Συζήτηση σχετικά με την ορθότητα ή μη του Πυθαγόρειου Θεωρήματος

[Wilmarth]

Ευχαριστω για τη γρηγορη απαντηση. Θα προσπαθησω να ειμαι σαφης ως προς αυτα που γνωριζω/δε γνωριζω (τα οποια βεβαια δεν αποτελουν θεσφατα) και να θεσω μια αλλη ερωτηση.

Φρονω οτι :
- Δυο σημεια στην Ευκλειδια γεωμετρια δε μπορουν να απεχουν 'πολυ' η 'λιγο' μεταξυ τους γιατι δεν υπαρχει απολυτο μετρο. Ομως δυο ευθυγραμμα τμηματα μπορουν να ειναι η οχι 'ισομηκη', με την εννοια οτι (ΑΒ) = (ΓΔ), δηλαδη το Δ απεχει απο το Γ οσο το Β απο το Α.

- Σε δυο ευθυγραμμα τμηματα ΑΒ, ΓΔ ισχυει ακριβως ενα απο τα τρια : Η ειναι ισομηκη, η υπαρχει σημειο Κ αναμεσα στα Α, Β τετοιο ωστε ΑΚ, ΓΔ ισομηκη, η υπαρχει σημειο Λ αναμεσα στα Γ, Δ τετοιο ωστε ΑΒ, ΓΛ ισομηκη. (Σε πιο απλη γλωσσα, η περιπτωση μεγαλυτερου η μικροτερου μηκους του ΑΒ αντιστοιχα).

Ερωτω :
- Ποιος ειναι ο ορισμος του 'απεχουν μηδενικα' μεταξυ τους; (Φυσικα κατανοω τον ορισμο του 'ταυτιζονται').

Ευχαριστω.
Wilmarth

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 18 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

 

[frappe]

Όταν από κοινού σκεπτόμεστε "έτσι" δηλαδή κατά τον ίδιο ακριβώς τρόπο, το "σκεφτόμαστε " και το "συσκεπτόμαστε" δεν έχει διαφορά. Είπα κι εγώ...

Το κούρασες φιλαράκι...

Ας μην παίζουμε με τις λέξεις.

Ο πληθυντικός στο "σκεφτόμαστε" δε συμπεριλαμβάνει απαραίτητα και τον εαυτό μου

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 18 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

 

[ipios]

Wilmarth
Φρονω οτι :
- Δυο σημεια στην Ευκλειδια γεωμετρια δε μπορουν να απεχουν 'πολυ' η 'λιγο' μεταξυ τους γιατι δεν υπαρχει απολυτο μετρο.

Το μέτρο, απόλυτο ή σχετικό δεν αποτελεί κριτήριο του «απέχω». Και χωρίς μέτρο (όπως λειτουργούσε ο Ευκλείδης π.χ.) η έννοια της απόστασης μεταξύ των σχημάτων επί του επιπέδου, είναι ανεξάρτητη. Δεν είναι αναγκαίο δηλονότι να μπορώ να μετρήσω την απόσταση για να αποφανθώ αν δύο σχήματα επί του επιπέδου, απέχουν πολύ ή λίγο ή απέχουν μηδενικά, διότι με το μέτρο μόνο τα απέχοντα πολύ ή λίγο μπορούμε να μετρήσουμε και όχι τα μη απέχοντα ή απέχοντα μηδενικά. Επίτων απεχόντων μηδενικά δεν χωρεί μέτρο ούτε απόλυτο ούτε σχετικό. Αναγνωρίζοντας ότι στα μαθηματικά λειτουργούμε αφαιρετικά της φύσης, γνωρίζουμε ότι κατά κοινή αποδοχή αλλά και αναγκαστικά ή υποχρεωτικά (αφού το σημείο, η ευθεία και το επίπεδο είναι ιδεατά), αφαιρούμε όλες τις μη αναγκαίες ιδιότητες από τα αντικείμενα του φυσικού κόσμου εκτός του σχήματος του αντικειμένου (το οποίο έχουμε την ευχέρεια να εξιδανικεύσουμε π.χ. τον κύκλο ή το τετράγωνο), το μέγεθος και τις αμοιβαίες θέσεις των σχημάτων επί του επιπέδου.
Κριτήριο λοιπόν των αποστάσεων μεταξύ των σχημάτων επί του επιπέδου, δεν αποτελεί το μέτρο που αν εφαρμόζεται τα σχήματα απέχουν και αν δεν εφαρμόζεται τα σχήματα ταυτίζονται χωρίς να έχουμε τη δυνατότητα να τα θεωρήσουμε και εφαπτόμενα.
Π.χ. αξιωματικά μία ευθεία χωρίζει το επίπεδο σε 2 ημιεπίπεδα Π1 και Π2. Οι ακμές των Π1 και Π2 απέχουν μηδενικά ή εφάπτονται αφού η ευθεία που τα χωρίζει, δεν έχει πλάτος. Τι θα ισχυριστούμε εν προκειμένω αγαπητέ φίλε; Ότι επειδή απέχουν μηδενικά οι ακμές των 2 ημιεπιπέδων δεν μπορούμε να το δεχθούμε (χωρίς να έχουμε αξίωμα που να απαγορεύει 2 ημιεπίπεδα να απέχουν μηδενικά ή να εφάπτονται) και οι ακμές ταυτίζονται; Επομένως δεν απαιτείται ορισμός των εφαπτόμενων σημείων ή σχημάτων όπως τα περιέχει στα αξιώματά του ο Ευκλείδης σαν έννοιες, αλλά αντίθετα, ορισμός που να απαγορεύει την επαφή σχημάτων και σημείων. Υπάρχει τέτοιο αξίωμα;

Wilmarth
Ομως δυο ευθυγραμμα τμηματα μπορουν να ειναι η οχι 'ισομηκη', με την εννοια οτι (ΑΒ) = (ΓΔ), δηλαδη το Δ απεχει απο το Γ οσο το Β απο το Α.

Ορθότατο. Εν προκειμένω όμως, χρησιμοποιείς αγαπητέ φίλε την έννοια «απέχει» για την οποία στο τέλος του μηνύματός σου, ζητάς από εμένα τον ορισμό. Εσύ πως ορίζεις το "απέχει" που χρησιμοποιείς; Αν δεν έχεις ορισμό της έννοιας «απέχει» πως την χρησιμοποιείς; Περιμένεις από μένα να σου καλύψω με ορισμό τις δικές σου έννοιες που για μένα τις θέτεις υπό αμφισβήτηση ενώ για σένα είναι απρόσκοπτα εύχρηστες; Δεν νομίζεις καλέ μου φίλε ότι είσαι λίγο αντιφατικός στις αιτιάσεις σου. Όμως δεν έχει σημασία γιατί υπάρχουν απαντήσεις για όλα.

Wilmarth
- Σε δυο ευθυγραμμα τμηματα ΑΒ, ΓΔ ισχυει ακριβως ενα απο τα τρια : Η ειναι ισομηκη, η υπαρχει σημειο Κ αναμεσα στα Α, Β τετοιο ωστε ΑΚ, ΓΔ ισομηκη, η υπαρχει σημειο Λ αναμεσα στα Γ, Δ τετοιο ωστε ΑΒ, ΓΛ ισομηκη. (Σε πιο απλη γλωσσα, η περιπτωση μεγαλυτερου η μικροτερου μηκους του ΑΒ αντιστοιχα).

Ορθό και δεν έχω λόγο να διαφωνήσω, ούτε ποτέ ισχυρίστηκα το αντίθετο.

Wilmarth
Ερωτω :
- Ποιος ειναι ο ορισμος του 'απεχουν μηδενικα' μεταξυ τους; (Φυσικα κατανοω τον ορισμο του 'ταυτιζονται').
Ευχαριστω.
Wilmarth

Αγαπητέ φίλε δεν επιθυμώ να σε «τυραννήσω» απαιτώντας (όμοια με σένα) τον ορισμό του «απέχουν» που χρησιμοποιείς, ώστε στηριζόμενος επάνω σε αυτόν τον ορισμό να σου απαντήσω τι σημαίνει «απέχουν μηδενικά» που θα έχεις την υποχρέωση να τον δώσεις αφού τον χρησιμοποιείς, όπως μου ζητάς εσύ ορισμό. Θα σου πως όμως το εξής:

Σχήμα είναι υποσύνολο ή υποσημειοσύνολο του επιπέδου.

Κάθε σχήμα λοιπόν, π.χ. 1 τετράγωνο, εφάπτεται του επιπέδου επί του οποίου το έχουμε «φέρει» ή το έχουμε ορίσει σαν σχήμα, γιατί χωρίζεται από αυτό μόνο από τις ευθείες πλευρές του που δεν έχουν πάχος ή απέχει μηδενικά από το επίπεδο.
Επομένως η επαφή των σημειοσυνόλων, είναι κοινή ιδιότητα, σχέσης όλων των υποσημειοσυνόλων του επιπέδου, επί του επιπέδου και με το ίδιο το επίπεδο.

Κανένα σχήμα επί του επιπέδου δεν μπορεί να ευρεθεί χωρίς σχέση επαφής ή μηδενικής απόστασης ή με το επίπεδο ή με άλλο σχήμα ή επί αμφοτέρων ή μόνον με άλλο σχήμα αν είναι εξολοκλήρου περιεχόμενο αυτού του άλλου σχήματος. Αν η ιδιότητα - σχέση επαφής εκδηλώνεται μόνο ως προς το επίπεδο, τότε απέχει από όλα τα άλλα υπαρκτά επί του επιπέδου σχήματα.


Αυτό θα πει δεν απέχουν.
Το απέχουν είναι το ακριβώς αντίστροφο.


Σχήμα Α που εφάπτεται με το επίπεδο Ε και δεν εφάπτεται με άλλο σχήμα Β (όπως ακριβώς εφάπτεται ή απέχει μηδενικά το ίδιο το Α από επίπεδο Ε), που ευρίσκεται επί του ίδιου επιπέδου Ε, απέχει από το άλλο σχήμα και αμφότερα εφάπτονται με το επίπεδο.
Αυτό δεν αποτελεί ορισμό, αλλά απόδειξη στηριγμένη αξιωματικά από την καθολική ιδιότητα των υποσυνόλων του επιπέδου να ευρίσκονται επί του επιπέδου εφαπτόμενα του επιπέδου. Το ίδιο ισχύει π.χ. και αν ένα σχήμα περιέχεται εξολοκλήρου σε άλλο σχήμα. Το περιεχόμενο σχήμα εφάπτεται του σχήματος που το περιέχει.
Απέχουν μηδενικά λοιπόν σημαίνει τη σχέση όλων των υποσυνόλων του επιπέδων με το ίδιο το επίπεδο που τα περιέχει και είναι καθολική και χωρίς εξαιρέσεις ιδιότητα των σχημάτων του επιπέδου με το επίπεδο.
Το ότι μέχρι σήμερα δεν έχει εκτιμηθεί αυτή η καθολική των σχημάτων και του επιπέδου ιδιότητα, με αφήνει παγερά αδιάφορο, γιατί στηρίζομαι στα ευκλείδεια αξιώματα και δεν εισάγω ουδεμία νέα δική πρόταση αλήθειας. Καλό είναι να γίνει αποδεικτή διότι δεν ανατρέπεται αξιωματικά.
Σχήματα που έχουν μεταξύ τους την καθολική σχέση (σαν ιδιότητα) που έχει το επίπεδο με το υποεπίπεδά του λέμε ότι εφάπτονται ή απέχουν μηδενικά.
Μιλάμε πάντα και ασφαλώς, ότι όλα συνεκτιμώνται επί κοινού επιπέδου.

Καλό είναι να μου υποδείξεις αγαπητέ φίλε, αξίωμα που να ανατρέπει τον ευκλείδεια στηριγμένο αυτό ισχυρισμό μου…

Σε ευχαριστώ πολύ κι εγώ, ελπίζοντας ότι θα δεχθώ την απάντησή σου. Κρύβεις δυναμική (ειλικρινά χαίρομαι) και φαίνεται από τα ερωτήματά σου, όμως σε βεβαιώνω δεν υπάρχει θέμα στην ευκλείδεια γεωμετρία που δεν το έχω συζητήσει τουλάχιστον 10 φορές με μαθηματικούς.
Λάμπρος

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 18 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

 

[ipios]

frappe
Το κούρασες φιλαράκι...

Ας μην παίζουμε με τις λέξεις.

Ο πληθυντικός στο "σκεφτόμαστε" δε συμπεριλαμβάνει απαραίτητα και τον εαυτό μου

Ότι πεις για να σε ξεκουράσω.

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 18 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

 

[Wilmarth]

Καλημερα.

Ενα ξεκαθαρισμα :

- Στον ορισμο που παρεθεσα δεν ορισα την εννοια του 'απεχω' αλλα την εννοια του 'ισομηκους', η αλλιως την εννοια του 'απεχω απο το Α οσο το Β απο το Γ'. Αυτο ορισα και οχι το 'απεχω' γενικα. Με αυτη την εννοια, η εννοια του 'απεχω μηδενικα' εξακολουθει να μη μου ειναι ξεκαθαρη.

Παρακατω μου δινεις τον ορισμο:

Σχήματα που έχουν μεταξύ τους την καθολική σχέση (σαν ιδιότητα) που έχει το επίπεδο με το υποεπίπεδά του λέμε ότι εφάπτονται ή απέχουν μηδενικά.

ο οποιος μαλλον με μπερδευει παρα με κατατοπιζει... Πως οριζουμε στο Ευκλειδιο συστημα τη 'σχεση' ; Την 'καθολικη σχεση' ; Την 'ιδιοτητα' ;

Εχοντας ορισει αυτες τις εννοιες, πως ξερουμε (στο Ευκλειδιο παντα συστημα) οτι υπαρχει μια 'σχεση' αναμεσα στο επιπεδο και στα υποεπιπεδα του; Και πως ξερουμε οτι ειναι μοναδικη (ωστε να εχει νοημα να μιλαμε για 'την' σχεση);

Για τον ορισμο του 'σχηματος' προτιμω να μην υπεισελθω γιατι μπορουμε να απλουστευσουμε (προς το παρον) τα πραγματα μενοντας στα σημεια.

Ποτε λεμε οτι δυο σημεια απεχουν μηδενικα μεταξυ τους;

Ελπιζω να μη σε κουραζω και ευχαριστω για την απαντηση.

Wilmarth

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 18 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

 

[ipios]

Wilmarth
Καλημερα.

Ενα ξεκαθαρισμα :

- Στον ορισμο που παρεθεσα δεν ορισα την εννοια του 'απεχω' αλλα την εννοια του 'ισομηκους', η αλλιως την εννοια του 'απεχω απο το Α οσο το Β απο το Γ'. Αυτο ορισα και οχι το 'απεχω' γενικα. Με αυτη την εννοια, η εννοια του 'απεχω μηδενικα' εξακολουθει να μη μου ειναι ξεκαθαρη.

Δηλαδή καλέ και αγαπητέ μου φίλε Wilmarth, όρισες την έννοια του απέχω ειδικά και όχι γενικά;
Και ποιος είναι ο ορισμός του "απέχω" ειδικά; Δεν το είδα.
Αφού είναι έτσι, πες πως ορίζεις την έννοια του απέχω ειδικά μέσω του, «το Β απέχει από το Α όσο το Δ απο το Γ» ; Τι εννοείς απέχει το Β από το Γ, όσο απέχει το Α από το Β;

Δηλαδή αν εσύ ορίζεις (μπορείς να ορίζεις) ειδικά δύο σημεία Α, Β που απέχουν μεταξύ τους, σε σχέση με όσο απέχουν δύο άλλα σημεία Γ, Δ μεταξύ τους, δεν ορίζεις την έννοια του απέχω;
Κατά τον ίδιο τρόπο ορίζω κι εγώ δύο σχήματα Α και Β που απέχουν μεταξύ τους όσο απέχουν δύο άλλα σχήματα Γ και Δ.
Που είναι το πρόβλημα;
Λέμε ότι δύο σχήματα Α, Β απέχουν μεταξύ τους όσο απέχουν δύο άλλα σχήματα Β και Γ μεταξύ τους. Πως βρίσκουμε ότι ισαπέχουν; Με τον ίδιο ακριβώς τρόπο που βρίσκουμε ότι δύο ευθύγραμμα τμήματα είναι ισομήκη.

Wilmarth
Με αυτη την εννοια, η εννοια του 'απεχω μηδενικα' εξακολουθει να μη μου ειναι ξεκαθαρη.

Εννοείς ότι η έννοια απέχω μηδενικά δεν σου είναι ξεκάθαρη ενώ το απέχουν ισομήκη σου είναι;

Wilmarth
Παρακατω μου δινεις τον ορισμο:

Ρίξε μια ματιά. Δεν είναι ορισμός. Είναι απόδειξη στηριγμένη αξιωματικά. Δεν εισάγω ορισμούς.

Wilmarth “
ο οποιος μαλλον με μπερδευει παρα με κατατοπιζει... Πως οριζουμε στο Ευκλειδιο συστημα τη 'σχεση' ; Την 'καθολικη σχεση' ; Την 'ιδιοτητα' ;

Εσύ μάλλον πρέπει να μου ορίσεις την έννοια «σχέση» αφού συγκρίνεις δύο ευθύγραμμα τμήματα ΑΒ και ΓΔ και τα βρίσκεις με ίσο μήκος, το ένα ως προς το άλλο. Αυτό που κάνεις εσύ θα πει σχέση, του ενός ως προς το άλλο. Εσύ σχετίζεις τα μήκη ή πως αποκαλείς τη σύγκριση των δύο μηκών μεταξύ τους; Το ένα έχει ίσο μήκος με το άλλο. Αυτό λέγεται σχέση και δεν χρειάζεται ορισμός, όπως κι εσύ που χρησιμοποιείς τον όρο ισομήκη, δεν δίνεις ορισμό τι σημαίνει δύο τμήματα έχουν ίσα μήκη μεταξύ τους. Απλά το χρησιμοποιείς επειδή δεν σου ζήτησα εξηγήσεις. Αν θα σε τραβήξω αγαπητέ φίλε κατά αυτόν τον τρόπο να μου αναλύεις τις έννοιες θα περάσουν χρόνια και θα αναλύεις έννοιες σε βεβαιώνω. Αν δεν έχω εγώ το δικαίωμα να χρησιμοποιώ έννοιες με την επίκληση της ανυπαρξίας ορισμών δεν έχεις κι εσύ.

Καθολική σχέση:
Όλα τα σχήματα μηδενός εξαιρουμένου, που ευρίσκονται αυτόνομα, μόνα τους ανεξάρτητα από άλλα σχήματα επί του επιπέδου, σχετίζονται με το επίπεδο δια της επαφής τους. Αυτή είναι καθολική σχέση μεταξύ επιπεδου και σχήματος του επιπέδου και επομένως ιδιότητα αφού δεν υπάρχει εξαίρεση.

Ιδιότητα:
Ιδιότητα των σχημάτων να εφάπτονται με το επίπεδο, είναι το καθολικό χαρακτηριστικό τους από το οποίο κανένα δεν εξαιρείται. Αυτό είναι το ίδιον του και εκ του ιδιώματος, η ιδιότητα.

Wilmarth
Εχοντας ορισει αυτες τις εννοιες, πως ξερουμε (στο Ευκλειδιο παντα συστημα) οτι υπαρχει μια 'σχεση' αναμεσα στο επιπεδο και στα υποεπιπεδα του; Και πως ξερουμε οτι ειναι μοναδικη (ωστε να εχει νοημα να μιλαμε για 'την' σχεση);

Αξιωματικά.
α. Τα μόνα στοιχεία του επιπέδου είναι τα σημεία. Άλλα δεν υπάρχουν. Αυτά ανήκουν στο επίπεδο και στα υποεπίπεδα επί του επιπέδου. Ουδέν παρεμβάλλεται μεταξύ επιπέδου και υποεπιπέδων του, ώστε να απέχουν «όσο απέχει το Α από το Β και το Γ από το Δ». Αυτή η συνθήκη στην οποία εσύ χρησιμοποιείς ειδικά την έννοια «απέχουν», δεν υπάρχει εν προκειμένω. Εκτός και αποδείξεις ότι κάτι άλλο παρεμβάλλεται μεταξύ σχήματος και επιπέδου πέραν των γραμμών. Αυτό μάλιστα θα έδειχνε άσχετο το επίπεδο από τα υποεπίπεδά του.
β. Αξίωμα: Κάθε ευθεία ορίζει στο επίπεδο δύο σχήματα Π1 και Π2.
Επομένως τα Π1 και Π2 απέχουν μηδενικά ή δεν απέχουν. Το αν η έκφραση απέχουν μηδενικά δεν σου είναι ξεκάθαρη επομένως, δεν μπορώ να ευθύνομαι όταν σου λέω και τι είναι και πως στηρίζεται αξιωματικά και σου φέρνω και αξιωματικά παράδειγμα.

Wilmarth
Για τον ορισμο του 'σχηματος' προτιμω να μην υπεισελθω γιατι μπορουμε να απλουστευσουμε (προς το παρον) τα πραγματα μενοντας στα σημεια.

Να υπεισέλθεις. Γιατί να μην υπεισέλθεις; Ή μήπως αγαπητέ φίλε έχεις την άποψη ότι καταθέτω δικούς μου ορισμούς και ερμηνείες σχετικά με την έννοια του σχήματος; Εδώ είναι όλα ανοιχτά και θα χαρώ να μου βρεις κάτι άλλο σχετικά με τον ορισμό του σχήματος, από αυτό που υποστηρίζω.

Wilmarth
Ποτε λεμε οτι δυο σημεια απεχουν μηδενικα μεταξυ τους;

Όταν εφάπτονται, όπως εφάπτονται αξιωματικά τα Π1 και Π2.

Wilmarth
Ελπιζω να μη σε κουραζω και ευχαριστω για την απαντηση.

Είναι χαρά μου. Καλά περνάω γιατί είσαι ευγενικός. Θα σου πω όμως κάτι. Η προσπάθεια να βρεθώ σε αδυναμία απάντησης από το αίτημα ανάλυσης των εννοιών δεν μπορεί να ευδοκιμήσει γιατί μου είναι πολύ εύκολο να την αντιστρέψω. Απόδειξη (αντιστροφής που μεταφέρει σε σένα την όποια δυσκολία) είναι ότι δεν μπορείς να μου λες ότι χρησιμοποιείς ειδικά (!!!) το απέχω και δεν μπορείς να καταλάβεις τι σημαίνει το «απέχουν μηδενικά», όταν το 6ο αξίωμα που θέλει την ευθεία να χωρίζει το επίπεδο σε 2 ημιεπίπεδα που απέχουν μηδενικά, είναι και σαφές και υποχρεωτικό να το αποδεχθείς.

Όποια σχήματα χωρίζονται μεταξύ τους με ευθεία (ή όποια άλλη γραμμή), αξιωματικά απέχουν μηδενικά ή δεν απέχουν.



Αυτό ΔΕΝ ΕΙΝΑΙ ΟΡΙΣΜΟΣ, αλλά απόδειξη ενός θεωρήματος ή ενός πορίσματος αυτής της διατύπωσης αν προτιμάς, που έχει αξιωματική στήριξη το παραπάνω αξίωμα.
Ελπίζω το αξίωμα να σε υποχρεώσει να κατανοήσεις (ή ακόμα και να μην κατανοήσεις το αξίωμα δεν ενδιαφέρεται) τι σημαίνει «απέχουν μηδενικά», διότι εν προκειμένω δεν μπορείς να ζητήσεις εξηγήσεις ή αποδείξεις για την ορθότητα του αξιώματος καλέ μου φίλε.

ΥΓ: Παραθέτω (κατόπιν αιτήματος του χρήστη Hilbert) απόδειξη του σφάλματος του πυθαγορείου θεωρήματος εντός του ευκλείδειου αξιωματικού συστήματος. Την απόδειξη θα βρείτε σε αυτό το μήνυμα του παρόντος.

Μήπως μπορείς να πάρεις θέση επί του προκειμένου αγαπητέ φίλε Wilmarth;
Αυτό είναι το πρόβλημα του τόπικ και επειδή δεν έχεις υποχρέωση να το έχεις διαβάσει όλο, θα μου ήταν πολύ χρήσιμο να επανέλθουμε μαζί στο πρόβλημα και να επαναφέρουμε το τόπικ στη θεματολογία του.

Σε ευχαριστώ πολύ και η ενασχόλησή σου με το θέμα του τόπικ θα με τιμήσει εξαιρετικά. Αν μπορείς βέβαια να ασχοληθείς γιατί όπως βλέπεις κανένας μαθηματικός δεν το αγγίξει ή για να το πω χιουμοριστικά, κανένας μαθηματικός δεν εφάπτεται (!!!) με το παραπάνω πρόβλημα!

Λάμπρος

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 18 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

 

[Hilbert]

Από τις σημειώσεις του κ Κυνηγού στο μάθημα Παιδαγωγικά που διδάσκεται στο Μαθηματικό Τμήμα του ΕΚΠΑ.


Λόγοι διδασκαλίας της Γεωμετρίας


Έχει παρατηρηθεί ότι τα τελευταία χρόνια υπήρξε μία υποτίμηση των γεωμετρικών και κιναισθητικών στοιχείων στη μαθηματική εκπαίδευση και στην έρευνα. Μερικοί ίσως λόγοι:
1) Η επίδραση που είχε το βιβλίο του Descartes, όπου η γεωμετρία αναγόταν στην άλγεβρα (Αναλυτική Γεωμετρία).
2) Η ανακάλυψη των μη Ευκλείδειων γεωμετριών.
3) Η κατάρρευση της άποψης ότι η Ευκλείδεια γεωμετρία είναι το μοναδικό μοντέλο για το Φυσικό χώρο.
4) Η έλλειψη πληρότητας που χαρακτηρίζει τη λογική δομή της κλασσικής Ευκλείδειας Γεωμετρίας, όπως ανακαλύφθηκε και διορθώθηκε από το Hilbert (1899).
5) Ο περιορισμός του ματιού στην αντίληψη μαθηματικών «αληθειών» (οπτικές απάτες που μας υποβάλλουν).

Το 4, φρονώ, αναφέρεται σε θέματα που έχεις μελετήσει Λάμπρο.

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 18 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

 

[makman]

Ιπιε με εχετε εντυπωσιασει! ομως εχω μια ερωτηση.

ας υποθεσουμε οτι εχετε δικιο ,οτι δλδ με τα ευκλειδεια αξιωματα το πυθαγορειο ...πασχει,θα ηθελα να μου πειτε αν πιστευετε οτι με τις νεες ανακαλυψεις δλδ τα εμβαδα,τα μετρα κτλ εξακολουθει να πασχει.

ευχαριστω κ σας χαιρετω ολους! (μιας κ ειμαι ο πρωταρης του site)

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 18 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

 

[ipios]

Hilbert
Από τις σημειώσεις του κ Κυνηγού στο μάθημα Παιδαγωγικά που διδάσκεται στο Μαθηματικό Τμήμα του ΕΚΠΑ.

Λόγοι διδασκαλίας της Γεωμετρίας

Έχει παρατηρηθεί ότι τα τελευταία χρόνια υπήρξε μία υποτίμηση των γεωμετρικών και κιναισθητικών στοιχείων στη μαθηματική εκπαίδευση και στην έρευνα. Μερικοί ίσως λόγοι:
1) Η επίδραση που είχε το βιβλίο του Descartes, όπου η γεωμετρία αναγόταν στην άλγεβρα (Αναλυτική Γεωμετρία).
2) Η ανακάλυψη των μη Ευκλείδειων γεωμετριών.
3) Η κατάρρευση της άποψης ότι η Ευκλείδεια γεωμετρία είναι το μοναδικό μοντέλο για το Φυσικό χώρο.
4) Η έλλειψη πληρότητας που χαρακτηρίζει τη λογική δομή της κλασσικής Ευκλείδειας Γεωμετρίας, όπως ανακαλύφθηκε και διορθώθηκε από το Hilbert (1899).
5) Ο περιορισμός του ματιού στην αντίληψη μαθηματικών «αληθειών» (οπτικές απάτες που μας υποβάλλουν).

Το 4, φρονώ, αναφέρεται σε θέματα που έχεις μελετήσει Λάμπρο.

Καλέ μου και αγαπητέ φίλε Hilbert, όλα είναι ανθρώπινα. Το "ίσως" που χρησιμοποιεί ο κύριος Κυνηγός δίνει την απάντηση. Σε ότι αφορά τα θέματα που έχω μελετήσει αγαπητέ φίλε, δεν είσαι σε θέση να τα γνωρίζεις, όπως ακριβώς δεν είσαι και σε θέση να αντιπαρατεθείς στους ισχυρισμούς μου που μετά από δική σου προτροπή παρέθεσα υπό την υπόσχεση - βεβαίωσή σου ότι θα απαντήσεις.
Επί του (1) έχω να πω το εξής: Η αναλυτική γεωμετρία είναι εσφαλμένη για πολλούς λόγους, σημαντικότερος των οποίων είναι ότι δεν ορίζει ο ΝτεΚαρτ με τον Φερμά, δική του αρχική έννοια περί σημείου και χρησιμοποιεί την αρχική έννοια του Ευκλείδη. Η αναλυτική γεωμετρία με τους άξονες συντεταγμένων παραβιάζουν την αρχική αυτή έννοια. Το "γιατί", δεν φαίνεσαι καλέ μου φίλε να είσαι σε θέση να το κατανοήσεις και γι αυτό δεν θα σου το εξηγήσω.
Επί του (2) ισχύει ακριβώς το ίδιο. Χρησιμοποιούν τα αξιώματα και τις αρχικές έννοιες του Ευκλείδη χωρίς να ενδιαφέρονται αν τις κανιβαλίζουν.
Επί του (3) αυτό που έχει καταρρεύσει δεν είναι το ευκλείδειο αξιωματικό σύστημα αλλά η χρήση που του κάνουμε. Μου κάνει εντύπωση αγαπητέ φίλε που η αναφορά του κυρίου Κυνηγού σχετίζει το ευκλείδειο μοντέλο με τις δυνατότητες της γεωμετρίας να εκφράσει τον φυσικό κόσμο, όταν εσύ και όλοι οι μαθηματικοί έχετε σαν επιχείρημα ενάντια στους ισχυρισμούς μου το "λειτουργούμε αφαιρετικά της φύσης" και δεν μας απασχολεί τι κάνει ή τι δεν κάνει η φύση. Το ίδιο μου λες ακόμα και τώρα με την παρατήρησή σου στο τέλος. Μπορείς από μέρους μου να απευθυνθείς στον κύριο Κυνηγό να του πεις αυτά που λέτε σε μένα. Ή επειδή είναι μαθηματικός εξαιρείται; Θέλω πολλούς κυρίους Κυνηγούς αλλά δυστυχώς δεν βρίσκω κανέναν. Όλοι από κυνηγοί έχουν γίνει λαγοί...
Επί του (4) ο Hilbert ούτε στο νυχάκι δεν μπορεί να φθάσει τον Ευκλείδη. Είναι ένας απλός γεωμετρης - κανίβαλος του ευκλέιδειου αξιωματικού σσυτήματος που απλά μετέτρεψε (διόρθωση!!!) την πρόταση Αρχιμήδη - Ευκλέιδη σε αξίωμα, αλλά προκαλώ τον οποιονδήποτε να μου αποδείξει ορθό το πυθαγόρειο είτε με τα αξιώματα Χίλμπερτ, είτε με αυτά του Πεάνο. Από λόγια είσαστε όλοι καλοί και επαρκώς επαρμένοι. Να πεις στον κύριο Κυνηγό ότι είναι πολύ μακριά νυχτωμένος και αυτό που τον σώζει είναι το ίσως. Ίσως και να βρέξει...
Σε σχέση με το (5) αγαπητέ και καλέ μου φίλε, μάτια έχω κι εγώ κι εσύ. Μη κοιτάς που εσύ ξέρεις να βλέπεις και εγώ δεν ξέρω.
Λάμπρος.

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 18 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

 

[Hilbert]

Το "γιατί", δεν φαίνεσαι καλέ μου φίλε να είσαι σε θέση να το κατανοήσεις και γι αυτό δεν θα σου το εξηγήσω

Βαράς αλύπητα και με πληγώνεις Λάμπρο. Έτσι είναι όλοι οι μεγάλοι επιστήμονες; (χι χι)

Η αναλυτική γεωμετρία είναι εσφαλμένη για πολλούς λόγους,

Και αυτή στον κάλαθο των αχρήστων;

Επί του (2) ισχύει ακριβώς το ίδιο.

Δηλαδή, τέλος και στις μη Ευκλείδειες Γεωμετρίες;

Επί του (4) ο Hilbert ούτε στο νυχάκι δεν μπορεί να φθάσει τον Ευκλείδη. Είναι ένας απλός γεωμετρης - κανίβαλος του ευκλέιδειου αξιωματικού σσυτήματος που απλά μετέτρεψε (διόρθωση!!!) την πρόταση Αρχιμήδη - Ευκλέιδη σε αξίωμα, αλλά προκαλώ τον οποιονδήποτε να μου αποδείξει ορθό το πυθαγόρειο είτε με τα αξιώματα Χίλμπερτ, είτε με αυτά του Πεάνο.

Πάει και ο συνονόματός μου.

Να πεις στον κύριο Κυνηγό ότι είναι πολύ μακριά νυχτωμένος και αυτό που τον σώζει είναι το ίσως.

Τι με πέρασες, τσιράκι σου; Να του το πεις εσύ, αλλά βέβαια δεν θα το κάνεις αφού ξέρεις τι έχεις να αντιμετοπίσεις σε μια σοβαρή κατ΄ιδίαν συζήτηση. Το forum σε βολεύει, γιατί μέσα στην αναρχία τψν μηνυμάτων προσπαθείς να κρύψεις τα γνωστικά και αντιληπτικά κενά σου.

Φιλαράκο Λάμπρο, σε ένα post έγβαλες σκάρτη την Αναλυτική, την Υπερβολική και την Ελλειπτική Γεωμετρία. Επίσης έβαλες στη θέση του τον Hilbert (από τον οποίο δανείστηκα το όνομα) και τον καθηγητή του Πανεπιστημίου Αθηνών κ Κυνηγό.

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 18 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

 

[ipios]

makman

ιπιε με εχετε εντυπωσιασει! ομως εχω μια ερωτηση.

ας υποθεσουμε οτι εχετε δικιο ,οτι δλδ με τα ευκλειδεια αξιωματα το πυθαγορειο ...πασχει,θα ηθελα να μου πειτε αν πιστευετε οτι με τις νεες ανακαλυψεις δλδ τα εμβαδα,τα μετρα κτλ εξακολουθει να πασχει.

ευχαριστω κ σας χαιρετω ολους! (μιας κ ειμαι ο πρωταρης του site)

Προσωπικά σε καλωσορίζω αγαπητέ φίλε makman.
Απαντώντας στην ερώτησή σου έχω να σου πω τα εξής:
Το εσφαλμένο του πυθαγορείου στην ευκλείδεια γεωμετρία, συνεπάγεται αντιστροφή της υπάρχουσας ευκλείδειας γεωμετρίας. Αντιστροφή δεν σημαίνει κατάργηση, αλλά ανάδειξη της τελειότητας του συστήματος του μεγάλου δάσκαλου Ευκλείδη. Στην υπάρχουσα το 5ο αίτημα είναι αναπόδεικτο και το πυθαγόρειο αποδεδειγμένο. Στην αντιστροφή, το 5ο αίτημα αποδεικνύεται αποκλειστικά με τα αξιώματα του Ευκλείδη και το πυθαγόρειο εξαφανίζεται. Η ευκλείδεια γεωμετρία καθίσταται επικυρίαρχη όλων των μαθηματικών, χωρίς το μελάνό της σημείο που είναι το αναπόδεικτο του 5ου αιτήματος. Όπως είπε και ο καθηγητής του πολυτεχνείου κύριος Ευγένιος Αγγελόπουλος όταν έγινε γνώστης των ισχυρισμών μου, "Κύριε Μαγκλάρα, μέχρι να ορίσουμε αθροίσεις σχημάτων στη γεωμετρία, το πυθαγόρειο δεν είναι ούτε ορθό, ούτε λάθος. Απλά δεν υπάρχει σαν πρόταση". Σημείωσε αγαπητέ φίλε ότι ο κύριος Ευγένιος Αγγελόπουλος ήταν παρών στην Επιτροπή Ευκλείδης Β΄ κατά την παρουσία μου που συζητήθηκε το θέμα. Σημείωσε επίσης την έκτοτε σιγή των πάντων και ότι σήμερα εξακολουθεί το πυθαγόρειο να διδάσκεται στους μαθητές και φοιτητές με μετασχηματιμσούς και χωρίς χρήση αριθμητικών δεδομένων και κανείς πέραν των όσων με "βρίσκουν" στο διαδίκτυο δεν έχει την ευκαιρία να γνωρίζει το αληθές και ομολογημένο. Λυπάμαι και η λύπη μου έχει και αιτία και διάρκεια. Πουθενά δεν αναφέρονται οι εξαιρέσεις ισχύος που έγιναν αποδεκτές στην Επιτροπή Ευκλείδης Β΄. Υπάρχει τεράστια ευθύνη της ελληνικής μαθηματικής κοινότητας και την καταγγέλω αδιαφορώντας αν οι μαθηματικοί σφυρίζουν χαρούμενοι και ευρίσκονται σε αρμονική νιρβάνα με τις συνειδήσεις τους.
Αγαπητέ φίλε, το πυθαγόρειο πάσχει και με τα μέτρα και με τα εμβαδά και αυτό είναι ομολογημένο από την ΕΜΕ, αφού αποδέχθηκε τον ισχυρισμό μου ότι δεν ισχύει στην πρακτική - εποπτικής μορφής γεωμετρία, αφού τα μέτρα και τα εμβαδά, δεν είναι άλλο από πρακτικής εποπτικής μορφής γεωμετρία. Δεν το λέω εγώ αλλά η ίδια η ΕΜΕ και αν σήμερα βρίσκομαι σε διάλογο είναι γιατί η "στήριξη" που παρέχει η ΕΜΕ στο πυθαγόρειο αντιφάσκει στις ίδιες τις αποδοχές της.
Λάμπρος

Κάποιος πρέπει να αποδείξει ότι και οι μαθηματικοί έχουν συνείδηση, γιατί το θέμα δεν τους αφορά κατά αποκλειστικότητα (ώστε για λόγους πρόσκαιρου συμφέροντος και συντεχνιακούς να το καλύπτουν δια της σιωπής), αλλά αφορά όλα τα παιδιά όλου του κόσμου και το μέλλον των μαθηματικών, ένα μέλλον που για μένα με δύο μορφές καρκίνου δεν είναι και τόσο βέβαιο για τη διάρκειά του...

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 18 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

 

[ipios]

Hilbert
Φιλαράκο Λάμπρο, σε ένα post έγβαλες σκάρτη την Αναλυτική, την Υπερβολική και την Ελλειπτική Γεωμετρία. Επίσης έβαλες στη θέση του τον Hilbert (από τον οποίο δανείστηκα το όνομα) και τον καθηγητή του Πανεπιστημίου Αθηνών κ Κυνηγό.

Δεν με απασχολούν καθόλου τα συμπεράσματά σου καλέ και αγαπητέ μου φίλε.
Όταν πανεπιστημιακός μαθηματικός (και όχι μόνο) ακούει Λάμπρος Μαγκλάρας, κάνει την αλεπού με τα σταφύλια. Και Λάμπρου και Πάμφιλος και Δρόσος και Μπαϊκούσης και Φίλη και Αγγελόπουλος και Κιουστελίδης και ολόκληρη η ΕΜΕ. Εδώ είναι όλα ανοιχτά. Όποιος έχει τα κόστια μπορεί να αντιπαρατεθεί. Έχω αντιμετωπίσει δεκάδες πανεπιστημιακούς για να μου σταθερί εμπόδιο ο κύριος Κυνηγός. Όποιος και να υπερασπιστεί το λάθος, αυτό δεν εξαφανίζεται από τον τίτλο και το πτυχίο.
Ειδικά εσύ αγαπητέ και καλέ μου φίλε, έχεις την ευκαιρία να αποδείξεις ότι κάνω λάθος. Κανένας δεν σου κλείνει το στόμα. Γιατί δεν τη χρησιμοποιείς αυτή την ευκαιρία; Μπορείς να υπερασπιστείς το πυθαγόρειο στην ευκλείδεια γεωμετρία; Αν δεν μπορείς γιατί με προκάλεσες; Για να μου πεις τις εξυπνάδες του κυρίου Κυνηγού ή του κυρίου Νεγρεπόντη ή του κυρίου Μοασχοβάκη ή του κυρίου Αναπολιτάνου ή του κυρίου Τεύκρου Μιχαηλίδη ή του κυρίου Απόστολου Δοξιάδη ή όποιου εσύ θεωρείς μαθηματικό πνεύμα; Όλοι λάθος κάνετε και μάλιστα το ίδιο. Πάσχετε από συντεχνιακή νοοτροπία και σας πονάει που ένας μη μαθηματικός σας σφραγίζει το στόμα όπως έχω σφραγίσει και το δικό σου που έχεις πρόβλημα μπροστά σου και μου πας στον κύριο Κυνηγό και τα "ίσως" του αγαπητέ και καλέ μου φίλε Hilbert. Εδώ είμαι να με κολλήστε στον τοίχο, αλλά μάλλον δεν βρίσκεται τοίχο ή δεν έχετε κόλλα! Εντυπωσιάστηκα να είσαι βέβαιος...
Φιλικά
Λάμπρος

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 18 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

 

[Hilbert]

Όταν πανεπιστημιακός μαθηματικός (και όχι μόνο) ακούει Λάμπρος Μαγκλάρας, κάνει την αλεπού με τα σταφύλια. Και Λάμπρου και Πάμφιλος και Δρόσος και Μπαϊκούσης και Φίλη και Αγγελόπουλος και Κιουστελίδης και ολόκληρη η ΕΜΕ. Εδώ είναι όλα ανοιχτά. Όποιος έχει τα κόστια μπορεί να αντιπαρατεθεί. Έχω αντιμετωπίσει δεκάδες πανεπιστημιακούς για να μου σταθερί εμπόδιο ο κύριος Κυνηγός.

άνευ σχολίου

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 18 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

 

[ipios]

Και άνευ αμφιβολίας καλέ μου φίλε.

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 18 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

 

[Wilmarth]

Καλημερα Λαμπρο και ευχαριστω για την απαντηση.

Στο πρωτο απο αυτα που λες εχεις δικιο, γιατι δεν εκφραστηκα καλα οταν ειπα 'ορισα το ισομηκες'. Αυτο που εννοουσα ειναι οτι το 'ισομηκες', δηλαδη η εννοια 'το σημειο Α απεχει απο το Β οσο το Γ απο το Δ' το θεωρω τετριμμενα ορισμενο, γιατι ειναι απο τις θεμελιωδεις εννοιες της αξιωματοποιησης του Hilbert. (οπως και το 'το Α ειναι αναμεσα στο Β και το Γ').

Κατι τετοιο δεν ισχυει για το 'το Α απεχει μηδενικα απο το Β', ομως...

Εννοείς ότι η έννοια απέχω μηδενικά δεν σου είναι ξεκάθαρη ενώ το απέχουν ισομήκη σου είναι;

Ακριβως. Και ελπιζω να ξεκαθαρισα γιατι.

Εσύ μάλλον πρέπει να μου ορίσεις την έννοια «σχέση» αφού συγκρίνεις δύο ευθύγραμμα τμήματα ΑΒ και ΓΔ και τα βρίσκεις με ίσο μήκος, το ένα ως προς το άλλο. Αυτό που κάνεις εσύ θα πει σχέση, του ενός ως προς το άλλο.

Αυτο που λες ειναι σωστο, αλλα δε χρησιμοποιω την εννοια 'σχεση' ως Ευκλειδιο ορο. Στην Ευκλειδια γεωμετρια λεω απλως 'τα ΑΒ και ΓΔ ειναι ισομηκη'. Εσυ ομως χρησιμοποιεις την εννοια 'σχεση' για να ορισεις κατι αλλο (το 'απεχω μηδενικα') και ετσι τη χρησιμοποιεις ως Ευκλειδιο ορο, τον οποιο πρεπει να ορισεις προηγουμενως.

Αν δεν έχω εγώ το δικαίωμα να χρησιμοποιώ έννοιες με την επίκληση της ανυπαρξίας ορισμών δεν έχεις κι εσύ.

Εχεις απολυτο δικιο και εγω ελπιζω να ξεκαθαρισα τη θεση μου.

Καθολική σχέση:
Όλα τα σχήματα μηδενός εξαιρουμένου, που ευρίσκονται αυτόνομα, μόνα τους ανεξάρτητα από άλλα σχήματα επί του επιπέδου, σχετίζονται με το επίπεδο δια της επαφής τους. Αυτή είναι καθολική σχέση μεταξύ επιπεδου και σχήματος του επιπέδου και επομένως ιδιότητα αφού δεν υπάρχει εξαίρεση.

'Αυτονομα', 'ανεξαρτητα', 'δια της επαφης'... Φιλε Λαμπρο, εισαγοντας διαρκως καινουριους ορους δε βγαινει νοημα. Πρεπει να εκθεσεις πρωτα τις θεμελιωδεις εννοιες, αυτες που δεν εχουν ορισμο και στη συνεχεια να ορισεις τις υπολοιπες (ολες τις υπολοιπες) βασει αυτων. Αλλιως δεν υπαρχει περιπτωση να μπορει να συμμετασχει ο αλλος στο συλλογισμο σου.

Να υπεισέλθεις. Γιατί να μην υπεισέλθεις; Ή μήπως αγαπητέ φίλε έχεις την άποψη ότι καταθέτω δικούς μου ορισμούς και ερμηνείες σχετικά με την έννοια του σχήματος; Εδώ είναι όλα ανοιχτά και θα χαρώ να μου βρεις κάτι άλλο σχετικά με τον ορισμό του σχήματος, από αυτό που υποστηρίζω.

Φυσικα και εχω σκοπο να υπεισελθω. Πριν ομως μπω στα σχηματα, θελω να ξεκαθαρισω στο μυαλο μου την εννοια του 'απεχω μηδενικα' για τα (πιο απλα) σημεια. Αυτο ειναι ολο.

Θα σου πω όμως κάτι. Η προσπάθεια να βρεθώ σε αδυναμία απάντησης από το αίτημα ανάλυσης των εννοιών δεν μπορεί να ευδοκιμήσει γιατί μου είναι πολύ εύκολο να την αντιστρέψω.

Και εχεις καθηκον να το κανεις, οπως καλως το εκανες τωρα με το 'απεχω εξισου' και με εβαλες να το ξεκαθαρισω. Οπως το κανω εγω τωρα με το 'απεχω μηδενικα'.

Όποια σχήματα χωρίζονται μεταξύ τους με ευθεία (ή όποια άλλη γραμμή), αξιωματικά απέχουν μηδενικά ή δεν απέχουν.

Αυτό ΔΕΝ ΕΙΝΑΙ ΟΡΙΣΜΟΣ, αλλά απόδειξη ενός θεωρήματος ή ενός πορίσματος αυτής της διατύπωσης αν προτιμάς, που έχει αξιωματική στήριξη το παραπάνω αξίωμα.
Ελπίζω το αξίωμα να σε υποχρεώσει να κατανοήσεις (ή ακόμα και να μην κατανοήσεις το αξίωμα δεν ενδιαφέρεται) τι σημαίνει «απέχουν μηδενικά»,

Λυπαμαι αλλα δε νομιζω να βοηθησει το αξιωμα απο μονο του, σ'αυτο το σταδιο τουλαχιστον.

Για την περιπτωση που δεν εχεις καταλαβει το προβλημα μου, δεν ειναι οτι 'δεν εχω εικονα στο μυαλο μου' για το 'απεχω μηδενικα'. Το προβλημα μου ειναι οτι δεν εχω ειτε 1.Καποιον ορισμο του 'απεχω μηδενικα' για να μπορω να το αντιπαραβαλλω λογικα με αλλες εννοιες ειτε 2. Τη βεβαιοτητα οτι το 'απεχω μηδενικα' ειναι θεμελιωδης εννοια (δεν οριζεται), ωστε να αναζητησω στα αξιωματα και μονο τις ιδιοτητες του.

Μήπως μπορείς να πάρεις θέση επί του προκειμένου αγαπητέ φίλε Wilmarth;

Βεβαιως, αλλα η θεση μου ειναι προσωρινη (ελπιζω) και μαλλον απογοητευτικη. Δυστυχως το προβλημα μου ειναι παντα το ιδιο - οροι ελλιπως ορισμενοι και κατα συνεπεια ελλιπως θεμελιωμενοι αξιωματικα. Θα με βοηθουσες πολυ αν με πηγαινες στην αρχη (εννοω την αρχη-αρχη, τους θεμελιωδεις ορους που δεν οριζονται) για να μπορεσω να προσανατολιστω.

Σ' ευχαριστω,
Wilmarth

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 18 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

 

[ipios]

Αγαπητέ φίλε Wilmarth, πρώτα μια σημαντική παρατήρηση. Χαίρομαι για το ύφος σου και ανεξάρτητα από τις όποιες αντιθέσεις καταθέτω την ικανοποίησή μου. Έτσι μου αρέσει να συνομιλώ.
Επί του θέματος.
Ζητάς ορισμό του όρου εφάπτονται ή απέχουν μηδενικά.
Ο λεκτικός – γραμματικός όρος «εφάπτονται» ή «απέχουν μηδενικά» χρησιμοποιείται από τον Ευκλείδη. Στη γραμματική (και όχι στα μαθηματικά) ο όρος εφάπτονται σημαίνει αγγίζουν το ένα το άλλο και επομένως μεταξύ τους δεν παρεμβάλλεται κάποια απόσταση.
Τον γραμματικό αυτό όρο «εφάπτονται» μεταφέρω στην γεωμετρία ακριβώς όπως ισχύει σαν γραμματικός όρος χωρίς να είναι αναγκαίο να τον καταστήσω όρο γεωμετρικό. Φρονώ ότι και ο Ευκλείδης που χρησιμοποιεί τον όρο αυτό ακριβώς εννοεί γιατί αν εννοούσε κάτι άλλο, θα έπρεπε να το ορίζει. Δεν υπάρχει όμως ορισμός που τον ευκλείδειο όρο «εφάπτονται» να τον ερμηνεύει αλλιώς από την γραμματική του έννοια. Έτσι λοιπόν όποιος τον αρνείται έχει την υποχρέωση να αποδείξει ότι ο Ευκλείδης δεν χρησιμοποιεί τον όρο με τη γραμματική του σημασία ή να υποδείξει αξίωμα που να απαγορεύει τη χρήση του όρου από τον Ευκλείδη γιατί υπάρχει κάποιο άλλο αξίωμα ή άλλος όρος προς τον οποίο αντιφάσκει.
Αξίωμα που να απαγορεύει τη χρήση της γλώσσας δεν υπάρχει στα μαθηματικά.

Στοιχεῖα Εὐκλείδου δ΄

[Βιβλίον IV]

Ὅροι ζ΄ [7].

α΄ [1]. Σχῆμα εὐθύγραμμον εἰς σχῆμα εὐθύγραμμον ἐγγράφεσθαι λέγεται, ὅταν ἑκάστη τῶν τοῦ ἐγγραφομένου σχήματος γωνιῶν ἑκάστης πλευρᾶς τοῦ, εἰς ὃ ἐγγράφεται, ἅπτηται.

β΄ [2].Σχῆμα δὲ ὁμοίως περὶ σχῆμα περιγράφεσθαι λέγεται, ὅταν ἑκάστη πλευρὰ τοῦ περιγραφομένου ἑκάστης γωνίας τοῦ, περὶ ὃ περιγράφεται, ἅπτηται.

γ΄ [3]. Σχῆμα εὐθύγραμμον εἰς κύκλον ἐγγράφεσθαι λέγεται, ὅταν ἑκάστη γωνία τοῦ ἐγγραφομένου ἅπτηται τῆς τοῦ κύκλου περιφερείας.

δ΄ [4].Σχῆμα δὲ εὐθύγραμμον περὶ κύκλον περιγράφεσθαι λέγεται, ὅταν ἑκάστη πλευρὰ τοῦ περιγραφομένου ἐφάπτηται τῆς τοῦ κύκλου περιφερείας.

ε΄ [5]. Κύκλος δὲ εἰς σχῆμα ὁμοίως ἐγγράφεσθαι λέγεται, ὅταν ἡ τοῦ κύκλου περιφέρεια ἑκάστης πλευρᾶς τοῦ, εἰς ὃ ἐγγράφεται, ἅπτηται.

ς΄ [6]. Κύκλος δὲ περὶ σχῆμα περιγράφεσθαι λέγεται, ὅταν ἡ τοῦ κύκλου περιφέρεια ἑκάστης γωνίας τοῦ, περὶ ὃ περιγράφεται, ἅπτηται.

ζ΄ [7]. Εὐθεῖα εἰς κύκλον ἐναρμόζεσθαι λέγεται, ὅταν τὰ πέρατα αὐτῆς ἐπὶ τῆς περιφερείας ᾖ τοῦ κύκλου.

Όπως βλέπεις ο Ευκλείδης χρησιμοποιεί τον όρο σε πλήθος αξιωμάτων.
Η ετυμολογία του είναι η γραμματική ετυμολογία διότι δεν ορίζεται αλλιώς και ούτε υπάρχει αξίωμα να το απαγορεύει ή προς το οποίο να αντιφάσκει. Αφού λοιπόν δεν απαγορεύεται με κάποιο αξίωμα ή αφού δεν αντιφάσκει μπορώ να χρησιμοποιώ τον όρο όπως και ο Ευκλείδης.
Το θέμα τώρα είναι ότι εσύ δεν το καταλαβαίνεις και δεν σου αρκεί.
Τι να κάνω όμως εγώ αγαπητέ φίλε για την εν προκειμένω «μειονεξία» σου;
Να πω δεν υπάρχει η λέξη εφάπτονται, επειδή δεν την καταλαβαίνει ο φίλος μου και επιπλέον νομίζει ότι έχω υποχρέωση να ερμηνεύω όλες τις έννοιες και να καταθέτω ορισμούς;
Στη γεωμετρία ισχύει:
Κάθε έννοια για να οριστεί, δηλαδή να περιγραφεί με πληρότητα, σαφήνεια και ακρίβεια, χρειάζονται λέξεις που αναφέρονται σε άλλες απλούστερες γνωστές έννοιες. Υπάρχουν όμως και έννοιες που δεν μπορούν να περιγραφούν με άλλες απλούστερες. Οι έννοιες αυτές λέγονται αρχικές και είναι οι εξής:
Το σημείο, η ευθεία, το επίπεδο.
Θεωρητική γεωμετρία Α΄ Λυκείου του ΟΕΔΒ, των Αλιμπινίση, Δημάκου, Εξαρχάκου, Κοντογιάννη και Τασσόπουλου σελίδα 13.
Τι να κάνουμε λοιπόν που η έννοια εφάπτονται ή απέχουν μηδενικά ή δεν απέχουν (συνώνυμες εκφράσεις) είναι από τις μη αρχικές έννοιες, αλλά ανήκουν στην κατηγορία των εννοιών που περιγράφονται με πληρότητα σε χρήση άλλων γνωστών εννοιών όπως είναι ο γραμματικός όρος «εφάπτονται»;
Δεν απαγορεύει αγαπητέ φίλε τη χρήση της γλώσσας η γεωμετρία ώστε να ζητάς ορισμούς για όλες τις λέξεις. Σε μια στιγμή μου λες:

Wilmarth
Στο πρωτο απο αυτα που λες εχεις δικιο

Εσύ μπορείς να μου ορίσεις τι σημαίνει δίκαιο; Εγώ δεν το αντιλαμβάνομαι όταν το χρησιμοποιείς στα μαθηματικά ή δεν μου αρκεί. Εσύ θα μου απαντήσεις και σε χρήση άλλων λέξεων κατά την απάντησή σου, θα σου αμφισβητήσω π.χ. τη λέξη «σωστό» που χρησιμοποιείς, για να μη πάω σε άλλες λέξεις που επίσης χρησιμοποιείς. Έτσι δεν γίνεται κουβέντα όμως όταν ζητάς να σου ερμηνεύω γραμματικές έννοιες που επιτρέπονται στα μαθηματικά ενώ εσύ χρησιμοποιείς όποιες έννοιες νομίζεις ότι είναι εκφραστικές των απόψεών σου μη φοβούμενος την αμφισβήτησή τους. Αυτό όμως δεν μπορεί να διαρκέσει όπως αντιλαμβάνεσαι. Ο όρος «εφάπτονται» είναι γλωσσικός, επιτρέπεται η χρήση του στα μαθηματικά, τον χρησιμοποιεί ο ίδιος ο Ευκλείδης στα αξιώματά του και τέλος έχει και αξίωμα στήριξης:
Η ευθεία ορίζει στο επίπεδο δύο ημιεπίπεδα Π1 και Π2.
Επειδή η ευθεία δεν έχει πλάτος, τα ημιεπίπεδα δεν απέχουν μεταξύ τους ή απέχουν μηδενικά ή εφάπτονται. Τι χρειάζεται ο ορισμός για μη αρχική έννοια που αναλύεται περαιτέρω με άλλες απλούστερες γνώστες έννοιες;

Wilmarth
η εννοια 'το σημειο Α απεχει απο το Β οσο το Γ απο το Δ' το θεωρω τετριμμενα ορισμενο, γιατι ειναι απο τις θεμελιωδεις εννοιες της αξιωματοποιησης του Hilbert

Αγαπητέ φίλε, βρισκόμαστε στην ευκλείδεια γεωμετρία και δεν με απασχολεί ο Χίλμπερτ προς το παρόν. Γιατί λοιπόν να πάμε στον Χίλμπερτ; Αυτό δεν το εισάγω μόλις τώρα με σκοπό να αλλάξω θέμα, αλλά το έχω θέσει αυστηρά εξαρχής και οι δικές σου αναφορές στον Χίλμπερτ, απλά αλλάζουν το θέμα και το πάνε σε άλλο γήπεδο.

Wilmarth
(οπως και το 'το Α ειναι αναμεσα στο Β και το Γ').
Κατι τετοιο δεν ισχυει για το 'το Α απεχει μηδενικα απο το Β', ομως...

Για τη γεωμετρία Χίλμπερτ μπορεί. Για την ευκλείδεια γεωμετρία όμως υπάρχει το αξίωμα των δύο ημιεπιπέδων από ευθεία που το «χωρίζει» και τα ορίζει. Τι να τον κάνουμε τον ειδικό ορισμό; Είναι αν θέλεις θεώρημα ή πόρισμα: Σημεία επί επιπέδου που απέχουν κατά μία ευθεία, απέχουν μηδενικά ή εφάπτονται.
Μπορείς να το ανατρέψεις;

Ελπίζω να είμαι σαφής και σαφέστερος δεν μπορώ να γίνω αγαπητέ φίλε, αλλά φρονώ ότι δεν χρειάζεται και να το προσπαθήσω διότι το θεώρημα έχει αξιωματική στήριξη…
Βέβαια θα χαρώ να δεχτώ την απάντησή σου ακόμα και αν το ανατρέπεις.

Φιλικά

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 18 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

 

[Wilmarth]

Αγαπητε Λαμπρο,
αυτο που ξεχωριζει τα μαθηματικα απο την απλη συνομιλια σε μια κοινη γλωσσα ειναι ακριβως το γεγονος οτι καθε εννοια στα μαθηματικα ειναι ειτε ορισμενη βασει αλλων εννοιων (ειτε ηδη ορισμενων ειτε θεμελιωδων) ειτε θεμελιωδης η ιδια. Κατα συνεπεια, οταν μου λες οτι η εννοια 'εφαπτονται' εχει ηδη (κατα τη γνωμη σου τουλαχιστον) μια αναμφιβολη γραμματικη εννοια, θεωρωντας το αυτο ως επαρκη λογο να τη συμπεριλαβουμε σε μαθηματικο λογο, θετεις εαυτον εκτος μαθηματικων ηδη απο τα αποδυτηρια...

Φρονώ ότι και ο Ευκλείδης που χρησιμοποιεί τον όρο αυτό ακριβώς εννοεί γιατί αν εννοούσε κάτι άλλο, θα έπρεπε να το ορίζει. Δεν υπάρχει όμως ορισμός που τον ευκλείδειο όρο «εφάπτονται» να τον ερμηνεύει αλλιώς από την γραμματική του έννοια. Έτσι λοιπόν όποιος τον αρνείται έχει την υποχρέωση να αποδείξει ότι ο Ευκλείδης δεν χρησιμοποιεί τον όρο με τη γραμματική του σημασία ή να υποδείξει αξίωμα που να απαγορεύει τη χρήση του όρου από τον Ευκλείδη γιατί υπάρχει κάποιο άλλο αξίωμα ή άλλος όρος προς τον οποίο αντιφάσκει.

Μα δε μπορουμε καν να αναρωτηθουμε αν αντιφασκει η οχι προς κατι αλλο, αν δεν ξερουμε καν τι σημαινει στα μαθηματικα παρα μονο σε μια νεφελωδη 'γραμματικη' που ο ενας μπορει να την ερμηνευσει ετσι και ο αλλος αλλιως.

Για να δωσω ενα (εντελως ακραιο, φυσικα) παραδειγμα : Που ξερω εγω αν καποιος δε θα ερμηνευσει το 'Σημειον εστι ου μερος ουθεν' ως 'Σημειο ειναι εκει που δεν υπαρχουν τουαλετες' ;

Οσο για τον Ευκλειδη, δε χρειαζεται να του χαριστουμε : Αν τη χρησιμοποιει χωρις να την οριζει, Ευκλειδης-Ξευκλειδης, κακως κανει. Και επειδη δεν ειναι το μονο στραβο στα 'Στοιχεια' του, γι' αυτο επενεβησαν μελλοντικες γενεες μαθηματικων (οπως ο Hilbert) για να θεσουν αυτο το υπεροχο οικοδομημα του Ευκλειδη σε πιο γερα θεμελια.

Η ετυμολογία του είναι η γραμματική ετυμολογία διότι δεν ορίζεται αλλιώς

Οπως εξηγησα προηγουμενως, δεν υπαρχει 'γραμματικη ετυμολογια' στα μαθηματικα. Μια εννοια ειτε ανηκει στις (περιφραστικα η τετριμμενα) ορισμενες εννοιες ειτε οχι. Και αν καποιος χρησιμοποιει μη ορισμενες εννοιες, θεωρωντας οτι το νοημα τους ειναι 'προφανες', ακομα κι αν ειναι ο ιδιος ο Ευκλειδης, σφαλλει.

Στη γεωμετρία ισχύει:
Κάθε έννοια για να οριστεί, δηλαδή να περιγραφεί με πληρότητα, σαφήνεια και ακρίβεια, χρειάζονται λέξεις που αναφέρονται σε άλλες απλούστερες γνωστές έννοιες. Υπάρχουν όμως και έννοιες που δεν μπορούν να περιγραφούν με άλλες απλούστερες. Οι έννοιες αυτές λέγονται αρχικές και είναι οι εξής:
Το σημείο, η ευθεία, το επίπεδο.
Θεωρητική γεωμετρία Α΄ Λυκείου του ΟΕΔΒ, των Αλιμπινίση, Δημάκου, Εξαρχάκου, Κοντογιάννη και Τασσόπουλου σελίδα 13.
Τι να κάνουμε λοιπόν που η έννοια εφάπτονται ή απέχουν μηδενικά ή δεν απέχουν (συνώνυμες εκφράσεις) είναι από τις μη αρχικές έννοιες, αλλά ανήκουν στην κατηγορία των εννοιών που περιγράφονται με πληρότητα σε χρήση άλλων γνωστών εννοιών όπως είναι ο γραμματικός όρος «εφάπτονται»;

Νομιζω οτι εχεις παρανοησει την εννοια των 'αλλων γνωστων εννοιων'. Στον ορισμο του βιβλιου, 'αλλες γνωστες εννοιες' σημαινει ακριβως ειτε 'εννοιες ορισμενες προηγουμενως' ειτε 'θεμελιωδεις εννοιες' και οχι 'εννοιες που απο τη γραμματικη και απο τη χρηση εχουμε μια ιδεα για το τι σημαινουν'.

Δεν απαγορεύει αγαπητέ φίλε τη χρήση της γλώσσας η γεωμετρία ώστε να ζητάς ορισμούς για όλες τις λέξεις.

Της γλωσσας οχι. Της μη ορισμενης γλωσσας, εμφατικοτατα ναι.

Γιατί λοιπόν να πάμε στον Χίλμπερτ;

Γιατι, οπως ειπα προηγουμενως, ο Ευκλειδης εφτιαξε ενα υπεροχο οικοδομημα χωρις να δωσει τη δεουσα σημασια στα θεμελια. Αν θελουμε να χρησιμοποιησουμε μια αξιωματικη μεθοδο, ο Ευκλειδης, παρα το αναμφισβητητο ταλεντο του, παραειναι 'φαφλατας' και χρειαζεται μια πιο αυστηρη μεθοδος διαχωρισμου της ηρας απο το σιταρι.

Για την ευκλείδεια γεωμετρία όμως υπάρχει το αξίωμα των δύο ημιεπιπέδων από ευθεία που το «χωρίζει» και τα ορίζει.

Και στη γεωμετρια Χιλμπερτ υπαρχει το αξιωμα, σε ολη του την ομορφια, χωρις περιττες λεξεις οπως 'χωριζει' κ.λ.π.

'Εστω 3 σημεια Α,Β,Γ και μια ευθεια ε που δε διερχεται απο κανενα απο αυτα. Αν διερχεται απο σημειο Κ αναμεσα στα Α,Β τοτε ειτε θα διερχεται απο σημειο Λ αναμεσα στα Β,Γ ειτε απο σημειο Μ αναμεσα στα Α,Γ.'

Αυτο που 'φαφλαταδικα' θα λεγαμε 'Η ευθεια χωριζει το επιπεδο σε δυο ημιεπιπεδα και, κατα συνεπεια, αν δυο σημεια ανηκουν σε διαφορετικο ημιεπιπεδο απο ενα τριτο τοτε ανηκουν στο ιδιο ημιεπιπεδο.'

Τι να τον κάνουμε τον ειδικό ορισμό;

Εδω δεν τιθεται καν θεμα νεου ορισμου, γιατι καθε περιττη εννοια εχει εξαλειφθει.

Ελπιζω να ειμαι κι εγω σαφης γιατι κι εγω δε μπορω να γινω σαφεστερος. Νομιζω οτι μια απο τις μεγαλυτερες ομορφιες των μαθηματικων ειναι το 'λακωνιζειν' και η πειθαρχια που αυτο επιφερει στην ευκολως καλπαζουσα φαντασια μας...

Φιλικα,
Wilmarth

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 18 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

 

[ipios]

Wilmarth

Νομιζω οτι εχεις παρανοησει την εννοια των 'αλλων γνωστων εννοιων'. Στον ορισμο του βιβλιου, 'αλλες γνωστες εννοιες' σημαινει ακριβως ειτε 'εννοιες ορισμενες προηγουμενως' ειτε 'θεμελιωδεις εννοιες' και οχι 'εννοιες που απο τη γραμματικη και απο τη χρηση εχουμε μια ιδεα για το τι σημαινουν'.

Αγαπητέ φίλε εδώ περιλαμβάνεις όλες τις θέσεις σου.
Από που συνάγεις ότι έχω παρανοήσει;
Ποιος είναι αυτός που λέει το παραπάνω; Που το λέει; Που το στηρίζει; Λέει πουθενά ότι οι άλλες απλούστερες γνωστές έννοιες, είναι μόνο οι ορισμένες προηγουμένως ή θεμελιώδεις; Η έννοια "εφαπτόμενα" που χρησιμοποιεί ο Ευκλέιδης σε όλο το 4ο βιβλίο του, είναι απαγορευμένη και πρέπει να σκίσουμε το 4ο βιβλίο των Στοιχείων του;
Μόνο αξίωμα μπορεί να προβλέπει αυτό που λες ώστε να το σεβαστούμε όλοι.
Αν δεν επιθυμείς να σκίσουμε ή να αγνοήσουμε το 4ο βιβλίο των Στοιχείων, πες εσύ τι εννοεί ο Ευκλείδης με τον όρο "εφάπτονται". Δεν μπορείς να μου λες αόριστα κάνεις λάθος, έχεις παρανοήσει, χωρίς συγχρόνως να μου δίνεις το ορθό. Σε ρωτάω πως σε λένε και μου λες δεν με λένε Γιώργο. Δεν σε ρωτάω πως δεν σε λένε αλλά πως σε λένε. Μου λες ότι δεν είναι ορισμένη η έννοια "εφαπτόμενα". Αυτό σημαίνει ότι ή αγνοούμε το 4ο βιβλίο ή το ερμηνεύουμε ορθά και όχι εσφαλμένα!
Τι επιλέγεις;
Αν επιλέγεις να μείνει το βιβλίο στη θέση που βρίσκεται 2500 χρόνια, πες τι σημαίνει κατά Ευκλείδη "εφαπτόμενα".
Νομίζω ότι δεν έχεις επιχειρήματα.

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 18 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

 

[frappe]

Μπορούμε εύκολα να καταρρίψουμε το πυθαγόρειο θεώρημα, αρκεί να στηριχθούμε στο παρακάτω:

Έστω τρίγωνο ΑΒΓ με γωνία Α=90, τέτοιο ώστε να ισχύει ΒΓ^2 = ΑΒ^2+ΑΓ^2

Έστω Ζ σημείο που εφάπτεται με το Α. Φέρουμε την ευθεία ΖΑ, έτσι όμως ώστε να είναι κάθετη στη ΒΓ
Θεωρώ τον κύκλο με διάμετρο ΒΓ και ένα σημείο Δ που είναι εγγεγραμμένο στον κύκλο αυτό
Έστω σημείο Ε που είναι περιγεγραμμένο στον ίδιο κύκλο.
Το εμβαδόν του σημείου Ε προκύπτει μεγαλύτερο από το εμβαδόν του Δ, άτοπο
Καταλήξαμε σε άτοπο επειδή υποθέσαμε ότι ισχύει το ΠΘ

Όποιος έχει ενστάσεις για τους όρους εγγεγραμμένο,περιγεγραμμένο κλπ που χρησιμοποιώ, είναι όροι από 4ο βιβλίο των Στοιχείων του Ευκλείδη

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 18 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.

 

[ipios]

frappe
Έστω τρίγωνο ΑΒΓ με γωνία Α=90

Εγώ ισχυρίζομια ότι δεν υπάρχει μία γωνία 90 μοιρών.
Εισάγεις λάθος δεδομένα.
Όποιος έχει αντίρρηση, θα πρέπει να υποδείξει αξίωμα άθροισης σχημάτων, όπως σχήμα είναι η γωνία 1 μοίρας (μέτρο). Πως θα αθροίσεις 90 μοίρες, σε μία γωνία 90 μοιρών;
Βέβαια έχω υπομονή και ενδιάμεσα χαίρομαι το πνεύμα σου.
Άκουσε καλέ μου φίλε frappe. Δεν είναι τόσο εύκολο να με ειρωνευτείς όσο εσύ νομίζεις.
Αν δεν υπάρχουν εφαπτόμενα (επειδή έτσι σου αρέσει) και παρά το γεγονός ότι ο Ευκλείδης χρησιμοποιεί το όρο αυτό στα αξιώματά του, θέλω να μου πεις εάν φέρεις διάμετρο κύκλου που χωρίζει τον κύκλο σε 2 ημικύκλια, πόσο απέχει το ένα ημικύκλιο από το άλλο;
Σε καλό σου, με φόβισες!

ΥΓ 1: Μήπως μπορείς να μου υπενθυμίσεις τι απαγορεύει π.χ. τα άκρα δύο σχημάτων να εφάπτονται, κατά ευκλείδεια διατύπωση; Ποιος θα περιορίσει την ελευθερία του γεωμέτρη; Η γνώμη σου;
ΥΓ 2: Δεν παρακολουθείς τη σιγή των μαθηματικών; Έρχεσαι εσύ φίλε μου να με αντιμετωπίσεις με ειρωνεία γιατί; Μήπως επειδή σου λείπουν τα επιχειρήματα, όπως όλων των υπολοίπων;

Σημείωση: Το μήνυμα αυτό γράφτηκε 18 χρόνια πριν. Ο συντάκτης του πιθανόν να έχει αλλάξει απόψεις έκτοτε.