυσαν μόνο το Β, z αυτοί που έλυσαν μόνο το C, κ αυτοί που έλυσαν το Α και το C, r αυτοί που έλυσαν το B και το C, t αυτοί που έλυσαν το Α και Β και τέλος s αυτοί που έλσυαν και τα τρία προβλήματα.

Αφού 25 μαθητές ΄ςλυσαν τουλάχιστον 1 πρόβλημα έχουμε x+y+z+k+t+r+s=25 (1)

Απ'αυτούς που δεν έλυσαν το Α, ο αριθμός εκείνων που έλυσαν το Β ήταν διπλάσιος απο εκείνων που έλυαν το C, οπότε y+r=2(r+z)=>y-r-2z=0 (2)

Οι μαθητές που έλυσαν μόνο το Α ήταν ένας παραπάνω απ'αυτούς που έλυσαν το Α και τουλάχιστον ένα ακόμη πρόβλημα, οπότε x=k+s+t+1 (3)

Απ'όλους τους μαθητές που έλυσαν ένα ακριβώς πρόβλοημα μισοί δεν έλυσαν το πρόβλημα Α, άρα x+y+z=2(y+z)=>x=y+z (4)

Θέτουμε k+t+s=ω οπότε τώρα έχουμε το συστρηματάκι εξισώσεων....

x + y + z + r + ω=25 (a)
y - 2z - r =0 (b)
x -ω=1 (c)
-x + y + z =0 (d)

(a)+(b)+(c)+(d)=>x+3y=26 (5)

Όμως (b)=> y=2z+r >= 2z και (d)=> x=y+z =<y+y/2=3y/2. Άρα y=<x=y/2 (6)

Αλλά Απο τη (5) παίρνουμε ότι x=26-3y και αντικαθιστώντας στην (6) τελικά έχουμε ότι y+3<26y+3y/2.

Αλλά απο την 3η ανισότητα παίρνουμε ότι y=<26/4=13/2<7 ενώ απο τη 2η ανισότητα έχουμε ότι 26=<9y/2=>y>=52/9>5.

Άρα y=6 είναι οι μαθητές που έλυσαν μόνο το πρόβλημα Β. QED...

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 17 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.