Ενδιαφέροντα μαθηματικά προβλήματα προς λύση

[tanos56]

O λόγος που ζητήθηκε είναι σε μία ακριβή και (όχι προσεγγιστική) του έκφραση ο
2π/εF(-1/2,1/2 ; 1 ; ε^2), όπου ε: η εκκεντρότητα και F η υπεργεωμετρική. Αν μπορώ να θέσω κι εγώ (δεν ξέρω τους κανόνες και αν δεν μπορώ αγνοήστε το) μία προσιτή σε όλους ασκησούλα ,δίνω την παρακάτω.
Βρείτε τις συναρτήσεις f για τις οποίες είναι f(x) f ΄(x)=0, για κάθε x στο R.

καλές διακοπές σε όλους.

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 18 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[Subject to change]

Θα το πάω με γνώσεις λυκείου γιατί απο διαφορικές δεν θυμάμαι τι-πο-τα (και το είχα περάσει κιόλας, λολ)
yy'=0 => y=0 και/ή y''=0
Αν y'=0 => y=c (c σταθερά)
Η περίπτωση y=0 υπάγεται στην y=c η οποία λογικά είναι η γενική λύση.

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 18 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[io-io]

yy'=0 => (y^2)'=0 => y^2=c => y= sqrt(c)=constant

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 18 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[tanos56]

Η απάντηση που δόθηκε από τον ιο-ιο δεν είναι επίσης ορθή. Το ότι το τετράγωνο μίας συνάρτησης είναι σταθερός αριθμός ,δεν συνεπάγεται ότι και η συνάρτησση είναι σταθερή.

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 18 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[io-io]

Εχουμε y^2=c => y=sqrt(c) ή y=-sqrt(c).

Καποια σημεια θα δινουν την τιμη + και καποια την τιμη -.

Ομως, για να οριζεται η παραγωγος, πρεπει η συναρτηση να ειναι συνεχης, οποτε η θα παιρνει παντου την θετικη τιμη η παντου την αρνητικη.

Αρα οι λυσεις ειναι y=k, οπου k πραγματικος αριθμος.


Υ.Γ. Την ιο-ιο

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 18 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[tanos56]

Όπως θετεις το θεώρημα, χρειάζεσαι και τον περιορισμό ότι κάθε ζητούμενη συνάρτηση δεν μηδενίζεται πουθενά στο R. Το θεώρημα που πολύ σωστά θυμήθηκες διατυπώνεται:"Αν μία συνεχής σε ανοικτό διάστημα (Το R είναι και ανοικτό και κλειστό),συνάρτηση δεν μηδενίζεται σε αυτό, τότε διατηρεί σταθερό πρόσημο σε αυτό). Κάτι τέτοιο όμως δεν προκύπτει από την υπόθεση. Η φ(χ)=χ^2+1 είναι συνεχής στο R, αλλά παίρνει και θετικές και αρνητικές τιμές.

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 18 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[tanos56]

Διόρθωση: η φ(χ)=χ^2-1....

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 18 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[io-io]

Μα εγω δεν μιλαω για μια οποιαδηποτε συναρτηση! Η συναρτηση που παιρνει τις τιμες +κ η -κ, αν θελουμε να ειναι συνεχης, πρεπει να διατηρει προσημο!

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 18 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[m3nt0r]

Οι συνάρτησεις της μορφής:

f(x) = a*I^x

με παράγωγο (-2Ι *a* Ι^χ)/pi

οπότε γινόμενο -2*I*a^2*(I^x)^2/Pi

δεν έχουν αποτέλεσμα 0 στον άξονα των R για κάθε x?

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 18 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[tanos56]

Προφανώς ο ισχυρισμός σου είναι σωστός έτσι όπως τον έθεσες τώρα καλύτερα. Οστόσο θα πρέπει να αποδείξεις την πρόταση: "Δεν υπάρχει συνεχής συνάρτηση που να παίρνει -αποκλειστικά- δύο διακεκριμμένες τιμές Υ1,Υ2.(Η απόδειξη είναι άμεση με το θεώρημα ενδιαμέσων τιμών και με την εις άτοπο απαγωγή). Αν θέλεις να εντοπίσεις μία πιο γρήγορη λήση πρόσεξε ότι το πρόβλημά μας πολλαπλασιάζοντας με 2 είναι ότι δημιουργείται άρτιος εκθέτης στο y.
Πολλαπλασίασε με κάτι άλλο....

Συγχαρητήρια

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 18 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[tanos56]

Οι συνήθεις Δ.Ε αναφέρονται σε πραγματικές συναρτήσεις και επιλύονται πάντα σε διάστημα ή ένωση διαστημάτων. Με τις μιγαδικές συναρτήσεις (που δεν είναι και τόσο συναρτήσεις, γιατί υπεισέρχεται το πρόβλημα του πλειονότιμου)-αν αυτό εννοείς- τα πράγματα διαφοροποιούνται και πηγαίνουμε σε συνοριακά προβλήματα. Ωστόσο θα ήθελα να δω αυτό που προτείνεις. Μπορείς να το γράψεις λίγο πιο κατανοητά στα σύμβολα προς αποφυγή παρενοήσεως?
ΣΕ ΕΥΧΑΡΙΣΤΩ

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 18 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[m3nt0r]

Οι συνήθεις Δ.Ε αναφέρονται σε πραγματικές συναρτήσεις και επιλύονται πάντα σε διάστημα ή ένωση διαστημάτων. Με τις μιγαδικές συναρτήσεις (που δεν είναι και τόσο συναρτήσεις, γιατί υπεισέρχεται το πρόβλημα του πλειονότιμου)-αν αυτό εννοείς- τα πράγματα διαφοροποιούνται και πηγαίνουμε σε συνοριακά προβλήματα. Ωστόσο θα ήθελα να δω αυτό που προτείνεις. Μπορείς να το γράψεις λίγο πιο κατανοητά στα σύμβολα προς αποφυγή παρενοήσεως?
ΣΕ ΕΥΧΑΡΙΣΤΩ

Λοιπόν έχουμε:

i = (-1)^0.5

y = f(x) = a * (i^x)

y' = f'(x) = -2 * i * a * (i^χ)/pi

yy' = -2*i * (a^2) * (i^x)^2 / Pi


έχεις δίκιο πάντως για το ότι έπρεπε να ψάξουμε το ζήτημα σε πραγματικές συναρτήσεις, απλώς παρέθεσα και ένα παράδειγμα όπου η προβολή στον πραγματικό άξονα του γινομένου είναι 0 για όλες τις τιμές του x E R.

Και εγώ ευχαριστώ για την απαντησή σου.

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 18 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[Rempeskes]

αν και φαινεσαι πολύ συγκροτημένο άτομο

Εγώ;;; Πρώτη φορά το ακούω...

... τις απόψεις του οποίου ερευνά ακόμα η Μαθηματική Ιστορία , χωρίς ποτέ να τις διακωμωδεί.

Κακώς. Παίρνει πολύ στα σοβαρά τον εαυτό της η κυρία, γι' αυτό χωρίσαμε.

καλό θα είναι να είμαστε πιο επιφυλακτικοί για το τι είχε στο μυαλό του όταν συνέτασσε εκείνη την επιστολή.

Τώρα αφήνεις υπόννοιες ότι κάτι ξέρεις...

"Δεν υπολογίζεται στοιχειωδώς" δεν σημαίνει δεν εκφράζεται "αναλυτικά", οπότε καταφεύγεις σε συνταγές Αριθμητικής ανάλυσης.
Σημαίνει δεν εκφράζεται μέσω "στοιχειωδών συναρτήσεων", (κλειστού τύπου) όπως π.χ το αόριστο ολοκλήρωμα της 1/lnχ (όπως άλλωστε συμβαίνει με τα ελλειπτικά ολοκληρώματα).
Αν επιχειρήσεις να αποδείξεις ότι μία καμπύλη είναι μετρήσιμη (όπως η έλλειψη), και εκφράσεις το μήκος της, ως το όριο μία συγκλινούσης σειράς έχεις πρόβλημα?Ενημερωτικά σου λέω-είναι πολύ πιθανό να το γνωρίζεις-ότι υπάρχουν και άλλες ακριβείς αναλυτικές εκφράσεις για το μήκος έλλειψης. Επειδή δεν μπορώ να γράψω εδώ μαθηματικά σύμβολα" μπορώ να σου τις στείλω (αν θέλεις).

Και πάλι... "Δεν υπολογίζεται στοιχειωδώς" σημαίνει "δυναμοσειρά". Από το καιρό του Weierstrass μάλιστα. Ό,τι τύπο και να παραθέσεις, δεν θα είναι "κλειστός" - εσύ το είπες - και ακόμα και να μην αναφέρει κάποια δυναμοσειρά, αυτή θα υπάρχει στο παρασκήνιο. Ευχαριστώ για τους τύπους, αλλά δεν καίγομαι πλέον για το μήκος της έλλειψης, όταν το χρειάστηκα δεν είχα σύνδεση στο νετ.

Σε ότι δε αφορά τους δημιουργούς του πακέτου ΜATHEMATICA σου συνιστώ να μην τους εμπιστεύεσαι ιδιαίτερα.

Χμ... Καλά κάνω και επιμένω στο Μaple δηλαδή; Όλοι το αντίθετο μου λένε ("ρε αρχαίε", "ρε οπισθοδρομικέ", "μείνε και σε σπηλιά ρε" και άλλα τέτοια ωραία).

Απλά επιθυμώ να γίνεις λιγώτερο αντγωνιστικός.

Μα δεν μας βάζουν και κάνα βραβείο οι τσιγκούνηδες αντμινς, δεν έχουμε ανταγωνισμό για τίποτα...

τόσο θα πρέπει να αποδείξεις την πρόταση: "Δεν υπάρχει συνεχής συνάρτηση που να παίρνει -αποκλειστικά- δύο διακεκριμμένες τιμές Υ1,Υ2.

Πρέπει να γίνουν όλα αυτά για να πούμε απλά ότι οι μόνες (συνεχείς) είναι οι σταθερές;;

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 18 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[Subject to change]

Για την απάντηση που δόθηκε στην yy΄=0, στο R (η οποία λύνεται με μαθηματικά Λυκείου), η απάντηση που δόθηκε από την Μichele δεν είναι ορθή.
Το ότι το γινόμενο δύο συναρτήσεων μπορεί να είναι ο αριθμός μηδέν, δεν συνεπάγεται κατ΄ανάγκη ότι μία τουλάχιστον από τις δύο είναι ίση με το μηδέν.

Αουτς! Τι πατάτα ήταν αυτή που έκανα!!
Διαγράψτε το απο τη μνήμη σας τώρα!!!

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 18 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[Rempeskes]

Μη βιάζεσαι, δεν είναι τυχαίες oι συναρτήσεις εδώ, έχουμε και μια παράγωγο στη μέση...

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 18 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[tanos56]

Rembeske
Tελικά είσαι φάση,μην αλλάξεις, έχω αρχίσει να σε "πάω". Αν σε είχα μαθητή θα σε αγαπούσα πολύ Επειδή όμως τα Μαθηματικά δεν είναι "Μπακλαβάς" ...

1. Περιμένω έμπλεος ανυπομονησίας να μου απαντήσεις-με Μαθηματικά και όχι με λόγια- που πως-εμπλέκεται δυαναμοσειρά στο αόριστο ολοκλήρωμα της συνάρτησης:
f(x)=
(3/2st(x))cos(1/x)+(1/st(x))sin(1/x), αν χ θετικό και 0, αν χ=0. (st: τετραγωνική ρίζα).
σημ: το αόριστο ολοκλήρωμα υπάρχει σε αναλυτική έκφραση, αλλά δεν υπολογίζεται στοιχειωδώς.
2. Η συμβουλή σου στην Michelle δεν είναι σωστή. Ο ισχυρισμός της Μichele θα ήταν σωστός, αν η f εδίδετο "συνεχώς" παραγωγίσιμη στο R.
3. Προφανώς οι σταθερή συνάρτηση δεν είναι η μοναδική συνεχής.Αν δεν το αντελήφθης αποδείξαμε ότι "αν το τετράγωνο μίας συνεχούς συναρτησεως είναι σταθερή συνάρτηση σε ανοικτό διάστημα, τότε και η ίδια η συνάρτηση είναι σταθερή".
4. Ούτε το "Μaple" επιλύει τέτοιες Δ.Ε. Eίναι πολύ "ψιλά γράμματα", για τα εν χρήσει πακκέτα.

5. Για μία γρήγορη λύση στην Δ.Ε-χωρις προβλήματα με άρτιους εκθέτες- πολλαπλασιάστε με 3y .
6. Για την απάντηση του ευγενικού φίλου με παράδειγμα της μιγαδικής συνάρτησης. Φίλε μου η συνάρτηση που έδωσες δεν είναι παραγωγίσιμη στο R. Eίναι πλειονότιμη και έχει σημεία ασυνεχειας όταν φτάνουμε σε πολική γωνία θ=e

Δίνω δύο ενδιαφέροντα θέματα.
Είναι από τα καλύτερα που κυκλοφορούν σε "στενό" κύκλο. Aν βρείτε χρόνο και αγαάτε τα Μαθηματικά ασχοληθείτε.

α. Δίνονται 5 σημεία στο εσωτερικό τετραγώνου πλευράς 1. Αποδείξτε ότι δύο τουλάχιστον από αυτά απέχουν μεταξύ τους απόσταση μικρότερη του αριθμού "ρίζα δύο διά δύο".

β. Μία από τις ωραιότερες ασκήσεις Γεωμετρίας

Δίνονται δύο σημεία Δ,Ε επί των πλευρών ΑΒ, ΑΓ, αντιστοιχα τριγώνου ΑΒΓ, ώστε ΒΔ=ΓΕ. Αν Μ,Ν τα μέσα των ΒΓ, ΔΕ αντιστοιχα , και Αχ η εσωτερική διχοτόμος της Α, δείξτε ότι ΜΝ//Αχ

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 18 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[tanos56]

ΤΡΙΑ ΕΊΝΑΙ ΤΑ ΠΙΟ ΓΟΝΙΜΑ ΠΕΔΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗΣ ΣΚΕΨΗΣ ΓΙΑ ΕΝΑΝ ΔΙΔΑΣΚΟΜΕΝΟ

ΕΥΚΛΕΙΔΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ
ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ
ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΗ

θεόδωρος Καζαντζής

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 18 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[m3nt0r]

α. Δίνονται 5 σημεία στο εσωτερικό τετραγώνου πλευράς 1. Αποδείξτε ότι δύο τουλάχιστον από αυτά απέχουν μεταξύ τους απόσταση μικρότερη του αριθμού "ρίζα δύο διά δύο".


Η μόνη διάταξη που δεν ικανοποιεί την συνθήκη(εκτός των ορίων του προβλήματος,δηλαδή τα 4 σημεία στην περίμετρο του τετραγώνου)

r = sqrt(2) / 4



Οποιαδήποτε μετακίνηση του ενός εκ των τεσσάρων τις περιμέτρου σημείων στο εσωτερικό του τετραγώνου θα φέρει αυτό σε απόσταση μικρότερη του sqrt(2) / 2 με το κεντρικό σημείο απο το οποίο πρώτιστα απέχει sqrt(2) / 2.

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 18 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[io-io]

Χωριζουμε το τετραγωνο σε τεσσερα μικροτερα, ισα μεταξυ τους, με πλευρες ισες με 1/2 η καθεμια. Αφου εχουμε 5 σημεια, θα υπαρχει τουλαχιστον ενα τετραγωνο με 2 σημεια στο εσωτερικο του (η στις πλευρες του). Η μεγαλυτερη αποσταση που μπορει να υπαρξει μεσα στο τετραγωνο ειναι ιση με ριζα2/2, η διαγωνιος δλδ. Οποτε τουλαχιστον 2 απο τα σημεια απεχουν αποσταση μικροτερη η ιση του ριζα2/2.

Η γεωμετρια θελει χαρτι και μολυβι οποτε μετα που θα εχω ορεξη

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 18 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

[tanos56]

Συγχαρητήρια io io .

Xρησιμοποίησες "αρχή των θυρίδων". Αυτή είναι η απόδειξη.
Η άλλη άποψη -αν και ευρηματική-δεν είναι θεωρητική, γιατί βασίζεται στην έννοια της εποπτείας και του σχήματος. Ασχοληθείτε όταν έχετε χρόνο με την άλλη άσκηση, θα σας γοητεύσει!
Η Γεωμετρία πέθανε το 73, όταν αφαιρέθηκαν από την ύλη του Λυκείου οι τόποι και οι κατασκευές. Όμως παραμένουν ακόμα κάποιες ασκήσεις "ΠΑΝΤΑ ΑΝΘΙΣΜΕΝΕΣ", Όπως η "αθάνατη παρτίδα" (Σκάκι)

 

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 18 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.