Ενδιαφέρουσες ασκήσεις πάνω στη θεωρία αριθμών!

love_angel · 6 Δεκεμβρίου 2010

Να δειχθεί ότι για κάθε n περιττό θετικό ακέραιο, η παράσταση $2^{2n} + 3^{2n}$ διαιρείται πάντα με το 13.

:redface:

Γιώργος · 7 Δεκεμβρίου 2010

Αρχική Δημοσίευση από love_angel:
Να δειχθεί ότι για κάθε n περιττό θετικό ακέραιο, η παράσταση $2^{2n} + 3^{2n}$ διαιρείται πάντα με το 13.

Εφόσον μιλάμε για περιττούς, $n = 2\rho + 1, \; \rho\in\mathbb{N}$

Και η παράσταση γίνεται:
$2^{2n} + 3^{2n} = 2^{2(2\rho+1)} + 3^{2(2\rho+1)}=2^2 \cdot 2^{4\rho} + 3^2 \cdot 3^{4\rho}$

Τώρα για αυτό το πράγμα εγώ δεν μπορώ να μυρίσω τα νύχια μου και να σκεφτώ ποιανού μακαρίτη το θεώρημα θα το βγάλει σε μια μορφή τύπου 13ρ. Οπότε ... μαθηματική επαγωγή.

Υποθέτω: $\Pi(\rho) = 2^2 \cdot 2^{4\rho} + 3^2 \cdot 3^{4\rho} = 13 k, \; \rho\in\mathbb{N}, k\in\mathbb{Z}$

Για ρ=0: $\Pi(0) = 2^2 \cdot 1 + 3^2 \cdot 1 = 13 = 13 \cdot 1$ , ισχύει.

Έστω ότι ισχύει για τυχαίο $\rho\in\mathbb{N}$ , δηλαδή:

$\Pi(\rho) = 2^2 \cdot 2^{4\rho} + 3^2 \cdot 3^{4\rho} = 13 k, \; \rho\in\mathbb{N}, k\in\mathbb{Z}$ (1)

Θα αποδείξω ότι ισχύει και για ρ+1. Οπότε έχουμε:

$\Pi(\rho+1) = 2^2 \cdot 2^{4(\rho+1)} + 3^2 \cdot 3^{4(\rho+1)} = 2^6 \cdot 2^{4\rho} + 3^6 \cdot 3^{4\rho}$ (2)

Αντικαθιστώ την (1) στην (2):

$\Pi(\rho+1) = 2^6 \cdot 2^{4\rho} + 3^4 \left(13 k - 2^2 \cdot 2^{4\rho}\right)$
$\Pi(\rho+1) = 2^6 \cdot 2^{4\rho} + 3^4 \cdot 13 k - 3^4 \cdot 2^2 \cdot 2^{4\rho}$
$\Pi(\rho+1) = \left(2^6 - 3^4 \cdot 2^2\right) \cdot 2^{4\rho} + 3^4 \cdot 13 k$
$\Pi(\rho+1) = -260 \cdot 2^{4\rho} + 3^4 \cdot 13 k$
$\Pi(\rho+1) = 13 \underbrace{\left(3^4 \cdot k - 20 \cdot 2^{4\rho}\right)}_{k_1, \; k_1\in\mathbb{Z}}$

οεδ (το αρχαίο QED)

Συγχωράτε με αν βγαίνει και με προχωρημένα θεωρήματα της μιας γραμμής, εγώ χρησιμοποίησα γνώσεις Β' Λυκείου.

love_angel · 06-12-10

θενκιου ζωρζετο! ^_^

updown · 04-07-11

χαχα γελοιο ,προσπαθηστε να αποδειξετε οτι καθε αρτιος ειναι αθροισμα πρωτων και αφηστε τα αυτα

SICX · 4 Ιουλίου 2011

Αρχική Δημοσίευση από updown:
χαχα γελοιο ,προσπαθηστε να αποδειξετε οτι καθε αρτιος ειναι αθροισμα πρωτων και αφηστε τα αυτα

εννοεις 1+1=2, 3+3=6, 5+5=10.??...αυτο δεν αποδεικνυεται, ειναι αλυτο αιωνες τωρα. διανοιες εφαγαν τη ζωη τους, τι λες στα παιδια τωρα?

η θεωρια της μη-πληροτητας αλλωστε το λεει, πως δεν μπορουμε να ειμαστε σιγουροι πως υπαρχει αποδειξη για καθε μαθηματικη αληθεια :whistle:

αλλα βαριεμαι, ας πειραματιστουμε:

0
1+1=2
3+3=6
5+5=10
7+7=14
9+9=18
11+11=22
13+13=26
15+15=30
17+17=34
19+19=38
21+21=42
23+23=46
25+25=50
27+27=54
29+29=58

παρατηρω πως τα τελευταια ψηφια ειναι παντα στη σειρα 2, 6,0,4,8 (οπως π.χ 22,26,30,34,38)

[παντως 4 αρτιος και βγαινει και απο αθροισμα 2+2
οπως και ο 12 απο 6+6 :confused:

αλλα νομιζω λεει "καθε αρτιος ΜΠΟΡΕΙ να ειναι απο αθροισμα πρωτων", οχι αποκλειστικα δλδ...μπορει να λεω βλακεια εχω καιρο να ασχοληθω]

παντως το θεμα ειναι πως απο τη στιγμη που υφισταται το ΑΠΕΙΡΟ, οσους και να κανουμε πειραματισμους, δε μας μενουν να κανουμε λιγοτεροι, παντα εχουμε εξισου ατελειωτους ακομα να κανουμε, αρα ΔΕΝ μπορει να ελεγχθει....αρα πιθανως ισχευει, απλα λογω του απειρου ειναι αδυνατον να διατυπωθει ως αξιωμα οτι ΚΑΘΕ αρτιος ( ακομα και ο 12749723587285589363254656463776564662878851424354759594297757457568495679469573468765767367421
56546754722887791867525245248382577456767849928284767263856866546564754583
8437565764589819776674745358347348772299272 ) ειναι αθροισμα δυο πρωτων. γιατι το αξιωμα πρεπει να ειναι για οοοοοολους τους αρτιους και να λεμε "για καθε αρτιο αριθμο z ισχυει x+y=z οπου x και y πρωτοι.

updown · 05-07-11

ας περιμενουμε τι θα γινει στο μελλον

dark_knight · 30-07-11

Αρχική Δημοσίευση από love_angel:
Να δειχθεί ότι για κάθε n περιττό θετικό ακέραιο, η παράσταση $2^{2n} + 3^{2n}$ διαιρείται πάντα με το 13.

Μια συντομότερη λύση που επίσης βγαίνει με γνώσεις β' Λυκείου:

$4 \equiv -9 \pmod {13} \Rightarrow$
$4^{2n+1} \equiv (-9)^{2n+1} \pmod {13} \Rightarrow$
$4^{2n+1} \equiv -9^{2n+1} \pmod {13} \Rightarrow$
$4^{2n+1} +9^{2n+1} \equiv 0 \pmod {13} \Rightarrow$
$2^{2(2n+1)} +3^{2(2n+1)} \equiv 0 \pmod {13}.$

Βέβαια οι ισοτιμίες, αν και περιέχονται στο βιβλίο, είναι εκτός ύλης, αλλά είναι ένα πολύ εύχρηστο και αποτελεσματικό εργαλείο για τέτοιου είδους προβλήματα.

arsentkd · 09-12-11

Αρχική Δημοσίευση από love_angel:
Να δειχθεί ότι για κάθε n περιττό θετικό ακέραιο, η παράσταση $2^{2n} + 3^{2n}$ διαιρείται πάντα με το 13.

Και μια πιο συντομη λυση νομιζω...
Ισχύει:
$a^{n}+b^{n}=\pi o\lambda (a+b)$ για κάθε περιττό nEN.

Ετσι τη παραπάνω παρασταση μπορουμε να τη πουμε:
$2^{2n} + 3^{2n}=(2^{2})^{n}+(3^{2})^{n}=4^{n}+9^{n}=\pi o\lambda 13$

dimtsig · 01-02-12

θα θελα να λυθουν δυο ασκησεις παρακαλω.
1)a,b ανηκουν N , n>=1. Αν (a^n)/(b^n) να αποδειξετε οτι a/b.
2)ποιος ειναι ο μεγαλυτερος ακεραιος χ , χ<=9999 ο οποιος διαιρουμενος με 3 , 5 και 7 αντιστοιχα δινει υπολοιπο 1 , 2 και 3 αντισστοιχα.

Subject to change · 01-02-12

Αρχική Δημοσίευση από dimtsig:
θα θελα να λυθουν δυο ασκησεις παρακαλω.
1)a,b ανηκουν N , n>=1. Αν (a^n)/(b^n) να αποδειξετε οτι a/b.
2)ποιος ειναι ο μεγαλυτερος ακεραιος χ , χ<=9999 ο οποιος διαιρουμενος με 3 , 5 και 7 αντιστοιχα δινει υπολοιπο 1 , 2 και 3 αντισστοιχα.

Αυτές είναι στάνταρ ασκήσεις Θεωρίας Αριθμών λυκείου και πολύ απέχουν από το να είναι ενδιαφέρουσες.

Κάνε το homework σου μόνος σου, καλό θα σου κάνει.

dimtsig · 01-02-12

ειναι θεματα μαθηματικου.αν μπορεις λυστες μου σε παρακαλω.

Subject to change · 01-02-12

Συγγνώμη αλλά ο χώρος εδώ δεν προορίζεται για να κάνουμε τις ασκήσεις τεμπέληδων μαθητών/φοιτητών που βαριούνται να προσπαθήσουν.

dimtsig · 1 Φεβρουαρίου 2012

Ειναι θεματα Μαθηματικου κρητης.αν μπορεις λυστες μου σε παρακαλω.

δεν ειναι τεμπελια.απλα δεν μπορω τουλαχιστον τη δευτερη να την λυσω καθολου.αφου εσυ ξερεις γιατι δεν την λυνεις
??????

Mercury · 01-02-12

Εαν θες..Μπορεις να πας εδω και να λυσεις τις αποριες σου.

dimtsig · 01-02-12

ευχαριστω πολυ!

Ενδιαφέρουσες ασκήσεις πάνω στη θεωρία αριθμών!

love_angel

Επιφανές μέλος

Γιώργος

Τιμώμενο Μέλος

love_angel

Επιφανές μέλος

updown

Εκκολαπτόμενο μέλος

SICX

Διάσημο μέλος

updown

Εκκολαπτόμενο μέλος

dark_knight

Νεοφερμένο μέλος

arsentkd

Νεοφερμένο μέλος

dimtsig

Νεοφερμένο μέλος

Subject to change

e-steki.gr Founder

dimtsig

Νεοφερμένο μέλος

Subject to change

e-steki.gr Founder

dimtsig

Νεοφερμένο μέλος

Mercury

Επιφανές μέλος

dimtsig

Νεοφερμένο μέλος

Χρήστες Βρείτε παρόμοια

Λοιπές Σελίδες