Ενδιαφέροντα μαθηματικά προβλήματα προς λύση

[tanos56]

Aρχικά για την ακολουθία που έδωσες Rembeske και έχει όριο τον αριθμός 2 (όμοια λύνεται και η άλλη ). Πρόκειται για την αναδρομική πρώτης τάξης αν+1=st(2+αν), α1=st(2). (ν,ν+1: δείκτες και st: τετρ. ρίζα)
Φαντάζομαι ότι εννοείς και μία άλλη απόδειξη, με βάση τα προηγούμενα. (Τις άλλες θα τις δω το βράδυ, γιατί παίζω με έναν πολύ δυνατό. Αληθεια να κάνουμε μία σελίδα με σκακιστικά προβλήμα? Ανοίξτε την εσεις το βράδυ με πως το είπατε? σλιπ?). Γι αυτήν που σε δυσκόλεψε πάντως αρκετό καιρό, σου λέω προκαταβολικά, ότι σε τέτοιες περιπτώσεις-κατά κανόνα- σε αποδεικτέες της μορφής:
f(α,b)>g(α,b), α,b σε διάστημα Ι,-σε επίπεδο Λυκείου-, (γιατί αλλοιώς επιλύονται με ελεύθερα ακρότατα συναρτήσεων δύο μεταβλητών), θεωρούμε την φ(χ)=f(α,x)-g(α,χ), ή την φ(χ)=f(α,x)/g(α,x), εφ΄όσον η g διατηρεί σταθ. πρόσημα στο Ι και εργαζόμαστε με μονοτονία και ακρότατα.
Τα διπλά της σημεία της ακολουθίας είναι οι ρίζες της χαρακτηριστικής: λ^2-λ+2=0, με την λ=-1 απορριπτέα, αφού η ακολουθία είναι γνησίως αύξουσα (απλά με επαγωγή) και είναι α1>0 (επομένως θετικών όρων). Επίσης είναι άνω φραγμένη με άνω φράγμα π.χ τον 2, ή τον 3 (και πάλι απλά με επαγωγή). Συνεπώς θα συγκλίνει και μάλιστα στο δεύτερο από τα διπλά της σημεία, δηλαδή τον αριθμό 2.

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 19 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

 

[m3nt0r]

Rempeskes:

Η πιθανότητα πλησίαζει σύμφωνα με τον τύπο που έβγαλα κάποια σταθερα:

0.3678794407634187

αν λέει κάτι αυτό.

η οποία σταθερά όπως μόλις ανακάλυψα πρόκειτε για τον αριθμό 1/e

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 19 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

 

[tanos56]

m3ntOr , το όριο της ακολουθίας σου είναι ο αριθμός 2. (Αναδρομική πρώτης τάξης-θεωρία διπλών σημείων)

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 19 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

 

[m3nt0r]

m3ntOr , το όριο της ακολουθίας σου είναι ο αριθμός 2.
(Αναδρομική πρώτης τάξης-θεωρία διπλών σημείων)

Πολύ σωστά, αν και ακούγεται κάπως να το λέω εγω σε έναν μαθηματικό

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 19 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

 

[tanos56]

m3ntor

Ξέρεις πολύ περισσότερα Μαθηματικά,απ΄όσο εγώ Η/Υ. Nοιώθω τελείως αμόρφωτος, που ασχολούμενος -στο γνωστικό πεδίο-συνέχεια με τα Μαθηματικά, παρέμεινα "τούβλο" στα Αγγλικά και στους όρους των Η/Υ.
Ξέρεις ότι έκανα 2 ώρες να εγγραφώ?
( Δυστυχώς μιλάω μόνο δύο "άχρηστες" γλώσσες. Στη μία χώρα από αυτές μου απογορεύεται από στρατιώτης να πάω (κι ούτε θέλω) και η άλλη παίρνει άδικα Παγκόσμια κύπελα στα πέναλτυ...). Μακάρι λοιπόν να ήξερα και εγώ Αγγλικά και Η/Υ.

Όταν τελείωνα τα "κσθαρά" Μαθηματικά, οι λίγοι τρελλαμένοι που τα ακολουθήσαμε, λέγαμε ειρωνικά για τους εφαρμοσμένους: "Το λανθάνειν εστιν ανθρώπινον.. Ωστόσο για να τα κάνεις τελείως θάλασσα χρειάζεσαι και έναν υπολογιστή...."

Χρειάστηκε να περάσουν πολλά χρόνια για να συνειδητοποιήσω ότι δεν είναι έτσι..."

Αλήθεια: Σε ποιο στάδιο εξέλιξης βρίσκονταιοι "γλώσσες" συναρτησιακής λογικής?
(Prolog)?

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 19 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

 

[Rempeskes]

m3ntor:

η οποία σταθερά όπως μόλις ανακάλυψα πρόκειτε για τον αριθμό 1/e

Σωστός...

f(n) = st(2)^f(n-1)

Σε τέτοιες περιπτώσεις, κάνεις την απατεωνιά f(n)=όριο, και το βρίσκεις με πράξεις


tanos:

σου λέω προκαταβολικά, ότι σε τέτοιες περιπτώσεις- ότι σε τέτοιες περιπτώσεις-κατά κανόνα- σε αποδεικτέες της μορφής:
f(α,b)>g(α,b), α,b σε διάστημα Ι,-σε επίπεδο Λυκείου-, (γιατί αλλοιώς επιλύονται με ελεύθερα ακρότατα συναρτήσεων δύο μεταβλητών), θεωρούμε την φ(χ)=f(α,x)-g(α,χ), ή την φ(χ)=f(α,x)/g(α,x), εφ΄όσον η g διατηρεί σταθ. πρόσημα στο Ι και εργαζόμαστε με μονοτονία και ακρότατα.

Μα σου λέω, δοκίμασα τα πάντα, ακόμα και με ultrex λούστηκα...

Δε γινόταν.

Μου είχε γίνει έμμονη ιδέα. Δε μπορούσα να φάω, να κοιμηθώ, να κάνω σεξ πάνω από μιά ώρα...

Και γιατί δε λυνόταν; Γιατί σκεφτόμουν σα να ήμουν ακόμα στο Λύκειο.
Μου είχαν μείνει στεγανά στη σκέψη.

Συνεπώς θα συγκλίνει και μάλιστα στο δεύτερο από τα διπλά της σημεία, δηλαδή τον αριθμό 2.

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 19 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

 

[m3nt0r]

m3ntor

Ξέρεις πολύ περισσότερα Μαθηματικά,απ΄όσο εγώ Η/Υ. Nοιώθω τελείως αμόρφωτος, που ασχολούμενος -στο γνωστικό πεδίο-συνέχεια με τα Μαθηματικά, παρέμεινα "τούβλο" στα Αγγλικά και στους όρους των Η/Υ.
Ξέρεις ότι έκανα 2 ώρες να εγγραφώ?
( Δυστυχώς μιλάω μόνο δύο "άχρηστες" γλώσσες. Στη μία χώρα από αυτές μου απογορεύεται από στρατιώτης να πάω (κι ούτε θέλω) και η άλλη παίρνει άδικα Παγκόσμια κύπελα στα πέναλτυ...). Μακάρι λοιπόν να ήξερα και εγώ Αγγλικά και Η/Υ.

Όταν τελείωνα τα "κσθαρά" Μαθηματικά, οι λίγοι τρελλαμένοι που τα ακολουθήσαμε, λέγαμε ειρωνικά για τους εφαρμοσμένους: "Το λανθάνειν εστιν ανθρώπινον.. Ωστόσο για να τα κάνεις τελείως θάλασσα χρειάζεσαι και έναν υπολογιστή...."

Χρειάστηκε να περάσουν πολλά χρόνια για να συνειδητοποιήσω ότι δεν είναι έτσι..."

Αλήθεια: Σε ποιο στάδιο εξέλιξης βρίσκονταιοι "γλώσσες" συναρτησιακής λογικής?
(Prolog)?

Παρά ότι το αποκορύφωμα (για εμένα) της ανθρώπινης νόησης που λέγεται Η/Υ απαιτεί γνώσεις που αποκτούνται μόνον απο την χρήση αυτού, πείρα δηλαδή, δεν αναιρεί το ότι οι κατασκευαστές αυτού είναι οι θεωρητικοί μαθηματικοί, και χωρίς αυτούς ακόμα πέτρες θα βαράγαμε για φωτιά στην ζούγκλα,δεν θα έπρεπε λοιπόν να αισθάνεσαι αμόρφωτος παρά άπειρος στο συγκεκριμένο θέμα.

Τώρα όσον αφορά τις γλώσσες όπως η prolog δεν υπάρχει μεγάλη εξέλιξη καθώς είναι ειδικού σκοπού,και όπως πάντα ότι δεν είναι εφαρμόσιμο σε ευρύ πεδίο παίρνει πόδι στην πληροφορική, τελευταία παρα όλα αυτά υπάρχει κάποια αύξηση του ενδιαφέροντος προς αυτές και κυρίως.

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 19 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

 

[tanos56]

Τουλάχιστον εσύ ξέρεις, όσο κι αν φαίνεται "τυφλοσύρτης" ότι η σύγκλιση (αν υπάρχει σύγκλιση) των αn και αν+1 και μάλιστα προς τον ίδιο αριθμό, είναι ισοδύναμη, βάσει γνωστού θεωρήματος...
Μάλλον πιο τυφλοσύρτης είναι η επάγωγική απόδειξη γα τον φραγμένο και την μονοτονία. Ωστόσο υπάρχουν αναδρομικές με πολύ "ανεβασμένη λύση". Θα δώσω σήμερα μία. Τώρα όσο αφορά την ανισότητα, ας την δούμε και αυτή , που δεν έβγαινε με τίποτα και σε έκανε "κοκόρι"...

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 19 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

 

[m3nt0r]

Vkey:

4-bonus) Νδο για κάθε 0<α<1, 0<β<1 ισχύει

έχουμε:

lim (b->0-) a ^ b = 1 γνησίως αύξουσα για 0<a,b<1 στο ζητούμενο διάστημα δηλαδή
lim (b->0-) b ^ a = 0 γνησίως φθίνουσα
lim (b->1+) a ^ b = a γνησίως αύξουσα στο ζητούμενο διάστημα παρομοίως
lim (b->1+) b ^ a = 1 γνησίως αύξουσα στο ζητούμενο διάστημα


άρα

για σταθερό a
lim (b->0-) a^b + b^a = 1
lim (b->1+) a^b + b^a = 1 + a

καθώς a^b + b^a γνησίως άυξουσα με κατέυθυνση ->1+ στο ζήτουμενο διάστημα, κάτω όριο = 1 για b εκτός ορίου(0) οπότε για b>0 έχουμε 1+d(d>0) και πάνω όριο = 1+a(a>0) οπότε για οποίοδηποτε b ισχύει η συνθήκη με σταθερό a οπότε με σταθερό b και για οποιοδήποτε a.

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 19 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

 

[Rempeskes]

έχουμε:

lim (b->0-) a ^ b = 1 γνησίως αύξουσα για 0<a,b<1 στο ζητούμενο διάστημα δηλαδή
lim (b->0-) b ^ a = 0 γνησίως φθίνουσα
lim (b->1+) a ^ b = a γνησίως αύξουσα στο ζητούμενο διάστημα παρομοίως
lim (b->1+) b ^ a = 1 γνησίως αύξουσα στο ζητούμενο διάστημα

Χμ... Λαμβάνοντας το lim (b->0+) a ^ b, θεωρείς τη συνάρτηση b->a^b --- η οποία είναι γν. φθίνουσα.
Αντίστοιχα η b->b^a είναι αύξουσα.

καθώς a^b + b^a γνησίως άυξουσα

Δεν γνωρίζεις αν είναι μονότονο και το άθροισμα των δύο! Εδώ αρχίζει ο εφιάλτης...


Υγ. Γιατί στραφήκατε σε αυτό συγκεκριμένα; Κοιτάξτε κανείς μην το αποδείξει, θα νοιώσω εντελώς στόκος!

Υγ2. Το ατέρμονο κλάσμα της 3) είναι πολύ απλό, και δεν θέλει κάτι περισσότερο από γνώσεις λυκείου. Ο νικητής παίρνει δώρο τα "Calculus Ι&ΙΙ" του Apostol, σε μορφή πρακτικού e-book (shift+del και ξεμπέρδεψε).

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 19 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

 

[m3nt0r]

Χμ... Λαμβάνοντας το lim (b->0+) a ^ b, θεωρείς τη συνάρτηση b->a^b --- η οποία είναι γν. φθίνουσα.
Αντίστοιχα η a->b^a είναι αύξουσα.


Δεν γνωρίζεις αν είναι μονότονο και το άθροισμα των δύο! Εδώ αρχίζει ο εφιάλτης...

ούπς ναι ενα λαθάκι, επιστρέφω με νέα λύση

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 19 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

 

[io-io]

3) Νδο για το ακόλουθο κλάσμα ισχύει

Φανταζομαι οτι εχεις ξεχασει κατι, το κλασμα οπως μας το δινεις ειναι ισο με (-1+sqrt5)/2. Προσθετοντας μια μοναδα στο αριστερο μελος εχουμε τη σωστη κκφραση που ειναι ιση με τη γνωστη χρυση τομη. Για να αποδειχθει η σχεση θετουμε χ=το μεγαλο κλασμα που βαριεμαι να ξαναγραψω και εχουμε τη σχεση
χ =1/(1+χ) που μας δινει χ^2+χ-1=0 οποτε χ=(-1+sqrt5)/2.

Αρα το αριστερο μερος (αφου εχουμε προσθεσει τη μοναδα που σου ξεφυγε) ειναι ισο με (1+sqrt5)/2, τη χρυση τομη!

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 19 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

 

[theio_vrefos]

ωραίο το θρέαντ!!! θέλω και εγώ
στα μαθηματικά του λυκείου ήμουν πολύ καλός, τώρα έχω σκουριάσει
καιρός να διορθωθεί !

Π.Σ. τάνος56 αυτός ο μαθηματικός είναι θεός! δώσε και καμία άλλη πληροφορία η' τέτοια αστειάκια! Έψαξα στο νετ αλλά δε βρήκα τίποτα

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 19 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

 

[m3nt0r]

4-bonus) Νδο για κάθε 0<α<1, 0<β<1 ισχύει

Λοιπόν

1) εξετάζουμε την f(x) = x^x

f'(x) = x^x*(ln(x)+1)

θέτουμε f'(x) = 0

και έχουμε μια πραγματική ρίζα στο : 1/e

όπου f(1/e) = .6922006276 > 0.5

άρα f(1/e) = ελάχιστο

οπότε f(x) = 2*x^x > 1 για κάθε x


τώρα έχουμε f(a,b) = a^b + b^a

άρα f(x,y) = f(y,x)

οπότε σχηματίζεται

ο χώρος(οι κόκκινες βούλες είναι παράδειγμα συμμετρίας):

τώρα έχουμε:

t1 = t2
f(0,t2) = 1 άρα f(t1,0) = 1

ΚΑΙ Η ΔΙΑΓΩΝΙΟΣ ΤΟΥ ΧΩΡΟΥ(ΜΕ ΑΡΧΗ ΤΟ 0) είναι η συνάρτηση που περιγράψαμε παραπάνω f(x) = 2*x^x > 1 για κάθε χ
άρα πηγαίνωντας απο το t1 στο t2 κινούμενοι πάνω στην ευθεία έχουμε την συνάρτηση: g(t0) = (t2-t0)^t0 + t0^(t2-t0) ΚΑΙ ΤΗΝ ΑΝΤΙΣΤΟΙΧΗ ΣΥΜΜΕΤΡΙΚΗ ΤΗΣ ΚΑΙ ΙΣΗ καθώς f(x,y) = f(y,x) που και οι δύο συγκλίνουν στο f((t2 * 0.5),(t2 *0.5)) > 1.

τώρα παραγωγίζουμε την g(t) και έχουμε:

g'(t) = (t2-t)^t*(ln(t2-t)-t/(t2-t))+t^(t2-t)*(-ln(t)+(t2-t)/t)

παρατηρούμε ότι για t = t2/2 έχουμε g' = 0
που είναι και η μοναδική ρίζα της συνάρτησης
άρα καθώς η g(t) είναι κατοπτρική κατα τον άξονα t1t2 με κέντρο συμμετρίας το σημείο (t2/2,t2/2), και έχει g'(t) = 0 στο σημείο αυτό, αυτό αποτελεί και το μεγιστό της.

οπότε η g(t) στην ευθεία t1t2 είναι γνησίως αύξουσα στο διάστημα [0,τ2/2] με g(0) = 1 και g(t2/2) = 2*(t2/2)^(t2/2) > 1
και επίσης απο την πλευρά του τ1 με τις ιδιες οριακές τιμές καθώς κατοπτρική.

οπότε για κάθε a,b f(a,b) > 1


αύριο θα παραθέσω και τους τύπους σε εικόνες για πιο εύκολη ανάγνωση.

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 19 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

 

[Rempeskes]

Χαίρομαι που ανάψανε τα αίματα...


ιο:

Αρα το αριστερο μερος (αφου εχουμε προσθεσει τη μοναδα που σου ξεφυγε) ειναι ισο με (1+sqrt5)/2, τη χρυση τομη!

Ουχ!!! Ακόμα δεν έχω μάθει να κάνω πράξεις Εμ, μετά τα 65, το χάνεις λίγο. Πολύ σωστά, τη χρυσή τομή είχα υπόψη, και κατέληξα με τη... μπρούτζινη.


Υγ. Συγχαρητήρια, κέρδισες και τα δυο e-books του Apostol. Τα θες;
(-εγώ όχι. ξουτ.)

μεντωρ

άρα πηγαίνωντας απο το t1 στο t2 κινούμενοι πάνω στην ευθεία έχουμε την συνάρτηση: g(t0) = (t2-t0)^t0 + t0^(t2-t0)

Πολύ καλή σκέψη με την επιφανειακή καμπύλη! Εντυπωσιάστηκα.

Απλά όμως επαναδιατύπωσες το πρόβλημα που έχουμε με τη καταραμένη παράγωγο:

g'(t) = (t2-t)^t*(ln(t2-t)-t/(t2-t))+t^(t2-t)*(-ln(t)+(t2-t)/t)
παρατηρούμε ότι για t = t2/2 έχουμε g' = 0
που είναι και η μοναδική ρίζα της συνάρτησης

...γιατί είναι η μοναδική ρίζα; Το ίδιο πρόβλημα έχει και η παράγωγος της f(x)=x^y+y^x...

Και επίσης

άρα καθώς η g(t) είναι κατοπτρική κατα τον άξονα t1t2 με κέντρο συμμετρίας το σημείο (t2/2,t2/2), και έχει g'(t) = 0 στο σημείο αυτό, αυτό αποτελεί και το μεγιστό της.

μπορεί να είναι και ελάχιστο, και πάλι θα ήταν σωστό το σχήμα!


Πολύ καλή προσπάθεια πάντως! Κέρδισες e-books, αν ενδιαφέρεσαι.

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 19 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

 

[tanos56]

Rembeske

Nα δώσω τη λύση στην ανάλυση ή να περιμένω? Ας περιμένω και τους άλλους μέχρι το βράδυ.

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 19 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

 

[Rempeskes]

Ρίξτη! Ίσως δεν απαντήσω άμεσα όμως, γιατί εχω ένα ...ραντεβού... σε λίγο.

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 19 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

 

[tanos56]

Όπως σου είχα πει, θεωρούμε τη συνάρτηση:

f(x)=(x^α)+(α^x)-1, με 0<α,χ<1.

Eπειδή είναι συνεχής στο [0,1], αν δείξω ότι είναι 1-1, θα είναι γνησίως μονότονη στο [0,1]. Σε μία τέτοια περίπτωση, δεν θα είναι προφανώς γνησίως φθίνουσα, αφού

για 0<1, είναι: f(0)<f(1),

με συνέπεια να είναι γνησίως αύξουσα, οπότε: από την χ>0, ακολουθεί :
f(x)>f(0), δηλαδή το ζητούμενο.

Αν υποτεθεί ότι η f δεν είναι 1-1, αυτό σημαίνει, ότι υπάρχουν διακεκριμένοι χ1,χ2,

ώστε: f(x1)=f(x2).

Tότε όμως για τη συνάρτηση φ(χ)=f(x)-1, ισχύουν οι συνθήκες Rolle στο [χ1,χ2], οπότε η εξίσωση: Φ΄(χ)=0, θα έχει μία τουλάχιστον ρίζα στο [χ1,χ2]c[0,1]

.Συνεπώς και η ισοδύναμη της εξίσωση:

χ^α-1/α^χ=-lnα/α,

θα έχει και αυτή λύση (μία τουλάχιστον στο εν λόγω διάστημα), δηλαδή για κάποιο χ, θα είναι έγκυρη

η: χ^α-1/α^χ=-lnα/α (1)

θεωρώντας όμως την:

h(x)=x^α-1/α^x,

παρατηρούμε ότι σαν παραγωγίσιμη σε ανοικτό διάστημα (Fermat),παρουσιάζει σε αυτό μοναδικό ακρότατο και μάλιστα ολικό ελάχιστο, για x=1-α/-lnα.
Θάπρεπε λοιπόν:

h(1-α/-lnα)<, ή ίσο, του lnα/α.

Η τελευταία οδηγεί -με στοιχειώδεις πράξεις- στο άτοπο 1/lnα>0, δηλαδή στο lnα>0, δηλαδή στο α>1. Η (1) λοιπόν δεν ισχύει, με συνέπεια ή f είναι 1-1

ΣΗΜ: Στις τελευταίες πράξεις γίνεται χρήση της γνωστής ταυτοανισότητας: lnx<x-1, για χ>0, και χ: όχι 1.

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 19 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

 

[tanos56]

Απόδειξη της μη ύπαρξης συναρτησης f, τέτοιας ώστε: f΄(χ)=1+(f(x)^2), στο R.

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 19 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

 

[tanos56]

Ρε παιδιά... Ανοίξτε μία σελίδα: "Σκακιστικά θέματα" . Δεν ξέρω πως δημιουργείται.

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 19 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.