Ενδιαφέροντα μαθηματικά προβλήματα προς λύση

[io-io]

1.Θεωρούμε τους "πρώτους μεταξύ τους " φυσικούς α,b.Δείξτε ότι οι αριθμοί α+b και α^2-αb+b^2, δεν έχουν άλλο κοινό διαιρέτη μέγαλύτερο της μονάδας, εκτός ίσως κάποιων αριθμών, που όλοι είναι δύναμη του 3.

Εχουμε (a,b)=1.

Εστω οτι p/a+b , p/a^2-ab+b^2 για καποιον πρωτο αριθμο p.

=> p/(a+b)^2 => p/a^2 +2ab +b^2

Αν ενας αριθμος διαιρει δυο αλλους, θα διαιρει και την διαφορα τους οποτε

p/3ab.

Εχουμε τοτε, αφου το p ειναι πρωτος:

p/3 ή p/a ή p/b


p/3: p=1 ή p=3

p/a: p/a+b => p/b => p=1

p/b: το ιδιο οπως πριν!

Αρα, ο μονος πρωτος κοινος διαιρετης μπορει να ειναι το 3!

Οποτε, οι a+b , a^2-ab+b^2 μπορουν να εχουν μονο δυναμεις του 3 ως κοινους διαιρετες!

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 19 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

 

[tanos56]

Απαντήσεις στους φίλους

1. Ναι Μichelle, έχεις δίκιο. Στις ασκήσεις υπολογισμού, καλό είναι να δίνουμε αποτέλεσμα

2. m3ntOr. Είναι άλλο θέμα, το πόσες τετραμελείς υποομάδες σχηματίζονται, δηλαδή με πόσους τρόπους μπορούμε να επιλέξουμε 4 άτομα από τα 12, και άλλο το "με πόσους τρόπους χωρίζουμε 12 άτομα, σε 4 τριμελείς υποομάδες".
Στην πρώτη περίπττωση διαλέγουμε 4 άτομα και τέλος. Στην άλλη έχουμε και άλλη δουλειά.Για τον έλεχχό σου -επειδή βλέπω ότι λατρεύεις την συνδυαστική- σου λέω ότι οι δυνατές περιπτώσεις χωρισμού 12 ατόμων σε 4 τριμελείς υποομάδες είναι 165.

*Η άσκηση υπήρξε στο βιβλίο του Οργανισμού της Δέσμης και επί δύο χρόνια η λύση που έδιναν οι συγγραφείς ήταν λάθος. (Δεν έχει σχέση με την δική σου θεώρηση) . Εδώ δεν πρόκειται για διατεταγμένους μερισμούς. Στείλαμε από τον πρώτο χρόνο, με τον Θ. Καζαντζή την διόρθωση, αλλά δεν εισακουστήκαμε. Αργότερα -μετά ένα χρόνο-μας ζήτησαν διευκρινίσεις.Τότε ο αλησμόνητος Καζαντζής με το παροιμιώδες χιούμορ που τον διέκρινε, απήντησε γραπτώς:" Συγχαρητήρια, ανακαλύψατε ότι μπορώ να παίξω σκάκι με τον φίλο μου tanoς56, με δύο τρόπους: ή εγώ με τον tano56, ή ο tanos56 με μένα!!!!!!!!".(Προφανώς τα δύο ενδεχόμενα είναι ισοδύναμα).
3. Η λύση της io-io στη θεωρία αριθμών είναι σωστή. Io io, αν είσαι συνάδελφος, καλό θα είναι να ασχοληθείς με την θεωρία αριθμών περαιτέρω. Στην στοιχειώδη θεωρία Αριθμών -κατά την ταπεινή μου άποψη- έχεις πολύ καλές βάσεις.
Τα πεδία της Αλγεβρικής και Αναλυτικής Θεωρίας αριθμών αναζητούν τρελλαμένους ερευνητές.


Βλέπω τα άλλα...

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 19 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

 

[io-io]

3. Η λύση της io-io στη θεωρία αριθμών είναι σωστή. Io io, αν είσαι συνάδελφος, καλό θα είναι να ασχοληθείς με την θεωρία αριθμών περαιτέρω. Στην στοιχειώδη θεωρία Αριθμών -κατά την ταπεινή μου άποψη- έχεις πολύ καλές βάσεις.
Τα πεδία της Αλγεβρικής και Αναλυτικής Θεωρίας αριθμών αναζητούν τρελλαμένους ερευνητές.


Βλέπω τα άλλα...

Αχ μην μου λες τετοια... Ενω τρελαινομαι για θεωρια αριθμων, γενικα τα καθαρα μαθηματικα δεν με τρελαινουν. Ισως και να τα πηρα με στραβο ματι! Εχω ασχοληθει περισσοτερο με εφαρμοσμενα παντως αν και σε μικροτερη ηλικια διαβασα καποια βιβλια θεωριας αριθμων. Σκεφτομαι να συνεχισω παντως, αλλωστε ως και με την κβαντομηχανικη σχετιζεται!!

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 19 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

 

[m3nt0r]

Απαντήσεις στους φίλους

2. m3ntOr. Είναι άλλο θέμα, το πόσες τετραμελείς υποομάδες σχηματίζονται, δηλαδή με πόσους τρόπους μπορούμε να επιλέξουμε 4 άτομα από τα 12, και άλλο το "με πόσους τρόπους χωρίζουμε 12 άτομα, σε 4 τριμελείς υποομάδες".
Στην πρώτη περίπττωση διαλέγουμε 4 άτομα και τέλος. Στην άλλη έχουμε και άλλη δουλειά.Για τον έλεχχό σου -επειδή βλέπω ότι λατρεύεις την συνδυαστική- σου λέω ότι οι δυνατές περιπτώσεις χωρισμού 12 ατόμων σε 4 τριμελείς υποομάδες είναι 165.

Αγαπητέ φίλε πρώτον συγχαρητήρια και ευχαριστώ που διαθέτεις τον χρόνο να παρέχεις ποιοτικές ασκήσεις αλλά και να σχολιάζεις τις απαντήσεις μας,

σχετικά με το πρόβλημα:

παίρνοντας μία απο τις a= 12!/(8!*4!) ομάδες ("δεσμέυοντας" στην ουσία 4 στοιχεία) τα εναπομείνοντα 8 στοιχεία σχηματίζουν b=8!/(4!*4!) ομάδες καθώς δεσμέυοντας άλλα 4 το εναπομείνων συμπηρωματικό σύνολο σχηματίζει την 3η 4μελή ομάδα, οπότε διαιρώντας το γινόμενο (a*b) με το 3! ώστε να έχουμε τις μοναδικές διατάξεις έχουμε
5775 διατάξεις τριών τετραμελών ομάδων, διόρθωσε την σκέψη μου καθώς σε όποιο σημείο μέχρι εδώ κάνω κάποιο λάθος, ευχαριστώ.

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 19 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

 

[tanos56]

1. m3ntOr

Kατά την γνώμη μου , ξεχνάς -σε αντιθεση με τις πολύ καλές σκέψεις στη Συνδυαστική_ότι η αποδείξεις στην Ευκλείδια Γεωμετρία , είναι βασισμένες σε συγκεκριμένα θεωρήματα, που προκύπτουν και αποδεικνύονται, βάσει των αξιωμάτων της και όχι στην εικαστική-το ξαναλέω- αντίληψη της εποπτείας. Στην αρχή θεώρησες-σωστά-κεντρική συμμετρία με κέντρο το Μ. Στη συνέχεια αναφέρεσαι σε αξονική συμμετρία ως προς ΜΝ. Όμως η εικόνα του ΠΧ-ώς προς άξονα ΜΝ- ,δεν είναι το Π΄Χ΄.

2. Rembeske

Eπειδή την δόξα-πολλοί περιφρόνησαν,αλλά το χρήμα ουδείς-, σκέφτηκες ποτέ να παντρέψεις-δεν έχεις ανάγκη από Μαθηματικό συνεργάτη, έχεις πολύ ψηλό επίπεδο-, ένα βιβλίο Μαθηματικών με το απίστευτο χιούμορ που διαθέτεις? Πιστεύω ότι θα γινόταν ανάρπαστο, μεταξύ των υποψηφίων ή των φοιτητών.Θα έπαιρνες όλα τα λεφτά.Τελικά αυτό που αποσιάζει από τη ζωή μας είναι το χιούμορ. Με "τρελλαίνεις".... Αν όχι, σκέψου τουλάχιστον να αρθρογραφήσεις...Για την άποψή μου θα στο θέμα που ασχολήθηκες, θα σου γράψω σε λίγο, γιατί μόλις πέρασε εξω από το ΙΝΤΕΡΝΕΤ CAFE ένα πλάσμα, που μ΄κανε να ξεχάσω τον Γ.Τ του σημείου, από το οποίο ξεκίνησα.....​

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 19 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

 

[m3nt0r]

1. m3ntOr

Kατά την γνώμη μου , ξεχνάς -σε αντιθεση με τις πολύ καλές σκέψεις στη Συνδυαστική_ότι η αποδείξεις στην Ευκλείδια Γεωμετρία , είναι βασισμένες σε συγκεκριμένα θεωρήματα, που προκύπτουν και αποδεικνύονται, βάσει των αξιωμάτων της και όχι στην εικαστική-το ξαναλέω- αντίληψη της εποπτείας. Στην αρχή θεώρησες-σωστά-κεντρική συμμετρία με κέντρο το Μ. Στη συνέχεια αναφέρεσαι σε αξονική συμμετρία ως προς ΜΝ. Όμως η εικόνα του ΠΧ-ώς προς άξονα ΜΝ- ,δεν είναι το Π΄Χ΄.

Ναι έχεις δίκιο στην τελευταία πρόταση, δεν ανέφερα ότι το είναι συνευθειακά τα σημεία (έχωντας τοποθετήσει λάθος το π') οπότε αφού και πάλι πιστεύω οτι αποδεικνύεται με αυτή την πορεία σκέψης απλώς χρειάζετε κάποια δουλειά στην εξήγηση...

Πιστέυω γενικά ότι η οπτικοποίηση που δυστυχώς δεν μπορεί να σταθει ώς απόδειξη, παρά μόνο απόδειξη στο μυαλό του σκεπτόντος, είναι το ισχυρότερο εργαλείο στην μελέτη των μαθηματικών.


Ευχαριστώ.

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 19 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

 

[tanos56]

φίλε m3ntOr.

Eγώ έκανα αριθμητικό λάθος (μάλλον φταίει το "πλάσμα")και Μπράβο. Ναι οι δυνατοί τρόποι είναι 5.775.
Αν θέλεις ένα άλλο υποδειγματικό τρόπο εργασίας σε τέτοια προβήματα, (ΤΑ ΠΡΆΓΜΑΤΑ ΠΕΡΙΠΛΈΚΟΝΤΑΙ ΌΤΑΝ ΟΙ ΥΠΟΟΜΑΔΕΣ ΔΕΝ ΕΙΝΑΙ ΙΣΟΠΛΗΘΕΙΣ), θα δώσω ένα τέτοιο, είναι ο παρακάτω.

Θεωρούμε ένα συγκεκριμένο άτομο από τα 12 και επιλέγουμε 3 από τους υπόλοιπους 11.Αυτή η επιλογή γίνεται με συνδυασμούς των 11, ανά 3, έστω κ. Μετά τον καθορισμό της πρώτης ομάδας, θεωρούμε έναν από τους εναπομείναντες 8 και επιλέγουμε 3 από τους τελευταίους 7. Αυτό γίνεται με συνδυασμούς των 7, ανά 3, έστω λ. Ο καθορισμός των δύο πρώτων υποομάδων, καθορίζει αυτόματα και την τρίτη. Με βάση την πολλαπλασιαστική αρχή το αποτέλεσμα είναι:κλ=5.775 τρόποι.
Στην Γεωμετρία έχω την αίσθηση, ότι δεν επιλύεται με αυτήν την οδό.

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 19 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

 

[m3nt0r]

Ευχαριστώ για τις παρατηρήσεις και για την υπόδειξη ως προς μελλοντικά τέτοια προβλήματα, όσο για την γεωμετρία θα φτιάξω ένα καλύτερο σχήμα και εξήγηση επι αυτού.

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 19 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

 

[tanos56]

Το πλάσμα μπήκε στο ΙΝΕΡΝΕΤ CAFE και ξετυλίγονται σκηνές ROK... m3ntOr είσαι πολύ δυνάτός σην Συνδυαστική (σπάνιο) και εγώ στο καμάκι (πιο σπάνιο).Τι λες? να την προσκαλέσω στο πύργο για τσαΪ με βουτήματα, τώρα που ο Τσάρος λείπει για κυνήγι?

Rembeske τέτοιες ώρες μου λείπεις.....

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 19 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

 

[m3nt0r]

Το πλάσμα μπήκε στο ΙΝΕΡΝΕΤ CAFE και ξετυλίγονται σκηνές ROK... m3ntOr είσαι πολύ δυνάτός σην Συνδυαστική (σπάνιο) και εγώ στο καμάκι (πιο σπάνιο).Τι λες? να την προσκαλέσω στο πύργο για τσαΪ με βουτήματα, τώρα που ο Τσάρος λείπει για κυνήγι?

Rembeske τέτοιες ώρες μου λείπεις.....

Μάλλον θα πρέπει να συμβουλευτείς κάποιον άλλον για τέτοια ζητήματα .

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 19 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

 

[io-io]

2. Ποιά είναι η πιθανότητα χωρίζοντας -στην τύχη- μία 12μελή ομάδα σε 3 τετραμελείς υποομάδες, τέσσερις συγκεκριμένοι φίλοι να βρεθούν στην ίδια υποομάδα?

(Χ=)Οι διαφορετικοι τροποι να φτιαχτουν 3 τετραδες ειναι (12!)/(4!4!4!). Επειδη δεν μας ενδιαφερει η διαταξη των τριων ομαδων, διαιρουμε επισης με 3!.

(Ψ=)Οι διαφορετικοι τροποι να φτιαχτουν οι αλλες 2 ομαδες εαν εχουμε τους 4 φιλους μαζι ειναι (8!)/(4!4!). Επειδη παλι δεν μας ενδιαφερει η διαταξη αυτων των 2 ομαδων, διαιρουμε με 2!.

Αρα, η ζητουμενη πιθανοτητα ειναι:

Ψ/Χ = (8!4!4!4!3!)/(4!4!2!12!) = (2*3*4*3)/(9*10*11*12) = 1/165

Δεν εχω διαβασει τη λυση που εδωσε o Μ3nt0r αλλα τσεκαρα το αποτελεσμα και ειναι το ιδιο. Εκτος αν το διορθωσατε παρακατω..

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 19 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

 

[m3nt0r]

Στο παραπάνω σχήμα παρατηρούμε ότι με την περιστροφή του τριγώνου AΒΓ και την δημιουργία του τετραπλεύρου, με χρήση του ότι η Αχ είναι η διχοτόμος της Α αποδεικνύουμε ότι πχρ' // ρχ'π' έπειτα παρατηρούμε ότι πχ = π'χ' ρχ' = ρ'χ χ'Μ = χΜ ρ'Ν' = ρΝ και π'Ν' = πΝ μπορούμε πλέον να αποδείξουμε ότι η πχρ΄αποτελεί ανάκλαση της π΄χ΄ρ επι του άξονα ΝΜΝ' ακολουθούμενη απο περιστροφή 180 αλλά καθώς ένα τμήμα ανακλώμενο επί άξονα διατηρεί την κλίση του μόνο αν είναι παράλληλο τού άξονα αυτού και η περιστροφή της π'χ'ρ κατά 180 μοίρες είναι παράλληλη με αυτήν έχουμε NMN // πχρ' // π'χ'ρ

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 19 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

 

[tanos56]

1. io io, αν θέλεις χρησιμοποίησε παρανθέσεις-καταλαβαίνεις τι εννοώ-για να μη παρενοήσω κάτι...

2. Φίλε μου θα σου απαντήσω, αλλά χρησιμοποίησε το πρώτο σχήμα σου, γιατί στο δεύτερο υπάρχει σίγουρα ιός

κάνε και συ έναν έλεγχο

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 19 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

 

[io-io]

Το διορθωσα, ελπιζω να ειναι πιο ξεκαθαρο τωρα!

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 19 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

 

[Subject to change]

2. Rembeske

Eπειδή την δόξα-πολλοί περιφρόνησαν,αλλά το χρήμα ουδείς-, σκέφτηκες ποτέ να παντρέψεις-δεν έχεις ανάγκη από Μαθηματικό συνεργάτη, έχεις πολύ ψηλό επίπεδο-, ένα βιβλίο Μαθηματικών με το απίστευτο χιούμορ που διαθέτεις? Πιστεύω ότι θα γινόταν ανάρπαστο, μεταξύ των υποψηφίων ή των φοιτητών.Θα έπαιρνες όλα τα λεφτά.Τελικά αυτό που αποσιάζει από τη ζωή μας είναι το χιούμορ. Με "τρελλαίνεις".... Αν όχι, σκέψου τουλάχιστον να αρθρογραφήσεις...​

Συμφωνώ απόλυτα!!

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 19 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

 

[tanos56]

H πχρ΄αποτελεί ανάκλαση της π΄χ΄ρ επι του άξονα ΝΜ

Εδώ ξεκινά το λάθος σου. Μέχρις στιγμής αναφέρθηκες σε κεντρική συμμετρία ως προς Μ. Η συμμετρία ως προς άξονα προΫποθέτει να φερουμε την κάθετο από το σημείο προς τον άξονα. Το συμμετρικό δηλαδή της π΄χ΄ρ
ως προς τον άξονα που ορίζει η ΜΝ δεν είναι η πχρ΄.

Συμβουλή
Στις ασκησεις Γεωμετρίας καταφεύγουμε σε έναν μετασχηματισμό, όταν δεν δημιουργείται λογικά"σχήμα πρωθύστερο". Τι εννοώ:
Για να δείξεις ΑΔ//ΜΝ, αρκεί και πρέπει Α΄Δ΄//ΜΝ. Όμως αν μπορούσες να δείξεις κάτι τέτοιο, με τον ίδιο τρόπο θα μπορούσες να δείξεις και ΑΔ//ΜΝ, χωρίς να χρειαζόταν να κατασκευάσεις την Α΄Δ΄.

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 19 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

 

[tanos56]

io io. Στην συνδυαστική είσαι σωστή.Ελπίζω να μη με μισήσεις για την Άσκηση Γεωμετρίας.Είναι άσκηση παλιών χρόνων, όταν η Γεωμετρία εδιδάσκετο σε πολύ ψηλή επίπεδο και θα μπορούσε να δυσκολέψει οποιονδήποτε συνάδελφο. έχουν φάει -ακόμα και εκείνα τα δύσκολα χρόνια- στήσιμο στον Πίνακα Γεωμέτρες "αετοί", με ασκήσεις Γεωμετρίας. Αύριο το βράδυ θα δώσω τη λύση. Προσπαθώ να βρώ έναν τρόπο για να γράψω την άσκηση της Ανάλυσης. Πως επισυνάπτεται ένα αρχείο? Το έκανε ο Rembeskes με τα ολοκληρώματα.

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 19 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

 

[io-io]

Την ασκηση γεωμετριας την εχω ξαναλυσει ειμαι σχεδον σιγουρη οταν ημουν 16-17 και ασχολουμουν πολυ με γεωμετρια. Γιαυτο και θα την προσπαθησω παλι, δεν θα παραδωσω τα οπλα!

Για επισυναψη αρχειων, ειναι το κουμπι με τον συνδετηρα πανω απο το κουτακι που πληκτρολογουμε την απαντηση νομιζω. Απο εκει και περα δεν ειμαι σιγουρη για τη διαδικασια καθως δεν το εχω προσπαθησει αλλα νομιζω οτι σου λεει τι να κανεις...

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 19 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

 

[tanos56]

Ανήκεις στις "επίλεκτες Δυνάμεις"
Δεν παραδίνεσαι. Αυτή είναι μία από τις 10 αρχές-κατά τον Καζαντζή-για να γίνεις μεγάλη Μαθηματικός.

Σε μία Συνεδρία, παρουσία του τότε υφυπουργού Παιδείας και πλήθους συναδέλφων, ο Καζανζτής ρωτηθηκε από τον τον Σύμβουλο του Υπουργείου , τι θα απαντούσε ένας ευφυής μαθητής Δημοτικού, στο ερώτημα Λογικής(???) :"Ένα πλοίο έχει 15 πρόβατα και 45 γίδια. Βυθίζεται στις 12.30 κάπου στον Ατλαντικό. Να βρεθεί η ηλικία του καπετάνιου".

Ο θρυλικός "Ρούλης" κοίταξε γλυκύτατα τον Σύμβουλο και του είπε:
"Αν το ρωτούσατε εσείς θα σας απαντούσε: Δεν ξέρω την ηλικία του καπετάνιου, αλλά μπορώ να υπολογίσω εύκολα την δική σας.Είστε ακριβώς 42 ετών."
Ο Σύμβουλος σάστισε ρωτώντας: "Πως θα το υπολογίζε?"
'θα σας έλεγε ότι έχει έναν αδελφό που είναι 21 και είναι μισόχαζος..."

Πέσαν κορμιά....

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 19 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

 

[io-io]

Ανήκεις στις "επίλεκτες Δυνάμεις"
Δεν παραδίνεσαι. Αυτή είναι μία από τις 10 αρχές-κατά τον Καζαντζή-για να γίνεις μεγάλη Μαθηματικός.

Σε μία Συνεδρία, παρουσία του τότε υφυπουργού Παιδείας και πλήθους συναδέλφων, ο Καζανζτής ρωτηθηκε από τον τον Σύμβουλο του Υπουργείου , τι θα απαντούσε ένας ευφυής μαθητής Δημοτικού, στο ερώτημα Λογικής(???) :"Ένα πλοίο έχει 15 πρόβατα και 45 γίδια. Βυθίζεται στις 12.30 κάπου στον Ατλαντικό. Να βρεθεί η ηλικία του καπετάνιου".

Ο θρυλικός "Ρούλης" κοίταξε γλυκύτατα τον Σύμβουλο και του είπε:
"Αν το ρωτούσατε εσείς θα σας απαντούσε: Δεν ξέρω την ηλικία του καπετάνιου, αλλά μπορώ να υπολογίσω εύκολα την δική σας.Είστε ακριβώς 42 ετών."
Ο Σύμβουλος σάστισε ρωτώντας: "Πως θα το υπολογίζε?"
'θα σας έλεγε ότι έχει έναν αδελφό που είναι 21 και είναι μισόχαζος..."

Πέσαν κορμιά....

χαχαχαχαχα καταπληκτικος!

Ευχαριστω για τα καλα σου λογια..

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 19 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.